II-1

BAB II

TEORI GELOMBANG DAN ARUS DEKAT PANTAI

II.1 Teori Gelombang

Gelombang laut dapat ditimbulkan oleh berbagai gaya pembangkit, seperti gaya

angin, gaya gempa, gaya tarik benda-benda langit dan lain-lain, sedangkan berdasarkan gaya

pulih (restoring force) terdapat gelombang gravitasi, gelombang kapiler, gelombang

viskositas dan lain-lain. Pada Tugas Akhir ini dibahas mengenai penjalaran dan transformasi

gelombang pada perairan dangkal serta gelombang pecah akan dibahas secara lebih rinci

dalam penjabaran berikut.

Transformasi gelombang merupakan peminjaman istilah dari disipasi energi

gelombang. Istilah transformasi memang dapat berarti berubah menjadi semakin kecil

ataupun berubah menjadi semakin besar. Ketika berubah menjadi semakin kecil, maka jelas

berarti gelombang mengalami disipasi, tapi pada saat berubah menjadi lebih besar, maka ada

saat sesaat gelombang tak mampu menjaga keseimbangan yang telah diperoleh sebelumnya,

sehingga gelombang akan mengalami disipasi untuk menempatkan keseimbangan kembali.

Proses transformasi semakin besar pengaruhnya di sekitar pantai (nearshore) karena

batimetri yang beragam termasuk adanya bangunan pantai yang dapat mengubah

karakteristik gelombang. Beberapa perubahan yang terjadi pada karakteristik gelombang

yang menjalar masuk ke perairan dangkal diantaranya tinggi gelombang (H) dan sudut

datang gelombang (θ). Jika dianggap tidak terdapat kehilangan energi selama penjalaran

gelombang, dari observasi terlihat bahwa tinggi gelombang pecah umumnya lebih tinggi

daripada tinggi gelombang di lepas pantai. Perubahan lain adalah perubahan panjang

gelombang (L) terhadap kedalaman serta perubahan arah gelombang atau refraksi. Berikut ini

akan dideskripsikan mengenai fenomena transformasi, seperti pendangkalan (shoaling),

pembelokan (refraksi), penyebaran (difraksi) dan pemantulan (refleksi) gelombang serta

gelombang pecah (wave breaking).

Pada kenyataannya proses penjalaran gelombang yang memasuki perairan dangkal

merupakan fenomena yang cukup kompleks, oleh karena itu diberikan beberapa asumsi

untuk menyederhanakan masalah, yaitu :

II-2

1. Energi gelombang di antara dua sinar gelombang adalah konstan.

2. Arah sinar gelombang tegak lurus dengan puncak gelombang.

3. Perubahan kecepatan gelombang hanya dipengaruhi oleh perubahan kedalaman

perairan setempat.

4. Muka gelombang adalah panjang, perioda konstan, amplitudo kecil dan

monokromatik.

5. Efek arus, angin, refleksi dari pantai dan variasi perlapisan air diabaikan.

Gambar 2.1. Perubahan arah penjalaran sinar gelombang akibat perubahan kedalaman

(sumber: Shore Protection Manual, Volume I, 1984)

II.1.1 Shoaling dan Refraksi Gelombang

Ketika gelombang mencapai daerah pantai, gelombang akan terpengaruh oleh dasar

perairan dan arus balik, sehingga gerak partikel tidak lagi orbital sempurna dan parameter-

parameter gelombangnya merupakan fungsi dari kedalaman. Karena partikel air yang

bergerak akibat adanya gelombang telah menyentuh dasar perairan maka akan terjadi disipasi

oleh gesekan dasar dan cepat rambat gelombang pun menjadi lebih lambat. Transformasi

gelombang ini tidak terjadi tiba-tiba, kemudian gelombang pecah tapi efek pertama yang

terjadi adalah kecepatan yang berkurang sehingga terjadi pengurangan panjang gelombang

II-3

dan penambahan tinggi gelombang (shoaling). Kemudian terjadi perubahan arah gelombang

(refraksi).

Pada peristiwa refraksi ini berlaku hukum Snellius, yaitu :

(2.1)

Dari asumsi (2.1), energi gelombang adalah konstan. Misalkan b0 adalah jarak

orthogonal antara dua sinar gelombang di perairan dalam sedangkan b1 dan b2 adalah jarak

dua sinar gelombang di perairan dangkal, maka :

(2.2)

(2.3)

(2.4)

atau perairan dangkal (notasi 1) diganti perairan dalam (notasi 0) maka

(2.5)

dimana :

= koefisien pendangkalan (shoaling) (2.6)

Koefisien refraksi, yaitu :

(2.7)

(2.8)

0

0

sinsinC C

θθ=

1 1 2 2b P b P=

1 1 1 2 2 2b E Cg b E Cg=

1 12 2

2 1 1

1 2 2s r

H Cg b k kH Cg b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 12 2

0 02 0

2 22Cg bH HCg b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12

0

22sCgkCg

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 0 2 0 2cos cosb l dan b lθ θ= =

1 12 2

0 0

2 2

coscosr

bkb

θθ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

II-4

Gambar 2.2. Diagram refraksi sinar gelombang

(sumber : Shore Protection Manual volume I, 1984)

II.1.2 Difraksi dan Refleksi Gelombang

Analogi difraksi maupun refleksi dapat diilustrasikan seperti pada suatu barisan yang

saling berderetan, jika orang yang berada di sisi kanan tertahan oleh suatu penghalang, maka

barisan sebelah kiri akan membelok dan mengisi kekosongan barisan di sisi kanan. Demkian

juga dengan gelombang, muka gelombang yang tidak tertahan akan mengisi kekosongan

energi karena muka gelombang yang tertahan tidak dapat terus merambatkan energinya.

Apabila puncak gelombang yang panjang melewati bagian ujung dari suatu

penghalang, misalnya suatu pemecah gelombang, maka sebagian energinya akan dipantulkan

kembali, tetapi sebagian besar dari energi gelombang tersebut akan ditransfer secara lateral

yang menyebabkan terjadinya difraksi di sekitar bagian ujung pemecah gelombang tersebut.

Pemantulan gelombang terjadi di sepanjang pemecah gelombang, yaitu pada bagian yang

berhadapan dengan gelombang datang. Sedangkan difraksi terjadi di sekitar ujung pemecah

gelombang.

II-5

Pada kasus muka gelombang yang terhalang pemecah gelombang, di belakang

pemecah gelombang terdapat zona bayangan, jika gelombang datang dan memasuki zona

tersebut maka tinggi gelombang berubah secara drastis menyebabkan medan gelombang

tidak lagi konstan. Akibat terjadinya proses ini, energi gelombang akan terpencar dan

tersebar mengisi daerah yang kosong.

II.1.3 Gelombang Pecah

Koefisien pendangkalan memperlihatkan bahwa tinggi gelombang menuju tak

terhingga pada perairan yang sangat dangkal.Pada kenyataanya, pada titik tertentu ketinggian

gelombang akan mencapai ketinggian maksimum, dimana setelah gelombang mencapai

ketinggian maksimumnya maka gelombang akan pecah.

Ketika gelombang merambat menuju perairan dangkal maka panjang gelombang akan

berkurang sedangkan tinggi gelombang akan meningkat yang menyebabkan kecuraman

gelombang (wave steepness) yaitu H/L akan bertambah. Gelombang pecah akan terjadi

ketika kecuraman gelombang melewati titik kritisnya yang merupakan fungsi dari kedalaman

relatif (d/L) dan kemiringan pantai (m).

Untuk memahami peristiwa gelombang pecah diperkenalkan suatu indeks, yaitu

indeks gelombang pecah yang terdiri dari dua bagian yaitu :

1. indeks kedalaman pecah :

bb

b

Hd

γ = (2.9)

2. indeks ketinggian gelombang pecah :

0

bb

HH

Ω = (2.10)

Mc Cowan (1894) menurunkan bahwa gelombang mulai pecah bila tinggi gelombang

mencapai 0.78 kali kedalaman perairan :

bH dbγ= (2.11)

II-6

dimana :

0.78γ = (2.12)

Sedangkan Weggel (1972) dari hasil penelitian laboratorium mendapatkan bahwa

gelombang pecah bergantung pada kemiringan dasar pantai yang dijelaskan dalam hubungan

berikut :

2b

bHb a

gTγ = −

(2.13)

Untuk kemiringan pantai mendekati 0 maka parameter a dan b didefinisikan sbb :

( )19tan43.8 1a e β−= − dan

( )19.5tan

1.561

be β−

=+ (2.14)

Komar dan Gaughan (1973) menurunkan hubungan semi empiris untuk menghitung

indek ketinggian gelombang pecah sbb :

1' 50

0

0.56bHL

−⎛ ⎞

Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.15)

II.1.4 Fluks Energi

Fluks energi dalam arah sejajar pantai di daerah surf zone didekati dengan asumsi

kekekalan fluks energi pada gelombang yang mengalami efek pendangkalan (shoaling

waves), dengan menggunakan teori gelombang amplitudo kecil (small amplitude wave

theory) dihitung fluks energi pada daerah gelombang pecah. Fluks energi per unit panjang

dari puncak gelombang atau laju energi gelombang yang ditransmisikan melewati bidang

dari unit lebar yang tegak lurus terhadap arah gelombang datang adalah :

2

8g ggP E C H Cρ

= = (2.16)

II-7

Jika gelombang datang membentuk sudut dengan dengan garis pantai maka fluks energi

dalam arah gelombang datang per unit panjang dari pantai, adalah :

2cos cos8 ggP H Cρα α=

(2.17)

dan komponen sejajar pantai dari fluks energi diberikan oleh :

2cos sin cos sin8 ggPl P H Cρα α α α= =

(2.18)

karena :

1cos sin sin 22

α α α=,

maka :

2 sin 216 g

gPl H Cρ α= (2.19)

pendekatan untuk Pl pada titik pecah di berikan oleh :

2 sin 216 b b b

gPlb H Cρ α= (2.20)

hubungan di atas hanya valid digunakan pada satu sinar gelombang berjalan dengan satu

perioda dan satu tinggi gelombang, sedangkan hampir semua data gelombang memiliki

karakteristik yang tergantung pada variasi tinggi gelombang. Pada umumnya data tinggi

gelombang yang dijadikan acuan dalam berbagai pekerjaan engineering adalah tinggi

gelombang signifikan, untuk itu tinggi gelombang signifikan disubstitusikan kedalam

persamaan di atas yang menghasilkan :

2 sin 216 sb gb b

gPls H Cρ α= (2.21)

II.1.5 Setup dan Setdown Gelombang

Pada saat gelombang menjalar dari perairan dalam menuju pantai, tinggi gelombang

terus bertambah besar dan pada titik pecah terjadi tinggi gelombang maksimum. Dari titik

pecah ke garis pantai tinggi gelombang akan berkurang kembali. Dengan bertambahnya

tinggi gelombang dari laut dalam ke titik pecah, permukaan air turun secara kontinu sampai

II-8

posisi gelombang pecah. Kejadian ini disebut setdown gelombang. Setdown maksimum

terjadi di titik pecah.

a. Setdown

Dengan mengasumsikan bahwa gelombang permukaan menjalar pada perairan

dengan kedalaman konstan dalam arah-x, maka kekekalan momentum dalam arah-x dapat

ditulis sebagai (Izumiya, 1988) :

( )dxdhgS

dxd

xxζζρ +−= (2.22)

Dengan menggunakan kekekalan fluks energi dan diasumsikan ζ kecil bila

dibandingkan dengan kedalaman perairan, h, di luar surfzone, maka hasil integrasi dari

persamaan di atas menghasilkan set down (Izumiya, 1988) :

khkH

2sinh81 2

−=ζ (2.23)

b. Setup

Di dalam surfzone energi gelombang terdisipasi karena gelombang pecah, sehingga

stress radiasi Sxx berkurang dan akan terjadi gelombang setup. Tinggi gelombang pecah dapat

didekati dengan persamaan H = γ (h+ζ ). Stress radiasi di dalam surfzone ESxx 5,1= .

Dengan menggunakan pendekatan perairan dangkal dan teori gelombang linier, maka

diperoleh (Izumiya, 1988) :

( )hhK BB −=−ζζ

(2.24)

dengan hB adalah kedalaman perairan di tempat gelombang pecah, Bζ adalah elevasi muka

air pada saat gelombang pecah 23811γ+

=K dan γ adalah konstanta pembanding.

II-9

II.1.6 Model Gelombang ST-Wave

Interaksi antara gelombang dengan arus sangatlah penting dalam hubunganya dengan

frame bergerak bersama arus. Parameter gelombang pada frame ini ditunjukkan dengan

subscript r, yang berarti “relatif” terhadap arus, dan untuk parameter yang acuan frame-nya

tetap, ditunjukkan dengan subscript a yang berarti “absolut”. Hubungan dispersi gelombang

untuk acuan frame yang bergerak diberikan dalam (Jonsson 1990 dll).

2 tanhr gk kdω = (2.25)

dimana,

ω = frekuensi sudut

g = percepatan sudut

k = bilangan gelombang

d = kedalaman

Pada frame acuan absolut, persamaan dispersi diberikan persamaan berikut :

( )cosa r kUω ω δ α= + − (2.26)

dimana,

U = kecepatan arus

δ = arah arus relatif terhadap frame acuan (sumbu x)

α =arah orthogonal (normal terhadap muka gelombang) (Gambar 2.3)

Bilangan gelombang diselesaikan dengan substitusi persamaan (2.25) ke persamaan

(2.26) dan secara iteratif untuk mendapat k. Bilangan gelombang dan panjang gelombang

( )(2 ) /L kπ= keduanya berada pada frame acuan yang sama. Solusi untuk refraksi dan

shoaling juga memerlukan kecepatan gelombang, C, dan celerity kelompok, Cg, keduanya

pada frame acuan yang sama.

II-10

Pada frame acuan relatif terhadap arus:

rrC

kω

= (3.27)

20.5 1sinh 2gr r

kdC Ckd

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.28)

Gambar 2.3 Sketsa acuan arah gelombang dan vektor arus

Arah dari kecepatan dan kecepatan group relatif adalah α, orthogonal arah

gelombang. Pada referensi frame absolut:

( )cosa rC C U δ α= + − (3.29)

( ) ( ) ( )ga gr ll lC C U= + (3.30)

dimana subscript i adalah notasi tensor untuk komponen x dan y. Arah dari kecepatan absolut

juga merupakan arah orthogonal gelombang. Kecepatan grup absolut di definisikan sebagai

sinar gelombang, sinar gelombang pada Gambar 2.3 diberikan sebagai berikut:

1 sin sintan

cos cosgr

gr

C UC U

α δμ

α δ−⎛ ⎞+

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ (2.31)

II-11

Perbedaan antara orthogonal gelombang (arah tegak lurus puncak gelombang) dan

sinar gelombang (arah dari penjalaran energi) sangatlah penting untuk menggambarkan

interaksi arus-gelombang. Tanpa arus, sinar gelombang dan orthogonal adalah sama, akan

tetapi dengan adanya arus, energi gelombang bergerak sepanjang sinar di mana arah

gelombang searah dengan orthogonal gelombangnya.

Arah orthogonal gelombang untuk kondisi steady state diberikan oleh (Mei 1989;

Jonsson 1990):

sinh 2t tr

gak DUC kD DdC

DR kd Dn k Dnα= − − (2.32)

dimana,

D = derivative

R = koordinat pada arah sinar gelombang

n = koordinat normal pada orthogonal gelombang

Persamaan pembangun kekekalan steady state dari aksi spektrum gelombang

sepanjang sinar gelombang diberikan oleh (Jonsson 1990):

( ) ( ) ( )cos ,a ga aga t

t r r

C C E a SCx

μ α ωω ω−∂

=∂ ∑ (2.33)

dimana,

E = kerapatan energi gelombang dibagi ( ρwg), dimana ρw adalah kerapatan air

S= suku source dan sink energi

II-12

II.2 Teori Dasar Arus Sejajar Pantai

Secara umum terdapat dua sistem arus yang langsung disebabkan oleh gelombang di

perairan pantai, yaitu: 1) suatu sistem sirkulasi sel dari rip currents bergabung dengan

longshore currents, dan 2) longshore currents yang dihasilkan oleh gelombang datang

menuju pantai kemudian pecah dengan puncak gelombang pecah yang membentuk sudut

terhadap garis pantai (Komar,1976 dalam Amnelia, 2003).

Gelombang pecah tersebut menimbulakan fluks momentum (stress radiasi) yang

merupakan pembangkit utama arus sejajar pantai. Arus ini sebagian besar berada di daerah

perairan pantai diantara garis gelombang pecah dan garis pantai atau pada daerah surf zone.

Kecepatan arus berkurang secara cepat dari daerah gelombang pecah ke garis pantai hingga

nol.

Pola arus rip current terjadi bila muka gelombang yang datang secara efektif pecah

sejajar dengan garis pantai. Arus yang terjadi adalah arus yang bergerak keluar dari surf zone

menuju offshore dengan kecepatan tinggi. Jika gelombang datang dan gelombang pecah,

puncaknya membentuk sudut relatif kecil terhadap garis pantai, maka dapat terjadi sistem

arus pantai yang merupakan gabungan dari kedua pola di atas, yaitu longshore current dan

rip current.

Setiap sistem gelombang yang datang menuju pantai, profil kedalaman dan garis

pantai akan menentukan karakteristik pola longshore current dan rip current. Apabila

gelombang datang cukup banyak, maka jumlah rip current sedikit dan bergerak cepat.

Sebaliknya apabila gelombang datang sedikit maka jumlah rip current yang terjadi banyak,

namun kecepatannya lemah (Mc Kenzei, 1995 dalam Indriyetty, 1995).

II.2.1 Kajian Analitik Longuet-Higgins

Profil arus sejajar pantai, sebagai fungsi jarak dari garis setelah gelombang pecah

(swash), dihitung dengan menggunakan konsep stress radiasi bersama-sama dengan

viskositas eddy horizontal eμ dari bentuk ( )1/ 2e Nx ghμ ρ= , dengan ρ adalah densitas, x

adalah jarak lepas pantai, g adalah percepatan gravitasi, h adalah kedalaman lokal rata-rata,

dan N adalah konstanta numerik. Asumsi ini memberikan munculnya kawanan profil arus

II-13

yang mempunyai bentuk tergantung pada parameter tak berdimensi 2 0.4 f

mNPC

π= , dimana m

menyatakan kemiringan dasar, dan fC adalah koefisien drag di dasar. Profil arus dari bentuk

analitik sederhana maksimum pada daerah gelombang pecah. Perbandingan dengan

eksperimen menyatakan bahwa P tidak pernah melebihi nilai kritis 2/5.

Persamaan pengatur arus sejajar pantai tak berdimensi ( V ) dalam model analitik

yang dikembangkan oleh Longuet-Higgins adalah :

3/ 25/ 2 1/ 2

0XVP X X V

x X⎧−∂ ∂⎛ ⎞ − = ⎨⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎩

0 11

XX

< << < ∞ (2.34)

Dengan 0/V v v= , / bX x x= dan

5 sin8o b b

f

v ghC

π α θ= (2.35)

Dengan v kecepatan arus sejajar pantai, 0v kecepatan arus sejajar pantai di garis

gelombang pecah, a adalah konstanta karakteristik dari gelombang pecah, θb sudut

gelombang di garis pecah. Penyelesaian persamaan (2.34) diperoleh :

a. untuk 2 / 5P ≠

1

12

2

P

P

B XV

B X

⎧⎪= ⎨⎪⎩

0 11

XX

< << < ∞ (2.36)

dimana

, 12

23 9 14 16

PP

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

21

1 2

1PB AP P

−=

− , 1

21 2

1PB AP P

−=

−

b. unt

diper

Long

langk

1512

A =⎛ −⎜⎝

tuk 2 / 5P =

10491049

XV

X

⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩

Sehingga

rlihatkan dala

Gambar 2.param

Sedangka

guet-Higgins

kah sebagai b

152

P ⎞⎟⎠

5

5/ 2

5 17

X X nX

X

−

distribusi ar

am Gambar

.4. Bentuk pmeter percam

an untuk me

s yang dihitu

berikut :

X

0 1

1

X

X

< <

< < ∞

rus sejajar p

r 2.4

rofil arus yampuran yang

endapatkan a

ung melalui

antai yang d

ang diberikang berbeda-be

arus analitik

pendekatan

dimodelkan o

n oleh persameda (Longue

k sejajar pan

empiris Ko

oleh Longue

maan (2.37) et-Higgins, 1

ntai yang dik

mar (1976)

(2.37)

et-Higgins (1

untuk nilai 970)

kembangkan

dengan lang

II-14

1970)

n oleh

gkah-

II-15

a. Hitung nilai :

21318

ζγ

=+

, dengan γ adalah koefisien gelombang pecah ( biasanya bernilai

0.78 ).

Komar ( 1976 ) mendapatkan hubungan / fm C yang dinyatakan dengan :

12 12

1

3250.58

(0.5) (0.5)pf

mC B A

πγ ζ

=⎡ ⎤+⎣ ⎦ (2.38)

Selanjutnya hitung : 12 2

05 sin 232 b b

f

mv gHC

π γ ζ α= (2.39)

0v adalah kecepatan di titik gelombang pecah.

b. Hitung distribusi kecepatan arus sejajar pantai tak berdimensi (V)

1

12

2

p

P

AX B XV

B X

⎧ +⎪= ⎨⎪⎩

0 11

XX

< << < ∞ (2.40)

Dengan : 0v v V=b

xXx

= sehingga diperoleh arus sejajar yang dihitung dengan

hubungan 0v v V= .

II.2.2 Persamaan Hidrodinamika Model M2D

Persamaan Hidrodinamika yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah

berdasarkan pada persamaan yang digunakan dalam model M2D. Penjabaran persamaan

tersebut adalah sebagai berikut.

M2D adalah representasi numerik beda hingga dua dimensi perata-rataan terhadap

kedalaman. Fasilitas yang terdapat pada model M2D meliputi: wet and dry, pengaruh angin

II-16

(bervariasi terhadap waktu) bergantung pada koefisien gesek angin, koefisien gesekan dasar

bervariasi terhadap ruang, variasi ruang dan waktu stress radiasi gelombang.

Persamaan Pembangun dari M2D terdiri dari persamaan kontinuitas dan momentum

sebagai berikut:

Persamaan kontinuitas :

( ) 0yx qh qt x yη ∂∂ + ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.41)

Persamaan momentum :

( )212

x x x x xx y

hq uq vq q qg D Dt x y x x x y y

η∂ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

y bx wx Sxfq τ τ τ+ − + + (2.42)

( )212

y y y y yx y

q uq vq q qhg D D

t x y y x x y yη∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ + ∂ ∂

+ + + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

y by wy Syfq τ τ τ− − + + (2.43)

dimana:

h = kedalaman terhadap still water

η = tinggi muka air terhadap still water

t = waktu

qx = flow per lebar unit paralel terhadap sumbu-x

qy = flow per lebar unit paralel terhadap sumbu-y

u = kecepatan arus yang dirata-ratakan thd kedalaman paralel terhadap sumbu-x

v = kecepatan arus yang dirata-ratakan thd kedalaman paralel terhadap sumbu-x

g = percepatan gravitasi

Dx = koefisien difusi untuk arah –x

Dy = koefisien difusi untuk arah –y

f = parameter coriolis

τbx = stress dasar pararel terhadap sumbu-x

II-17

τby = stress dasar pararel terhadap sumbu-y

τwx = stress permukaan pararel terhadap sumbu-x

τwy = stress permukaan pararel terhadap sumbu-y

τSx = stress gelombang pararel terhadap sumbu-x

τSy = stress gelombang pararel terhadap sumbu-y

Hubungan komponen kecepatan dengan flow per unit lebar:

xquh η

=+

(2.44)

yqv

h η=

+ (2.45)

untuk kondisi tanpa gelombang, stress dasar diberikan sbb:

bx bC u Uτ = (2.46)

by bC v Uτ =

Di mana U adalah kecepatan arus total dan Cb adalah koefisien gesekan dasar empiris.

Kecepatan arus total :

2 2U u v= + (2.47)

Koefisien gesekan dasar :

2bgC

C= (2.48)

dimana C adalah koefisien Chezy : 1/ 6RCn

= (2.49)

dimana R adalah radius hidrolik, dan n adalah koefisien kekasaran Manning.

Dengan adanya gelombang, gesekan dasar dipengaruhi oleh dua faktor, yaitu oleh

quasi-steady current ( pasang surut, angin, dan gelombang permukaan) dan oleh gerak orbital

gelombang pada bagian dasar. Perata-rataan gesekan dasar sepanjang periode gelombang

permukaan yang didapat dengan pengintegrasian secara numerik, perlu dilakukan proses

II-18

komputansi intensif untuk setiap grid pada setiap langkah waktu. Dengan demikian,

dilakukan pendekatan square wave untuk gelombang yang memungkinkan untuk menghitung

perata-rataan terhadap waktu secara analitik.

Pendekatan perata-rataan terhadap waktu dari gesekan dasar dengan

mengkombinasikan arus dan gelombang (Nishimura 1988), sbb :

2 22cos cos sinb b

bx b wcwc wc

C u U u vU Uω ωτ α α α

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

(2.50)

2 22cos sin cosb b

by b wcwc wc

C v u U vU Uω ωτ α α α

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

(2.51)

dimana, α adalah sudut gelombang relatif terhadap sumbu –x, sedangkan Uwc dan ωb didapat

dari persamaan berikut :

( ) ( ) 2 2 2 2 2 21 2 cos sin 2 cos sin2wc b b b bU u v u v u v u vω α α ω ω α α ω= + + + + + + + − +

(2.52)

( )sinhbH

k hσω

π η=

+⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.53)

dimana σ adalah frekuensi sudut gelombang, H adalah tinggi gelombang, dan k adalah

bilangan gelombang.

Stress angin permukaan, diberikan sbb:

( )2 sinawx d

w

C Wρτ θρ

= (2.54)

( )2 cosawy d

w

C Wρτ θρ

= (2.55)

dimana:

Cd = koefisien drag angin

ρa = densitas udara

II-19

ρw = densitas air

W = kecepatan angin

θ = arah angin

Penentuan arah angin ditetapkan 0 derajat merupakan arah angin dari Timur dengan

penambahan sudut berlawanan jarum jam.

Stress gelombang dihitung dari gradien spasial stress radiasi, sbb:

1 xyxxSx

w

SSx y

τρ

∂⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(2.56)

1 xy yySy

w

S Sx y

τρ

∂ ∂⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(2.57)

dimana Sxx, Sxy, Syy, adalah stress radiasi akibat gelombang. Perhitungan tensor stress radiasi

berdasar pada teori gelombang linier dan proses komputasinya diperoleh dari STWAVE

maupun model gelombang lainnya, yang merepresentasikan penjumlahan formulasi tensor

standar yang memotong spektrum tertentu. Untuk sistem koordinat dengan arah –x tegak

lurus garis pantai, komponen tensornya adalah sbb (Smith et al. 2001) :

( ) ( )( ) ( )22

, 0.5 1 cos 1 0.5sinh 2xx

k hS E d d

k hη

ω α α ω αη

⎡ ⎤⎛ ⎞+= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ (2.58)

( ) ( )( )

, 20.5 1 sin 2

2 sinh 2xy

E k hS d d

k hω α η

α ω αη

⎡ ⎤⎛ ⎞+= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ (2.59)

( ) ( )( ) ( )22

, 0.5 1 sin 1 0.5sinh 2yy

k hS E d d

k hη

ω α α ω αη

⎡ ⎤⎛ ⎞+= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ (2.60)

dimana :

Sxx = flux momentum tegak lurus garis pantai

Sxy = komponen shear dari stress radiasi

Syy = flux momentum sejajar garis pantai

E = densitas energi gelombang

II-20

Model gelombang seperti STWAVE, biasanya menggunakan sistem koordinat

dengan sumbu –x yang tegak lurus (normal) garis pantai (arah positif sumbu –x menuju

pantai) dan sumbu –y sejajar garis pantai.

Parameter Coriolis diberikan,sbb :

2 sinf ϕ= Ω (2.61)

dimana Ω adalah frekuensi sudut dari rotasi bumi, dan φ adalah koordinat lintang bumi.

Rata-rata koefisien viskositas Eddy arah horizontal terhadap kedalaman (D), tidak

bergantung pada kekuatan pencampuran pada kolom air yang merupakan fungsi dari proses

yang terjadi pada daerah tersebut. Jika pengaruh gelombang terhadap pencampuran tidak

terlalu besar, maka D dapat dihitung sebagai fungsi dari kedalaman perairan total, kecepatan

arus, dan kekasaran dasar (Falconer 1980).

( )0 2

1 1.152

UD g h

Cη

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (2.62)

Dimana subskrip 0 menyatakan pencampuran oceanic. Suku yang menyatakan

koefisien viskositas Eddy diberikan pada persamaan di atas yang dihasilkan dalam mixing

term, yang tidak linier.

Pada surf zone, gelombang memberikan kontribusi yang signifikan terhadap

pencampuran lateral, dan koefisien viskositas Eddy merupakan fungsi dari properti

gelombang.

Pencampuran pada surf zone, diberikan sbb:

Dw = εL (2.63)

dimana εL menggambarkan pencampuran lateral di bawah trough level (Smith et al) dan

ditulis sbb:

εL = Λ umH (2.64)

dimana Λ adalah koefisien empiris yang merepresentasikan kekuatan pencampuran lateral,

dan um adalah amplitudo komponen horizontal dari kecepatan orbit gelombang di dasar :

( )22 cosh

mgHTu

hπ ηλ

λ

=+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.65)

II-21

dimana T adalah periode gelombang.