bab ii tinjauan pustaka 2.1 program linear
TRANSCRIPT
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Program Linear
Program linear merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara kegiatan yang bersaing,
dengan cara terbaik yang bisa dilakukan. Persoalan ini akan muncul manakala
seseorang harus memilih tingkat kegiatan tertentu yang bersaing dalam hal
sumber daya langka yang dibutuhkan untuk melakukan kegiatan tersebut.
Program linear ini menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan
yang dihadapinya. Sifat linear disini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis
dalam model ini merupakan fungsi yang linear, sedangkan kata program
merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian, program linear adalah
perencanaan suatu kegiatan untuk memperoleh suatu hasil yang optimal [7].
2.1.1 Istilah Program Linear
Karakteristik yang digunakan dalam membangun model dari formulasi persoalan
program linear, yaitu [7] :
1) Variabel Keputusan
Variabel keputusan yaitu variabel yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2) Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan adalah fungsi dari variabel keputusan yang akan
dimaksimalkan (pendapatan atau keuntungan) atau minimalkan (ongkos).
3) Fungsi Kendala
Fungsi kendala adalah kendala yang dihadapi sehingga tidak bisa
menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.
6
4) Pembatas Tanda
Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel
keputusannya diasumsikan nonnegatif, nonpositif, atau nol.
2.1.2 Model Program Linear
Model matematis dari permasalahan program linear yang merupakan bentuk dan
susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik
program linear. Bentuk tabel standar program linear sebagai berikut [7] :
Tabel 2. 1 Tabel program linear
Aktivitas /
Sumber
Penggunaan Sumber / Unit Sumber Daya
1 2 ... N
1 𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1𝑛 𝑏1
2 𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2𝑛 𝑏2
. . . ... .
. . . ... .
. . . ... .
M 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ... 𝑎𝑚2 𝑏𝑚
∆z/unit 𝑐1 𝑐2 ... 𝑐𝑛
Tingkat 𝑥1 𝑥2 ... 𝑥𝑛
Dengan demikian, dapat dibuat formulasi model matematis dari persoalan
pengalokasian sumber-sumber pada kegiatan sebagai berikut [8]:
1 1 2 2Max, Min n nZ c x c x c x
1
n
j j
j
c x
(2.1)
Dengan syarat :
1
, , , untuk semua 1,2, , dan 0n
ij j i n
i
a x b j n x
7
Keterangan
𝑥𝑗 : Variabel keputusan ke-𝑗, dimana 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
𝑍 : Fungsi tujuan yang dioptimalkan
𝑏𝑖 : Kapasitas kendala ke-𝑖
𝑎𝑖𝑗 : Koefisien fungsi kendala ke-𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dari variabel keputusan
ke −𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.
2.1.3 Solusi Persamaan Program Linear
Banyak teknik-teknik yang dikembangkan untuk menyelesaikan suatu masalah
program linear antara lain dengan metode simpleks, titik interior, ellipsoidal,
ataupun dengan pendekatan teori game. Akan tetapi, untuk program linear yang
terdiri dari dua peubah keputusan, teknik penyelesaian yang hanya dengan
menggunakan grafik lebih mudah dan menguntungkan untuk digunakan karena
selain mudah penerapannya juga dapat dilihat bentuk geometrisnya [9].
2.2 Metode Simpleks
Metode simpleks adalah suatu metode yang digunakan untuk penyelesaian
masalah program linear dengan cara mencari penyelesaian yang layak dan
dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh
penyelesaian yang optimal. Metode ini digunakan karena metode grafik tidak
dapat menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel keputusan
yang cukup besar atau lebih dari dua [10].
Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam menggunakan metode simpleks untuk
menyelesaikan masalah program linear adalah sebagai berikut [11]:
a. Semua kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi bentuk persamaan.
b. Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh ada yang negatif.
c. Semua variabel dibatasi pada nilai nonnegatif.
d. Fungsi tujuan dapat berupa kasus memaksimalkan atau meminimalkan.
8
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linear
dengan metode simpleks [12]:
Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam bentuk standar
dan tambahkan variabel slack.
Langkah 2: Fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah diubah ke dalam bentuk
standar disusun ke dalam tabel simpleks awal. Bentuk tabel simpleks
awal adalah sebagai berikut:
Tabel 2. 2 Tabel awal simpleks
Variabel
Basis 𝑧 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑠1 𝑠2 … 𝑠𝑛 bi
𝑍 1 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑛 0 0 … 0
𝑠1 0 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 1 0 … 0 b1
𝑠2 0 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 0 1 … 0 b2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑠𝑛 0 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … amn 0 0 … 1 bn
Langkah 3: Menentukan kolom kunci. Jika kasus memaksimalkan maka kolom
kunci yang dipilih yaitu koefisien pada baris yang bernilai negatif
terbesar. Jika kasus meminimalkan maka kolom kunci yang dipilih
yaitu koefisien pada baris yang bernilai positif terbesar.
Langkah 4: Menentukan nilai rasio solusi dengan rumus berikut:
𝑅𝑖 =𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑘
dengan
R𝑖 = Rasio pada baris ke-i
𝑏𝑖 = Nilai pada ruas kanan sumber daya ke-i
𝑎𝑖𝑘 = Nilai pada entering variable atau nilai pada kolom kunci
baris ke-i kolom ke-k
Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci. Nilai yang ada pada baris kunci
diubah dengan cara membagi nilai tersebut dengan angka kunci
(pivot).
9
Langkah 6: Melakukan operasi baris elementer. Operasi baris elementer di
lakukan pada baris yang bukan merupakan baris kunci. Sehingga
kolom kunci berubah menjadi 0 kecuali angka kunci (pivot).
Langkah 7: Lakukan Langkah 3 sampai Langkah 6 sehingga diperoleh nilai
optimal pada baris. Dikatakan optimal apabila semua nilai pada baris
untuk kasus memaksimalkan bernilai positif atau nol dan nilai pada
baris untuk kasus meminimalkan bernilai negatif atau nol.
2.3 Program Linear Multi Objektif
Program linear multi objektif merupakan program linear yang meminimalkan
atau memaksimalkan fungsi tujuan yang lebih dari satu dengan himpunan
pembatas berbentuk pertidaksamaan [10].
Bentuk umum model persamaan program linear multi objektif dapat dituliskan
sebagai berikut [11] :
1 1
1
Max,Min Z ( ) ( )n
j j
j
x c x c x
⋮
1
Max,Min Z ( ) ( )n
k k j j
j
x c x c x
(2.2)
Dengan fungsi kendala
1
, , ,n
ij j i
j
a x b
𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
0jx
Keterangan
𝑍 : Fungsi tujuan yang dioptimalkan
𝑥𝑗 : Variabel keputusan ke -𝑗, dengan 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑛.
𝑏𝑖 : Kapasitas kendala ke-𝑖.
𝑎𝑖𝑗 : Koefisien fungsi kendala ke-𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dengan variabel
keputusan ke−𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.
10
2.4 Optimal Pareto
Beberapa definisi tentang optimal pareto sebagai berikut [12]:
2.4.1 Definisi Solusi Optimal Lengkap
Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal lengkap untuk kasus minimasi.
Sebuah titik *x dikatakan sebagai solusi optimal lengkap, jika dan hanya jika
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑧𝑖 ( *x ) ≤ 𝑧𝑖 (𝑥), 𝑖 = 1, . . . , 𝑘.
Namun, secara umum, solusi optimal lengkap yang secara bersamaan
meminimalkan semua fungsi tujuan ganda tidak selalu ada ketika fungsi tujuan
saling bertentangan, maka diperkenalkan konsep solusi baru yang disebut optimal
pareto dalam program linear multi objektif.
2.4.2 Definisi Solusi Optimal Pareto
Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal pareto untuk kasus minimasi.
Suatu titik *x dikatakan sebagai solusi optimal pareto jika dan hanya jika tidak
terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 lain sehingga 𝑧𝑖(𝑥) ≤ 𝑧𝑖( *x ) untuk semua 𝑖 dan 𝑧𝑗(𝑥) ≠ 𝑧𝑗( *x )
untuk setidaknya satu 𝑗.
Solusi optimal pareto terkadang disebut solusi noninferior karena tidak kalah
dengan solusi layak lainnya. Selain optimalitas pareto, optimalitas pareto lemah
berikut ini didefinisikan sebagai konsep solusi yang sedikit lebih lemah daripada
optimalitas pareto. Solusi optimal pareto juga disebut solusi optimal pareto kuat.
2.4.3 Definisi Solusi Optimal Pareto Lemah
Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal pareto lemah untuk kasus
minimasi.
Suatu titik *x dikatakan sebagai solusi optimal Pareto lemah jika dan hanya jika
tidak terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 sehingga 𝑧𝑖(𝑥) < 𝑧𝑖( *x ), 𝑖 = 1 ,2, … , 𝑘.
11
Misalkan XCO, XP , dan X WP masing-masing menyatakan himpunan solusi optimal
lengkap, optimal pareto, dan optimal pareto lemah. Dari definisi 2.4.1, 2.4.2 dan
2.4.3, dapat dengan mudah dipahami bahwa hubungan berikut berlaku:
𝑋𝑐𝑜 ⊆ 𝑋𝑝 ⊆ 𝑋𝑤𝑝
2.5 Compromise programming
Metode compromise programming merupakan metode yang digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan multi objektif untuk mencari solusi kompromi
terbaik dalam mengoptimalkan dua atau lebih fungsi objektif. Solusi optimal
diperoleh dari nilai ideal fungsi objektif [13].
2.5.1 Konsep Metode Compromise Programming
Pada [14] memperkenalkan konsep solusi kompromi. Solusi kompromi terbaik
adalah solusi yang mendekati titik ideal. Solusi ideal diartikan sebagai solusi yang
secara bersamaan dapat mengoptimalkan semua fungsi tujuan yang mempunyai
daerah yang layak. Solusi ideal digunakan untuk menentukan solusi kompromi
dengan meminimalkan fungsi jarak ke solusi ideal. Untuk itu perlu menghitung
jarak antara setiap solusi dan titik ideal. Nilai ideal untuk tujuan ke−𝑗 disebut 𝑍𝑗∗
sedangkan fungsi tujuan untuk tujuan ke−𝑗 disebut 𝑍𝑗(𝑥). Derajat kedekatan 𝑑𝑗 ,
antara fungsi tujuan dan nilai ideal dapat dirumuskan:
*
j j jd Z Z x (2.3)
ketika fungsi tujuan dimaksimalkan, atau
*
j j jd Z x Z (2.4)
ketika fungsi tujuan diminimalkan. Derajat kedekatan antara tujuan 𝑍𝑗(𝑥) dan
nilai idealnya kemudian ditambahkan menjadi fungsi jarak gabungan. Derajat
kedekatan perlu dinormalisasi untuk menghindari penjumlahan yang tidak berarti.
Tidak hanya itu, jika nilai absolut untuk mencapai tujuan ada yang berbeda, maka
skalarisasi atau normalisasi derajat kedekatan diperlukan untuk menghindari
12
solusi yang bias ke arah tujuan tersebut dan mencapai nilai yang lebih besar. Jadi,
derajat kedekatan yang dinormalisasi 𝑑𝑗𝑛 dirumuskan :
*
*
*
j j
j
j j
nZ Z x
dZ Z
(2.5)
dengan 𝑍∗𝑗 adalah nilai anti ideal untuk tujuan ke−𝑗. Derajat yang dinormalisasi
kedekatannya dibatasi antara 0 dan 1, ketika tujuan mencapai solusi ideal maka
kedekatannya adalah 0. Sebaliknya, ketika tujuan mencapai solusi anti ideal maka
derajat kedekatannya adalah 1. Oleh karena itu, derajat kedekatannya
dinormalisasi untuk mengukur persentase pencapaian suatu tujuan yang
berhubungan dengan nilai ideal. Untuk mengukur jarak antara setiap solusi dan
titik ideal, compromise programming menggunakan metrik 𝐿𝑝 dirumuskan
sebagai berikut:
1/*
1
pp
nj jp
p j
j j
Z Z xL W W
Z Z
(2.6)
atau setara dengan
1/
1
pp
np
p j j
j
L W W d
(2.7)
dengan 𝑊𝑗𝑝 adalah bobot yang mewakili perbedaan antara tujuan ke−𝑗 dan titik
ideal. Rumusan umum untuk bobot sebagai berikut:
1
1n
j
j
W
Fungsi jarak pada persamaan (2.7) dapat diterapkan pada himpunan yang layak
dan efisien alternatif untuk memilih solusi kompromi terbaik. Alternatifnya
dengan nilai terendah untuk 𝐿𝑝(𝑊) akan menjadi solusi kompromi terbaik karena
ini adalah solusi terdekat yang berhubungan dengan titik ideal. Solusi kompromi
terbaik bisa berubah sesuai dengan nilai parameter 𝑝 dan bobot 𝑊𝑗 yang dipilih
oleh pengambil keputusan. Parameter 𝑝 adalah parameter ukuran jarak. Metrik 𝐿1
(yaitu 𝑝 = 1) pada persamaan (2.6) memberikan minimalisasi deviasi relatif
13
terhadap ideal. Jika 𝑍𝑗∗ ≥ 𝑍𝑗(𝑥) untuk setiap 𝑗, karena 𝑍𝑗
∗ adalah komponen vektor
ideal, maka tanda absolut (2.6) bisa dihilangkan dan untuk metrik 𝐿1 kompromi
terbaik atau solusi terdekat titik ideal dapat dirumuskan:
*
*1 *
Min n
j j
j
j j j
Z Z xL W W
Z Z
(2.8)
dengan
x F
dengan 𝐹 adalah solusi layak. Solusi optimal dari masalah program linear untuk
setiap 𝑊1 = 𝑊2 (yaitu saat tujuan sama pentingnya). Selanjutnya untuk metrik
𝐿∞(𝑝 = ∞), deviasi maksimal antar individu diminimalkan. Artinya, ketika 𝑝 =
∞ hanya penyimpangan terbesar yang dihitung. Untuk metrik ini solusi kompromi
terbaik diperoleh dengan menyelesaikan masalah program linear sebagai berikut
[13]:
Min L d (2.9)
dengan
*
1 1
*
1 *1
i
Z Z xW d
Z Z
⋮
*
*
*
n n
n
n n
Z Z xW d
Z Z
x F
Keterangan
𝑊𝑛 : Bobot fungsi tujuan ke – 𝑛
𝑍𝑛∗ : Nilai ideal fungsi tujuan ke – 𝑛
𝑍𝑗(𝑥) : Nilai fungsi tujuan ke – 𝑛
𝑍∗𝑛 : Nilai anti ideal fungsi tujuan ke – 𝑛
𝐹 : Solusi layak
𝑑 : Deviasi terbesar
14
Strategi interaktif untuk mengurangi himpunan solusi kompromi yang
dikemukakan oleh [14] berdasarkan pada konsep displaced ideal dan disebut
metode dari displaced ideal. Dalam pendekatan ini nilai ideal sehubungan dengan
himpunan solusi kompromi baru menggantikan nilai ideal yang sebelumnya, dan
solusi kompromi (yang dikurangi) akhirnya menutup nilai ideal, menghentikan
proses.
Langkah-langkah metode displaced ideal sebagai berikut [13]:
1. Misalkan himpunan solusi kompromi adalah 𝑋.
2. Menentukan titik ideal (𝑍𝑛∗ ) dan anti ideal (𝑍∗𝑛) dari minimal fungsi
tujuan.
3. Himpunan solusi kompromi dapat diperoleh dengan menentukan solusi
pareto optimal yang diperoleh pada persamaan (2.8) dan (2.9).
4. Jika pengambil keputusan dapat menyeleksi solusi akhir himpunan solusi
kompromi maka berhenti. Jika dianggap terlalu besar maka kembali pada
langkah 2.
2.5.2 Contoh Penyelesaian Metode Compromise Programming dalam
Masalah Perencanaan Produksi
Sebuah perusahaan manufaktur ingin memaksimalkan total keuntungan, untuk
menghasilkan dua produk yaitu 𝑃1 dan 𝑃2 dengan memanfaatkan tiga material
berbeda yaitu 𝑀1, 𝑀2, dan 𝑀3. Untuk memproduksi 1 ton produk 𝑃1
membutuhkan 2 ton material 𝑀1, 3 ton material 𝑀2, dan 4 ton material 𝑀3,
sedangkan untuk menghasilkan 1 ton produk 𝑃2 membutuhkan 6 ton material 𝑀1,
2 ton material 𝑀2, dan 1 ton material 𝑀3. Jumlah total bahan yang tersedia
dibatasi masing-masing 27, 16, dan 18 ton untuk 𝑀1, 𝑀2, dan 𝑀3. Produk 𝑃1
menghasilkan keuntungan 3 juta yen per ton, sedangkan 𝑃2 menghasilkan 8 juta
yen per ton (lihat Tabel 2.3). Mengingat keterbatasan bahan tersebut, pihak
perusahaan berusaha mencari tau berapa unit produk 𝑃1 dan 𝑃2 yang harus
diproduksi untuk memaksimalkan total keuntungan. Produk˙𝑃1 menghasilkan 5
unit pencemaran sedangkan 𝑃2 menghasilkan 4 unit pencemaran. Maka dari itu,
manager tidak hanya memaksimalkan keuntungan tetapi juga harus
15
meminimalkan jumlah pencemaran. Misalkan 𝑥1 dan 𝑥2 menunjukkan variabel
keputusan yang mewakili jumlah ton untuk menghasilkan produk 𝑃1 dan 𝑃2.
Dengan menggunakan variabel keputusan, masalah perencanaan produksi dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Tabel 2. 3 Kondisi produksi dan keuntungan
Produk 𝑃1 Produk 𝑃2 Jumlah yang tersedia
Material 𝑀1 2 6 27
Material 𝑀2 3 2 16
Material 𝑀3 4 1 18
Keuntungan (juta yen) 3 8
Penyelesaian dengan metode compromise programming
Fungsi Tujuan : 1 1 2Min Z 3 8x x
2 1 2Min Z 5 4x x
Kendala
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Misalkan bobot 𝑊1 = 𝑊2 = 1 dan 𝑋 = {(𝑥1, 𝑥2) ∈ ℝ2|2𝑥1 + 6𝑥2 ≤
27, 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 16, 4𝑥1 + 𝑥2 ≤ 18, 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0}.
2. Menentukan titik ideal (𝑍𝑛∗ ) dan anti ideal (𝑍𝑛∗) menggunakan Program
lingo 11.0.
1) Mencari nilai ideal (𝑍1∗) dari fungsi tujuan pertama menggunakan
Program Lingo 11.0 diperoleh :
1 1 2Min Z 3 8x x
16
Kendala
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Diperoleh:
*
1 37Z
Mencari nilai anti ideal (𝑍1∗) dari fungsi tujuan pertama menggunakan
Program Lingo 11.0 yaitu:
1 1 2Max Z 3 8x x
Kendala
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Diperoleh :
1* 0Z
2) Sedangkan untuk mencari nilai ideal (𝑍2∗) dari fungsi tujuan kedua
menggunakan Program Lingo 11.0 yaitu :
2 1 2Min Z 5 4x x
Kendala
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Diperoleh :
*
2 0Z
17
Mencari nilai anti ideal (𝑍2∗) dari fungsi tujuan kedua menggunakan
Program Lingo 11.0 yaitu :
2 1 2Max Z 5 4x x
Kendala
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Diperoleh :
2* 29Z
3. Membangun solusi kompromi dengan menentukan solusi optimal pareto
yang diperoleh pada persamaan (2.8) dan (2.9). Masalah pemrograman dua
tujuan berikut ini dirumuskan:
1) Mencari Min 𝐿1 dari fungsi tujuan pada percobaan 1
1 2 1 2
1
3 8 37 5 4 0Min
29 00 37
x x x xL
Kendala
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Diperoleh:
0,4.5x
2) Mencari 𝑀𝑖𝑛 𝐿∞ dari fungsi tujuan pada percobaan 1
Min L d
Kendala
1 23 8 37d
0 37
x x
18
1 25 4 0
d29 0
x x
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Diperoleh:
0,2.823684x
Dari masalah tersebut, solusi kompromi merupakan garis lurus segmen
antara titik A(−36,18) dan B(−22.589472, 11.294736) dapat dilihat
pada Gambar 2.1, dimana titik A bersesuaian dengan solusi 𝑥 = (0,4.5)
meminimalkan 𝐿1 dari fungsi tujuan dan titik B terkait dengan solusi 𝑥 =
(0,2.823684) meminimalkan 𝐿∞ dari fungsi tujuan.
Gambar 2. 1 Grafik titik ideal dan solusi kompromi
4. Misalkan pengambil keputusan tidak dapat memilih solusi akhir karena
himpunan kompromi dianggap terlalu besar. Maka kembali pada langkah 2
diperoleh :
19
1) Nilai ideal (𝑍1∗) dan anti ideal (𝑍1∗) baru
𝑍1∗ = −36 dan 𝑍1∗ = −22.589472
2) Nilai ideal (𝑍2∗) dan anti ideal (𝑍2∗) baru
𝑍2∗ = 11.294736 dan 𝑍2∗ = 18
Pada langkah 3, masalah pemrograman dua tujuan berikut ini dirumuskan
ulang:
1) Mencari Min 𝐿1 dari fungsi tujuan pada percobaan 2
1 2 1 2
1
3 8 36 5 4 11.294736Min
18 11.29473622.589472 36
x x x xL
Kendala
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
Diperoleh:
0,4.5x
2) Mencari Min 𝐿∞ dari fungsi tujuan pada percobaan 2
Min L d
Kendala
1 23 8 36d
22.589472 36
x x
1 25 4 11.294736
d18 11.294736
x x
1 22 6 27x x
1 23 2 16x x
1 24 18x x
1 20, 0x x
20
Diperoleh:
0,3.661842x
Solusi kompromi yang baru merupakan sebuah garis lurus antar titik
A(−36,18) dan C(−29.294736, 14.647368) ditampilkan pada gambar
2.1, dimana titik A bersesuaian dengan solusi 𝑥 = (0, 4.5) meminimalkan
𝐿1 dari fungsi tujuan pada percobaan 2 dan titik C yang sesuai ke solusi
𝑥∗ = (0, 3.661842) meminimalkan 𝐿∞ dari fungsi tujuan pada percobaan
2. Jadi diperoleh solusi kompromi dari masalah tersebut adalah titik
C(−29.294736, 14.647368).
2.6 Investasi
Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang
dilakukan pada masa sekarang, dengan tujuan akan memperoleh keuntungan
dimasa yang akan datang [15]. Investasi juga berkaitan dengan berbagai macam
aktivitas, seperti menginvestasikan dana pada sektor riil (tanah, emas, mesin, atau
bangunan) maupun aset finansial (deposito, saham, atau obligasi).
Istilah investasi menurut [16], investasi dapat didefinisikan sebagai penundaan
konsumsi sekarang untuk digunakan dalam produksi yang efisien selama periode
tertentu. Investasi adalah penanaman modal disuatu perusahaan, dengan tujuan
agar kekayaan suatu korporasi atau perusahaan bertambah.
2.6.1 Tujuan Investasi
Ada beberapa alasan seseorang melakukan investasi yaitu [15] :
1. Dalam meraih masa depan yang layak, seseorang akan berfikir dan berusaha
dengan keras, serta bertindak dengan bijaksana untuk dapat
mempertahankan apa yang dimilikinya sekarang dan meningkatkan
pendapatan dimasa yang akan datang.
2. Mengurangi tekanan inflasi. Investasi bagi sebagian orang dan perusahaan
merupakan salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menghindari diri dari
21
risiko yang mampu menurunkan nilai kekayaan yang diakibatkan dari
pengaruh inflasi.
3. Dorongan untuk menghemat pajak. Beberapa negara terdapat kebijakan
yang dapat mendorong pertumbuhan investasi di masyarakat yaitu melalui
pemberian fasilitas perpajakan kepada masyarakat yang melakukan investasi
pada bidang-bidang tertentu.
2.6.2 Bentuk-Bentuk Investasi
Investasi pada umumnya dibedakan menjadi dua bentuk yaitu [17] :
1. Real Investment
Investasi nyata (real investment) biasanya melibatkan aset yang berwujud
seperti tanah, emas, mesin-mesin atau pabrik, dan bangunan.
2. Financial Investment
Investasi keuangan (financial investment) biasanya melibatkan aset kontrak
tertulis, seperti saham biasa (common stock) dan obligasi (bound).
Perbedaan antara investasi nyata (real investment) dan investasi keuangan
(financial investment) adalah tingkat likuiditas pada kedua investasi tersebut.
Investasi nyata (real investment) relatif lebih sulit dicairkan karena terbentur pada
komitmen jangka panjang antara investor dan perusahaan. Sedangkan investasi
keuangan (financial investment) lebih mudah untuk dicairkan karena dapat
diperjual belikan tanpa terikat oleh waktu.
2.7 Pasar Modal
Pengertian pasar modal secara umum adalah suatu wadah bagi pihak yang
memiliki dana lebih dan pihak yang membutuhkan dana sebagai aternatif
penghimpun dana dengan memperjualbelikan suatu sekuritas. Menurut Undang-
Undang No.8 tahun 1995 tentang Pasar Modal yaitu mendefinisikan pasar modal
sebagai kegiatan yang bersangkutan dengan penawaran umum dan perdagangan
efek, perusahaan publik yang berkaitan dengan efek.
22
Pasar modal pada dasarnya merupakan tempat berbagai pihak, khususnya
perusahaan yang menjual saham (stock) dan obligasi (bond), dengan tujuan dari
hasil penjualan tersebut nantinya akan dipergunakan sebagai tambahan dana atau
untuk memperkuat modal perusahaan [18]. Pasar modal juga merupakan tempat
terjadinya transaksi aset keuangan jangka panjang (long-term financial asset)
yang memiliki jatuh tempo lebih dari satu tahun [19].
2.8 Saham
Saham adalah kertas yang tercantum dengan jelas nilai nominal, nama
perusahaan, dan diikuti dengan hak serta kewajiban yang telah dijelaskan kepada
setiap pemegangnya [18]. Saham merupakan penyertaan modal dalam
kepemilikan suatu perseroan terbatas atau emiten. Pemilik saham merupakan
pemilik sebagian dari perusahaan tersebut [20].
Menurut Widoatmodjo menyatakan bahwa saham adalah tanda penyertaan atau
pemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan. Selembar saham adalah
selembar kertas yang menerangkan bahwa pemilik kertas tersebut adalah pemilik
(berapapun porsinya) dari suatu perusahaan yang menerbitkan kertas (saham)
tersebut, sesuai dengan porsi kepemilikannya yang tertera pada saham [21].
2.8.1 Saham Biasa
Saham biasa (common stock) merupakan surat berharga yang dijual oleh suatu
perusahaan yang menjelaskan nilai nominal (rupiah, dollar, yen, dan sebagainya)
dimana pemegangnya diberi hak untuk mengikuti Rapat Umum Pemegang Saham
(RUPS) dan Rapat Umum Pemegang Saham Luar Biasa (RUPSLB) serta berhak
untuk menentukan membeli right issue (penjualan saham terbatas) atau tidak,
yang selanjutnya diakhir tahun akan memperoleh keuntungan dalam bentuk
dividen [22].
23
2.8.2 Saham Preferen
Saham istimewa (preferen stock) merupakan surat berharga yang dijual oleh suatu
perusahaan yang menjelaskan nilai nominal (rupiah, dollar, yen, dan sebagainya)
dimana pemegangnya akan memperoleh pendapatan tetap dalam bentuk dividen
yang akan diterima setiap kuartal (3 bulan) [22].
2.9 Indeks LQ-45
Indeks LQ-45 merupakan nilai kapitalisasi pasar dari 45 saham yang paling liquid
dan memiliki nilai kapitalisasi yang besar. Indeks LQ-45, menggunakan 45 saham
yang terpilih berdasarkan likuiditas perdagangan saham dan disesuaikan setiap
enam bulan (setiap awal Februari dan Agustus). Dengan demikian saham yang
terdapat indeks tersebut akan selalu berubah.
Tujuan indeks LQ-45 yaitu sebagai pelengkap IHSG dan khususnya untuk
menyediakan sarana yang obyektif serta terpercaya bagi analisis keuangan,
manajer investasi, investor, dan pemerhati pasar modal lainnya dalam memonitor
pergerakan harga dari saham-saham yang aktif diperdagangkan.
2.10 Portofolio
Portofolio adalah suatu gabungan dari berbagai instrumen atau saham yang
disusun untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, jika dirumuskan secara
matematis dalam suatu model investasi terdapat dua fungsi tujuan yang
dipertimbangkan oleh investor yaitu memaksimalkan return dan meminimalkan
koefisien risiko [18].
Portofolio salah satu cara yang dilakukan oleh investor dalam mengalokasikan
sejumlah dana tertentu untuk memperoleh keuntungan yang optimum. Maka
untuk mencapai tujuan tersebut, dapat dirumuskan fungsi tujuan yaitu
meminimalkan koefisien risiko dan memaksimalkan expected return.
24
2.11 Return
Return merupakan keuntungan yang diperoleh investor dari hasil kebijakan
investasinya. Perhitungan return realisasi ini ada dua jenis yaitu diskret dan
kontinu. Return diskret dirumuskan sebagai berikut [20]:
1
1
t tt
t
S SR
S
(2.10)
dengan
𝑅𝑡 : Tingkat pengembalian (return) saham pada periode ke-𝑡
𝑆𝑡 : Harga saham pada periode ke-𝑡
Sedangkan untuk menghitung return kontinu menggunakan rumus :
1
ln ii
i
SR
S
(2.11)
dengan
𝑅𝑖 : Tingkat pengembalian (return) saham pada periode ke-𝑖
𝑆𝑖 : Harga saham pada periode ke-𝑖
2.12 Expected Return
Expected Return merupakan keuntungan yang diharapkan oleh investor di
kemudian hari dari investasinya. Rumus dari Expected Return adalah [21]:
1( )
N
ijj
i
RE R
N
(2.12)
dengan
𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖
𝑅𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya
𝑁 : Banyak periode pengamatan
25
2.13 Variansi
Variansi adalah ukuran dalam perhitungan koefisien risiko saham dengan melihat
return, expected return, dan banyak periode dilakukan pengamatan harga saham.
Varians dari N data return dapat dirumuskan [21]:
2
12
N
ij i
j
i
R E R
N
(2.13)
dengan
𝜎𝑖2 : Nilai variansi saham ke-𝑖
𝑅𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya
𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖
𝑁 : Banyak periode pengamatan
2.14 Kovariansi
Kovariansi adalah pengukur untuk menunjukkan arah pergerakan dua variabel.
Kovarian dirumuskan sebagai [22]:
1Cov ,
N
ij i mj m
j
i m
R E R R E R
R RN
(2.15)
Dengan
𝑅𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya
𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖
𝑅𝑚𝑗 : Return saham 𝑚 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya
𝐸(𝑅𝑚) : Return pasar yang diharapkan pada saham 𝑚
𝑁 : Banyak periode pengamatan
26
2.15 Koefisien Risiko
Risiko dalam berinvestasi akan ditanggung oleh investor dapat dilihat dari
koefisien risiko saham. Untuk mencari koefisien risiko dapat menggunakan rumus
sebagai berikut[22]:
2
Cov i m
i
m
R R
(2.16)
dengan
𝛽𝑖 : Koefisien risiko saham ke-𝑖
𝑅𝑚 : Return pasar (diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan(IHSG))
𝑅𝑚 =𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−1
𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−1 , dengan t = periode pengamatan
𝜎𝑚2 : Varian pasar