BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

2.1.1 Pengertian Matriks

Definisi dari matriks adalah benda (bangun) matematika yang berisi objek-objek

(bisa berupa bilangan, fungsi, dll.) yang tersusun dalam baris-baris dan kolom-kolom

yang memenuhi sifat bahwa setiap barisnya atau kolomnya berisi objek-objek yang

sama banyaknya. Untuk menyatakan suatu matriks dapat dipakai huruf cetak besar atau

miring seperti: A, B, atau Z. Susunan dari matriks A yang memiliki m buah baris dan n

buah kolom adalah sebagai berikut.

A =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

Berikut adalah contoh sebuah matriks A yang memiliki tiga buah baris dan tiga

buah kolom.

Contoh 1:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

1510214312

= A

Objek-objek pada matriks disebut unsur (elemen) dari matriks, biasa ditulis

dengan huruf cetak kecil miring berindeks dua seperti: aij , bij, cij, dan lain-lain di mana i

6

adalah indeks yang menyatakan letak baris dan j adalah indeks yang menyatakan letak

kolom dari matriks tersebut.

Contoh 2: Pada matriks A contoh sebelumnya, angka 5 terdapat pada baris ketiga

dan kolom kedua ditulis sebagai a32 . Indeks pertama menunjuk pada baris, dan indeks

kedua menunjuk pada kolom.

Kumpulan elemen-elemen dimulai dari elemen kiri atas dan secara diagonal ke

elemen kanan bawah, disebut diagonal utama.

2.1.2 Ukuran dan Bentuk Matriks

Ukuran dari matriks merupakan salah satu sifat penting dari matriks yang

menyatakan banyaknya baris dan kolom. Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom

disebut sebagai matriks m kali n, ditulis nm× . Bila dua buah matriks memiliki baris dan

kolom yang sama banyaknya, maka kedua matriks tersebut memiliki ukuran yang sama

(misalkan 23× ).

Contoh 3: Kedua matriks di bawah ini memiliki ukuran yang sama.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

712661

, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

3572

10π

Sifat penting lain dari sebuah matriks adalah bentuknya. Untuk matriks Mm x n:

Jika m=n, matriks tersebut dikatakan matriks bujur sangkar. Matriks A pada

Contoh 1 di atas, adalah contoh sebuah matriks bujur sangkar.

Jika m=1 (satu) maka matriks disebut matriks baris.

Jika n=1 maka matriks disebut matriks kolom.

7

Contoh 4: ( )521 − disebut matriks baris, sedangkan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛35

adalah matriks

kolom.

2.1.3 Jenis Matriks dan Operasi Aljabar pada Matriks

Untuk dapat diterapkan pada penyelesaian masalah pada bidang pengetahuan

lainnya, maka perlu diberikan arti tentang kesamaan dua matriks, jumlah dua matriks,

perkalian antar bilangan dengan matriks, perkalian dua matriks, dan lain-lain, yang akan

diberikan pada bagian ini.

Kesamaan Dua Matriks

Definisi: Dua matriks disebut sama, jika keduanya mempunyai ukuran sama dan

dua elemen yang seletak pada kedua matriks nilainya sama.

Contoh 5: Perhatikan matriks-matriks: A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2641

, B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2341

, dan C =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−143021

. Di antara ketiga matriks di atas tidak ada yang sama CA ≠ sebab

ukurannya tidak sama, BA ≠ sebab ada unsur yang seletak (yaitu baris ke-2, kolom

pertama) pada kedua matriks tersebut yang nilainya tidak sama.

Penjumlahan Dua Matriks

Definisi: Jika A dan B dua matriks yang berukuran sama, maka A+B adalah

matriks berukuran sama dengan ukuran A dan setiap unsurnya sama dengan jumlah dari

dua unsur di A dan B yang seletak.

8

Contoh 6: A =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

152326341

,B =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 123496172

, C =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−3519

21 . Maka berlaku:

A + B = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+++++++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

235711124113

112532439266137421

123496172

152326341

. Sedangkan

CA + dan B + C tidak terdefinisi.

Sifat:

A+B=B+A (hukum komutatif penjumlahan)

A+(B+C)=(A+B)+C (hukum assosiatif penjumlahan)

Perkalian antara Bilangan dengan Matriks

Definisi: Jika A suatu matriks dan r suatu bilangan kompleks, maka perkalian rA

adalah matriks yang ukurannya sama dengan ukuran A dan setiap unsurnya adalah unsur

di A dikalikan dengan r.

Contoh 7:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

××××−×××××

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

315306312936

135310323)1(343331323

1510214312

3

Sifat:

rA=Ar

r(B+C)=rB+rC

(r+s)C=rC+sC

(rs)C=r(sC)=s(rC)

9

Pengurangan Dua Matriks

Pengurangan dua matriks didefinisikan dengan menggunakan definisi dari

penjumlahan dua matriks dan perkalian antara bilangan dengan matriks, yaitu: Jika A

dan B dua matriks yang berukuran sama, maka BABA )1(−+=−

Contoh 8:

Perhatikan matriks–matriks: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

327641

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=232105

B

Maka ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=−232105

B ,

dan selanjutnya =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

232105

327641

BA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−119504

Perkalian Dua Matriks

Definisi: Jika A matriks berukuran km× dan B berukuran nk × maka perkalian

AB adalah matriks beruukuran nm× yang memenuhi syarat sebagai berikut:

Untuk mendapatkan unsur dari AB yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j,

perhatikan baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, selanjutnya kalikan

unsur-unsur yang seletak pada baris dan kolom tersebut, kemudian jumlahkan, hasilnya

merupakan unsur dari matriks AB tersebut di atas.

Dengan kata lain, bila C=AB maka untuk ∑=k

kjikij BAC semua i dan j.

Walaupun ada beberapa matriks yang memiliki sifat AB=BA, secara umum sifat

komutatif perkalian matriks tidak berlaku.

10

Contoh 9:

Perhatikan matriks-matriks: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

043321

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

313825112123

B . Maka

⎜⎜⎝

⎛−×+×+××+−×+××+×+×−×+×+××+−×+××+×+×

=)1(0541330)1(423801433)1(3521133)1(221831231

AB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞×+×+××+×+×

1423213158929

302423332221

Contoh 10:

Perhatikan matriks-matriks: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2641

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

9672

B . Maka

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+××+××+××+×

=60244326

9276622694716421

AB sedangkan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+××+××+××+×

=42602244

2946691627426712

BA , berarti BAAB ≠ .

Sifat:

A(BC)=(AB)C (hukum asosiatif perkalian)

A(B+C)=AB+AC (hukum distributif)

(B+C) A =BA+CA (hukum distributif)

r(BC)=(rB)C=B(rC) dengan r adalah bilangan skalar

Transpose Matriks

Definisi: Jika A matriks berukuran nm× , maka matriks transpose dari matriks A

(ditulis C=AT) adalah matriks berukuran mn× yang unsur baris ke-i kolom ke-j nya

11

adalah unsur baris ke-j dan kolom ke-i dari matriks A untuk setiap i dari 1 sampai n dan

j dari 1 sampai m.

Ketika kita melakukan transpose matriks, baris ke-i menjadi kolom ke-i, dan

kolom ke-j menjadi baris ke-j.

Setiap matriks dapat di-transpose.

Contoh 11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

036521

053261 T

Sifat:

( ) AA TT =

( ) TTT BABA +=+

( ) TTT ABAB =

Bila AT=A maka A disebut matriks simetris dan Aij=Aji untuk semua i dan j.

Jika AAT −= maka A disebut matriks skew-simetris dan jiij AA −= untuk

semua i dan j.

Elemen diagonal utama dari matriks skew-simetris haruslah bernilai 0, karena

=−= iiii AA 0.

Matriks Nol

Suatu matriks dengan semua unsurnya nol, disebut matriks nol, diberi notasi

Omxn ( nm× ukurannya).

12

Contoh 12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=× 00

0022O , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=× 000

00032O ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=×

000000000

33O .

Misalkan A matriks berukuran nm× dan O adalah matriks nol berukuran nm× ,

maka berlaku A + O = O + A = A. Jadi matriks nol berperan mirip seperti bilangan real

0 untuk operasi penjumlahan.

Matriks Satuan (Identitas)

Matriks bujur sangkar nnI × yang diagonal utamanya hanya berisi 1 dan unsur

lainnya yang tidak pada diagonal hanya bilangan 0, disebut sebagai matriks

satuan/identitas nn× .

Contoh 13

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=× 10

0122I ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=×

100010001

33I , dll.

Misalkan A matriks berukuran nn× dan I adalah matriks satuan berukuran sama,

maka berlaku nxnnxn IAAAI ⋅==⋅ . Jadi matriks satuan berperan mirip seperti bilangan

real 1 (satu) untuk operasi perkalian.

Invers Matriks

Misalkan A matriks bujur sangkar, matriks B yang memenuhi IBAAB == ,

disebut sebagai invers dari A, sedangkan matriks A yang mempunyai invers disebut

sebagai matriks tak singular atau invertibel.

13

Contoh 14

Matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1134

B merupakan invers dari matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

4131

A , sebab

berlaku: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

4131

1134

AB , dan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1001

1134

4131

BA .

Sedangkan matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0503

C tidak mempunyai invers. Sebab andaikan

terdapat matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

dddd

D adalah invers dari matriks C, maka =⋅CD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

053053

0503

2221

1211

2221

1211

dddd

dddd

tidak mungkin menjadi matriks

satuan.

Dalil berikut menunjukkan bahwa setiap matriks tak singular mempunyai tepat

satu invers.

Dalil 1 (Ketunggalan Invers): Jika A dan B kedua-duanya matriks invers dari C,

maka A=B.

Bukti:

Karena A invers dari C, maka AC = I. Kemudian kalikan kedua ruas persamaan

tersebut dengan B, didapat:

BIBBAC ==)( . Karena AAICBABAC === )()( , maka didapat bahwa

BA = .

Simbol lain untuk menyatakan invers dari matriks A adalah 1−A . Jadi didapat:

IAA =⋅ −1 dan IAA =⋅−1

14

Contoh 15

Diberikan matriks 0, ≠−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= bcad

dcba

A dan ℜ∈dcba ,,, . Tunjukan bahwa

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=−

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

acbd

bcadA 11 .

Mudah ditunjukan bahwa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅ −

acbd

dcba

bcadacbd

bcaddcba

AA 11.1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=bcad

bcadbcad 0

01 I=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

.

Juga

Ibcad

bcadbcaddc

baacbd

bcadAA =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=⋅−

1001

00111 .

Dengan demikian, maka untuk matriks 0, ≠−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= bcad

dcba

A dan

ℜ∈dcba ,,, . Inversnya adalah ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=−

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

acbd

bcadA 11

Berikut ini diberikan dalil yang mengatakan bahwa perkalian dari dua matriks

yang tak singular adalah juga matriks tak singular, dan cara untuk mendapatkan invers

dari perkalian dua matriks.

15

Dalil 2:

Jika A dan B dua matriks tak singular, maka AB tak singular dan

( ) 111 −−− = ABAB

Bukti:

Apabila kita dapat menunjukkan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) IABABABAB =⋅=⋅ −−−− 1111 ,

maka kita telah menunjukkan kedua hal tersebut di atas.

Perhatikan bahwa karena A dan B tak singular, maka 1−A dan 1−B ada, juga:

( ) ( )( ) ( ) IAAAIAABBAABABABAB =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅ −−−−−−−− 11111111

Dengan cara yang sama,

( ) ( )( ) ( ) IBBBIBBAABBAABABAB =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅ −−−−−−−− 11111111

Dalil di atas dapat diperluas untuk tiga (atau lebih) buath matriks. Jadi akan

didapat hal berikut:

Perkalian dari matriks-matriks tak singular akan menghasilkan matriks tak

singular. Invers dari perkalian matriks sama dengan perkalian invers masing-masing

matriks dengan urutannya dibalik.

Contoh 16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

7111930

,2358

,1123

ABBA . Dengan memakai cara menentukan

invers matriks 22× seperti pada contoh sebelumnya, didapat:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

31211A , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

83521B , dan ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

30111971AB . Juga didapat,

16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅ −−

3011197

3121

835211 AB . Jadi tampak ( ) 111 −−− ⋅= ABAB sesuai

dengan dalil 2.

Matriks Berpangkat

Jika A matriks bujur sangkar dan n bilangan asli, maka AAAAn ⋅⋅⋅= L

sebanyak n buah, dan IA =0 .

Lagi, jika A matriks tak singular, maka ( ) 1111 −−−−− ⋅⋅⋅== AAAAA nn L

sebanyak n buah.

Dalil 3:

Jika A matriks tak singular, maka

(i). 1−A matriks tak singular, dan ( ) AA =−− 11

(ii). nA matriks tak singular, ( ) ( )nn AA 11 −−= , berlaku untuk L,2,1,0=n

(iii). Untuk setiap bilangan real tak nol r, matriks rA tak singular; dan

( ) 11 1 −− = Ar

rA

Bukti:

(i). Karena berlaku IAAAA == −− 11 , maka didapat bahwa 1−A tak singular

dan ( ) IA =−− 11

(ii). Untuk n = 0,1 pembuktian nya adalah trivial.

Untuk n = 2,3,... kita gunakan dalil 2 yang diperluas untuk n buah

matriks.

17

(iii). Karena r bilangan real tak nol, maka berlaku

( ) IIAAr

rAr

rA =⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ −− 111 11 . Juga ( ) IIAA

rrrAA

r=⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 111 11 ,

sehingga didapat rA matriks tak singular, dan ( ) 11 1 −− = Ar

rA

Matriks Hessenberg

Sebuah matriks disebut matriks Hessenberg atas jika semua elemen di bawah

subdiagonal hanya bilangan 0 atau 0=ija untuk 1+> ji , dan disebut matriks

Hessenberg bawah jika semua elemen di atas superdiagonal berupa bilangan 0 atau

0=ija untuk 1−< ji .

Contoh 17

Matriks

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

64002950413723501

A merupakan matriks Hessenberg atas dan matriks

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

10820763901470053

B adalah matriks Hessenberg bawah.

2.1.4 Determinan

Jika A adalah matriks berukuran nn× , determinan dari A, ditulis det(A), adalah

bilangan yang kita asosiasikan untuk matriks A. Determinan biasanya didefinisikan

dengan cara kofaktor atau cara permutasi, dan kita akan mendefinisikannya dengan cara

kofaktor. Kita akan mulai dengan definisi det(A) jika A adalah matriks berukuran 22× .

18

Definisi: Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

aaaa

A . Determinan dari matriks A adalah

21122211)det( aaaaA −= .

Untuk memudahkan penulisan determinan biasanya ditulis dengan menggunakan

garis vertikal:

2221

1211)det(aaaa

A =

Contoh 18

Determinan untuk matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=3121

A adalah

5)1(2313121

)det( =−−⋅=−

=A . Sedangkan determinan untuk matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

8643

B

adalah 064838643

)det( =⋅−⋅==B

Sekarang kita akan mendefinisikan determinan dari matriks berukuran nn×

sebagai jumlah berbobot (weighted sum) dari determinan matriks berukuran

( ) ( )[ ]11 −×− nn . Sebelumnya kita akan memberikan definisi untuk minor dan kofaktor.

Definisi:

Jika A matriks berukuran nn× , dan rsM menyatakan matriks berukuran

( ) ( )[ ]11 −×− nn yang didapat dengan menghapus baris ke-r dan kolom ke-s dari matriks

A, maka rsM disebut matriks minor dari A, dan bilangan )det( rsM disebut minor dari

ars. Lagi, bilangan ( ) ( )ijji

ij MA det1 +−= disebut kofaktor (atau minor bertanda).

19

Contoh 19

Untuk matriks ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

154332

211A Tentukan matriks minor 11M , 23M , dan 32M .

Juga hitung kofaktor 11A , 23A , dan 32A .

Dengan menghapus baris pertama dan kolom pertama untuk matriks A, kita dapat

11M : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1533

11M . Dengan cara yang sama, matriks minor 23M dan 32M adalah

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

5411

23M dan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=32

2132M .

Kofaktor yang bersesuaian, ( ) ( )ijji

ij MA det1 +−= didapat sebagai berikut:

( ) 181531533

1 1111 =+=

−−= +A

( ) 9)45(5411

1 3223 −=+−=

−−= +A

7)43(32

21)1( 23

32 =−−−=−

−= +A

Kita akan menggunakan kofaktor untuk mendefinisikan determinan.

Definisi:

Jika A matriks berukuran nn× , maka determinan dari matriks A adalah

nn AaAaAaA 1112121111)det( +++= L , dengan jA1 adalah kofaktor dari ja1 , nj ≤≤1 .

20

Contoh 20

Hitung )det(A , di mana

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=

1232012313212021

A .

Dengan menggunakan definisi determinan di atas, maka

1412111414131312121111 22)det( AAAAaAaAaAaA ++=+++= . Kofaktor A13 tidak perlu

dihitung, karena a13 = 0.

( ) 152312

11302

31201

2123012132

1 1111 −=

−−−

+−

−−−

=−−−−= +A

( ) 182213

11203

31201

1122013131

1 2112 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

+−

−−−

−−=−−−

−−= +A

( ) 632

233

2213

22312

1232123

3211 41

14 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−−−

−−−−

−−=−−−−

−−= +A .

Maka 6312361522)det( 141211 −=−−−=++= AAAA .

Catat bahwa dalam contoh ini, penghitungan determinan matriks berukuran 44×

lebih sederhana karena adanya bilangan nol pada a13. Jelas, bila kita memiliki prosedur

untuk menciptakan bilangan nol, kita dapat menyederhanakan penghitungan determinan

karena kofaktor yang bersesuaian untuk bilangan tersebut tidak perlu dihitung.

2.1.5 Cara Mencari Invers Matriks

Ada beberapa cara untuk mencari invers matriks. Cara khusus untuk mencari

invers matriks untuk matriks berukuran 22× telah dijelaskan di muka. Sedangkan untuk

21

matriks berukuran nn× , dapat dilakukan dengan melakukan eliminasi Gauss-Jordan

atau dengan metode adjoint. Di bawah ini adalah cara mencari invers matriks dengan

metode adjoint

. Misalkan A adalah matriks nn× . Invers dari matriks A atau 1−A dapat dicari

dengan rumus:

TKA

A)det(

11 =− , dengan K adalah matriks kofaktor dari A.

sedangkan yang dimaksud dengan matriks adjoint adalah matriks KT

Contoh 21

Hitung invers dari matriks A, di mana ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

601540321

A

Matriks kofaktor dari A adalah ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

45223124524

, dan determinan dari A adalah

22, maka ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=−

112

111

112

225

223

225

111

116

1112

42453521224

2211A

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

2.2.1 Definisi

Definisi: Secara formal, kita mendefinisikan nilai eigen dan vektor eigen sebagai

berikut:

Misalkan A adalah matriks nn× .

22

Vektor ∈v C n, v tidak nol, disebut suatu vektor eigen dari A apabila terdapat

bilangan λ , ∈λ C sehingga berlaku:

vAv λ=

Bilangan λ disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari A, vektor v disebut

suatu vektor eigen (vektor karakteristik) yang berkorespondensi dengan λ .

Spektrum A, dinotasikan )(Aσ , adalah kumpulan dari semua nilai eigen untuk

matriks A.

Kata eigen didapat dari bahasa Jerman eigen yang berarti “karakteristik”.

Sebuah nilai eigen dari sebuah matriks biasanya direpresentasikan dengan huruf

Yunani λ (dibaca lamda).

Definisi: Suatu vektor eigen disebut vektor eigen dominan dari sebuah matriks

jika vektor eigen itu bersesuaian dengan nilai eigen dengan modulus terbesar untuk

matriks tersebut. Nilai eigen dengan modulus terbesar dari sebuah matriks disebut nilai

eigen dominan.

2.2.2 Cara Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Dari definisi di atas, maka

0)(0=−

=−vAI

Avvλλ

dengan I adalah matriks identitas.

Tetapi (λI -A) adalah sebuah matriks, jadi kita berusaha menyelesaikan

persamaan Bv=0 di mana B=(λI-A), dan karena v adalah sebuah vektor tak nol, maka

hanya mempunyai solusi taknol jika |B| = det(B) adalah 0. Jadi untuk mencari nilai

eigen, kita beri nilai |λI-A|=0 dan mencari solusi untuk λ. Persamaan |λI-A|=0 disebut

23

persamaan karakteristik, sedangkan suku banyak |λI-A| disebut suku banyak

karakteristik. Akar-akar dari persamaan ini adalah nilai eigen.

Untuk mencari vektor eigen, kita mensubtitusi nilai eigen yang sudah didapat ke

dalam persamaan vAv λ= , atau kernel dari )( AI −λ , yaitu ( ) 0=− vAIλ . Maka kita

akan dapat mencari v yaitu vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ . Ruang

jawab dari sistem persamaan linear ( ) 0=− vAIλ disebut ruang karakteristik dari A yang

berkorespondensi dengan λ.

Catat bahwa kita tidak memasukkan vektor nol( 0 ) kedalam vektor eigen, karena

vektor nol adalah solusi trivial untuk vAv λ= dan tidak terlalu penting untuk dibahas.

Sebagai tambahan, jika vektor nol diikutkan, maka akan ada tidak berhingga banyak

nilai eigen, karena setiap nilai λ memenuhi 00 λ=A .

Contoh 22 Misalkan kita ingin mencari nilai eigen untuk matriks

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

101011110

A .

Pertama kita hitung suku banyak karakteristik untuk matriks A:

22101

01111

det)det()( 23 +−−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=−= λλλλ

λλ

λ AIxp

Suku banyak tersebut dapat difaktorisasi menjadi p(λ) = (λ − 2)(λ − 1)(λ + 1).

Maka nilai eigen dari A adalah 2,1, dan -1.

Contoh 23: Cari nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=466353331

A

24

Dengan cara mengekspansi 0=− AIλ , kita dapat mencari nilai eigen:

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

466353331

000000

λλ

λ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−−−

466353331

λλ

λ

( ) ( ) 042 2 =−+ λλ

Maka, nilai eigen dari matriks A adalah -2 dan 4.

Sekarang kita akan mencari vektor eigen untuk matriks A.

Misal ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

vvv

v adalah vektor eigen untuk matriks A yang berkorespondensi

dengan nilai eigen 2−=λ . Maka:

( ) 0=− vAIλ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−−−

000

466353331

3

2

1

vvv

λλ

λ, dan untuk 2−=λ menjadi:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

000

666333333

3

2

1

vvv

,atau ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=−+−=−+−

066603330333

321

321

321

vvvvvvvvv

,atau 0321 =+− vvv , atau 321 vvv −= .

Himpunan jawab dari sistem persamaan linear homogen di atas, adalah:

25

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −= realvv

vv

vvH 32

3

2

32

1 ,⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ℜ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= 3232 ,

101

011

vvvv

Jadi vektor: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101

011

32 vvv dengan sedikitnya satu di antara 2v atau 3v tidak

nol, adalah vektor eigen dari A yang berkorespondensi dengan 2−=λ .

Misal ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

vvv

v adalah vektor eigen untuk matriks A yang berkorespondensi

dengan nilai eigen 4=λ . Maka:

( ) 0=− vAIλ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−−−

000

466353331

3

2

1

vvv

λλ

λ, dan untuk 4=λ menjadi:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

000

666393333

3

2

1

vvv

, atau ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−+−=−+

06660393

0333

321

321

321

vvvvvv

vvv

, atau ⎩⎨⎧

=−=−+02

03

32

321

vvvvv

, atau ⎩⎨⎧

==

23

21

2vvvv

Himpunan jawab dari sistem persamaan linear homogen di atas, adalah:

26

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ℜ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ℜ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= 222

2

2

2

2

211

2vvv

vvv

H

Jadi vektor: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

211

2vv , dengan 02 ≠v adalah vektor eigen dari A yang

berkorespondensi dengan 4=λ .

Himpunan ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ℜ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= βαβα ,

101

011

1H adalah ruang karakteristik dari A

yang berkorespondensi dengan 2−=λ .

Sementara ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ℜ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= αα

211

2H adalah ruang karakteristik dari A yang

berkorespondensi dengan 4=λ .

Bila matriks yang ingin dihitung cukup kecil ukurannya, kita dapat

menggunakan cara di atas (menyelesaikan persamaan karakteristik) untuk mencari nilai

dan vektor eigen. Sayangnya, metode ini memiliki keterbatasan. Suku banyak secara

umumnya, untuk orde 4>n tak dapat diselesaikan dengan barisan terbatas (dibuktikan

oleh teorema Abel-Ruffini). Terdapat algoritma mencari akar suku banyak yang efisien

untuk suku banyak berorde tinggi. Namun, mencari akar dari karakter suku banyak ini

mungkin ill-condition.walaupun nilai eigen yang dicari well-condition. Untuk alasan ini,

maka metode ini jarang digunakan.

27

Dengan demikian, maka untuk matriks ukuran besar, kita harus menggunakan

metode numerik, seperti metode Power atau metode QR.

2.3 Metode Power

Ide dasar dari metode ini adalah mencari vektor awal b (bisa saja merupakan

perkiraan vektor eigen atau vektor acak) dan menghitung secara iteratif. Kecuali matriks

nol yang digunakan sebagai vektor awal, hasilnya akan konvergen ke vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen dominan. Dalam praktiknya, vektor harus

dinormalisasikan setiap iterasi. Namun demikian, iterasi dengan Metode Power kurang

begitu berguna. Konvergensinya lambat kecuali untuk matriks khusus, dan tanpa

modifikasi, metode ini hanya dapat mencari nilai eigen dominan (juga vektor eigen yang

bersesuaian). Namun demikian, kita dapat mengerti beberapa algoritma mencari nilai

eigen yang lebih baik sebagai variasi atau berdasar dari Metode Power.

Metode Power secara umum cukup lambat. Khususnya untuk nilai eigen yang

besarnya cukup dekat dengan nilai eigen dominan.

2.4 Metode QR

Untuk menyelesaikan permasalahan mencari nilai eigen pada suatu matriks A,

yang biasa dilakukan adalah dengan mereduksi matriks tersebut menjadi matriks segitiga

T melalui serangkaian transformasi ortogonal, dan lalu mencari nilai eigen untuk matriks

T. Transformasi yang dilakukan pada A memastikan bahwa nilai eigen pada matriks A

dan T adalah sama.

28

Teorema 1

Misalkan A,B,S adalah matriks berukuran nn× . Bila ASSB 1−= , maka nilai

eigen dari matriks A dan B adalah sama.

Bukti:

Cukup dibuktikan bahwa A dan B memiliki suku banyak karakteristik yang

sama.

Untuk t sembarang,

SAtISASSStSBtItpB )(det)det()det()( 111 −=−=−= −−−

)()det()det(det)(detdet)det(det 11 tpAtIAtISSSAtIS A=−=−=−= −−

Teorema 2

Misalkan A,B,S adalah matriks berukuran nn× . Bila ASSB 1−= , dan ∈x C n

merupakan vektor eigen dari matriks B yang berkorespondensi dengan )(Bσλ ∈ , maka

Sx merupakan vektor eigen dari matriks A yang berkorespondensi dengan λ .

Bukti:

Karena ASSB 1−= dan xBx λ= , maka xASxS λ=−1 atau SxASx λ= . Juga

karena S tidak singular dan 0≠x , 0≠Sx , maka Sx merupakan vektor eigen dari

matriks A.

Salah satu cara menyelesaikan masalah nilai eigen dengan transformasi seperti di

atas adalah metode QR. Dasar dari metode QR untuk mencari nilai eigen dari matriks A

adalah fakta bahwa matriks real nn× dapat ditulis menjadi:

A = Q R , dengan QR adalah faktorisasi dari A

29

di mana Q adalah matriks ortogonal dan R adalah matriks segitiga atas. Metode ini

efisien untuk menghitung semua nilai eigen untuk sebuah matriks.

Konstruksi matriks Q dan R adalah sebagai berikut. Matriks-matriks P1,P2, …,Pn-

1 dikonstruksikan sedemikian sehingga RAPPPP nn =−− 1221 L adalah matriks segitiga

atas. Matriks-matriks ini dapat dipilih sebagai matriks ortogonal dan disebut matriks

householder. Bila kita memilih

1221 PPPPQ nnT L−−=

Maka kita memiliki QTA = R dan

QQTA = QR

IA = QR

A = QR

Sedangkan cara mengkonstuksikan matriks P adalah sebagai berikut. Pertama

kita mendefinisikan barisan matriks A1,A2,…,Am,…, Q1,Q2,…,Qm,…, dan R1,R2,…Rm,…

dengan proses berikut:

Langkah pertama:

Set A1 = A, Q1 = Q dan R1 = R

Langkah kedua:

Pertama set A2 = R1Q1; lalu faktorkan A2 sebagai A2 = Q2R2 (faktorisasi QR dari

A2)

30

Langkah ketiga:

Pertama set A3 = R2Q2; lalu faktorkan A3 sebagai A3 = Q3R3 (faktorisasi QR dari

A3)

Langkah ke-m:

Set Am = Rm-1Qm-1; lalu faktorkan Am sebagai Am = QmRm (faktorisasi QR dari Am)

Pada langkah ke-k, matriks Ak kita dapat, pertama dengan menggunakan Qk-1 dan

Rk-1 dari langkah sebelumnya; kedua, Ak difaktorkan menjadi QkRk. Jadi faktorisasi QR

terjadi di setiap langkah. Matriks Am akan condong menjadi matriks segitiga atau hampir

segitiga. Jadi nilai eigen dari Am akan menjadi mudah dihitung.

Teorema 3

Misalkan A adalah matriks segitiga atas/bawah berukuran nn× . Nilai eigen dari

matriks A adalah elemen-elemen diagonal dari matriks A.

Bukti:

Misalkan

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×××××××××

=

nna

aa

a

A

L

MOMMM

000

000

33

22

11

adalah matriks segitiga atas. Maka

persamaan karakteristiknya adalah 0

000

000

33

22

11

=

−

××−×××−××××−

nna

aa

a

λ

λλ

λ

L

MOMMM

. Dengan

menguraikan determinan, kita dapat 0)())(( 2211 =−−− nnaaa λλλ L .

31

Ide dari faktorisasi QR adalah mencari P1 yang, jika dikalikan dari sebelah kiri

dengan matriks A, akan menghasilkan nol di bawah a11. Yang kita inginkan adalah,

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

P

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnn

n

n

aa

aaaaa

L

MOMM

L

L

2

222

11211

0

0

Setelah didapat, kita mencari P2 yang akan menghasilkan:

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnn

n

n

aa

aaaaa

PAPP

L

MOMM

L

L

2

222

11211

212

0

0

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnn

n

n

n

aa

aaaaaaaaa

ˆˆ00

ˆˆ00ˆˆˆ0ˆˆˆˆ

3

333

22322

1131211

L

MOMMM

L

L

L

Proses ini terus berlanjut sampai kita punya

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==−−

nn

n

n

n

nn

a

aaaaaaaaa

RAPPPP

~000

~~00

~~~0

~~~~

333

22322

1131211

1221

L

MOMMM

L

L

L

L

Metode QR adalah algoritma iteratif yang diterapkan pada serangkaian

transformasi ortogonal Qi pada matriks tridiagonal T sedemikian sehingga matriks T

konvergen pada matriks diagonal D. Matriks D memiliki nilai eigen yang sama dengan

matriks T, maka nilai eigen dari T adalah elemen diagonal dari D. Sebagai tambahan,

perkalian dari transformasi Qi adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen

dari T. Metode ini disebut QR karena untuk setiap iterasi, dekomposisi QR pada matriks

Ai (Ai = QR di mana QTQ = I dan R adalah matriks segitiga atas) dikerjakan. Pseudocode

dan flowchart untuk metode QR diberikan di bawah ini.

32

Pseudocode Algoritma QR(A)

1. i = 0

2. A0 = A

3. ULANGI

4. Faktorkan Ai = QiRi

5. Ai+1 = RiQi

6. i = i + 1

7. SAMPAI konvergen

33

Gambar 2.1. Flowchart Algoritma QR

34

Setelah konvergen, matriks An adalah matriks segitiga dengan nilai eigen A

adalah elemen diagonal, dan matriks jnj QQ 1=∏= memiliki kolom-kolom yang

merupakan vektor eigen untuk masing-masing nilai eigen.

2.5 Metode QR dengan Hessenberg

Ada cara yang lebih sederhana untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari

sebuah matriks, yaitu dengan mengubah matriks tersebut menjadi bentuk Hessenberg,

lalu dilakukan metode QR.

Perubahan matriks menjadi bentuk Hessenberg harus dilakukan dengan

transformasi similar untuk menjamin nilai eigen tetap sama dan vektor eigen dapat

diketahui, yaitu mencari matriks H dimana AQQH 1−= , dengan H merupakan matriks

Hessenberg dan A merupakan matriks yang ingin diketahui nilai eigen dan vektor

eigennya..

Untuk memudahkan komputasi, akan digunakan transformasi householder untuk

mencari matriks Q

Definisi: Misalkan nu ℜ∈ , 0≠u dan nnI × merupakan matriks identitas. Matriks

TT uuuu

IQ 2−= disebut matriks householder.

Setelah matriks H diketahui, maka akan digunakan metode QR untuk mencari

nilai dan vektor eigen matriks H.

35

2.6 Dinamika Populasi

Dinamika populasi adalah ilmu yang mempelajari perubahan dalam jumlah,

komposisi usia, berat, dan sebagainya dalam satu atau beberapa populasi.

Pada awalnya dinamika populasi adalah cabang utama dari matematika biologi,

dan didominasi oleh studi demografi yaitu ilmu yang mempelajari populasi manusia,

struktur dan perubahannya. Namun pada perkembangan selanjutnya, dinamika populasi

tidak hanya mempelajari manusia saja, tetapi juga hewan dan tumbuhan.

Ukuran populasi biasanya dipengaruhi oleh tiga faktor utama , yaitu tingkat

kelahiran/natality, tingkat pertumbuhan/growth rate, tingkat kematian/mortality. Tingkat

perpindahan (imigrasi atau emigrasi) juga merupakan salah satu faktor, tetapi biasanya

tidak diukur.

Cara memodelkan dinamika populasi dapat dilakukan dengan sudut pandang

individual (i-state) di mana kita menelusuri individual-individual dengan karakteristik

yang berbeda (misalkan usia, strata, ukuran, dsb.) atau dapat dilakukan dengan sudut

pandang populasi (p-state) di mana kita mencirikan populasi dengan fungsi kepadatan

(misalkan distribusi usia, atau ukuran, dsb.). Model populasi dasar mencirikan populasi

dengan sebuah variabel p-state Salah satu contohnya adalah dengan memodelkan

pertumbuhan populasi dengan variabel usia. Model tersebut menjelaskan gambaran

populasi yang ada, dan perkiraan gambaran populasi tersebut di masa yang akan datang.

2.7 Model Pertumbuhan Leslie

Model ini pertama dijelaskan oleh Lotka pada tahun 1920-an dan

diformalisasikan pada 1940-an oleh Leslie. Model ini berdasar pada tingkat bertahan

hidup (survival) dan kesuburan (fecundity) berdasarkan umur.

36

pi Kemungkinan bertahan hidup(survive) dari umur i ke umur i+1

fi Banyaknya anak per individual pada umur i

ni(t) Banyaknya individual pada kelas umur i pada waktu t.

Kita mengambil n0 sebagai banyaknya individual yang baru lahir. Jadi:

∑=

=+T

iii ftntn

00 )()1( ,

di mana T adalah umur maksimum seorang individual dapat hidup. Banyaknya

individu dalam kategori umur lainnya ditentukan oleh banyaknya individual yang

bertahan hidup dari tahun sebelumnya. Khususnya,

)()1( 11 tnptn iii −−=+

Secara keseluruhan, hal ini menjelaskan demografi dari populasi, dengan asumsi

untuk saat ini bahwa pi dan fi tidak bervariasi dari tahun ini ke tahun berikutnya. Ini

dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+++

− )(

)()()(

0000000000000

)1(

)1()1()1(

2

1

0

1

2

1

0

210

2

1

tn

tntntn

pp

pp

ffff

tn

tntntn

TT

T

T

o

MO

L

L

K

M

Singkatnya,

)0()1()( nAtAntn t=−=

Model inilah yang biasa disebut Model Matriks Leslie. Matriks Leslie memiliki

tingkat kesuburan di baris pertama dan tingkat bertahan hidup di subdiagonal, sedangkan

elemen lainnya adalah 0. Tetapi representasi matriks yang lebih umum untuk jenis ini

37

dapat memenuhi kebutuhan untuk model yang lebih luas di mana subpopulasi yang

berubah-ubah sifatnya seiring waktu. Perlu dicatat bahwa tingkat bertahan hidup dalam

contoh di atas memberikan informasi yang cukup banyak, bersama dengan interaksi

yang mungkin terjadi di antara subpopulasi, dan antara subpopulasi dengan lingkungan.

Ini mungkin dibutuhkan untuk kasus tertentu, tetapi tergantung pada bagaimana populasi

global dibagi, kita dapat memliki parameter yang lebih spesifik mengenai hubungan

antara satu subpopulasi dengan state sebelumnya atau antara state sebelumnya dengan

subpopulasi lainnya

Sifat-sifat yang penting dari matriks Leslie antara lain, adalah:

1. Seluruh kelas umur diidentifikasi, masing-masing dengan tingkat kesuburan dan

bertahan hidup mereka masing-masing.

2. Setiap anggota dari kelas umur memiliki kemungkinan yang sama untuk

bertahan hidup ke tahun berikutnya, dan memroduksi keturunan yang sama

banyaknya.

3. Linier – Populasi akan berkembang atau menyusut secara geometris.

4. Seluruh kelas umur bertumbuh (atau menyusut) dalam tingkat yang sama.

5. Pertumbuhan awal bergantung pada struktur umur dari populasi.

6. Reproduksi awal memiliki kontribusi yang lebih banyak daripada tingkat

pertumbuhan populasi daripada tingkat reproduksi akhir. Pada manusia, seorang

wanita yang memiliki tiga orang anak dimulai dari umur 15 tahun memiliki

kontribusi yang sama dengan wanita yang memiliki lima orang anak dimulai dari

umur 30 tahun.

38

2.8 Analisis Nilai Eigen terhadap Model Pertumbuhan Leslie

Kita akan memperhatikan bagimana nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

transfomasi pada Model Pertumbuhan Leslie digunakan untuk mempermudah

perhitungan.

Ketika kita dapat memilih beberapa vektor sebagai vektor basis (satu untuk tiap

dimensi dari ruang), kita tentu ingin agar kita dapat menulis vektor sebagai kombinasi

linier dari vektor-vektor basis tersebut. Dalam hal ini, sembarang vektor x dapat ditulis

sebagai jumlah ‘bobot’ dari sembarang vektor (basis) b:

∑=n

iiibwx ,

di mana nilai wi adalah skalar untuk setiap i. Walaupun kita dapat menuliskan

sembarang vektor sebagai vektor basis (asal bukan kelipatan dari vektor basis lainnya),

kita akan menuliskan vektor basis dengan vektor eigen. Salah satu alasan yang ingin

difokuskan adalah, dengan menuliskan vektor eigen sebagai vektor basis akan

menyederhanakan perhitungan untuk transformasi yang akan dilakukan secara berulang-

ulang untuk sebuah vektor. Untuk memperjelas, ingat bahwa transformasi berulang n

kali dalam bentuk Ax berarti Anx. Ini adalah apa yang akan kita cari apabila kita

membaharui nilai secara berulang-ulang menggunakan persamaan diferensial, di mana

xt+1=Axt. Tentu akan lebih sulit untuk menghitung secara langsung An; bahkan untuk

mendapat nilai tersebut kita perlu melakukan seluruh perkalian matriks, yang terlebih

sulit lagi untuk matriks berukuran besar. Tentu akan lebih mudah bila operasi pangkat

yang dilakukan bukan untuk matriks yang mungkin berukuran besar, tetapi hanya untuk

bilangan skalar. Ini adalah apa yang kita dapat apabila kita menggunakan vektor eigen

sebagai vektor basis.

39

Tetapi sebuah matriks berorde nn× belum tentu memiliki tepat n buah vektor

eigen. Kekurangan lainnya adalah adanya trade off pada beban perhitungan karena

adanya fakta bahwa kita harus mengetahui bagaimana cara menulis ulang vektor awal

dalam suku vektor eigen. Dengan kata lain, kita harus mengetahui nilai eigen dan vektor

eigen yang beresuaian; lalu kita harus mencari bobot yang tepat untuk menyatakan

vektor tersebut dalam suku-suku vektor eigen.

Cara mencari nilai dan vektor eigen telah dijabarkan di muka, yaitu dengan

menggunakan algoritma QR.

Setelah kita mengetahui nilai dan vektor eigen, langkah terakhir adalah mencari

bobot. Ingat bahwa sebuah vektor x dapat ditulis sebagai bobot dari vektor eigen, yang

juga dapat ditulis sebagai:

tt Ewx =

di mana E adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen yang telah

kita dapatkan, dan w adalah vektor yang mengandung bobot yang kita cari. Vektor w

dapat dicari dengan mengalikan kedua ruas dengan E-1, yang berarti

ttt wIwEwE ==−1

yang sama dengan txE 1− , yang akan kita hitung. Dengan vektor eigen yang telah kita

dapat, dan bobot telah kita dapatkan, kita dapat menyatakan vektor x yang ingin kita

cari dalam suku-suku vektor eigen.

Ada alasan lain mengapa kita ingin menghitung nilai eigen, terlepas dari

kebutuhan untuk mencari vektor eigen, yaitu bahwa kita sedang berusaha menghitung

Anx dengan cara yang lebih mudah. Untuk mendapat nilai ini, kita perlu tiga hal yang

40

telah kita dapat sebelumnya: vektor eigen, nilai eigen, dan bobot. Sekarang kita dapat

membicarakan vektor x dalam suku-suku vektor eigen A. Karena:

∑=n

iii

nn ewAxA

(dengan ei adalah vektor eigen ke-i dari A), dan juga iA λ= untuk setiap ei (dari definisi

nilai eigen), maka kita dapat menulis:

∑∑ ==n

iii

ni

n

iii

nn ewewAxA λ

Persamaan terakhir adalah yang ingin kita cari selama ini. Ini adalah cara untuk

menghitung vektor x setelah ditransformasi n-kali oleh A, tanpa melakukan perkalian

dengan A. Dari sudut yang lain, akan menjadi lebih nyata bila kita mendapatkan nilai

dan vektor eigen dari matriks transformasi, kita sebenarnya memiliki hal yang akan

memberitahu kita tingkah laku ke depan dari sistem yang akan dijelaskan dari state awal

x0 dan sebuah matriks transformasi A.

2.9 Rekayasa Piranti Lunak

2.9.1 Definisi Rekayasa Piranti Lunak

Menurut pendapat Pressman (1991, p.6), terdapat tiga macam pengertian piranti

lunak , yaitu:

1. Instruksi-instruksi (program komputer) yang ketika dijalankan akan

menghasilkan fungsi dan performa yang diinginkan.

2. Suatu kumpulan struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi

informasi.

41

3. Suatu dokumen-dokumen yang menggambarkan operasi dan kegunaan dari

program.

Sedangkan rekayasa piranti lunak menurut Pressman (1991, p.20) merupakan

penggunaan prinsip-prinsip rekayasa untuk mendapatkan piranti lunak yang ekonomis,

dapat diandalkan, dan dapat dijalankan dengan efisien pada mesin yang ada.

Gambar 2.2 Lapisan-lapisan Rekayasa Piranti Lunak

Rekayasa Piranti Lunak adalah teknologi yang berlapis. Dari gambar 2.2, setiap

rekayasa piranti lunak harus berpijak pada kualitas. Dasar dari rekayasa piranti lunak

adalah proses. Proses rekayasa piranti lunak merupakan perekat dari teknologi dan

membuat pengembangan dari piranti lunak menjadi rasional. Metode rekayasa piranti

lunak menyediakan teknis pembuatan sebuah piranti lunak seperti perancangan proyek

dan estimasi, menganalisa kebutuhan sistem, perancangan struktur data, prosedur

algoritma, arsitektur program, pengkodean, dan pemeliharaan. Alat (tools) rekayasa

piranti lunak menyediakan layanan yang otomatis atau semi otomatis untuk proses dan

metode.

42

2.9.2 Model Rekayasa Piranti Lunak

Model rekayasa piranti lunak yang digunakan adalah Linear Sequential Model

Seringkali disebut sebagai siklus hidup klasik (Classic Life Cycle) atau waterfall model.

Model ini memberikan pendekatan-pendekatan yang sistematik dan berurutan

(sequential) dalam pengembangan suatu software. (Pressman, 2001, p28). Model ini

merupakan model yang paling banyak digunakan.

Gambar 2.3 Model Sekuensial Linear

Tahapan-tahapan yang terdapat dalam Linear Sequential Model adalah sebagai

berikut:

• System Engineering And analysis (Rekayasa dan analisa sistem).

Karena software merupakan bagian dari sistem yang lebih besar, maka setiap

pekerjaan dimulai dari penentuan kebutuhan untuk keseluruhan elemen sistem

dan kemudian mengalokasikan beberapa dari kebutuhan tersebut pada software.

Sistem Engineering dan analysis meliputi pengumpulan kebutuhan pada level

sistem dengan jumlah yang sedikit dari desain top level dan analisa.

43

• Software Requirement Analysis (Analisis kebutuhan piranti lunak).

Analisis kebutuhan piranti lunak merupakan kebutuhan untuk memperoleh

proses yang intensif dan terfokus pada spesialisasi dari software. Untuk

mengerti karakteristik dari program yang akan dibuat, maka pengembang

software harus mengerti dan memahami kebutuhan-kebutuhan software, seperti

fungsi apa saja yang diperlukan, performa software dan antar muka software.

• Design (Perancangan)

Perancangan software merupakan proses dengan langkah yang cukup banyak

yang terfokuskan pada 4 atribut penting dari program, yaitu struktur data,

arsitektur software, detil prosedur, dan karakteristik dari antarmuka.

• Coding (Pengkodean)

Coding merupakan langkah untuk menerjemahkan design ke dalam bentuk yang

dapat dikenali oleh mesin (komputer). Jika pada tahap design difokuskan pada

hal-hal yang detil, maka pada tahap coding difokuskan pada hal yang mekanik.

• Testing (Pengujian)

Testing merupakan langkah yang digunakan untuk menguji program yang telah

dibuat apakah telah sesuai dengan analisis, kebutuhan dan desain seperti yang

telah direncanakan sebelumnya. Testing juga dimaksudkan untuk mencari

kesalahan-kesalahan yang mungkin ada.

• Maintenance (Pemeliharaan)

Maintenance merupakan suatu langkah yang digunakan untuk menjaga dan

memelihara program yang telah dibuat agar tetap berfungsi dengan baik.

44

2.10 UML (Unified Modelling Language)

UML adalah suatu bahasa standar untuk menulis cetak biru (rancangan) piranti

lunak. UML dapat digunakan untuk memvisualisasi (visualizing), menspesifikasikan

(specifying), membentuk (constructing), dan mendokumentasikan (documenting) sistem

piranti lunak (Booch et al, 1999, p13).

Booch, Jacobson dan Rumbaugh menyatakan ada tiga tujuan dibentuknya UML,

yaitu:

1. Untuk memodelkan sistem, dari konsep menjadi suatu objek yang dapat

dijalankan dengan menggunakan teknik berorientasi objek.

2. Untuk menempatkan masalah yang sifatnya skalar ke dalam sistem yang rumit

dan bertujuan kritis.

3. Untuk membuat sebuah bahasa pemodelan yang bisa digunakan oleh manusia

dan mesin.

Berikut adalah beberapa diagram-diagram dalam UML:

1. Class Diagram

Class diagram mengambarkan kumpulan class, interfaces dan collaboration

serta relationships ketiganya (Booch et al, 1999, p25).

Beberapa komponen class diagram antara lain:

• Class

Sebuah class adalah kumpulan objek yang mempunyai attributes, operations,

relationships dan semantics yang sama (Booch et al, 1999, p49).

Class dapat merepresentasikan hal fisik (seperti pelanggan, produk, buku), hal

konseptual (seperti pesanan, pinjaman, pemesanan) atau hal organisasi (seperti

perusahaan atau departemen).

45

Class digambarkan dengan sebuah kotak persegi panjang. Notasi class terdiri

dari 3 bagian yaitu nama class, attribute dan operation.

Gambar 2.4 Notasi class

• Relationships

i. Generalization

Menggambarkan hubungan class yang umum dengan class yang khusus

yang dikenal dengan hubungan subclass/superclass atau child/parent.

ii. Association

Menggambarkan hubungan struktural antara class. Pada association,

terdapat multiplicity dan aggregation.

Multiplicity menggambarkan berapa banyak objek yang mungkin

terhubung dari suatu hubungan association. Multiplicity dinotasikan

dengan 1 atau 1..1, * atau 0..*, 0..1, 1..* atau bilangan tertentu di masing-

masing ujung garis association. Misalkan:

Gambar 2.5 Contoh multiplicity

Aggregation adalah association yang mempunyai hubungan “bagian dari”.

Misalkan:

46

Gambar 2.6 Contoh aggregation

2. Use Case Diagram

Use case diagram menggambarkan sekumpulan use case dan actor serta

hubungan antara keduanya.

Beberapa komponen dari use case diagram:

• Actor

Actor mewakili peran pengguna dalam hubungannya dengan use case. Actor

dapat saja berupa seorang manusia, alat perangkat keras atau sistem lain.

Gambar 2.7 Notasi actor

• Use case

Use case menjelaskan sekumpulan urutan, di mana masing-masing urutan

mewakili interaksi “benda” di luar sistem (actor) dengan sistem itu sendiri

(Booch et al, 1999, p220). Sebuah use case mewakili sebuah functional

47

requirement dari sistem secara keseluruhan. Use case menggambarkan apa yang

dilakukan oleh sistem, bukan bagaimana sistem melakukannya.

Gambar 2.8 Notasi use case

• Flow of events

Flow of events menggambarkan perilaku sistem dengan kalimat yang jelas

sehingga bisa dimengerti dengan mudah oleh orang di luar sistem.

• Include

Include relationship di antara use case-use case berarti sebuah use case dasar

memasukkan perilaku dari use case lain secara eksplisit. Include relationship

digunakan untuk menggambarkan use case yang berulang.

Gambar 2.9 Contoh include relationship

• Extend

Extend relationship di antara use case-use case berarti use case dasar

memasukkan perilaku dari use case lain secara tidak langsung. Extend

relationship digunakan untuk menggambarkan variasi dari tingkah laku normal.

48

Gambar 2.10 Contoh extend relationship

3. Activity Diagram

Activity Diagram menggambarkan flow (aliran) dari sebuah aktivitas ke aktivitas

lainnya dalam sistem.

Komponen Keterangan

Initial state, yaitu menyertakan awal dimulainya suatu

aktivitas.

Final state, yaitu menyatakan berakhirnya suatu aktivitas.

State, menggambarkan aktivitas yang merepresentasikan

kinerja dari suatu operasi

Pada transition dapat dituliskan ekspresi sebagai guard

(kondisi yang menentukan aliran kontrol, ditandai dengan

tanda “[ ]”).

Decision, menggambarkan kontrol dari aliran yang bersifat

kondisional.

Forking dan joining dipergunakan untuk menggambarkan

aliran kontrol yang berjalan secara paralel atau bersamaan.

Tabel 2.1 Tabel notasi activity diagram

49

4. Statechart Diagram

Statechart Diagram menggambarkan sebuah state machine, yang terdiri dari

state, transition, event dan aktivitas (Booch et al, 1999, p25). Statechart diagram hampir

sama dengan activity diagram. Keduanya sama-sama menggambarkan flow of control.

Bedanya activity diagram menggambarkan flow of control dari suatu aktivitas ke

aktivitas, sedangkan statechart diagram menggambarkan flow of control dari suatu state

ke state lainnya.