bab5 analisis kestabilan

7/17/2019 Bab5 ANALISIS KESTABILAN

http://slidepdf.com/reader/full/bab5-analisis-kestabilan 1/6

BAB VANALISIS KESTABILAN

Seperti telah diketahui bahwa definisi kestabilan masukan terbatas - keluaran terbatas(BIBO) digunakan ketika menyelidiki kestabilan sistem yang linier tak berubah dengan waktu.

Suatu sistem stabil BIBO, jika untuk setiap masukan terbatas, maka keluaran akanterbatas dengan pertambahan waktu. Untuk suatu sistem linier tak berubah dengan waktu,definisi ini menghendaki semua ple dari fungsi alih lup tertutup (semua akar persamaankarakteristik sistem) terletak di sebelah kiri sumbu khayal bidang kmpleks. Sifat ini telahdibuktikan dalam subbab !.!. Oleh karena itu, suatu analisis kestabilan memerlukan ketentuan jika fungsi alih lup tertutup mempunyai ple pada sumbu khayal atau di sebelah kanan sumbukhayal bidang s. Suatu sistem stabil pada batas jika semua ple di sebelah kiri sumbu khayal bidang kmpleks, ke"uali untuk ple-ple tak dminan pada sumbu khayal.

#etda pertama dari analisis kestabilan yang akan dibahas adalah metda $uth-%urwit&, yang menentukan jika sebuah akar dari suatu plinmial terletak di luar daerahsebelah kiri sumbu khayal bidang kmpleks. 'etapi metda ini tidak dapat menemukan lkasiakar-akar. Untuk sistem rde satu dan rde dua, akar-akar ini dapat diperleh se"ara analitis.

Untuk sistem rde tinggi, digunakan bantuan suatu prgram kmputer digital.estabilan sistem-sistem linier tak berubah dengan waktu juga dapat ditentukan dengan

teknik tempat kedudukan akar (root locus), dan kriteria y*uist.

5.1 Metoda Routh - Hurwitz

Untuk menentukan hubungan antara letak akar-akar persamaan karakteristik dankefisien dari persamaan karakteristik.Peme!tu"a! #eret Routh - Hurwitz $R-H%

• Baris pertama dan kedua didapat dari kefisien persamaan karakteristik.

• efisien pada baris ketiga dan seterusnya dihitung dengan aturan tertentu.

Bentuk umum persamaan karakteristik + (s) %(s) / 0 *(s) a s a s a s a 0n

nn ,

n ,, 0= + + + + =−

−

1eret $-% +

s

s

0 " " " s

0 b b b s

0 a a a s

0 a a a s

0

23

2-n

23

3-n

4-n2-n-n

-n

5-n3-nn

n

dengan +

ba .a a .a

a

ba .a a a

a

ba a a a

a

,n , n 3 n n 2

n ,

3n , n ! n. n 6

n ,

2n , n 5 n. n 4

n ,

= −

= −

= −

− − −

−

− − −

−

− − −

−

.

dan seterusnya sampai diperleh 0

" b a a .b

b

" b a a .b

b

,,. n 2 n , 3

,

3,. n 6 n , 2

,

= −

= −

− −

− −

dan seterusnya sampai diperleh 0

46



5.& Kriteria R-H

#enentukan jumlah akar-akar persamaan karakteristik yang terletak di sebelah kanansumbu khayal bidang s dengan menghitung jumlah perubahan tanda pada "oe'i(ie!-"oe'i(ie!"o)om *ertama dari deret $-%. 7adi se"ara tidak langsung kriteria $-% dapat dipakai untuk menentukan kestabilan sistem, yaitu

• bila ada perubahan tanda → sistem tidak stabil,

• bila sebaliknya → sistem stabil.

Atura!-atura! u!tu" mem*ermudah te( R-H +. Setiap baris pada deret $-% da*at dia,i dengan i)a!,a! "o!(ta!. 8nth +

*(s) s 2s 3s 9s 6s ,3s 30 0

1eret $ %+

s , 3 6 30s 2 9 ,3

, 2 !

s -, , 30

s ! 3!

, 5

s 4 30

s33

4

s 30

5 6 ! 2 3

5

6

!

2

3

,

0

= + + + + + + =−

:ada klm pertama terdapat 3 kali pergantian tanda ( → - → ), maka ada 3 akar di

sebelah kanan sumbu khayal → sistem tidak stabil.

3. Bila salah satu kefisien pada "o)om *ertama , maka substitusikan harga s / ;<, lalu buat deret $-% baru.

8nth +

*(s) s s 3s 3s 2s 6 0

1eret $ - % +

s 3 2

s 3 6

s 0 -3

s - - - -- = kefisien s tidak tertentu.

Substitusikan + s /

<, sehingga

6 ! 2 3

6

!

2

3 3

= + + + + + =

∞

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

<

0 2 <

<

- 3-

!- >- <

3 2 <

3 6 <

0<3<3<2<6<

06233*

0

33

2

!

6

32!6

<

3

<

2

<

!

<

6

<

<

=+++++=

=+++++=

45



:ada klm pertama terjadi 3 kali pergantian tanda ( → - → ), maka ada dua akar

persamaan karakteristik di sebelah kanan sumbu khayal → sistem tidak stabil.

2. Sebuah baris mempunyai kefisien nl semuanya. ?alu baris di atas baris yang mengandungkefisien nl tadi dideferensial kali untuk menentukan kefisien pada baris tadi.

8nth +*(s) s 3s s >s > 0

1eret $ - %

s >

s 3 >

9

s 3 >

9

s 0 0

s

! 2 3

!

2

3

0

= + + + + =

←

∞ ∞

Untuk menentukan kefisen s, , diambil persamaan pada s

3 (di atasnya), sehingga

s 9 0, dideferensial kali

3s / 0

deret $ - % dilanjutkan dengan +

3+ =

s 9

s 3 0

s 9

3

0

arena tidak terjadi perubahan tanda pada klm pertama, berarti tidak ada akar persamaan

karakteristik di kanan sumbu khayal → sistem stabil.

Selain untuk menentukan kestabilan tes $-% dapat dipakai untuk menentukan batas

kestabilan. Batas kestabilan biasanya ditentukan leh besarnya penguatan maksimum ( gain

maksimum), ma< .

Untuk = ma< sistem tidak stabil.

/ ma< batas kestabilan

@ ma< sistem stabil.

5./ 0o!toh (oa) +

. 1iketahui persamaan karakteristik suatu sistem adalah +

*(s) s 4s 6s (36 )s 3 / 0

1eret $ - % +

s 6 3

s 4 (36 )

s>0-

4 3

s

>0-

4(36 ) -!

>0-

4

s 3

! 2 3

!

2

3

0

= + + + + +

Agar sistem stabil, berarti tidak bleh terdapat akar di sebelah kanan sumbu khayal, artinyatidak bleh terjadi perubahan tanda pada klm pertama deret $-%.

efisien klmpertama baris s! dan s2 adalah ⊕, sehingga baris-baris yang lain pun harus ⊕.

7adi haruslah

44



s>0

4

s +

>0

4(36 ) - ,!

>0

4 s + 3 0

maka +

Syarat , +>0

4 0 ....................(,)

3

,

0

+−

≥

−

+

− ≥

≥

−≥ → − ≥ → ≤

0

0

0 >0 >0

Syarat 3 +

>0

4(36 ) - !

>0

4

(36 )9>

>0 0

(>0 )(36 ) 9> 0

!2 3000 0

!2 3000 0

.................(3)

...........

3

3

,3

3

3

( )

,

,

,

,

,

−+

− ≥

+ − − ≥− + − ≥

+ − ≤

+ − =

= − ± +

= − ±

=

= −∴ ≤

≥ −

0

!2 !2 >000

3

!2 99 3!

3

3>3

43

3>3

43

3

......(2)

Syarat 2 + 3 ≥ 0 → ≥ 0 .(!)

1ari semua nilai syarat , yaitu (), (3), (2), dan (!), maka yang memenuhi adalah +

0 ≤ ≤ 3>,3

7adi / 3>,3 merupakan batas kestabilan.

3. Suatu sistem dengan masukan umpan balik satuan (unity feedback) dengan masukanr(t) , 6t= + mempunyai elemen fungsi alih arah maju

(s)(3s ,)

s(!s ,)(s ,) 3= ++ +

'entukan +a. %arga supaya harga galat keadaan tunak ( steady state error ) sama dengan atau lebih ke"il

dari 0,. b. 1engan pada sal a, apakah sistem stabil.

". 7ika pada butir b sistem tidak stabil, berapa besar harga agar sistem tepat pada bataskestabilan C

7awab +

a. %arga agar e(t)ss ≤ 0,

4>



r(t) , 6t $(s),

s

6

s

s 6

s

D(s),

, (s)%(s)$(s)

,

(3s ,)

s(!s ,)(s ,)

s 6

s

s(!s ,)(s ,) (s 6)

Es(!s ,)(s ,) (3s ,)Fs

3 3

3

3

3

3 3

= + → = + = +

=+

⋅

= + ++ +

⋅

+

= + + +

+ + + +

,

e(t) limsD(s)

limss(!s-)(s-) (s 6)

Es(!s )(s ) (3s )Fs

6

e(t)

6

0,

6

0, 60

60

sss 0

s 0

3

3 3

ss

=

=+

+ + + +=

≤

≤ → = → =

∴ ≥

→

→

0 ,

b. / 60

'G8(s)

$(s)

(s)

(s)%(s)= =

+

:ersamaan karakteristik + (s)%(s)/ 0

,(3s ,)

s(!s ,)(s ,)0

s(!s ,)(s ,) (3s ,) 0

!s 9s 5s (3 ,)s 0

3

3

! 2 3

+ +

+ + =

+ + + + =

+ + + + + =

'es dengan deret $uth - %urwit& +

s ! 5

s 9 (3 ,) 0

s6! - !(3 ,)

9 0

60->

9 0

s

(60 - >)(3 ,)

99

60 >

9

-,5 ,, 60

60 >

s

!

2

3

3

0

−

−

+ +−

Substitusikan / 60 → terjadi pergantian tanda pada baris pertama dari deret $uth-%urwit&

→ sistem tidak stabil.

". Batas kestabilan → tidak bleh terjadi perubahan tanda pada klm pertama deret $uth-

%urwit& +

.60 >

90

60

> 5,36

−≥ → = → ≤

49



3,!6 ,!64-

,!64

3,!6

23

52,64

3<5

60)!<5<(

060 5

060 5 0> 60

60 5 .3

3

,

3

3,

3

3

3

≤≤

−=

=

±+=

−−±+=⋅

=−−

≤−−→≥−

++−

2. ≥ 0

1ari ketiga syarat , maka yang memenuhi adalah +

0 ≤ ≤ 3,!6

maksimal agar sistem stabil / 3,!6

>0

bab5 analisis kestabilan

Documents