BAB VPENGGUNAANTURUNANSetelah pada bab sebelumnya, kita membahas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumusdasarturunan, padababini kitaakanmembahastentangaplikasi turunan, diantaranyauntukmenghitung nilailimitbentuk tak tentu, laju sesaat, aproksimasi, dan maksimum minimum. TIK:Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu menerapkanturunan fungsi pada masalah yang diberikan.5.1. Limit Bentuk Tak Tentu.Pada bab III kita telah membahas tentang teknik menghitung limit fungsi, baik untuk fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi eksponensial. Teknik yang telah diberikan sebelumnya ternyata tidak cukup untuk menghitung limit fungsi yang ada, khususnya limit bentuk tak tentu, seperti xe x xxx +coslim0.Bentuktaktentuini berupabentuk0/0, sedangkanbentuktaktentulainnya adalah 0., - , 00,0, dan / .Oleh karenaitu diperlukanteknikyang lainnya, diantaranya adalah aturan LHospital.Aturan LHospital adalah sebagai berikut: 75Jika 0 ) ( a f dan 0 ) ( a g atau t ) (a f dan t ) (a g, maka ) ( ') ( 'lim) () (limx gx fa xx gx fa x . Contoh : Hitunglah:1.xxxexsincos0lim2.1131limxxx3.xxxlnsin lnlim0+Penyelesaian:1. Karena 0 1 1 0 cos0 e dan 0 0 sin , makaxxxexsincos0limdapat dihitungdengan menggunakan aturan Lhospital.Oleh karena itu:110 10 cos0 sin0cossin0limsincos0lim +++exxxexxxxex2. Karena0 1 1 131 dan0 1 1 , maka 1131limxxx dapat dihitung dengan menggunakan aturan Lhospital.Oleh karena itu: 6213lim11lim2131 xxxxx x3. Karena +0 sin lndan +0 ln , maka xxxlnsin lnlim0+ dapat dihitungdengan menggunakan aturan Lhospital.Oleh karena itu:1t a nl i m l i ml ns i n l nl i m01s i nc o s0 0 + + + xxxxxxxxx x.765.2. Laju SesaatJika posisi benda pada saat t adalah ) (t S, maka posisi benda pada saat t+ h adalah ) (t S, sehingga laju rata-rata perubahan posisi benda dari tke t + h adalah ht S h t S ) ( ) ( +.Jika saat h 0, maka ht S h t S ) ( ) ( + disebut laju sesaat benda pada saat t.Oleh karena itu laju sesaat benda pada saat t, dinotasikan dengan ) (t v, adalah ) ( ') ( ) (lim ) (0t SdtdSht S h t St vh +.Selanjutnya, turunan pertama dari laju sesaat disebut percepatan dan dinotasikan dengan ) (t a.Contoh:1. Sebuahbendadijatuhkan dari menaradenganketinggian490 m,memenuhi persamaan gerak) (t S= 4,9t2, dengan) (t Smenyatakan jarak yang ditempuh benda (dalam satuan meter) pada saat t dengan t menyatakan waktu (dalam satuan detik). Tentukan a. Kecepatan benda setelah 5 detik.b. Kecepatan benda ketika menabrak tanah.2. Sebuah benda dilemparkan ke atas dan mempunyai persamaan gerak ) (t S= 4t t2, dengan ) (t S menyatakan jarak benda dari tanah (dalam satuan meter) pada saat t dengan t menyatakan waktu (dalam satuan detik). Tentukan a. Saat benda bergerak semakin cepat77b. Saat benda bergerak semakin lambatc. Ketinggian maksimum bendaPenyelesaian: 1. a.Kecepatan benda setelah t detik adalaht t S t v 8 , 9 ) ( ' ) ( Jadi kecepatan benda setelah 5 detik adalah v(5) = 9,8 (5) m/det= 49 m/det.b. Waktu yang diperlukan benda untuk mencapai tanah adalah ketika jarak yang ditempuh benda mencapai 490 m.) (t S= 490.4,9t2 = 490t2 = 100t = -10 dan t = 10Jadi kecepatan benda ketika menabrak tanah adalah v(10) = 9,8 (10) m/det= 980 m/detik.2.a. Benda bergerak semakin cepat jika 0 ) ( > t v dan 0 ) ( > t aatau0 ) ( < t v dan 0 ) ( < t a.Karena t t v 2 4 ) ( dan 0 2 ) ( < t a, maka 0 ) ( < t v, sehingga2 > t .Karena ) (t S= 4t t2 0, maka 0 t 4,sehingga benda bergerak semakin cepat pada saat4 2 < t .b.Benda bergerak semakin lambat jika 0 ) ( > t v dan 0 ) ( < t a atau 0 ) ( < t v dan0 ) ( > t a. Karena0 2 ) ( < t a, maka0 ) ( > t v, sehingga 2 < t . Koleh karena itu benda bergerak semakin lambat pada saat2 0 < t .785.3. Aproksimasi (Hampiran)Jika y = f(x), maka dy = f(x) dx.Dari bentuk ini, nilai y dapat dihampiri oleh : y f(x) x.Selanjutnya,Karena ) ( ) ( x f x x f y + , maka nilai ) ( x x f + dapat dihampiri oleh:x x f x f y x f x x f + + + ) ( ' ) ( ) ( ) (.Bentuk hampiran lainnya diberikan pada contoh 3 di bawah ini.Contoh :1. Tentukan hampiran dari 6 , 4.Penyelesaian :Misalkanx x f ) ( .Diambil4 xdan 6 , 0 x.x x f x f x x f + + ) ( ' ) ( ) (xxx x x f + +21) (15 , 0 2 6 , 0 .4 214 6 , 4 + + Jadi 6 , 4 2,15.2. Tentukan hampiran pertambahan luas gelembung sabun pada saat jari-jarinya bertambah dari 3 cm menjadi 3,025 cm.Penyelesaian :Luasgelembungbolasabunadalah A= 4 r2, sehinggar A 8 ' . Oleh karena itu A 8 r r = 8. .3. 0,025 = 1,885 cm2 79Jadi hampiran pertambahan luas gelembung sabun adalah 1,885 cm2.3. Unit pencahayaan (lampu kilat) sebuah kamera bekerja dengan cara menyimpan muatan pada sebuah kapasitor dan melepaskannya secara mendadak ketika unit ini dilepaskan.Data pada tabel berikut menggambarakan muatan Q yang tersisa dalam kapasitor (dalam mikrocoulomb) pada waktu t (dalam detik setelah unit ini dinyalakan).Tentukan besarnya arus yang mengalir dari kapasitor ke lampu kilat, diukur dalam microampere, pada saat t = 0,04 detik. Petunjuk i(t) = Q(t).Penyelesaian: Q(0,04) =hQ h Qh) 04 , 0 ( ) 04 , 0 (lim0 +Berdasarkan hal tersebut, diperoleh Q(0,04) hQ h Q ) 04 , 0 ( ) 04 , 0 ( +Dari data di atas dipilih dapat dipilih h= 0,02 atau h = -0,02.Jikah= 0,02, kita peroleh: Q(0,04) = 5 , 60702 , 003 , 67 88 , 5402 , 0) 04 , 0 ( ) 06 , 0 ( Q Qt 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 1,00Q 100,00 81,87 67,03 54,88 44,93 36,7680(Tandanegatif menunjukkanbahwamuatanlistrikmengalir meninggalkan kapasitor menuju lampu kilat.Nilai ini menunjukkan besarnya arus rata-rata pada interval waktu antara 0,04 detik dan 0,06 detik).Jika h = -0,02, maka akan kita perolehQ(0,04) = 74202 , 003 , 67 87 , 8102 , 0) 04 , 0 ( ) 02 , 0 ( Q QNilai ini menunjukkan besarnya arus rata-rata pada interval waktu antara 0,02 detik dan 0,04 detik Hampiran yang lebih akurat didapatkan dengan mengambil rata-rata kedua bilangan tersebut, yaitu:Q(0,04) 75 , 6742) 5 , 607 ( 742 + Hal ini berarti bahwa besarnya arus listrik yang mengalir dari kapasitor ke lampu kilat mendekati nilai 674,75 mikroampere.5.4. Permasalahan Maksimum dan MinimumSalahsatupenerapanturunanadalahpenentuannilai optimumsuatu fungsi. Persoalanini dapat direduksi menjadipencariannilai maksimumatau minimumsuatufungsi. Berikut diberikandefinisi (pengertian) nilai maksimum dan nilai minimum.a. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak (atau nilai maksimum global) di c jika f(c) f(x) untuk setiap x dalam domain fungsi f. Nilai f(c) disebut nilai maksimum fungsi f.b. Fungsi f mempunyai nilai minimum mutlak (atau nilai minimum global) di c jika f(c) f(x) untuk setiap x dalam domain fungsi f. Nilai f(c) disebut nilai minimum fungsi f.81Selainnilai maksimumglobal dannilai minimumglobal, dikenal juga pengertian nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal.a. Fungsifmempunyai nilaimaksimum lokaldicjikaf(c) f(x) bilamana x terletak dekat c. Hal ini berarti bahwa f(c) f(x) untuk setiap x di dalam suatu selang terbuka yang memuat c.b. Fungsifmempunyai nilaiminimumlokaldicjikaf(c)f(x)bilamanax terletak dekat c. Hal ini berarti bahwa f(c) f(x) untuk setiap x di dalam suatu selang terbuka yang memuat c.Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.(xo+h,f(xo+h)) L1 (xo,f(xo)) L2 Dari penjelasan sebelumnya telah disebutkan bahwa hx f h x fm mo ohLhL) ( ) (lim lim0 012 + = ) ( 'ox f.Karena garis singgung kurva L1 condong ke kanan, maka 1Lm=) ( 'ox f > 0, sehingga di x = xo kurva f naik.Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa:kurva f naik di x = xo, jika ) ( 'ox f > 0.82Dengan argumen yang sama diperoleh:1. Kurva f turun di x = xo, jika ) ( 'ox f < 02. Kurva f tidak naik dan tidak turun di x = xo, jika ) ( 'ox f=0.Titik (xo,f(xo)) dengan ) ( 'ox f = 0merupakan salah satu titik kritis dan disebut titik stasioner .Jenis titik kritis lainnya adalah titik singular, yaitu ) ( 'ox f tidak ada, dan titik ujung interval.Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini. Dari gambar di atasterlihat bahwa nilai maksimum mutlak terjadi pada x =q(titiknyaberupatitiksingular), nilaimaksimumlokal terjadipadax =p (titiknya berupa titik stasioner),nilai minimum lokal terjadi pada x = a (titiknya 83abp qf(p) = 0f(q) tidak adax = b, a titik ujung interval Titik kritistitik ujung titik singular titik stasioner rberupa titik ujung interval) dan x = r (titiknya berupa titik stasioner), serta nilai minimum mutlak terjadi pada x = b (titiknya berupa titik ujung interval).Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum baik lokal maupun mutlak terjadi pada titik kritis.Dari gambar di atas, diperoleh juga kriteria khusus untuk titik stasioner, yaitu: i. Titik stasioner disebut titik maksimum, jika ) ( ' x f < 0 untuk x > xo dan ) ( ' x f > 0 untuk x < xoii. Titik stasioner disebut titik minimum, jika ) ( ' x f > 0 untuk x > xo dan ) ( ' x f < 0 untuk x< xoContoh :1. Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan titik belok dari kurva y = 31x3 51x5.Kemudian sketsa grafiknya.Penyelesaian : y = x2 x4 = x2(1 x)(1+x).Titik kritis terjadi pada saat y = 0, yaitu pada x = 0, -1, dan 1.x < -1 -1 < x < 0 0 < x < 1 x > 1y Negatif positif positif NegatifMinimum lokal di x = -1, maksimum di x = 1Nilai maksimum y = 152 dan nilai minimum y = -152.842. Tentukan nilai maksimum fungsi y = x3 - 3x 5 pada interval [-2,2]Penyelesaian :y = 3x2 3 = 0, maka x = 1 atau x = -1.x < -1 -1 < x < 1 x > 1y positif negatif positifMaksimum lokal di x = -1, minimum lokal di x = 1Nilai fungsi untuk x= -1 adalah y = -3Nilai fungsi untuk x = 1, yaitu y = -7.Nilai fungsi di ujung interval adalah f(2) = -3 dan f(-2) = -7 . Jadi nilai minimum fungsi adalah 7 sedang nilai maksimumnya adalah 3.3. Tentukanukurantabungtegakyangvolumenyamaksimumyangdapat ditempatkan dalam sebuah kerucut lingkaran tegak dengan jari-jari 10 cm dan tinggi 12 cm.Penyelesaian :Persoalan di atas dapat digambarkan sebagai berikut.85Misalkan jari-jari, tinggi, dan volume tabung yang dapat dibuat berturut-turut adalah r, t, dan V.Volume tabung adalahV = r2 tDari gambar di atas, dari keserupaan segitiga diperolehrt 121012sehingga r t101212 Bila kit substitusikan t ini ke dalam rumus V, diperolehV = r2 .(r101212 )Karena kita akan memaksimumkan V maka dicari turunan V terhadap r, diperoleh251824 r r V Untuk V=0 diperoleh nilai stasionerr = 0ataur = 320.Jadi agar volume tabung maksimum makajari-jari tabung adalah r = 320cm dan tinggi tabung adalahr t101212 = 4 cm.Latihan 5.1. Dengan menggunakan dalil Lhospital, hitunglah:a.2 3 x1 xlim2 1 x +b.hx h xlim0 h +86c.h3 h 3lim0 h +d.x 5 3 x4 xlim4 x e.321 xx11x11limf.xx xxsin) 1 ln(0lim +g.xx xxsin) 1 ln(0lim +h.6 x 5 x9 xlim223 x+ i.xxxexsin1 cos0limj.2 csc1 cot0lim+xxxk.2 csc1 cot0lim+xxxl.) ln(cossin0limxe xxxex+m.3sin0limxx xxn.xxxtan lnsin lnlim0+o.x xxtan )2( lim2p.2cos ln0limxxxq.)11 1(0limxexxr.3)3sin(3limxxx872. Tentukan laju perubahan luas lingkaran terhadap jari-jarinya.3. Tentukanlajuperubahan volume suatu partikel emulsiberbentukbola terhadap jari-jarinya.4. BanyaknyapendudukP(dalamribuan) padasebuahkotadari tahun 1991 sampai tahun 1997 disajikan pada table berikut. Tabel banyaknya penduduk pada suatu kota (dalam ribuan)Tahun (t) 1991 1993 1995 1997P 793 820 839 874Apakah satuan dtdP?Taksirlah laju pertumbuhan sesaat (dP/dt) tahun 1995.5. Misalkan persamaan gerak partikel diberikan oleh persamaans = A cos (t + )Partikel denganpersamaangeraktersebut dikatakanmengalamigerakharmonik sederhana. a. Carilah kecepatan partikel pada waktu t.b. Kapan kecepatan 0 ?6. Bintang berubah Cepheid adalah bintang yang kecermelangannya berganti-ganti, bertambah dan berkurang. Bintang yang paling dapat dilihat dengan mudah adalah Delta Cephei, yang memiliki selang di antara waktu kecermelangan maksimum 5,4 hari.Rata-rata kecemerlangan bintang ini adalah 4,0 dan kecemerlangannyaberubahsebesart 0,35. Berdasarkandataini, kecemerlangan Delta Cephei pada saat t, dengan t diukur dalam hari, telah dimodelkan oleh fungsi

,_

+ 4 , 52sin 35 , 0 0 , 4 ) (tt Ba. Carilah laju perubahan kecemerlangan setelah t hari.b. Carilah laju pertambahan setelah satu hari (ketelitian hingga 2 desimal).887. Model untuk banyaknya matahari bersinar di kota Philadelphia pada hari ke-t pada tahun tertentu adalah( )1]1

+ 803652sin 8 , 2 12 ) ( t t LGunakan model tersebut untuk membandingkan banyaknya jam matahari bersinar di Philadelphia pada tanggal 21 Maret dan 21 Mei.Keterangan:1 Januari merupakan hari ke-1, 1 Pebruari merupakan hari ke-32, 1 Maret merupakan hari ke-60, dan seterusnya.8. Rusuk kubus diukur sebagai 11,4 cm dengan galat yang mungkin t0,05 cm. Hitung volume kubus dan berikan taksiran untuk galat dalam nilai ini.9. Garis tengah luar sebuah tempurung bola tipis adalah 12 dm.Jika tebal tempurung 0,3 dm, carilah volume daerah sebelah dalam tempurung.10. Garis tengah sebuah bola diukur sebagai 20 t0,1 cm.Hitung volumenya dengan suatu taksiran untuk galat11. Penggiling berbentuk tabung panjangnya tepat 12 cm dan garis tengahnya diukur sebagai 6 t0,005 cm.Hitung volumenya dengan taksiran untuk galat.12. Posisi sebuah partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t3 6t2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter.a. Carilah percepatan pada saat t. Berapa percepatan setelah 4 detik?b. Gambarkan fungsi posisi, kecepatan, dan percepatan untuk 0 t 5.c. Kapan partikel bertambah cepat? 13. Carilah nilai maksimummutlak dan minimummutlakfpada interval yang diberikan.89a. F(x) = 18x + 15x2 4x3,[- 3, 4]b. F(x) = 3x5 5x3 1, [- 2, 2]c. F(x) = sin x + cos x, [0, 2 ]14. Model untuk indeks harga makanan (harga sekeranjang makanan yang mewakili) antara tahun 1984 dan 1994 diberikan oleh fungsiI(t) = 0,00009045 t5 + 0,001438 t4 0,06561 t3 + 0,4598 t2 0,6270 t + 99,33dengan t diukur dalam tahun sejak pertengahan 1984, sehingga 0 t 10, dan I(t) diukur dalam dolar 1987 dan diskalakan sedemikian sehingga I(3) = 100. Taksirlah waktu ketika makanan paling murah dan paling mahal selama periode 1984 1994.@@@90