47

BAB III

SISTEM NUMERASI

PENDAHULUAN

Sejak zaman dahulu kala, manusia berkepentingan dengan bilangan untuk

menghitung banyaknya ternak yang dimiliki, mengukur luas sawahnya, untuk

berkomunikasi dengan sesamanya. Kebutuhan terhadap bilangan tersebut mula-

mula sederhana, tetapi makin lama makin meningkat, sehingga manusia perlu

mengembangkan sistem numerasi. Sistem numerasi pun terus berkembang selama

berabad-abad, dari masa ke masa hingga saat ini.

Dengan mempelajari sejarah perkembangan sistem numerasi, notasi

pangkat dan algoritma dalam operasi aritmetika, kita dapat lebih menghayati,

lebih mengagumi para pendahulu kita. Betapa hebat dan uletnya para penemu

yang hidup pada abad-abad yang silam. Betapa indah dan menakjubkannya

penemuan-penemuan di dalam bidang matematika tersebut, sehingga kita bisa

lebih mencintai dan lebih menyukai matematika yang oleh sebagian besar murid

dianggap sebagai hal yang ditakuti.

A. Beberapa Sistem Numerasi

Sebelum membicarakan sistem numerasi, sebaiknya kita mengetahui

apakah yang dimaksud dengan bilangan dan lambang bilangan. Perbedaan antara

bilangan dan lambang bilangan adalah perbedaan antara objek dan nama objek

tersebut. Nomor halaman yang Anda lihat pada halaman buku ini bukanlah suatu

bilangan melainkan lambang bilangan.

Lambang bilangan adalah simbol yang melambangkan suatu bilangan.

Simbol yang digunakan untuk menyatakan atau menggambarkan suatu bilangan

dapat bermacam-macam, misalnya 4; 2+2; 2.2; 3+1; dan sebagainya. Semua

simbol tersebut menyatakan sebuah bilangan yang sama.

Untuk membuat lambang bilangan digunakan simbol yang disebut angka.

Bagian ini akan membicarakan beberapa macam angka yang digunakan untuk

menyatakan bilangan dalam sistem nuinerasi.

48

Secara umum, sistem numerasi yang pertama-tama digunakan, merupakan

sistem penjumlahan, sistem perkalian, dan sistem nilai tempat. Sistem

penjumlahan yang mula-mula digunakan, dinyatakan dengan sekumpulan simbol-

simbol. Sebuah bilangan yang dinyatakan dengan kumpulan simbol, merupakan

jumlah dan bilangan-bilangan yang dinyatakan oleh masing-masing symbol.

Misalnya :

a. @ ∩| adalah simbol-simbol dalam sistem Mesir, artinya 111(100 + 10 + 1)

b. XI adalah simbol-simbol dalam sistem Romawi yang artinya 1(10 + 1)

Berikut ini akan dikenalkan beberapa sistem numerasi yang pernah

digunakan dan dikembangkan oleh para pendahulu kita.

1. SistemTurus

Salah satu sistem numerasi yang pertama-tama digunakan adalah sistem

turus. Sistem ini menggunakan simbol tongkat “|“ untuk menyatakan suatu

bilangan. Misalnya | | | | | |, menunjukkan bilangan 6 ternak. Hingga saat kini pun

kita masih menggunakan sistem turus ini, misalnya untuk mencatat skor suatu

pertandingan olahraga.

Sebagai ilustrasi :5 dan | | | | |, merupakan simbol-simbol yang

menunjukkan bilangan yang sama.

2. Sistem Mesir Kuno

Sistem numerasi. ini merupakan salah satu pelopor dan. sistem

penjumlahan yang tercatat dalam sejarah yaltu ± 3000 S.M (Glenn, John and

Litter, Graham dalam A Dictionary of Mathematics, 1984, p.58). Tulisan pada

jaman Mesir (± 650 S.M) ditulis pada papyrus (dari kata papu, yaitu semacam

tanaman) atau pada perkamen (kulit kambing).

Sistem mi menggunakan simbol berupa gambar-gambar:

49

Gambar 3.1

Simbol-simbol dalam sistem Mesir dapat diletakkan dengan urutan

sebarang, sehingga untuk menyatakan suatu bilangan yang sama dapat ditulis

dengan beberapa cara. Dengan perkataan lain, sistem Mesir tidak mengenal nilai

tempat (sedang dalam sistem yang kita gunakan, 43 nilainya berbeda dengan 34).

Contoh 1 : 43 dapat ditulis sebagai:

Contoh 2 :

Dengan sistem Mesir mi, juga dapat dilakukan penjumlahan. Pada gambar

3.2 dapat dilihat prosedur mencari jumlah dua bilangan 397 dan 3845.

(a) 397

3845

-------- +

4242

50

Gambar 3.2

Gambar 2.2. (a) menunjukkan penjumlahan dalam sistem Hindu Arab.

Gambar 3.2. (b) menunjukkan penjumlahan dua bilangan yang sama dalam sistem

Mesir.

Catatan :

Sebenarnya, apakah yang dilakukan dalam operasi penjwnlahan dengan

menggunakan sistem Mesir di atas? Tak lain, hanyalah melakukan

pengelompokan ulang.

10 tongkat (“I”) menjadi 1 tulang tumit (“∩”);

10 tulang tumit (“∩”) menjadi 1 gulungan (“@”)

10 gulungan (“@”) menjadi tanda 1 bunga teratai (“¥”) demikian seterusnya.

Pada contoh Gb. 2.2 di atas, dapat dilihat, terdapat 12 tongkat. 12

tongkat itu dikelompokkan lagi menjadi 1 tulang tumit dan 2 tongkat (| | | | | | |

| | | | | ∩ |).

Berikutnya, 13 tulang tumit + 1 tulang tumit (yang diperoleh dari 10

tongkat) dikelompokkan menjadi 1 gulungan dan 4 tulang tumit

(∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩ @∩∩∩∩).

Kemudian 11 gulungan + 1 gulungan (yang diperoleh dan 10 tulang tuinit)

dikelompokkan menjadi 1 bunga teratai dan 2 gulungan (@@@@@@@@@@@

¥ @@).

51

Dan akhirnya terdapat 3 bunga teratai + 1 bunga teratai (diperoleh dan

10 gulungan).

3. Sistem Babilonia

Sistem numerasi Babilonia ini digunakan kira-kira 3000 S.M - 0 S.M

(Glenn, John and Litter, Garaham dalam A Dictionary of Mathematics, 1984

p.13).

Pada masa itu orang menulis angka-angka dengan sepotong kayu pada

tablet yang terbuat dan tanah hat (clay tablets). Simbol baji “V” digunakan untuk

menyatakan 1 dan simbol “<” untuk 10. Kedua simbol tersebut digunakan untuk

menyatakan bilangan-bilangan 1 - 59, yaitu dengan cara menuliskan kedua simbol

itu secara berulang.

Contoh 1 : <<<VVVVV berarti : 35

Selanjutnya untuk menyatakan 60 dan 1 ditulis dengan symbol yang sama,

yaitu “V”. Beda antara 60 dan 1 ditunjukkan dengan adanya jarak yang agak jauh

di antara simbol-simbol itu.

Contoh 2:

a) V <V berarti 1.60+11 = 71

b) VV VV berarti 2.60+2 = 122

c) V< <<V berarti 11.60+21 = 681

Ciri-ciri dan sistem Babilonia :

a) Menggunakan bilangan dasar (basis) 60.

b) Menggunakan nilai tempat (setiap posisi dipisahkan oleh sebuah jarak)

c) Simbol-simbol yang digunakan adalah V dan < (lihat gambar 2.3)

d) tidak mengenal simbol 0 (nol).

Gambar 2.3

52

Contoh 3:

(a) V < <V artinya : l(60)2 + 10(60) + 1l

(b) < V << V artinya : l0(603 + (60)

2 + 20(60) + 1

(c) VV V << artinya : 2(602 + 1(60) + 20

Sistem Babilonia ini cepat hilang karena tidak menggunakan simbol nol.

Sistem angka lain yang menarik adalah sistem Maya.

4. Sistem Maya

Sistem ini menggunakan basis 20, tetapi bilangan kelompok kedua adalah

(18)(20) sebagai ganti dari (20)2, bilangan kelompok ketiga adalah (18)(20)2

sebagai ganti dari (20), dan seterusnya (18)(2O)n. Bilangan-bilangan di bawah

basis (20) ditulis secara amat sederhana dengan titik (kerikil) untuk satu dan

tangkai (“__“) untuk lima.

Gambar 3.4

Ciri-ciri sistem numerasi Maya:

a) Menggunakan basis 20

b) Mengenal simbol 0 yaitu (8)

c) Ditulis secara tegak atau vertikal.

Gambar 3.5

53

5. Sistem Romawi (± 500 SM - 1600)

Sistem numerasi Romawi ini menggunakan basis 10. Pada dasarnya,

sistem Romawi ini merupakan sistem penjumlahan dan sistem perkalian. Jika

simbol-simbol sebuah angka mempunyai nilai yang menurun dari kiri ke kanan,

maka nilai angka tersebut dijumlahkan. Sebaliknya jika sebuah angka mempunyai

nilai yang naik dari kiri ke kana, maka nilai angka tersebut dikurangkan. Dalam

hal pengurangan, sebuah angka tidak pernah ditulis lebih dari 2 simbol, misalnya

IV, IX, XL, CD, CM.

Contoh :

CX = 100 + 10 = 110 (dari kiri ke kanan nilainya menurun, jadi

dijurnlahkan).

XC = 100 - 10 = 90 (dari kiri ke kanan nilainya naik, jadi dikurangkan).

Posisi dari sebuah simbol/huruf menduduki tempat yang penting, karena

CX dan XC merupakan dua angka yang berbeda, yaitu 110 dan 90. Tetapi

walaupun demikian, sistem Romawi ini tidak menggunakan nilai tempat.

Hingga saat ini sistem Romawi ini masih sening digunakan.

Gambar 3.6

Dalam sistem Romawi, penulisan sebuah bilangan tidak boleh

menggunakan lebihdari 3 simbol yang sama secara berurutan.

Contoh 1:

4 ditulis IV dan bukan IIII

9 ditulis IX dan bukan VIIII

Untuk menulis sebuah bilangan yang besar digunakan. simbol garis (“_“)

di atas simbol yang bersangkutan, misalnya V berarti 5 dikalikan 1000, atau 5000.

Lambang V berarti 5 dikalikan 1.000.000, atau 5.000.000.

54

Jadi sebuah simbol yang dibeni tanda garis di atasnya menunjukkan

sebuah bilangan yang ditunjukkan simbol tersebut dikalikan dengan 1.000. Jika

tanda garisnya dua buah, maka dikalikan dengan 1.000.000, demikian seterusnya.

Contoh 2:

a) MMMDCCLXIII = 3000 + 700 + 60 + 3

= 3763

b) MMMXCDCCXLIX = 3090.1000 + 700 + 40 + 9

= 3.090.749

c) VI = 6.000

d) VII = 7.000.000

e) IVDCXLVII = 4.1000 + 600 + 40 + 7

= 4.647

f) LMDXXI = 50.1000000 + 1000 + 500 +21

= 50.001.521

6. Sistem Arab-Hindu (mulai dipakai ± tahun 1000)

Ciri-ciri sistem Arab-Hindu:

a) Menggunakan basis 10

b) Menggunakan nilai tempat

c) Menggunakan angka : 1, 2, 3, 4, . . . , 9

d) Mengenal simbol “0” (nol).

Karena sistem ini menggunakan basis 10 maka disebut juga sebagai sistem

desimal. Sistem desimal ini menggunakan ide nilai tempat, misalnya 492 :

4 menunjukkan 4 buah himpunan seratusan (400)

9 menunjukkan 9 buah himpunan sepuluhan (90)

2 menunjukkan 2 buah himpunan satuan (2)

Contoh 1 :

Gambar berikut menunjukkan nilai tempat dan angka-angka dalam 192,

123456, dan 1578263.

55

Gambar 3.6

Contoh 2 :

Angka 3 terdapat pada tiap lambang 123, 231 dan 321. Karena posisinya,

maka angka tiga tersebut mempunyai nilai yang berbeda-beda. Pada lambang

“123”; 3 berarti 3 satuan (3). Pada lambang “231”; 3 berarti. 3 puluhan (30). Pada

lambang “321”; 3 berarti 3 ratusan (300).

Dalam sistem desimal, setiap posisi yang berurutan (dari kanan ke kiri),

harus dikalikan dengan 10. Tempat pertama (paling kanan) menunjukkan ada

berapa buah satuan, tempat kedua menunjukkan ada berapa buah (l0 x l)-an,

tempat ketiga menunjukkan ada berapa buah (l0 x l0)-an, tempat keempat

menunjukkan ada berapa buah (l0 x l0 x l0)-an, demikian seterusnya.

Jadi 4567 adalah kependekan dari :

4 (10.10.10) + 5 (10.10) + 6 (10) + 7 (1) atau :

4 (10)3 + 5(10)

2 + 6(10)

1 + 7(1)

0

Penulisan di atas disebut sebagai notasi bentuk panjang dan 4567.

Untuk memudahkan penggunaan ide di atas, Anda dapat mempelajari

penjelasan mengenai notasi pangkat.

Contoh:

Tuliskan lambangnya dalam bentuk panjang untuk bilangan:

a) 76.309 b) 4.538

c) 9.300

Jawab:

56

a) 76.309 = 7(10.000) + 6(1000) + 3(100) + 9(1)

b) 4.538 = 4(1000) + 5(100) + 3(10) + 8(1)

c) 9.300 = 9(1000) + 3(100).

Kadang-kadarig a dan c ditulis sebagai:

76.309 = 7(10.000) + 6(1000) + 3(100) + 0(10) + 9(1) atau

76.309 = 7(10)4 + 6(10)

3 + 3(10)

2 + 0(10)

1 + 9(10)

0

dan

9.300 = 9(1000) + 3(100) + 0(10) + 0(1) atau

9.300 = 9(10)3 + 3(10)

2 + 0(10)

1 + 0(10)

0

Penulisan bentuk terakhir mi disebut penulisan dalam bentuk baku dengan

basis 10 (pangkat menurun).

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!

1. Tuliskan lambang-lambang berikut dengan notasi bentuk panjang :

Contoh : 1234 = 1(1000) + 2(100) + 3(10) + 4(1)

a) 3.222.007 b) 361.152

c) 8001

2. Tulislah dengan notasi bentuk baku basis 10.

a) 3(1000) + 2(10) + 5 b) 7(100) + 3(10)

c) 2(100.000) + 3

3. Tulislah setiap lambang bilangan pada nomor 1 dengan menggunakan sistem

Mesir dan Romawi.

4. Nyatakan nilai tempat angka 6 pada tiap lambang bilangan di bawah ini:

a) 3674 b) 637

c) 6 d) 526.987.123

5. Lengkapilah dengan lambang bilangan tabel berikut:

57

6. Tulislah dengan sistem Babilonia :

a) 76 b) 184 c) 1728

7. Pada suatu han Bram bermimpi menjual 1ayang-layangnya di pasar

internasional. Ia memiliki 153 buah layang-layang. Pembeli pertama

adalah seorang Mesir, ía membeli sebanyak ∩ | | | | | | buah. Pembeli kedua

adalah seorang Babilonia, ía membeli sebanyak <<< VVVVVVVV buah

dan pembeli ketiga adalah seorang Romawi sebanyak XIV buah. Akhirnya

seorang Asia ingin memborong layang-layang yang tersisa. Berapa buah

layang-layangkah yang dibeli oleh orang Asia tersebut?

B. Notasi Pangkat

Dalam sistem numerasi yang menggunakan nilai tempat, akan lebih mudah

dipahami jika menggunakan notasi pangkat. Seperti penulisan 3.3.3.3, bisa ditulis

34. Definisi : Jika a dan n masing-masing merupakan bilangan asli, maka

pangkat ke n dan a, ditulis an didefinisikan sebagai:

Padanotasi pangkat “an”

a disebut bilangan pokok

n disebut pangkat atau eksponen, dan

an disebut bilangan berpangkat.

Sebuah bilangan yang lambangnya ditulis dalam bentuk an

dikatakan

sebagai bilangan yang ditulis dalam bentuk pangkat (notasi ini diperkenalkan oleh

seorang ahli matematika Perancis, Descartes pada abad XVI).

58

Con toh :

Bilangan berpangkat 74

7 merupakan bilangan pokok,

4 merupakan pangkat/eksponen dan bilangan berpangkat tersebut.

74 dibaca tujuh pangkat empat, yang berarti 7.7.7.7.

Dengan menggunakan pola tertentu kita dapat mengembangkan suatu

sifat bilangan berpangkat misalnya :

(a)(a2) = (a)(a.a) = a.a.a = a

3

(a2 )(a

3) = (a.a).(a.a.a) = a.a.a.a.a = a

5

(a3)(a

4) = (a.a.a).(a.a.a.a) = a.a.a.a.a.a.a = a

7

atau

(a)(a2) = a

1+2

(a2)(a

3) = a

2+3

(a3)(a

4) = a

3+4

Secara umum, jika a, m, dan n merupakan bilangan asli, maka :

= (a.a. . . . . a)

= sebanyak m + n faktor

= am+n

Sifat :

Jika a, m, dan n merupakan bilangan asli, maka am

.an = a

m+n.

Selanjutnya bagaimanakah dengan a0? Jika ingin mendefinisikan a

0 maka

digunakan sifat di atas:

a0.a

0 = a

m+0

Karena m + 0 = m, maka : am

.a0 = a

m

Padahal am

.1 = am

; ini berarti a0= 1. Dari sini dapat dibentuk sebuah definisi

baru.

Jika a bilangan asli, maka a0 = 1

59

Berdasarkan definisi pangkat : 53.4

3 = (5.5.5)(4.4.4) dan sifat komutatif

dan asosiatif perkahian pada bilangan asli, maka pernyataan di atas dapat ditulis :

(5.5.5).(4.4.4) = (5.4).(5.4).(5.4) = (5.4)3

Secara umum :

am

.bm

= (a.a.a. . . . a) . (b.b. b. . . . b)

sebanyak m faktor

sebanyak m faktor

= (a.b).(a.b).(a.b).(a.b) . . . . . . . . . . . . (a.b)

sebanyak m faktor

= (ab)m

Sifat :

Jika a,b, dan m merupakan bilangan asli, maka :

Am

.bm

= (ab)m

Dengan cara yang sama:

(23)4 = 2

3.2

3.2

3.2

3 = 2

3+3+3+3

= 2

3.4

= 212

Secara umum :

(am

)n = (a

m. a

m. a

m. . . . . . . . . . . a

n) = a

mn

sebanyak n faktor

Sifat:

Jika a,b,m, dan n merupakan bilangan asli, maka :

(am

)n = a

mn

Contoh:

a) 2350 =1 b) 10

5 .10

3 = 10

5+3 = 10

8

c) (5x)7 = 5

7.x

7

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!

1. Tulislah dalam bentuk pangkat!

60

a) 9.36 b) 2x.2x.2x.2x

c) ab.ab.ab d) 14.18

2. Tulislah lambang setiap bilangan berikut dalam bentuk notasi. pangkat dengan

bilangan pokok 2,3,5,7, atau 11.

Contoh : 625 = 54

a) 32 b) 121

c) 1 d) 125

e) 27

3. Carilah nilai k agar setiap pernyataan di bawah ini benar.

a) (32).(3

3.3

5) = 3

k b) 1.3

7 = k

7

c) 5k.5

2 = 5

8 d) 3

k3

k = 1

e) 52.4

2 = 20

k f) 6

k+1 = 6

3

4. Tulislah dalam bentuk yang lebih sederhana :

a) 5.103 + 2.10

3 b) 5a

3 + 15a

3

c) 4a5 + 6a

5

d) 4.104+ 3.10

3 + 2.10

2 + 3.10

3 + 5.10

2 + 7.10

1

5. Dengan menggunakan nilai tempat, kita dapat menentukan manakah

bilangan yang terbesar dan dua bilangan yang diketahui.

Contoh : 305751 lebih besar dari 304973 karena :

Jika diatur secara vertikal dan rapat kanan, kemudian dibandingkan angka

demi angka, maka páda posisi ribuan, 5 lebih besar dan 4. Jadi 305751

lebih besar dari 304973

3 0 5 7 5 1

3 0 4 9 7 3

3=3 0=0 5 > 4

Dengan menggunakan prosedur di atas, tentukan bilangan manakah yang lebih

besar dan tiap pasang bilangan berikut.

a) 43.521; 43.731 b) 470.123; 470.123

c) 235.044; 235.240

6. Dengan menggunakan prosedur di atas, susunlah setiap barisan bilangan

berikut, dan yang terkecil sampai dengan yang terbesar.

61

a) 1.250.432; 1.250.324; 1.250.234

b) 46.230; 406.230; 40.625; 46.023

c) 850.670; 796.670; 804.952; 850.670

d) 63.809; 63.980; 63.809; 63.089

7. Isilah tempat yang kosong.

109 1.000.000.000 semilyar

. . . . 100.000.000 seratus juta

107 . . . . . . . . . sepuluh juta

106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 100.000 . . . . . . . . . . .

104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . seratus

. . . . . . . . . . . . . sepuluh

100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Tulislah bilangan berpangkat ini diurutkan, dari yang terkecil sampai yang

terbesar : 25 , 10

2 , 3

4 , 9

1 , 136

0 , 5

4 , 8

2.

9. Sederhanakanlah bilangan berpangkat berikut: (misalnya 3.83 = 3.2

6)

a) 23.8

5 b) 16

3.2

2

c) 92.27

0 d) 3

4.27

2

e) 55.125 f) 16

6.4

C. Sistem Numerasi dengan Nilal Tempat

Sekarang marilah kita kembali ke sistem numerasi yang menggunakan

nilai tempat. Dalam sistem numerasi yang biasa digunakan, apakah artinya jika

ditulis 37? Kita mengatakan, terdapat 3 himpunan yang masing-masing

beranggotakan 10 elemen dan 7 himpunan yang masing-masing beranggotakan 1

elemen. Dan diagramnya adalah sebagal berikut:

62

Gambar 3.7

Demikian juga dengan 24 adalah sebagai berikut:

Gambar 3.8

Misalnya kita menggunakan basis/bilangan dasar yang bukan sepuluh,

apakah artinya jika ditulis 23lima.? Dalam hal ini, basis yang digunakan adalah 5

dan simbol yang digunakan cukup 0, 1, 2, 3, 4.

Lambang 23lima berarti 2 himpunan yang masing—masing beranggotakan

5 elemen dan 3 himpunan yang masing-masing beranggotakan 1 elemen. Dan

diagramnya adalah sebagai berikut:

Gambar 3.9

63

Gambar 3.10

Secara umum, pada notasi bilangan dengan menggunakan nilai tempat

dapat digambarkan sebagai berikut :

(b) ----- ------ ----- ---- ---- ------

basis5 basis

4 basis

3 basis

2 basis

1 basis

0

Contoh 1:

Notasi 123lima , melambangkan:

1 himpunan lima lima-an

64

2 himpunan lima-an dan

3 himpunan satuan

Hal ini dapat digambarkan sebagai Gb. 3.12 berikut:

Gambar 3.11

Selanjutnya lambang bilangan diubah menjadi lambang lain dengan

basis yang berbeda.

Contoh 2:

Tulislah 234lima ke dalam lambang berbasis sepuluh.

Jawab : Pertama-tama dibuat diagram himpunan dalam basis 5; di sini

membutuhkan 2 himpunan lima. lima-an

3 himpunan lima-an, dan

4 himpunan satuan. (Gambar 2.13.a)

Pada gambar 2.13.b, menunjukkan setelah diadakan pengelompokan

dan himpunan tersebut menjadi himpunan sepuluh-an, sehingga didapat :

234lima = 69sepuluh = 69 (keterangan basis sepuluh tidak ditulis).

Gambar 3.12

65

Selanjutnya ikutilah contoh meimbangkan bilangan berbasis 3. Untuk ini

diperlukan 4 himpunan baku dan 3 simbol angka seperti berikut :

Gambar 3.13

Contoh 3 :

Buatlah diagram yang menggambarkan 212tiga.

2 himpunan tiga-tiga-an

1 himpunan tiga-an

2 himpunan satuan

Diagram adalah sebagai berkut :

Gambar 3.13

Contoh 4:

Tulislah 44 ke dalam lambang basis 3.

66

Gambar 3.13

Pertama-tama buatlah diagram dengan 44 elemen. Kemudian

kelompokkan menjadi himpunan tigaan (gambar 23. .(a)), ternyata masih

bersisa 2 elemen (2 himpunan satuan).

Gambar 2.16 (b) menunjukkan pengelompokan berikutnya, yaitu

himpunan tiga-tiga-an (4 buah), himpunan tiga-an (2 buah) dan himpunan

satuan (2 buah). Akhirnya dibentuk himpunan tiga (tiga-tiga)-an (1 buah),

67

himpunan tiga-tiga-an (1 buah), himpunan tigaan (2 buah), himpunan satuan

(2 buah) (gambar 2.16.(c)). Sehingga didapat 44sepuluh = 1122tiga

Jika Anda mengalami kesukaran, maka gunakanlah benda-benda

nyata sebagai model misalnya pipa sedotan yang dipotong-potong, mata uang

logam, kerikil, kelereng, jepitan kertas, dan sebagainya.

Kini marilah kita meningkat pada cara lain yang tidak lagi

menggunakan gambar-gambar. Misalnya kita ingin mengubah 34lima ke basis

sepuluh. 34lima artinya terdapat 3 himpunan limaan dan 4 himpunan satuan

sehingga 34lima = (3.10 + 4lima) dengan 10lima = 5sepuluh.

Jadi 34lima = (3.10 + 4lima) = (3.5 + 4sepuluh)

= (15 + 4)sepuluh = 19sepuluh = 19

Contoh 5 :

a) 124lima = ………..sepuluh

124lima = (1.102) + 2.10 + 4)lima

= (1.52 + 2.5 + 4)sepuluh

= (25 + 10 + 4)sepuluh = 39sepuluh

b) 432enam = …………… sepuluh

432enam = (4.102 + 3.10 + 2)enam

= (1.62 + 3.6 + 2)sepuluh

= (144 + 18 + 2 )sepuluh

= 164sepuluh

c) 323empat = ________sepuluh

= (3.102 + 2.10 + 3)empat

= (1.42 + 2.4 + 3)sepuluh

= (48 + 8 + 3)sepuluh

= 59sepuluh

Contoh-contoh di atas dapat juga dikerjakan dengan cara sebagai berikut:

68

Gambar 3.13

LATIHAN

Kerjakan ltihan berikut sebagai latihan.

1. Tulislah lambang bilangan dalam lambang bilangan dengan basis

;

a) lima b) dua

c) tiga d) delapan

2. Tulislah lambang bilangan dalam basis tujuh, bilangan asli mulai1tujuh sampai

dengan 35tujuh

3. Buatlah diagram untuk menggambarkan proses perubahan suatu notasi

bilangan dari basis yang satu ke basis yang lain (seperti contoh 4).

a) 32sepuluh = ----------- lima b) 42enam = -----------delapan

c) 311empat = -----------lima d) 110tiga = -----------delapan

4. Tuhislah lambang bilangan berikutnya setelah setiap lambang bilangan berikut;

misalnya : setelah 125sepuluh adalah 126sepuluh. Setelah 11dua adalah 100dua

a) 144lima b) 2222tiga

c) 1011dua d) 788sembilan

69

5. Ubahlah ke basis yang diminta (tanpa menggambar diagram).

a) 175sepuliuh = …… lima b) 134tujuh = …..tiga

c) 108sembilan = ….. delapan