6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Penelitian Terdahulu

Black dan Scholes (1973) menyatakan bahwa nilai aset mengikuti Gerak

Brown Geometri, dengan drift 𝜇 (ekpektasi dari return) dan volatilias 𝜎 (deviasi

standar dari return). Berawal dari teori tersebut, mulai banyak dilakukan

penelitian terkait implementasi kalkulus stokastik pada instrumen–instrumen

dunia finansial terkait pemodelan harga saham. Beberapa penilitian yang telah

dilakukan antara lain :

1. Perhitungan Harga Opsi Eropa dengan Metode Gerak Brown Geometri

(Pradhitya, 2012).

Dalam penelitian tersebut, dibahas cara menentukan harga opsi Eropa

dengan menggunakan metode Gerak Brown Geomoteri.

2. Penerapan Kalkulus Stokastik pada Model Opsi (Nizaruddin, 2011).

Dalam penelitian tersebut, melalui penerapan teori-teori kalkulus stokastik

dibahas model persamaan harga yang diturunkan dari nilai aset suatu

perusahaan.

3. Aproksimasi PDS Harga Saham Menggunakan Metode Numerik PDS

Implisit (Noorbaity & Aisiyah, 2012)

Dalam penelitian tersebut, diteliti perbandingan keakuratan metode

numerik implisit dan metode numerik eksplisit dalam menentukan solusi

aproksimasi PDS pergerakan harga saham.

7

2.2 Landasan Teori

Pada subbagian ini akan dibahas mengenai pemodelan matematika harga

saham dan analisis pembentukan portofolio optimal. Untuk membentuk model

matematika harga saham terlebih dahulu akan dibahas mengenai proses stokastik,

Gerak Brown Geometri, dan Persamaan Diferensial Stokastik. Pembahasan

selanjutnya adalah mengenai teori portofolio optimal dan analisis pembentukan

portfolio optimal dengan model Markowitz.

2.2.1 Proses Stokastik

1. Proses Stokastik

Definisi 2.1 (Taylor & Kalin, 1998)

Proses stokastik {𝑋𝑡 ; 𝑡 𝜖𝑇} adalah himpunan variabel random yang

disusun dalam kelas–kelas dan merupakan fungsi dari parameter waktu ( t

).

Himpuan 𝑇 disebut himpunan indeks dari suatu proses stokastik. Jika

himpunan 𝑇 adalah himpunan terhitung 𝑡 𝜖 [0, 𝑇], maka proses stokastik

dikatakan sebagai proses stokastik waktu diskret dan dinyatakan dalam

bentuk {𝑋𝑛 ;𝑛 = 0,1,2, … }. Jika himpunan 𝑇 adalah suatu interval waktu

𝑡 𝜖 [0, ∞), maka proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu

kontinu dan dinyatakan dalam bentuk {𝑋𝑡 ; 𝑡 ≥ 0}.

Indeks 𝑡 sering dipresentasikan sebagai waktu dan hasilnya 𝑋𝑡 , dinyatakan

sebagai state dari proses pada waktu 𝑡. Dalam suatu proses stokastik,

8

himpunan dari semua nilai yang mungkin dari variabel random

𝑋𝑡 didefinisikan sebagai ruang keadaan (state space) proses stokastik.

Berdasarkan ruang parameter (waktu) dan ruang keadaannya, secara

umum proses stokastik diklasifikasikan menjadi empat jenis, yaitu :

a. Proses stokastik dengan state space diskret dan waktu diskret

b. Proses stokastik dengan state space kontinu dan waktu diskret

c. Proses stokastik dengan state space diskret dan waktu kontinu

d. Proses stokastik dengan state space kontinu dan waktu kontinu

2. Proses Markov

Proses Markov merupakan salah satu tipe proses stokastik yang

menyatakan bahwa hanya nilai saat ini (present value) dari suatu variabel

yang relevan untuk memprediksi nilai masa depan. Keadaan nilai masa

lalu dari suatu variabel baik sejarah maupun bagaimana cara memperoleh

nilai tersebut dianggap tidak relevan untuk memprediksi nilai pada masa

mendatang.

Definisi 2.2 (Taylor & Kalin, 1998)

Proses markov {𝑋𝑡} adalah proses stokastik dengan sifat,

𝑃 𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 𝑋0 = 𝑥0 , 𝑋1 = 𝑥1, … , 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛+1|𝑋𝑛 =

𝑥𝑛) untuk semua nilai 𝑥0, … , 𝑥𝑛+1 dan sebarang n, serta 𝑥0 , … , 𝑥𝑛+1 𝜖 𝛺

(state space ).

Proses Markov dapat diaplikasikan untuk sistem diskret maupun sistem

kontinu. Sistem diskret ialah sistem dengan perubahan kondisi (state)

9

yang dapat diamati atau terjadi secara diskret, sedangkan jika dalam suatu

sistem yang kondisi (state) berubah secara kontinu (berkelanjutan), maka

sistem tersebut disebut sistem kontinu. Dalam aplikasi proses Markov,

kondisi yang dimungkinkan terjadi pada sistem harus dapat diidentifikasi

dengan jelas. Kemungkian kondisi yang dimaksud, misalnya beroperasi

atau gagal, naik atau turun, dan sebagainya.

2.2.2 Gerak Brown

Gerak Brown adalah suatu fenomena yang ditemukan pertama kali oleh

ahli botani Robert Brown pada tahun 1827 yakni ketika serbuk sari bunga

dilarutkan ke dalam air maka dengan pengamatan mikroskopis tampak bahwa

partikel serbuk sari bunga membentuk gerakan acak di dalam air. Barulah pada

tahun 1923 Norbert Wiener menyempurnakan teori Gerak Brown dengan

mendefinisikan ukuran peluang dan menggunakan konsep integral sebagai

pondasi matematika dari analisis stokastik proses Gerak Brown. Oleh karena itu,

Gerak Brown sering juga disebut Proses Wiener (Wikipedia, 2013).

Gerak Brown selanjutnya menjadi objek kajian yang berkembang pesat di

dalam matematika dari aspek teori maupun aplikasinya. Salah satu aplikasinya

ialah Gerak Brown digunakan sebagai model untuk dinamika acak dari

pergerakan harga pada pasar saham, yang kemudian melahirkan teori integral

stokastik dan Persamaan Diferensial Stokastik.

Merujuk dari Dmouj (2006) dan Roberts (2009), berikut definisi dan

variasi Gerak Brown:

10

1. Gerak Brown (Proses Wiener)

Gerak Brown adalah salah satu proses Markov dengan state space kontinu

dan waktu kontinu.

Definisi 2.3 Suatu proses stokastik {𝑊𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown jika

memenuhi sifat-sifat berikut :

i. 𝑊𝑡 adalah fungsi kontinu dalam 𝑡

ii. 𝑊0 = 0

iii. Setiap perubahan 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 adalah berdistribusi normal dengan

mean nol dan varians 𝜎2(𝑡 − 𝑠) untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

iv. Untuk setiap 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 ≤ 𝑇; 𝑊𝑡 −

𝑊𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑊𝑣 − 𝑊𝑢 adalah variabel acak yang saling bebas

2. Gerak Brown Standar

Suatu Gerak Brown dengan 𝜇 = 0 dan 𝜎2 = 1, disebut Gerak Brown

standar (baku).

Definisi 2.4 Suatu proses stokastik {𝑊𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown

standar jika memenuhi sifat – sifat berikut :

i. 𝑊𝑡 adalah fungsi kontinu dalam 𝑡

ii. 𝑊0 = 0

iii. Setiap perubahan 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 adalah berdistribusi normal dengan

mean nol dan varians 𝑡 − 𝑠 untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

11

iv. Untuk setiap 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 ≤ 𝑇; 𝑊𝑡 −

𝑊𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑊𝑣 − 𝑊𝑢 adalah variabel acak yang saling bebas

3. Gerak Brown Geometri

Gerak Brown Geometri dikenal juga sebagai Gerak Brown Eksponensial.

Definisi 2.5 Diberikan proses Gerak Brown 𝑋𝑡 = 𝜇∗𝑡 + 𝜎𝐵𝑡 ; 𝑡 ≥ 0

dengan parameter drift 𝜇∗ = 𝜇 −1

2𝜎2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛 𝜎2 , 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑡

adalah proses Gerak Brown yang dimulai pada 𝐵0 = 0. Proses stokastik

{𝑍𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown Geometri jika 𝑋𝑡 = ln 𝑍𝑡 .

Secara ekuivalen, 𝑍𝑡 adalah Gerak Brown Geometri yang dimulai pada

𝑍0 = 𝑧 , jika

𝑍𝑡 = 𝑧𝑒𝑋𝑡 = 𝑧𝑒 𝜇−12𝜎2 𝑡+𝜎𝐵𝑡

Gerak Brown Geometri memiliki distribusi lognormal dan diketahui

bahwa Gerak Brown merupakan salah satu proses Markov, maka akan

ditunjukkan Gerak Brown Geometri sebagai variasi Gerak Brown

memenuhi sifat proses Markov.

Diberikan Gerak Brown Geometri 𝑍𝑡 = 𝑍𝑜𝑒𝑋𝑡 . Ambil 𝑡 = 𝑡 + ℎ, sehingga

diperoleh :

𝑍𝑡+ℎ = 𝑍0𝑒𝑋𝑡+ℎ

= 𝑍0𝑒𝑋𝑡+𝑋𝑡+ℎ−𝑋𝑡

12

= 𝑍0𝑒𝑋𝑡𝑒𝑋𝑡+ℎ−𝑋𝑡

= 𝑍𝑡𝑒𝑋𝑡+ℎ−𝑋𝑡

2.2.3 Persamaan Diferensial Stokastik

Persamaan diferensial tidak hanya berlaku pada model yang bersifat

deterministik, namun berlaku pula pada model yang bersifat stokastik. Persamaan

diferensial pada model yang bersifat stokastik disebut Persamaan Diferensial

Stokastik (PDS).

Definisi 2.6 (Kloeden & Platen, 1992)

Misalkan {𝑋𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} merupakan suatu proses stokastik dan 𝑊𝑡 adalah

proses Gerak Brown, maka persamaan yang didefinisikan :

𝑑𝑋𝑡 = 𝐹 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐺 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑊𝑡 . (2.1)

disebut Persamaan Diferensial Stokastik dengan 𝐹 𝑋𝑡 , 𝑡 disebut koefisien drift

dan 𝐺 𝑋𝑡 , 𝑡 disebut koefisien difusi.

2.2.4 Persamaan Diferensial Stokastik Multidimensi

Pada kasus multidimensi, 𝑿𝒕, 𝑭, dan 𝑾𝒕 pada persamaan (2.1) adalah

suatu vektor, sedangkan 𝐺 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑚 dengan 𝑛 menyatakan

jumlah variabel pada model, 𝑚 menyatakan dimensi dari proses Wiener, dan

jumlah 𝑛 tidak harus sama dengan 𝑚. Dengan demikian, Persamaan Diferensial

Stokastik Multidimensi memiliki bentuk sebagai berikut:

𝑑𝑿𝑡 = 𝑭𝑿𝑡𝑇𝑑𝑡 + 𝑮𝑑𝑾𝒕𝑿𝑡

𝑇. (2.2)

13

Perhatikan bahwa 𝑾𝒕 adalah proses wiener m-dimensi. Persamaan (2.2) dapat

dinyatakan dalam persamaan matriks sebagai berikut :

𝑑𝑋1

𝑑𝑋2

⋮𝑑𝑋𝑛

=

𝑋1

𝑋2

⋮𝑋𝑛

𝑇

𝐹1

𝐹2

⋮𝐹𝑛

𝑑𝑡 +

𝑔11 𝑔12⋯ 𝑔1𝑚

𝑔21 𝑔22 ⋯ 𝑔2𝑚

⋮𝑔𝑛1

⋮𝑔𝑛2

⋱ ⋮… 𝑔𝑛𝑚

𝑑𝑊1

𝑑𝑊2

⋮𝑑𝑊𝑚

atau dapat dirumuskan menjadi :

𝑑𝑋𝑖 = 𝐹𝑖𝑑𝑡 + 𝑔𝑖𝑗𝑑𝑊𝑡𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑋𝑖 (2.3)

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Terdapat beberapa contoh kasus dalam bidang finansial yang

membutuhkan implementasi dari Persamaan Diferensial Stokastik Multidimensi,

yaitu:

a. Penilaian suatu portofolio yang bergantung pada beberapa aset.

b. Pemodelan saham tunggal dengan volatilitas saham diasumsikan bersifat

stokastik.

c. Pemodelan pergerakan tingkat suku bunga.

2.2.5 Formula Itô

1. Proses Itô

Definisi 2.7 (Luenberger, 1998)

Suatu proses 𝑋𝑡 mengikuti proses Itô, jika

14

𝑑𝑋𝑡 = 𝑎 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑍𝑡 (2.4)

dengan parameter 𝑎 dan 𝑏 merupakan suatu fungsi dari nilai–nilai

peubah 𝑋𝑡 dan 𝑡. Sedangkan 𝑑𝑍𝑡 merupakan Gerak Brown (Proses

Wiener).

2. Lemma Itô

Lemma 2.1 (Lemma Itô) Misalkan diberikan sebuah fungsi 𝐺 dari 𝑋𝑡 dan

𝑡 atau ditulis 𝐺(𝑋𝑡 , 𝑡) yang merupakan fungsi kontinu dan diferensiabel.

𝑋𝑡 adalah proses Itô yang didefinisikan sebagai berikut

𝑑𝑋𝑡 = 𝑎 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑊𝑡

dengan 𝑊𝑡 merupakan proses Gerak Brown standar, maka 𝐺(𝑋𝑡 , 𝑡)

mempunyai bentuk diferensial stokastik sebagai berikut :

𝑑𝐺(𝑋𝑡 , 𝑡) = 𝜕𝐺

𝜕𝑡+ 𝑎 𝑋𝑡 , 𝑡

𝜕𝐺

𝜕𝑋𝑡+

1

2𝑏(𝑋𝑡 , 𝑡)2 𝜕2𝐺

𝜕𝑋𝑡2 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑋𝑡 , 𝑡

𝜕𝐺

𝜕𝑋𝑡𝑑𝑊𝑡 (2.5)

Persamaan (2.5) disebut sebagai rumus atau Formula Itô.

2.2.6 Model Harga Saham

Ketika investor yang bersikap rasional mengetahui adanya informasi baru

yang akan memengaruhi harga saham saat ini, maka investor akan cepat bereaksi

terhadap informasi tersebut, sehingga harga saham yang terbentuk akan

mencerminkan informasi yang tersedia secara cepat dan harga saham bergerak ke

tingkat harga yang sesuai dengan harga saham saat ini. Berdasarkan hal tersebut

15

harga saham dikatakan bergerak secara acak (random) dan diasumsikan mengikuti

proses Markov.

Proses Markov merupakan salah satu tipe dari proses stokastik. Pada

umumnya, proses stokastik tersebut terbagi menjadi empat kelas berdasarkan

ruang keadaan (state space) dan parameternya. Pada pemodelan pergerakan harga

saham, waktu yang dibutuhkan dalam mengamati pergerakan tersebut merupakan

suatu interval waktu. Misalkan akan diamati pergerakan harga saham X dalam

rentang periode Januari 2010-Januari 2011. Oleh karena itu, pergerakan harga

saham dikatakan memiliki waktu kontinu. Sedangkan dilihat dari perubahan

kondisi atau dalam hal ini berupa perubahan harga sahamnya, perubahan tersebut

cenderung memiliki pola yang tidak terduga dan dapat berubah secara acak pada

selang waktu tertentu (bersifat kontinu).

Misalkan 𝑆𝑡 adalah harga saham pada saat 𝑡 dan 𝜇 merupakan ekspektasi

tingkat pengembalian (return) saham per satuan waktu, maka besar pengembalian

saham yang diharapkan dari harga saham 𝑆𝑡 adalah sebesar 𝜇𝑆𝑡 . Jika perubahan

waktu 𝑡 dinyatakan sebagai ∆𝑡, maka ekspektasi perubahan (pergerakan) harga

saham untuk selang waktu ∆𝑡 dinyatakan sebagai berikut :

∆𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡∆𝑡.

Pada kenyataannya, pergerakan harga saham juga dipengaruhi oleh suatu

volatilitas saham. Volatilitas saham merupakan suatu gambaran dari

ketidakpastian mengenai pengembalian saham, sehingga deviasi standar dari

pengembalian saham per satuan waktu yang biasa dinyatakan dengan 𝜎, dapat

16

dikatakan sebagai volatilitas saham. Diasumsikan varians dari volatilitas saham

per satuan waktu adalah konstan atau dengan kata lain deviasi standar dari

pengembalian saham per satuan waktu dianggap sebanding dengan harga saham.

Dengan demikian, model pergerakan harga saham yang sesuai adalah :

∆𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡∆𝑡 + 𝜎𝑆𝑡∆𝑊𝑡 .

Jika mengambil lim∆𝑡→0 ∆𝑆𝑡 , maka diperoleh :

𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡𝑑𝑊𝑡

𝑑𝑆𝑡

𝑆𝑡= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 . (2.6)

dengan 𝑊𝑡 adalah Gerak Brown yang dimulai pada 𝑊0 = 0, 𝜇 dan 𝜎 merupakan

suatu bilangan konstan.

Selanjutnya dilakukan pengintegralan terhadap persamaan (2.6).

𝑑𝑆𝑡

𝑆𝑡= (𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 )

𝑡

𝑡−1

𝑡

𝑡−1

𝑑[ln St]t−1t = 𝜇𝑡 𝑡−1

𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡𝑡

𝑡−1 (2.7)

ln 𝑆𝑡 − ln 𝑆𝑡−1 = 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡𝑡

𝑡−1 (2.8)

Karena pada ruas kanan terdapat unsur stokastik berupa Proses Wiener, maka

tidak dapat diselesaikan dengan integral hitung biasa. Untuk menyelesaikan

persamaan (2.6) digunakan penerapan dari Lemma 2.1 (Lemma Itô).

17

Misalkan diberikan 𝐺 suatu fungsi dari 𝑆𝑡 yaitu 𝐺 = ln 𝑆𝑡 , dengan 𝑆𝑡 adalah

proses Itô yang didefinisikan sebagai persamaan (2.6), yaitu :

𝑑𝑆𝑡

𝑆𝑡= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡

𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡𝑑𝑊𝑡 .

Berdasarkan Lemma 2.1 (Lemma Itô), maka diperoleh :

𝑑( 𝑙𝑛 𝑆𝑡) 𝑡−1𝑡 = 0 + 𝜇𝑆𝑡

1

𝑆𝑡+

1

2𝜎2𝑆𝑡

2 −1

𝑆𝑡2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡

1

𝑆𝑡𝑑𝑊𝑡

𝑑(ln 𝑆𝑡) 𝑡−1𝑡 = 𝜇 −

1

2𝜎2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡

ln 𝑆𝑡 − ln 𝑆𝑡−1 = 𝜇 −1

2𝜎2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡

ln 𝑆𝑡 = ln 𝑆𝑡−1 + 𝜇 −1

2𝜎2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 (2.9)

𝑆𝑡 = 𝑆𝑡−1𝑒 𝜇−

1

2𝜎2 𝑑𝑡+𝜎𝑑𝑊𝑡 . (2.10)

Solusi (2.10) mengimplikasikan bahwa harga saham pada periode mendatang

mengikuti model Gerak Brown Geometri, sehingga harga saham akan selalu

bernilai positif.

2.2.7 Model Pasar Modal Multidimensi

Teori–teori kalkulus stokastik pada pemodelan pergerakan harga saham

yang telah dijelaskan sebelumnya melibatkan hanya satu sekuritas (saham).

Penerapan teori tersebut dapat dikembangkan untuk keuangan yang tergantung

18

pada beberapa aset. Keadaan pasar modal yang demikian disebut pasar modal

multidimensi, contohnya portofolio saham. Dalam pemodelan pergerakan harga n-

saham, diasumsikan pergerakan harga dari masing–masing saham dapat

dimodelkan sebagai Persamaan Diferensial Stokastik atau dengan kata lain

pergerakan harga sahamnya mengikuti model Gerak Brown Geometri. Sehingga,

model pergerakan harga n-saham dirumuskan dalam suatu Persamaan Diferensial

Stokastik Multidimensi.

Berikut contoh kasus untuk model pasar modal dua dimensi. Diberikan

suatu portofolio yang terdiri dari dua saham yaitu saham A dan saham B, dengan

pergerakan harga dari masing–masing saham dapat dimodelkan sebagai

Persamaan Diferensial Stokastik. Sebut 𝑆𝑡1 adalah harga saham A pada saat 𝑡 , 𝜇1

merupakan ekspektasi tingkat pengembalian saham A per satuan waktu, dan 𝜎1

menyatakan deviasi standar dari pengembalian saham A per satuan waktu,

kemudian 𝑆𝑡2 adalah harga saham B pada saat 𝑡 , 𝜇2 merupakan ekspektasi tingkat

pengembalian saham B per satuan waktu, serta 𝜎2 menyatakan deviasi standar dari

pengembalian saham B per satuan waktu.

Perubahan harga saham A dan saham B dapat dinyatakan dalam suatu

Persamaan Diferensial Stokastik, sehingga model pergerakan harga dari kedua

saham tersebut dapat dimodelkan sebagai Persamaan Diferensial Stokastik dua

Dimensi sebagai berikut :

𝑑𝑺𝑡 = (𝝁𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑾𝑡)𝑺𝑡𝑇 (2.11)

19

dengan 𝑺𝑡 = 𝑆𝑡

1

𝑆𝑡2 , 𝝁 =

𝜇1

𝜇2 , 𝝈 =

𝜎11 𝜎12

𝜎21 𝜎22 , dan 𝑾𝑡 =

𝑊1

𝑊2 . Dalam

pemodelan ini, matriks 𝝈 disebut sebagai matriks varians-kovarians dengan 𝜎11

menyatakan varians dari saham A, 𝜎22 adalah varians dari saham B, dan 𝜎12 =

𝜎21 menyatakan kovarians antara saham A dan saham B. Nilai varians yang

dinyatakan dengan notasi 𝜎11 juga bisa dinotasikan dengan 𝜎12.

Persamaan (2.11) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑆𝑡

1𝑑𝑡 + 𝜎11𝑑𝑊1 + 𝜎12𝑑𝑊2 𝑆𝑡1, (2.12)

𝑑𝑆𝑡2 = 𝜇2𝑆𝑡

2𝑑𝑡 + 𝜎21𝑑𝑊1 + 𝜎22𝑑𝑊2 𝑆𝑡2. (2.13)

Akan diuraikan penyelesain PDS dari persamaan (2.12).

Perhatikan bahwa persamaan (2.12) juga dapat dinyatakan dalam persamaan

berikut :

𝑑𝑆𝑡1

𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎11𝑑𝑊1 + 𝜎12𝑑𝑊2

𝑑𝑆𝑡1

𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗 .

2

𝑗=1

(2.14)

Selanjutnya akan dilakukan pengintegralan terhadap persamaan (2.14).

𝑑𝑆𝑡

1

𝑆𝑡1 = (𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗 ) 2

𝑗=1𝑡

𝑡−1

𝑡

𝑡−1

𝑑[ln St1]t−1

t = 𝜇1𝑡 𝑡−1𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗

2𝑗=1

𝑡

𝑡−1

20

ln 𝑆𝑡1 − ln 𝑆𝑡−1

1 = 𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗 . 2𝑗=1

𝑡

𝑡−1 (2.15)

Karena pada ruas kanan terdapat unsur stokastik berupa Proses Wiener, maka

tidak dapat diselesaikan dengan integral hitung biasa. Untuk menyelesaikan

persamaan (2.14) digunakan penerapan dari Lemma 2.1 (Lemma Itô).

Misalkan diberikan 𝐺 suatu fungsi dari 𝑆𝑡1 yaitu 𝐺 = ln 𝑆𝑡

1, dengan 𝑆𝑡1 adalah

proses Itô yang didefinisikan sebagai persamaan (2.12), yaitu :

𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑆𝑡

1𝑑𝑡 + 𝜎11𝑑𝑊1 + 𝜎12𝑑𝑊2 𝑆𝑡1

𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑆𝑡

1𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑆𝑡1𝑑𝑊𝑗

2

𝑗=1

.

Berdasarkan Lemma 2.1 (Lemma Itô), maka diperoleh :

𝑑(ln 𝑆𝑡1 ) 𝑡−1

𝑡 = 𝜇1

1

𝑆𝑡1 +

1

2 𝜎1𝑗

22

𝑗=1

𝑆𝑡1 2 −

1

𝑆𝑡1 2

𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑆𝑡1

1

𝑆𝑡1 𝑑𝑊𝑗

2

𝑗=1

𝑑(ln 𝑆𝑡1 ) 𝑡−1

𝑡 = 𝜇1 −1

2 𝜎1𝑗

22

𝑗=1

𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗

2

𝑗=1

ln 𝑆𝑡1 − ln 𝑆𝑡−1

1 = 𝜇1 −1

2 𝜎1𝑗

22

𝑗=1

𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗

2

𝑗=1

ln 𝑆𝑡1 = ln 𝑆𝑡−1

1 + 𝜇1 −1

2 𝜎1𝑗

22

𝑗=1

𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗

2

𝑗=1

21

𝑆𝑡1 = 𝑆𝑡−1

1 𝑒𝑥𝑝 𝜇1 −1

2 𝜎1𝑗

22

𝑗=1

𝑑𝑡 + 𝜎1𝑗𝑑𝑊𝑗

2

𝑗=1

. (2.16)

Solusi (2.16) mengimplikasikan bahwa harga saham di periode mendatang

mengikuti model Gerak Brown Geometri Dua Dimensi sehingga harga saham

akan selalu bernilai positif. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh solusi serupa

untuk persamaan (2.13).

Persamaan Diferensial Stokastik Multidimensi di atas merupakan bentuk

PDS Multidimensi secara umum. Selain bentuk umum tersebut, PDS

Multidimensi memiliki bentuk lain yang disebut separable variable. Kasus

multidimensi yang dapat diterapkan dalam bentuk separable variable adalah jika

pada kasus tersebut dikatakan bahwa tidak terdapat korelasi antara variabel satu

dan lainnya atau dalam kasus pemodelan saham, dikatakan tidak terdapat korelasi

antara saham satu dan lainnya.

Jika dalam pemodelan dua harga saham di atas dikatakan tidak terdapat

korelasi antara saham satu dan lainnya, maka nilai kovarians saham adalah 0 dan

matriks varians-kovarians yang terbentuk adalah sebagai berikut:

𝝈 = 𝜎1

2 0

0 𝜎22 .

Selanjutnya dengan menggunakan contoh serupa dengan pemodelan

pergerakan dua harga saham dalam bentuk PDS Multidimensi secara umum di

atas, akan dibentuk model PDS pergerakan harga dua saham dalam bentuk

22

separable variable dan penyelesaian eksak dari separable variable dari model

yang terbentuk.

Model pergerakan harga dua saham dapat dimodelkan sebagai Persamaan

Diferensial Stokastik Dua Dimensi sebagai berikut :

𝑑𝑺𝑡 = (𝝁𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑾𝑡)𝑺𝑡𝑇 (2.17)

dengan 𝑺𝑡 = 𝑆𝑡

1

𝑆𝑡2 , 𝝁 =

𝜇1

𝜇2 , 𝝈 =

𝜎11 00 𝜎22

, dan 𝑾𝑡 = 𝑊1

𝑊2 . Dalam

pemodelan ini, matriks 𝝈 disebut sebagai matriks varians-kovarians dengan 𝜎11

menyatakan varians dari saham A, 𝜎22 adalah varians dari saham B, dan 𝜎12 =

𝜎21 menyatakan kovarians antara saham A dan saham B dengan nilai kovarians

saham adalah 0 (tidak terdapat korelasi antar saham A dan B). Nilai varians yang

dinyatakan dengan notasi 𝜎11 juga bisa dinotasikan dengan 𝜎12.

Persamaan (2.17) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑆𝑡

1𝑑𝑡 + 𝜎11𝑑𝑊1 + 0 𝑑𝑊2 𝑆𝑡1

= 𝜇1𝑆𝑡1𝑑𝑡 + 𝜎11𝑑𝑊1𝑆𝑡

1

= 𝑆𝑡1 𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎11𝑑𝑊1 . (2.18)

𝑑𝑆𝑡2 = 𝜇2𝑆𝑡

2𝑑𝑡 + 0 𝑑𝑊1 + 𝜎22 𝑑𝑊2 𝑆𝑡1

= 𝜇2𝑆𝑡2𝑑𝑡 + 𝜎22𝑑𝑊2𝑆𝑡

2

= 𝑆𝑡2 𝜇2𝑑𝑡 + 𝜎22𝑑𝑊2 . (2.19)

23

Atau secara umum dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut :

𝑑𝑆𝑡𝑖 = 𝜇𝑖𝑑𝑡 + 𝜎𝑖

2𝑑𝑊𝑖 𝑆𝑡𝑖 (2.20)

untuk 𝑖 = 1,2 dan 𝜎𝑖𝑖 = 𝜎𝑖2.

Akan diuraikan penyelesaian PDS dari persamaan (2.18).

Perhatikan bahwa persamaan (2.18) juga dapat dinyatakan dalam persamaan

berikut :

𝑑𝑆𝑡1

𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎1

2𝑑𝑊1. (2.21)

Selanjutnya akan dilakukan pengintegralan terhadap persamaan (2.21).

𝑑𝑆𝑡

1

𝑆𝑡1 = (𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎1

2𝑑𝑊1)

𝑡

𝑡−1

𝑡

𝑡−1

𝑑 ln 𝑆𝑡1 𝑡−1

𝑡 = 𝜇1𝑡 𝑡−1𝑡 + 𝜎1

2𝑑𝑊1

𝑡

𝑡−1

ln 𝑆𝑡1 − ln 𝑆𝑡−1

1 = 𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎12𝑑𝑊1.

𝑡

𝑡−1

(2.22)

Karena pada ruas kanan terdapat unsur stokastik berupa Gerak Brown (Proses

Wiener), maka tidak dapat diselesaikan dengan integral hitung biasa. Untuk

menyelesaikan persamaan (2.21) digunakan penerapan dari Lemma 2.1 (Lemma

Itô).

24

Misalkan diberikan 𝐺 suatu fungsi dari 𝑆𝑡1 yaitu 𝐺 = ln 𝑆𝑡

1, dengan 𝑆𝑡1 adalah

proses Itô yang didefinisikan sebagai persamaan (2.18), yaitu :

𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑑𝑡 + 𝜎1

2𝑑𝑊1 𝑆𝑡1

𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1𝑆𝑡

1𝑑𝑡 + 𝜎12𝑆𝑡

1𝑑𝑊1.

Berdasarkan Lemma 2.1 (Lemma Itô), maka diperoleh :

𝑑 (ln 𝑆𝑡1 ) 𝑡−1

𝑡 = 𝜇1𝑆𝑡1

1

𝑆𝑡1 +

1

2 𝜎1

2 2 𝑆𝑡1 2 −

1

𝑆𝑡1 2

𝑑𝑡 + 𝜎12𝑆𝑡

11

𝑆𝑡1 𝑑𝑊1

𝑑(ln 𝑆𝑡1 ) 𝑡−1

𝑡 = 𝜇1 −1

2 𝜎1

2 2 𝑑𝑡 + 𝜎12𝑑𝑊1

ln 𝑆𝑡1 − ln 𝑆𝑡−1

1 = 𝜇1 −1

2 𝜎1

2 2 𝑑𝑡 + 𝜎12𝑑𝑊1

ln 𝑆𝑡1 = ln 𝑆𝑡−1

1 + 𝜇1 −1

2 𝜎1

2 2 𝑑𝑡 + 𝜎12𝑑𝑊1

𝑆𝑡1 = 𝑆𝑡−1

1 𝑒𝑥𝑝 𝜇1 −1

2 𝜎1

2 2 𝑑𝑡 + 𝜎12𝑑𝑊1 . (2.23)

Solusi (2.23) mengimplikasikan bahwa harga saham pada periode mendatang

mengikuti model Gerak Brown Geometri sehingga harga saham akan selalu

bernilai positif. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh solusi serupa untuk

persamaan (2.19).

Pemodelan serupa dapat diterapkan pada pasar modal dengan 𝑛 ≥ 2

saham. Namun pada penelitian ini, model pergerakan harga saham yang akan

dibentuk ialah pergerakan dari tiga buah saham.

25

2.2.8 Run Test

Uji keacakan (Run Test) merupakan analisis uji yang digunakan untuk

melihat apakah observasi (sampel) diambil secara acak (random). Run Test

dilakukan untuk data yang didapatkan secara berurutan. Suatu sampel dikatakan

acak jika antar suatu periode t dengan periode sebelumnya (𝑡 − 1) pada sampel

tidak saling berkorelasi. Oleh karena itu, uji ini juga dapat digunakan untuk

melihat apakah terdapat korelasi antar residual (masalah autokorelasi) yang dilihat

berdasarkan keacakan pada sampel.

Data yang digunakan pada Run Test dapat berbentuk kualitatif seperti data

laki-laki dan perempuan atau data kuantitatif. Pada dasarnya Run Test akan

membagi data menjadi dua kelompok. Pada data kuantitaif pembagian dua

kelompok data dapat dilakukan berdasarkan nilai median data, sehingga akan

diperoleh data yang yang lebih kecil dari nilai median dan data yang lebih besar

dari nilai median. Setiap kelompoknya akan direpresentasikan dalam suatu simbol

(kode). Sebuah deretan simbol (kode) yang sama disebut satu Run (R)

(Bagdonavicius et al., 2011).

Sebagi contoh, berikut adalah urutan jenis antrian tiket berdasarkan jenis

kelamin :

1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1

Simbol 1 menyatakan pria dan kode 2 menyatakan perempuan. Dengan demikian

deretan simbol di atas terdiri dari tujuh Run, yakni Run 1 terdiri dari dua simbol 1,

Run 2 terdiri dari empat simbol 2, Run 3 terdiri dari dua simbol 1, dan seterusnya

26

hingga Run 7. Diketahui pula bahwa terdapat tujuh data bersimbol 1 (𝑛1 = 7) dan

tujuh data bersimbol 2 (𝑛2 = 7). Adapun hipotesis pada uji ini ialah:

𝐻0 : Data pengamatan acak (random)

𝐻1 : Data pengamatan tidak acak (random)

Untuk sampel kecil (𝑛1 ≤ 20 atau 𝑛2 ≤ 20), maka tolak 𝐻0, jika 𝑅 ≤

𝑅𝑏𝑎𝑤𝑎 ℎ atau 𝑅 ≥ 𝑅𝑎𝑡𝑎𝑠 dari tabel nilai kritis untuk R dengan 𝑛1 dan 𝑛2 (tabel F).

Jika nilai R berada diantara nilai 𝑅𝑏𝑎𝑤𝑎 ℎ dan 𝑅𝑎𝑡𝑎𝑠 , maka terima 𝐻0.

Untuk sampel besar (𝑛1 > 20 atau 𝑛2 > 20), distribusi sampel R

mendekati distribusi normal Z . Jika nilai 𝑍ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝑍𝛼 , maka tolak 𝐻0. Berikut

rumus yang digunakan untuk menghitung nilai 𝑍ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 pada Run Test :

𝑍ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝑅 − (2𝑛1𝑛2)/(𝑛1 + 𝑛2) + 1

2𝑛1𝑛2(2𝑛1𝑛2 − 𝑛1 − 𝑛2) 𝑛1 + 𝑛2 2(𝑛1 + 𝑛2 − 1)

. (2.24)

2.2.9 Teori Portofolio Optimal

Investasi di pasar modal menjanjikan tingkat pengembalian (return) yang

tinggi, namun dengan semakin tinggi tingkat pengembalian yang dihasilkan maka

tingkat risikonya juga akan semakin besar. Oleh karena itu, hal yang harus

diperhatikan oleh investor adalah bagaimana investasi dapat menghasilkan tingkat

pengembalian optimal pada tingkat risiko yang minimal. Dalam memaksimalkan

tingkat pengembalian dan meminimalkan risiko, investor dapat melakukan

diversifikasi. Diversifikasi dapat diwujudkan dengan cara mengombinasikan

berbagai pilihan saham dalam investasinya (membentuk portofolio saham

optimal) (Husnan, 2003).

27

Konsep dasar yang dinyatakan dalam portofolio optimal adalah bagaimana

mengalokasikan sejumlah dana tertentu pada berbagai jenis investasi yang akan

menghasilkan keuntungan yang optimal (Bierman dan Smidt, 2007). Portofolio

optimal merupakan pilihan dari berbagai sekuritas dari portofolio efisien.

Portofolio yang efisien (efficient portfolio) didefinisikan sebagai portofolio yang

memberikan tingkat pengembalian terbesar (maksimum) dengan resiko tertentu

atau memberikan risiko terkecil dengan tingkat pengembalian tertentu.

Portofolio yang efisien ini dapat ditentukan dengan memilih tingkat

pengembalian tertentu dan kemudian meminimumkan risikonya atau menentukan

tingkat resiko tertentu dan kemudian memaksimumkan tingkat pengembaliannya.

Investor yang rasional akan memilih portofolio optimal ini karena merupakan

portofolio yang dibentuk dengan mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu

tingkat pengembalian atau risiko portofolio.

2.2.10 Teori Portofolio Markowitz

Pada awal 1950-an, seorang ekonom Amerika Serikat, Harry Max

Markowitz, mengembangkan suatu teori portofolio yang dikenal dengan Teori

Portofolio Markowitz. Teori Portofolio Markowitz menggunakan pengukuran

statistik dasar untuk mengembangkan suatu rencana portofolio, yaitu expected

return, standar deviasi, dan korelasi antar return. Teori ini memformulasikan

keberadaan unsur tingkat pengembalian (return) dan risiko dalam suatu investasi,

dengan unsur risiko dapat diminimalkan melalui diversivikasi dan

28

mengombinasikan berbagai instrumen investasi ke dalam portofolio (Markowitz,

1959).

Teori Portofolio Markowitz didasarkan atas pendekatan mean (rata-rata)

dan variance (varians), dengan mean merupakan pengukuran tingkat

pengembalian dan varian merupakan pengukuran tingkat risiko. Oleh karena itu,

teori ini disebut juga sebagai Mean – Variance Model. Pembentukan portofolio

optimal dengan pendekatan Teori Portofolio Markowitz didasarkan pada

preferensi investor terhadap return yang diharapkan dan risiko masing–masing

pilihan portofolio. Asumsi bahwa preferensi investor hanya didasarkan pada

tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dan risiko, secara

implisit menganggap bahwa investor mempunyai fungsi utilitas yang sama.

Penentuan portofolio optimal dengan menggunakan Teori Portofolio

Markowitz dilakukan dengan langkah – langkah sebagai berikut (Husnan, 2003):

1. Menghitung return masing – masing saham. Return saham dapat dihitung

dengan menggunakan persamaan berikut:

𝑟𝑡 = 𝑆𝑡− 𝑆𝑡−1

𝑆𝑡−1 (2.25)

dengan 𝑟𝑡 menyatakan return harga saham pada waktu 𝑡, 𝑆𝑡 menyatakan harga

saham pada waktu 𝑡, dan 𝑆𝑡−1 menyatakan harga saham pada waktu 𝑡 − 1.

2. Menghitung expected return saham (𝜇). Nilai 𝜇 dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan berikut:

𝜇 = 𝑟𝑡𝑛

𝑛

𝑡=1

(2.26)

29

dengan 𝑛 menyatakan waktu (periode) pengamatan.

3. Menghitung risiko (varians dan deviasi standar saham). Ukuran penyebaran

ini dimaksudkan untuk mengetahui seberapa jauh kemungkinan nilai yang

akan diperoleh menyimpang dari nilai yang diharapkan. Varians saham ialah

nilai pangkat dua dari deviasi standar saham, sedangkan deviasi standar

saham direpresentasikan sebagai volatilitas saham. Varians dan deviasi

standar dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:

𝜎2 = 𝑟𝑡 − 𝜇

𝑛

2𝑛

𝑡=1

𝑑𝑎𝑛 𝜎 = 𝑟𝑡 − 𝜇

𝑛

2

.

𝑛

𝑡=1

(2.27)

4. Menghitung kovarians antar dua saham dalam portofolio. Rumus yang

digunakan untuk menghitung kovarian adalah sebagai berikut:

𝜎𝑋𝑌 =1

𝑛 𝑋𝑡 − 𝜇𝑋 𝑌𝑡 − 𝜇𝑌 (2.28)

𝑛

𝑡=1

dengan 𝜎𝑋𝑌 menyatakan kovarians antara saham 𝑋 dan saham 𝑌, 𝑋𝑡 , 𝑌𝑡

menyatakan return harga saham X dan return harga saham Y pada waktu t,

dan 𝜇𝑋 , 𝜇𝑌 menyatakan expected return saham X , expected return saham Y.

5. Menghitung koefisien korelasi antar saham dalam portofolio. Besar kecilnya

koefisien korelasi akan berpengaruh terhadap risiko portofolio. Rumus yang

digunakan untuk menghitung koefisien korelasi antar saham adalah sebagai

berikut:

30

𝜌𝑋𝑌 =𝜎𝑋𝑌

𝜎𝑋 𝜎𝑌=

1𝑛 𝑋𝑡 − 𝜇𝑋 𝑌𝑡 − 𝜇𝑌

𝑛𝑡=1

𝑋𝑡 − 𝜇𝑋

𝑛 2

𝑛𝑡=1

𝑌𝑡 − 𝜇𝑌

𝑛 2

𝑛𝑡=1

(2.29)

dengan 𝜌𝑋𝑌 menyatakan koefisien korelasi antara saham X dan saham Y , 𝜎𝑋𝑌

menyatakan kovarians antara saham X dan saham Y dan 𝜎𝑋 , 𝜎𝑌 menyatakan

deviasi standar saham X, deviasi standar saham Y.

6. Menghitung expected return dari portofolio saham. Untuk menghitung

tingkat pengembalian yang diharapkan dari portofolio (expected return

portofolio) digunakan persamaan berikut:

𝐸(𝑅𝑝) = wiμi

n

i=1

(2.30)

dengan 𝐸(𝑅𝑝) menyatakan tingkat pengembalian portofolio , wi menyatakan

proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ke-i, dan μi menyatakan

tingkat pengembalian saham ke-i.

7. Menghitung risiko dari portofolio saham. Untung menghitung risiko

portofolio digunakan persamaan sebagai berikut:

𝜎𝑝2 = 𝑤𝑖

2𝜎𝑖2 + 𝑤𝑖𝑤𝑗𝜎𝑖𝑗 .

𝑛

𝑗=1𝑖≠𝑗

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

(2.31)

Pada pembentukan portofolio optimal dengan model Markowitz,

portofolio optimal yang terbentuk merupakan pilihan dari bebagai sekuritas dari

portofolio efisien. Kumpulan portofolio efisien Markowitz terletak pada garis

batas (efficient frontier) serangkaian portofolio yang memiliki pengembalian

maksimal untuk tingkat pengembalian tertentu. Inti dari efficient frontier

31

Markowitz adalah bagaimana mengalokasikan dana ke masing–masing saham

dalam portofolio untuk mencari titik optimal portofolio. Alokasi dana yang

diberikan pada masing–masing saham akan berpengaruh terhadap tingkat

pengembalian saham dan tingkat risiko yang dihasilkan. Investor dapat melakukan

sejumlah kombinasi alokasi dana pada masing – masing saham untuk memperoleh

sejumlah portofolio yang diinginkan.

Berdasarkan sejumlah portofolio yang telah dibentuk, dapat ditentukan

portofolio optimal dengan cara optimasi sebagai berikut:

Minimumkan : 𝑤𝑖2𝜎𝑖

2 + 𝑤𝑖𝑤𝑗𝜎𝑖𝑗 (2.32)

Dengan batasan :

1. 𝑤𝑖 = 1

2. 𝑤𝑖𝜇𝑖 = 𝐸(𝑅𝑝)

3. 𝑤𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,2,3