Y(t) = Fo(1- ) sin(t- )d

TUGAS

DINAMIKA STRUKTUR

OLEH

KELOMPOK 7

DENNY LIUNIMA

(06060100 )

PETRUS DE FRETES

(0606010016)

ROYNALDO DJAWA

(0506011237)

JURUSAN TEKNIK SIPIL

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG

2010

BAB VI

BEBAN DINAMIK UMUM (GENERAL DYNAMIC LOADINGS)

1.1. PENDAHULUAN

Selanjutnya beban harmonik periodik dapat dimodel secara jelas dan penyelesaiannya masih relative mudah. Namun demikian beban dinamik tidaklah selalu bersifat harmonik periodik. Beban dinamik dapat saja bersifat nonperiodik dan nonharmonik. Misalnya beben getar gempa bumi sangat fluktuatif dan implusif.

Beban akibat beban konstan dengan periode tertentu, beban ledakan atau lainnya yang umumnya bersifat implusif yang durasinya terlalu pendek. Beban seperti ini bukan beban periodik harmonik tetapi beban yang sangat fluktuatif seperti beban gempa. Ini akan melandasi pemikiran kita untuk mencari metode alternative apabila beban dinamik yang ada sudah cukup kompleks.

Beban akibat gempa bumi mempunyai durasi pembebanan antara 6 25 detik memungkinkan suatu struktur dapat melakukan disipasi energy secara signifikan selama pembebanan maka pada pembahasan ini struktur dianggap tidak mempunyai redaman.

1.2. Duhamel Integral pada General Dynamic Loadings

Beban implus dikatakan sangat singkat apabila durasi implus d sangat singkat relatif terhadap peride getar struktur Ts. Dengan intensitas yang sangat tinggi, misalnya pada ledakan umumnya dimodel sebagai beban segitiga siku-siku.

Selama beban implus bekerja, yaitu selama d maka pada pegas sebagaimana tampak pada gambar 2.2.b akan timbul resistensi. Biggs(1965) mengatakan gaya pegas tersebut relative kecil atau pada umumnya diabaikan. Maka selama berlangsungnya beban implus struktur dianggap tidak mengalami perubahan simpangan. Clough dan Penzien (1993) mengatakan pengaruh redaman singkat dan sangat kecil sehingga satu-satunya respon yang terjadi pada pembebanan sangat singkat tersebut adalah akselerasi awal (initial acceleration) yaitu gaya implus dibagi dengan massa. Apabila akselerasi terjadi selama d (durasi iplus) maka mengakibatkan perubahan kecepatan. Disimpulkan selama beban implus bekerja, Selma tidak terjadi perubhan simpangan dan yang terjadi perubahan kecepatan pada akhir beban implus (d = 0).

Pengaruh beban implus terhadap respon struktur SDOF diambil model seperti Gambar 6.1. Pada gambar intensitas beban implus adalah sebesar F dan bekerja selama d. Implus yang dihasilkan Fd yang sebenarnya ditunjukan oleh luaasan beban yang diarsir. Apabila implus tersebut membebani sebuah massa m, maka yang terjadi adalah perubahan kecepatan sebesar d.

Menurut Newton akan diperoleh hubungan,

, maka

m d = d

(6.1)

Ruas kiri persamaan 6.1 umumnya adalah momentum yaitu antara massa dan kecepatan saedangakan ruas kanan adalah akhir beban implus dengan durasi pembebanan. Kecepatan yang terjadi pada akhir beban implus tampak pada gambar 6.1.b integrasi persamaan 6.1 dan akan diperoleh.

Gambar 6.1 Pengaruh Beban Implus

=

(6.2)

selanjutnya apabila ditinjau implus berikutnya, kecepatan yang terjadi pada akhir implus sebelumnya seperti persamaan 6.2 akan menjadi nilai awal untuk implus-implus berikutnya. Dengan demikian,

(0) =

(6.3)Clough dan Penzien (1993) mengatakan karena pengaruh redaman pada getaran tanpa redaman tidak efektif pembahasan hanya dilakukan pada getaran tanpa redaman. Oleh karena itu pada saat t setelah implus berakhir simpangan yang terjadi adalah,

y(t) = y(0) cos (t) +

(6.4)

Karena diakhir implus tidak terjadi perubahan simpangan sehingga y(0) = 0, persamaan 6.4 menjadi,

y(t) = sin (t) =

(6.5)

persamaan 6.5 disebut Duhamels Integral. Menjadi dasar untuk penyelesaian respon struktur SDOF akibat beban implus. Langkah selanjutnya adalah merangkai efek beban implus mulai dari pertama, kedua dan seterusnya. Model beban dinamik secara umum seperti Gambar 6.2.

Gambar 6.2 Efek Beban Umum Dinamik terhadap Respon Struktur SDOF

Dengan mengingat t = t maka simpangan saat t(dihitung dari awal) atau setelah implus selesai adalah,

y(t) =

(6.6)

Yang dibahas adalah struktur SDOF tanpa redaman. Apabila sebelum beban implus bekerja telah terdapat suatu kondisi awal, maka persamaan simpangan selengkapnya adalah,

y(t) = y(0) cos (t) + + (6.7)

1.3. Respon Struktur SDOF akibat Beban Dinamik Intensitas Konstan

Kadang-kadang beban dinamik yang datngnya tiba-tiba dan intensitasnya konstan, beban seperti ini memang agak jarang terjadi namun dapat dihitung. Langkah pertama adalah mengenali/menetapkan fungsi beban yang merupakan fungsi dari waktu F. Karena beban bersifat konstan maka F = Fo.

Gambar 6.3

Apabila tidak ada nilai-nilai awal, maka dari persamaan 6.7 akan diperoleh,

y(t) =

(6.8)

perlu dingat bahwa = k/m, maka 1/m = /k, sehingga persamaan 6.8 menjadi,

y(t) = y(t) = yst cos(t-) = yst (6.9)y(t) = yst DLF

persamaan 6.9 adalah simpangan struktur SDOF akibat beban dinamik yang bebannya konstan

1.4. Beban Segi Empat (Rectangular Load)

Beban segiempat sebenarnya hampir sama dengan beban konstan, tetapi beban ini bekerja pada durasi/jangka waktu tertentu, misalnya selama td. setelah rentang waktu td intensitas menjadi nol selama tanpa batas waktu. Model matematik struktur getaran dipaksa(forced vibration) tanpa adanya redaman berikut bebannya seperti Gambar 6.4.

Gambar 6.4 Model Matamatik dan Beban Segiempat

Respon struktur pada saat t = 0 sampai dengan t = td adalah sama dengan respon struktur dengan beban konstan yaitu,

y(t) = yst

(6.11)Respon struktur untuk t > td misalnya t atau t setelah t, maka waktu intensitas beban sudah sama dengan nol atau F = 0. Respon struktur saat itu dapat diperoleh dari persamaan 6.7 dan menjadi,

y(t) = y(0) cos (t) +

(6.12)

Pada saat t = td maka simpangan dan kecepatan struktur menjadi y(td) dan (td). Nilai-nilai tersebut menjadi simpangan dan kecepatan awal bagi respon struktur pada t > td. Nilai-nilai itu adalah,

y(0) = y(td) = yst

y(0) = (td) = yst )

(6.13)Subtitusi nilai y(td) dan (td) dari pers.6.13 kedalam persamaan 6.12 dan dengan mengingat bahwa t = t - td maka akan diperoleh,

y(t) = yst

y(t) = yst(6.14)

Dengan mengingat hubungan geometric sin cos+ cos sin, maka persamaan 6.14 dapat ditulis menjadi,y(t) = yst [ - y(t) = [ - , untuk t > td

(6.15)perlu diketahui bahwa simpangan struktur untuk t < td seperti pada persamaan 6.11 sedangkan simpangan struktur untuk t > td seperti pada persamaan 6.15. Sesuai bahwa dynamic load factor DLF persamaan 6.15 menjadi,

DLF = [ -

(6.16)

Mengingat bahwa = (2/T), maka DLF persamaan 6.11 dan 6.16 berturut-turut dapat dinyatakan dalam bentuk,

DLF =

(6.17)

dan,

DLF= ( 6.18)

C.6.1 Contoh Aplikasi : Struktur SDOF akibat Beban Segi Empat

Pada struktur SDOF seperti pada contoh c.4.6 dengan massa = 12,775 kg dt2/cm, dan kekakuan menurut muto (1975), k = 4027,2714kg/cm. struktur dibebani dengan beban dinamik konstan dengan intensitas Fo = 1500 kg selama 0,40 dt. Setelah itu beban dihilangkan. Akan dihitung respon/simpangan struktur dengan pembebanan tersebut.

Durasi pembebanan sangat pendek maka pengaruh redaman dapat diabaikan. Simpangan struktur untuk t < td dipakai pers 6.11 sedangakan t > td 6.15. Simpangan dapat dihitung dengan memakai spread sheet (Lotus, Quatro Pro, Excel, dan sejenisnya) atau dengan memebuat program sederhana. Plot simpangan SDOF untuk berbagai kondisi disajikan dalam gambar 6.5.

Gambar 6.5.a adalah struktur SDOF yang dibebani dengan beban seperti pada gambar 6.5.b. Sedangkan 6.5.c adalah simpangan struktur td = 0.20dt dengan intensitas beban Fo = 1500 kg.

Tampak pada gambar tersebut bahwa simpangan struktur berupa fungsi harmonik periodik sesuai dengan anggapan struktur yang tidak mempunyai redaman. Gambar 6.5.d adalah DLF struktur berbagai nilai td/T yang mana td adalah durasi beban dinamik dan T adalah perode getar struktur. Nilai DLF pada gambar tersebut dihitung dengan menggunakan persamaan 6.17 dan persamaan 6.18. Apabila nilai td dan td/T (pada gambar tersebut telah ditentukan td/T berturut-turut adalah 0,8 ; 7 ; 3) maka nilai T dapat ditentukan maka nilai T dapat dihitung. Dengan demikian persamaan 6.17 dapat dipakai.

Tampak bahwa tiap nilai td/T yang berbeda akan mempunyai nilai DLF yang berbeda. Untuk nilai td/T = 7 misalnya, berarti nilai struktur mempunyai periode getar yang besar (T= 7 td) sebagaimana tampak pada gambar. Pada gambar tersebut juga tampak bahwa simpangan maksimum periode getar struktur dipengaruhi oleh nilai-nilai td/T. Biggs (1965) membuat spectrum untuk pembebanan jenis ini. Maka nilai td/T dapat diperoleh dengan mudah.

1.5. Beban Segitiga

Beban akibat ledakan berbentuk segitiga akan dibuat model matematisnya dengan beban segitiga seperti gambar 6.6

Gambar 6.6 Model Matemati dan Beban Segitiga

Fungsi beban yang dimaksud dapat ditulis menjadi,

F() = Fo )

(6.19)

y(t) = Fo td o (1- ) sin (t- )d m td

y(t) = yst tdo sin (t- )d 1/td tdo sin (t- )d

y(t) = yst -1/ tdo sin (t- )d(t- ) d (-)(-)1 tdod cos(t- )d

tdy(t) = yst (-1)(-1) cos(t-)td -1/(td) cos(t-)- tdod cos(t-)d

yst cos ocos (t-0)-1/(td) cos(t-)-(-1)/ tdocos(t- )d(T- )y(t) = yst 1/ (1-cost)- 1/(td [ cos(t- )+1/ sin (t- )] 0td

y(t) = yst (1-cost)- 1/td [t - sin()] (6.20)

Sebagaimana prosedur yang telah dibahas sebelumnya, bahwa dynamic load factor DLF (pers. 6. 20) tersebut adalah,

DLF = (1-cost)- 1/td [t - sin()] (6.21) Pada saat t = td maka simpangan dan kecepatan yang terjadi adalah y(td) dan (td). simpangan dan kecepatan tersebut menjadi simpangan dan kecepatan awal bagi pembebanan berikutnya yaitu saat F() = 0. simpangan dan kecepatan yang dimaksud adalah,

y(td) = yst (1-costd)- 1/td [t - sin(td)] (6.22)

(td) = yst sin(td)-1/td[1- cost) (6.23)substitusi pers. 6.22 dan pers. 6.23 kedalam pers. 6.7 dengan F() = 0, maka akan diperoleh,

y(t) = yst 1-cost)- 1/td t - sin() cos(t-td) + yst sin(td) - 1 (1-costd) sin(t- td (6.24) td

dengan memakai prinsip-prinsip matematika (rumus-rumus goneometri) dapat disederhanakan menjadi :

y(t) = yst 1 sin(t) sin(t-td) cost untuk t > td (6.25) tdpers. 6.20 adalah simpangan struktur SDOF akibat beban segitiga untuk t < td sedangkan pers. 6.25 adalah respon stuktur untuk t > td.

senada dengan pers.6.17 dan pers. 6.18, maka nilai DLF untuk pers 6.20 dan pers 6.25 berturut-turut adalah,

DLF = 1 cos 2(t/T) (1/ td) t _ sin 2(t/T) (6.26)

DLF = 1 sin 2(t/T) - sin 2 (t-td)/T _ cos 2(t/T) (6.27) tdC.6.2. Contoh Aplikasi : Struktur SDOF akibat Beban Segitiga Suatu struktur SDOF seperti pada contoh C.6.1 akan dibebani dengan beban segitiga. Intensitas beban awal Fo = 1500 kg sedangkan durasi pembebanan adalah 0,40 dt sebagaimana contoh sebelumnya. Model, beban dan simpangan struktur yang dimaksud disajikan pada gambar 6.7.

Gambar 6.7a dan 6.7b berturut-turut adalah struktur SDOF dan bebansegitiga yang mempunyai durasi td = 0,40 dt. Sedangkan gambar 6.7c adalah perbandingan simpangan struktur dengan Fo dan td yang sama berturut-turut untuk beban segiempat dan segitiga. Tampak pada gambar bahwa untuk t < td simpangan maksimum struktur dengan beban segiempat lebih besar daripada beban segitiga, dan sebaliknya untuk t > td. Hal ini dipengaruhi oleh kombinasi antara intensitas beban maksimum dan durasi pembebanan td. Simpangan untuk t > td terlihat jelas bersifat harmonic periodic, karena struktur dianggap tidak mempunyai redaman.

Nilai DLF selama pembebanan yang ditinjau dapat dihitung dengan menggunakan pers. 6.26 dan pers 6.27 yaitu untuk t < td dan t > td. Gambar 6.7d adalah perbandingan DLF struktur untuk berbagai rasio td/T berarti struktur SDOF yang bersangkutan semakin fleksibel, periode getar struktur akan semakin besar dan sekaligus hal ini ditunjukan oleh relative besarnya periode osilasi DLF struktur. Selain berpengaruh terhadap periode osilasi, maka pada td/T juga berpengaruh pada simpangan maksimum.

6.6 Beban Kombinasi (Finite Rise Load)

Beban kombinasi yang dimaksud adalah kombinasi antara beban segitiga yang intensitas awalnya sama dengan nol atau F() = Fo, saat t = td. Dalam hal ini terdapat dua jenis beban yaitu beban segitiga dan beban konstan. Untuk itu tahap enyelesaiaan masalahnya juga dilakukan secara dua tahap. Tahap pertama untuk beban t < td dan tahap kedua untuk t > td. Untuk keperluan tersebut diambil model matematik dan beban dinamik seperti pada gambar 6.8.

Gambar 6.8 Model Matematik dan Beban Finite RisePersamaan yang merupakan fungsi beban saat t < td adalah, F() = /T Fo (6.28)Apabila struktur langsung dibebani dengan bebandinamik tanpa adanya nilai-nilai awal (tidak ada kecepatan dan simpangan awal), maka dari pers. 6.7 akan diperoleh

y(t) = Fo t0 /td sin(t- )d (6.29)

m

Persamaan 6.30 dapat diselesaikan dengan cara,

y(t) = yst /td t0 /td sin(t- )d = yst (-1)(-1) t0 d cos (t- )

td

y(t) = yst 1/td cos (t- ) t0 (-1/ t0cos (t- )d (t- )

y(t) = yst 1/td cos (t- ) t0 + 1/sin (t- ) t0 (6.30)

y(t) = yst 1/td t 1/ sin (t) untuk t < td

Sebagaimana dibahas sebelumnya bahwa, DLF pers. 6.30 adalahDLF = 1/td t 1/ sin 2(t/T) (6.31)Pada saat t = td maka simpangan dan kecepatan massa adalah y(td) dan (td) akan menjadi nilai-nilai awal bagi pembebanan berikutnya., yaitu pada fungsi beban F () = F0. Simpangan dan kecepatan saat t = td itu adalah

y(td) = yst / td t sin (td) / (6.32)Dan (td) = yst / td 1 cos (td) (6.33)Dengan penyelesaian matematis dari pers. 6.32 dan pers. 6.33 maka akan diperoleh,y(td) = yst 1 + 1/(td) sin (t-td) sin t , untuk t > td (6.34)

DLF = 1 + 1/(td ) sin (t-td) sin t , untuk t > td (6.35)

Senada dengan cara-cara sebelumnya, nilai DLF pada pers. 6.31 dan pers 6.35 berturut turut dapat ditulis menjadi

DLF = 1/td t 1/ sin 2(t/T) (6.36)Dan DLF = 1 + 1 sin 2((t-td)/T) sin2(t/T) (6.37) td

C.6.3. Contoh Pemakaian : Struktur SDOF Akibat Beban Finite RiseSuatu bangunan SDOF seperti pada contoh sebelumnya yaitu contoh C.6.2, akan dibebani dengan beban dinamik kombinasi. Kekuatan, massa beban maksimum sama dengan contoh sebelumnya, sedangkan nilai td bervariasi. Gambar 6.9a dan 6.9b berturut-turut adalah struktur SDOF dan beban finite rise. Intensitas beban maksimum F0 = 1500kg sedangkan td, 0,80 dt. Tampak pada gambar 6.9c bahwa simpangan struktur mirip atau mengikuti bentuk beban yang bekerja. Sebagaimana diperoleh pada contoh-contoh sebelumnya, respon struktur bersifat harmonic periodic baik untuk t < td maupun t > td. Hal ini terjadi karena tidak adanya system peredaman energi pada struktur (struktutr tanpa redaman). Manakala durasi pembebanan relative singkat maka pengaruh redaman menjadi sangat kecil sehingga pengaruhnya dapat diabaikan. 6.7 Beban Segitiga

Beban segitiga yang dimaksud adalah beban segitiga sama kaki sebagaimana tampak pada gambar 6.10. Respon struktur SDOF akibat beban ini dibagi menjadi 3 bagian yaitu bagian t < 1/2td, td < t > td dan t > td. Cara mencari respon struktur sama dengan cara-cara yang dibahas sebelumnya. Respon-respon tersebut adalah :

y(t) = yst 2/td t sin (t)/ untuk t < 1/2td (6.38)

y(t) = yst 2/td td t + 1/ sin (t- td)sint untuk td < t > td (6.39)

y(t) = yst 2/(td) 2sin (t- td) sint - sin (t-td) untuk t > td (6.40)

Gambar 6.10 Beban Segitiga SamakakiUntuk dapat menggambar nilai-nilaiDLF pada rasio td/T yang berbeda-beda maka nilai-nilai DLF untuk 0 < t < td, td < t < td dan t > td berturut-turut adalah

DLF = 2/td t (sin 2 (t/td)) / (6.41)

DLF = 2/td (td-t) + 1/ 2 sin2 (t/T td/2T) - sin 2 (t/T) (6.42)

DLF = 2/td 2 sin2 (t/T td/2T) - sin 2 (t/T) sin 2 (t-td)/T (6.43)C.6.4 Contoh Aplikasi : Struktur SDOF Akibat Beban Segitiga Sama kakiStruktur SDOF seperti pada contoh c.6.3 akan dipakai lagi sebagai pembahasan. Beban dinamik yang dipakai adalah beban dinamik segitiga sama kaki. Hasil plot antara simpangan dan DLF lawan waktu disajikan pada gambar 6.11.

Gambar 6.11a dan 6.11b adalah struktur SDOF dan beban dinamik yang bekerja. Gambar 6.11c adalah plot antara simpangan struktur lawan waktu untuk nilai td = 0,6 dt. Terlihat jelas pada gabar tersebut bahwa setelah intensitas beban sama dengan nol, maka simpangan struktur akan bersifat harmonic periodic. Nilai simpangan

a) Struktur SDOf b) Beban Segi tiga Sama-kaki

c) Simp.Str.SDOF akibat Segi tiga Sama-kaki (td = 0,60 det)

d) Simp.Str.SDOF akibat Segi tiga Sama-kaki (berbagai nilat td/T)

Gambar 6.11 Simpangan Struktur SDOF akibat Beban Symmetrical Triangularmaksimum akan tercapai pada sat beban dinamik masih bekerja ( t < td).

Gambar 6.11.d adalah plot antara DLF lawan waktu untuk beberapa nilai td/T, dengan nilai td = 0,4 dt,. Tampak pada gambar bahwa nilai DLF maksimum mendekati nilai 1,5 dan nilai tersebut dicapai pada saat beban dinamik masih bekerja (t < 0,4 dt). Setelah intensitas beban sama dengan nol, maka DLF bersifat harmonik periodik. Sebagaimana hasil pada contoh-contoh sebelumnya, nilai maksimum DLF akan dipengaruhi baik oleh durasi pembebanan maupun nilai td/T.

6.8 Beban Sinus

Pada bab ini, yang didiskusikan adalah pengaruh beban impuls terhadap respon struktur SDOF tanpa redaman. Sudah dijelaskan sebelumnya bahwa mengapa struktur dianggap tidak mempunyai redaman, karena durasi beban sangat pendek. Beban dengan durasi yang sangat singkat juga dapat berbentuk beban sinus. Apabila bebannya berupa beban sinusoidal yang bersifat steady state, maka masalahnya sudah dibicarakan pada Bab V. Untuk membahas masalah ini maka diambil model matematik dan beban dinamik sinus seperti tampak pada Gambar 6.12.

a) Model Matematik b) Beban SinusGambar 6.12 Model Matematik dan beban Sinus

Karena struktur yang dibahas adalah struktur yang tidak mmepunyai redaman dan bebannya adalah beban sinus, maka cara mencari rumus simpangannya adalah seperti pada Sub-bab 5.3.a. dengan demikian simpangan strukturnya adalah sama dengan persamaan 5.22) hanya saja dalam hal ini periode beban Tb = 2 td. dengan mengambil hubungan bahwa , maka persamaan 5.22) akan menjadi,

(6.47)

yang mana T adalah periode getar struktur dan td adalah durasi beban dinamik.

6.9 Aplikasi Numerik pada Duhamels Integral

Pada pembahasan sebelumnya telah diketahui bahwa untuk beban-beban yang masih relatif sederhana penyelesaian respon struktur secara baku (closed-form) relatif mudah dilakukan. Respon struktur pada tiap-tiap step pembebanan dapat dihitung dengan cara analitik sehingga menghasilkan rumus-rumus yang baku/pasti sehingga dapat bersifat umum (general) dan eksak. Namun demikian pemakain Duhamels Integral untuk mengevakuasi respon struktur juga dapat dilakukan secara numerik. Untuk beban-beban yang relatif sederhana, respon struktur dengan cara analitik seringdipakai sebagai acuan untuk menilai kestabilan beberapa metode numerik. Namun demikian untuk beban-beban yang sudah relatif kompleks, maka cara numerik menjadi alternatif yang baik.

Terdapat dua kelompok besar aplikasi metode numerik pada pemakaian Duhamels Integral yaitu pemakaiannya pada struktur SDOF tanpa redaman (undamped) dan struktur SDOF yang mempunyai redaman (damped). Pertama-tama akan dibahas respon struktur undamped dan kemudian dilanjutkan pada dumped structure, yaitu sesuai dengan kompleksitas permasalahan. Metode numerik yang dipakai adalah metode yang paling sederhana, karena pemakaian metode numerik pada hitungan respon struktur akibat berbagai bentuk pembebanan akan dibahas secara bersama.

6.9.1 Struktur SDOF Tanpa Redaman (Undamped SDOF Structure)

Untuk membahas aplikasi numerik pada Duhamels Integral yang dipakai pada hitungan respon struktur maka ditulis kembali pers. 6.6) yaitu,

(6.48)Pada pembahasana ini, dimulai dengan penyederhanaan fungsi goneometri terhadap fungsi sinus di dalam integral yaitu,

(6.49)Subsitusi pers. 6.49) dapat ditulis menjadi,

(6.50)Pers. 6.50) dapat ditulis menjadi,

(6.51)dengan catatan,

(6.52)

Nilai dibawah integral pada pers. 6.52) secara adalah suatu ulasan yang merupakan produk antara (F() cos dengan waktu t. pada metode numerik waktu d yang sifatnya kontinu kemudian dibagi-bagi menjadi bentuk diskrit dengan interval waktu . Akibatnya adanya anggapan dari fungsi kontinu menjadi fungsi diskrit maka pada metode numerik akan menghasilkan kesalahan. Agar proses numerik memberikan hasil yang cukup akurat (kesalahan relatif kecil) maka pemakaian interval waktu harus sekecil mungkin.

Untuk mencari luasan yang dimaksud dapat dipakai beberapa cara. Humar (1990) misalnya memakai metode luasan segi-empat. Trapezoidal Rule dan Simpsons Rule. Dalam hal ini akan dipakai metode yang relatif sederhana dan cukup akurat yaitu prinsip luasan trapesium (trapezoidal rule). Untuk itu misalnya dipakai model luasan seperti pada Gambar 6.13).

Apabila diambil notasi nilai fungsi dibawah integral pada pers. 6.51),

f (r) = F(r) cos r (6.53)Maka nilai A pada pers. 6.51) akan menjadi,

(6.54)

Gambar 6.13. Luasan menurut Trapezoidal RuleApabila diskretisasi waktu diberi label i = 0,1,2,3,.n, maka nilai luasan pada titik diskrit ke-I yaitu Ai, pada pers. 6.54) secara numerik dapat ditulis menjadi,

(6.55)Pers. 6. 65) adalah mencari luasan dibawah fungsi f() dengan Trapezoidal Rule. Luasan yang dicari selalu berakumulasi sesuai dengan nilai I yang ditinjau. Nilai B pada pers. 6.52) dapat dicari dengan cara yang sama. Setelah nilai Ai dan Bi diperoleh maka simpangan struktur seperti pada pers. 6.51) dapat dihitung.

Disamping dapat dihitung dengan Duhamels Integral seperti prinsip di atas, maka untuk tujuan kontrol, respon struktur akibat beban fungsi sinus dapat juga dihitung menurut pers. 5.22) yaitu,

(6.56)C. 6.5 Contoh Aplikasi : Duhamels Integral pada struktur Undamped SDOF

Suatu struktur SDOF seperti pada Contoh C.4.6 yaitu struktur yang mempunyai massa m = 12,775 kg dt2/cm, dan kekakuan menurut Muto (1975), k = 4027,2714 kg/cm. struktur dibebani dengan beban dinamik fungsi sinus dengan P(t) = 1500 sin () selama 0,60 dt. Beberapa parameter perlu dihitung dahulu yitu :

1. Frekuensi sudut

2. Nilai t/(m.)

f = t/(m.) = 0,22/(12,775.17,7552) = 0,0044087

3. Simpangan statik, Yst

Yst = Po/k = 1500/4027,2714 = 0,372461 cm

4. Frekuensi sudut beban,

= /0,6 = 5,236 rad/dt

5. Rasio frekuensi

= 5,236/17,75518 = 0,2949

6. Nilai 1/(1- 2)

fs = 1/(1- 2) = (1/(1-0,29492) = 1,09525

7. Nilai Yst . 1/(1- 2)

Ds = Yst . 1/(1- 2) = 0,37246 . 1,09525 = 0,4079388. Tahapan hitungan

Tahap-tahapan hitungan disajikan pada Tabel 6.1. parameter-parameter yang dihitung di atas tampak dibagian atas tabel tersebut. Pada tabel tersebut tampak bahwa t =t = 0,02 dt. Nilai A pada tabel tersebut dihitung dengan menggunakan per. 6.55) dengan f() seperti didefinisikan pada pers. 6.52) diganti dengan sin (). Kolom 12 pada tabel tersebut adalah simpangan struktur dengan cara Duhamel sedangkan kolom 13 adalah simpangan struktur secara eksak yang dihitung menurut per. 5.22).

Gambar 6.14.b) adalah beban dinamik fungsi sinus (hanya digambar 1/2nya) yang membebani struktur SDOF seperti pada Gambar 6.14a). Sedangkan Gambar 6.14.c) adalah simpangan struktur SDOF yang dihitung menurut menurut cara Duhamel dan cara eksak sebagaimana dijelaskan di aats. Tampak pada gambar tersebut bahwa simpangan yang dihitung dengan cara Duhamel sangat dekat sekali dengan cara eksak. Hal ini terjadi karena dipakai = 0,02 dt, yaitu step diskritisasi yang cukup kecil. Dengan hasil seperti itu cara mana yang akan dipakai tidak menjadi masalah asal syarat-syaratnya terpenuhi.

6.9.2 Struktur SDOF yang diredaman (Damped SDOF Structure)

Senada dengan pers.6.48) di atas, maka simpangan horisontal struktur SDOF yang mempunyai redaman dapat dihitung dengan prinsip Duhamels Integral,

(6.57)APLIKASI METODE NUMERIK PADA DUHAMELS INTEGRAL (Undamped SDOF Structure)k = 4027.271 w = 17.755177

Yst = 0.372461

r = 0.2949

m = 12.775

f = 0.0044087 W = 5.236

fs = 1.095249 Ds = 0.407938Tabel. 6.1 Contoh Hitungan aplikasi numerik pada Duhamels Integral

a) Struktur SDOF c) Simpangan SDOF (Metode Duhamel dan Eksak)

b) Beban P(t) = Po sin (wt)Gambar 6.14) Contoh Aplikasi Numerik pada Metode DuhamelPer. 6.57) dapat ditulis menjadi,

(6.58)Dengan mengambil hubungan seperti pada pers. 6.49), maka pers. 6.58) dapat ditulis menjadi,

(6.59)dengan catatan,

(6.60)Perlu diambil notasi tertentu terhadap nilai fungsi dibawah integral pada pers. 6.60) yaitu,

(6.61)Maka nilai A pada pers. 6.61) akan menjadi,

(6.62Apabila diskretisasi waktu diberi label I 0,1,2,3,n maka nilai luasan pada titik diskret ke-i yaitu Ai pada pers. 6.62) secara numerik dapat ditulis menjadi,

(6.63)Pers. 6.63) adalah sama dengan pers. 6.55) yaitu akumulasi luasan dibawah integral pada pers. 6.60). nilai B pada pers. 6.60) dapat dicari dengan cara yang serupa, hanya saja fungsi kosinus pada pers. 6.60) diganti dengan fungsi sinus. Senada dengan pers. 6.56), maka solusi eksak atas struktur SDOF akibat beban harmonik yang diredam adalah seperti pada pers. 5.37) yaitu,

(6.64)APLIKASI METODE NUMERIK PADA DUHAMELS INTEGRAL (Undamped SDOF Structure)k = 4027.271 w = 17.7552 wd = 17.733 r = 0.2949f1 = 1.198321 f3 = 0.02949

m = 12.775

xi = 0.05 f = 0.00441

f2 = -0.28024 f4 = 0.913034Tabel. 6.1 Contoh Hitungan aplikasi numerik pada Duhamels Integral

a) Struktur SDOF c) Simpangan SDOF (Damped dan Undamped)

b) Beban P(t) = Po sin (wt)Gambar 6.15) Contoh Aplikasi Numerik pada Metode Duhamel

C.6.6 Contoh Aplikasi : Duhamels Integral pada Damped SDOF Structure

Suatu struktur SDOF seperti pada Contoh C.6.5 yaitu struktur yang mempunyai massa m = 12,775 kg dt/cm, dan kekakuan menurut Muto (1975), k = 4027,2714 kg/cm. struktur dianggap mempunyai rasio redaman = 8%. Struktur dibebani dengan beban dinamik fungsi sinus dengan P(t) = 1500 sin () selama 0,60 dt. Beberapa parameter sebagian telah dihitung pada contoh sebelumnya, sedangkan yang masih perlu dihitung dahulu adalah :

1. Damped Frequency 17,7330 rad/dt2. Nilai )) = 1/(12,775 . 17,733) = 0,004413. Nilai f1

f1 = 1/((1-r2)2 + (2r)2) = 1/((1-0,29492)2 + (2.0,05.0,2949)2) = 1,19834. Nilai f2

f2 =r(22 - (1-r2)) /(1-r2)0.5 = (0,2949(2.0,052-(1-0,29492))/(1-0,29492)0.5 = -0,28025. Nilai f3

F3 = 2.6. Nilai f4

f4 = (1-r2) = (1-0,29492) = 0,9130 Nilai-nilai tersebut di atas adalah seperti yang tampak di atas tabel 6.2. hasil hitungan proses numerik pada contoh ini disajikan pada Tabel 6.2. gambar 6.15.a dan b adalah struktur SDOF dan beban harmonik yang dipakai. Simpangan struktur yang dihitung dengan cara Duhamel dan cara eksak adalah sangat dekat sekali, sebagaimana tampak pada Gambar 6.15.c). simpangan struktur tersebut juga dibandingkan dengan simpangan struktur yang tidak diredam undamped). Tampak jelas bahwa redaman akan berpengaruh terhadap simpangan maksimum.

F(

t

)

t

F

0

beban implus

a.

Beban Implus

b.

kecepatan diakhir implus

t'

F

t)/m dt

y

(

F

t)/m)sin (?t') dt

d

t

d

F

t

1

2

3

.

i

.

.

n

dt

y

t

y

t

y

t

t

t

y

t

t'

respon implus ke-1

respon implus ke-2

respon implus ke-i

total respon

k

m

Fo

t

0

Fo

a) model matematik

b) beban konstan

k

m

F()

a) model matematik

t

Fo

b) beban finite rise

F()=Fo

t

F()= /tdFo

k

m

F()

a) model matematik

t

Fo

b) beban finite rise

t

d

t

d

2

_1338704181.dwg

_1338704185.unknown

_1338704187.unknown

_1338704189.unknown

_1338704190.unknown

_1338704191.unknown

_1338704188.unknown

_1338704186.unknown

_1338704183.unknown

_1338704184.unknown

_1338704182.unknown

_1338704177.unknown

_1338704179.unknown

_1338704180.unknown

_1338704178.unknown

_1338704175.unknown

_1338704176.unknown

_1338704174.unknown