BAB II

DASAR TEORI

Beberapa kaidah dan konsep yang berlaku pada Eksplorasi Tahanan Jenis

(Taib, 1999 ) :

1. Kaidah Superposisi

Kaidah ini digunakan untuk menghilangkan kerancuan mengenai harga arus

listrik yang terjadi pada beberapa sumber arus listrik. Secara umum telah

disepakati bahwa arus listrik mengalir dari kutub positif (+) ke kutub negatif (-),

di mana besar arus listrik sama besarnya pada kedua kutub tersebut. Sehingga

apabila ada perbedaan ( ΔI ) maka digunakan perbedaan antara kedua sumber

tersebut.

2. Kaidah Resiprositas

Kaidah ini mengatakan bahwa potensial yang terukur dari suatu titik M akibat

dari suatu sumber arus pada titik A akan sama bila titik M tersebut menjadi

sumber arus dan titik A menjadi titik amat potensialnya.

3. Kaidah Potensial dan Arus Listrik

Medium homogen isotropik memiliki permukaan bidang isopotensial

berbentuk bola yang berpusat pada sumber arusnya, garis arus merupakan garis

radial tegak lurus terhadap garis isopotensial tadi. Untuk pasangan sumber arus

maka garis isopotensial ini akan menjadi lebih kompleks, namun tetap berbentuk

bola pada bidang dekat dengan sumber arus, sedangkan garis arus tetap tegak

lurus terhadap garis equipotensial tersebut. Namun untuk lapisan yang anisotropik

maka garis arus tidak harus selalu tegak lurus terhadap garis isopotensial tersebut.

6

4. Kaidah Kontroversi Kedalaman Penetrasi dan Resolusi

Kedalaman penetrasi akan bergantung kepada lebar jarak antara elektroda.

Semakin besar bentangan jarak elektroda maka akan semakin dalam penetrasi

yang diperoleh. Namun apabila semakin besar bentangan jarak antara elektroda

maka akan semakin kecil resolusi yang diperoleh.

5. Kaidah antara Tahanan Jenis dan Facies Batuan

Ada hubungan yang erat antara distribusi tahanan jenis batuan dengan

perubahan facies geologinya. Harga tahanan jenis biasanya akan mengalami

perubahan yang berangsur–angsur ke arah lateral, hal ini diakibatkan perubahan

porositas dan perubahan larutan pengisi. Perubahan facies geologi suatu Formasi

batuan biasanya merubah hubungan besar butir, porositas, dan salinitas larutan

pengisi pori yang terefleksi juga dari data tahanan jenis.

6. Kaidah Media Nonisometri

Eksplorasi tahanan jenis dilakukan dengan pendekatan media isometrik,

anomali dari media non isometri dipecahkan dengan menggunakan asumsi bahwa

perilaku tahanan jenis material bumi didekati dengan asumsi hubungan isotropi

dan anisotropi, homogen dan heterogen. Dengan demikian, pendekatan teori

tahanan jenis akan lebih mudah dikerjakan.

7. Media Isotropi dan Anisotropi

Secara definisi medium isotropi adalah medium yang memiliki harga tahanan

jenis yang sama untuk arah X, Y, Z. Sedangkan medium anisotropi adalah media

yang konduktivitas maupun harga tahanan jenisnya berubah pada arah tertentu,

umumnya ke arah pergerakan arus listrik. Grant dan West (1966) menyebutnya

sebagai medium Aelotropik.

8. Media Heterogen

Medium Heterogen Isotropi adalah suatu medium yang terdiri dari beberapa

gabungan media yang homogen isotropi yang berkontak dengan media homogen

isotropi lain dengan tahanan jenis 1, 2, 3,ρ ρ ρ dst. Kontak tersebut dapat berupa

7

kontak horizontal maupun vertikal, serta lensa yang secara keseluruhan

membentuk sifat heterogen untuk medium tersebut.

Metoda Tahanan Jenis merupakan suatu metoda yang bekerja dengan

mengukur beda potensial antara dua titik yang terjadi akibat adanya aliran arus searah

melalui bawah permukaan. Di mana tujuan dari metoda ini adalah untuk menemukan

distribusi arus yang melalui bawah permukaan yang berguna untuk melakukan

interpretasi terhadap material bumi. Pada dasarnya metoda ini mirip dengan sebuah

rangkaian listrik sederhana dengan sebuah baterai sebagai sumber tegangan dan

sebuah resistor sebagai hambatannya.

Gambar 2.1 Rangkaian listrik sederhana ( Burger, 1992 ).

Beda potensial pada ujung baterai menyebabkan muatan–muatan elektron

mengalir dari kutub positif ke kutup negatif. Pergerakan dari muatan–muatan elektron

melalui kabel perdetik itulah yang disebut arus.

qIt

= ( 1 )

I adalah arus dalam ampere ( A ), q adalah banyak muatan dalam coulomb ( c

), dan t adalah waktu dalam detik ( s ).

Sedangkan besarnya arus yang mengalir pada suatu luas permukaan disebut sebagai

rapat arus ( J ) .

8

IJA

= ( 2 )

di mana, J adalah rapat arus dan A adalah luas permukaan. Konsep dari rapat arus

sendiri memiliki peran yang besar dalam eksplorasi tahanan jenis. Dengan demikian,

apabila kita memperkecil luas permukaan potong pada besar arus mengalir yang

konstan, maka kita akan memperoleh rapat arus yang besar.

Hukum Ohm yang dikemukakan pertama kali oleh seorang fisikawan Jerman

yang bernama Georg Simon Ohm menyatakan bahwa Arus ( I ) berbanding lurus

dengan tegangan ( V ) dan berbanding terbalik dengan hambatan ( R ).

VIR

= ( 3 )

Sebelumnya telah dikatakan bahwa arus adalah besarnya muatan yang

mengalir perdetik. Maka dapat dianalogikan seperti air yang mengalir melalui pipa.

Apabila pada salah satu ujung pipa kita beri kerikil maka ujung yang diberi kerikil

tersebut akan menghambat aliran air yang datang dari ujung yang bebas. Dengan

demikian dapat dikatakan jika hambatan pada sisi tersebut besar. Demikian juga jika

kita menambah panjang sisi pipa yang terisi oleh kerikil, maka hambatan akan lebih

besar dari sebelumnya. Namun apabila kita memperbesar diameter pipa maka

hambatan akan berkurang dan air mengalir lebih lancar. Maka dari analogi tersebut

dapat dinyatakan :

lRA

ρ= ( 4 )

R adalah hambatan ( ohm ), ρ adalah hambatan jenis ( ohmmeter ), l adalah panjang

bahan ( m ), dan A adalah luar pemukaan bahan ( m² ).

9

Dengan anggapan bahwa setiap material geologi memiliki nilai tahanan jenis

yang berbeda–beda, maka dengan mengukur nilai besar arus yang mengalir dan nilai

beda potensial yang ada, dapat diketahui besar tahanan jenis yang ada pula. Dengan

demikian diharapkan dapat diketahui material geologi apa yang dilalui arus dan

terukur beda potensial antara dua elektroda potensial yang digunakan. Namun perlu

diingat bahwa tahanan tidak hanya bergantung pada material namun juga geometri

dari material tersebut seperti analogi yang telah dijabarkan di atas.

2.1 Sumber Arus Tunggal

Pendekatan yang digunakan dalam beberapa bahasan ke depan adalah

homogen isotropik. Dan arus mengalir di dalam bumi melalui material yang memiliki

besar hambatan jenis yang seragam dalam semua arah. Selain itu arus mengalir

seolah–olah membentuk bola di dalam bumi, di mana besar arus adalah sama pada

setiap arah dengan jari–jari ( jarak tempuh ) yang sama. Karena besar arus pada tiap–

tiap titik di permukaan bola adalah sama, di mana jarak dari elektroda arus C1 adalah

‘ r ’, maka besar potensialnya sama dengan pada permukaan tersebut. Permukaan ini

yang dinamakan permukaan equipotensial dan arah aliran arus akan tegak lurus

terhadap kontur equipotensial tersebut. Jika ditentukan tebal permukaan adalah ‘ dr ‘

lalu dengan persamaan 3 dan 4 , maka dapat ditentukan besarnya beda potensial pada

bagian ‘ dr ’ tersebut.

2( )2

l ddV i R i iA r

ρ ρπ

⎛ ⎞ ⎛= = =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

r ⎞⎟⎠

( 6 )

Dengan persamaan di atas kita akan mencari besar potensial pada titik P1 dengan

jarak D dari titik C1, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut:

10

Gambar 2.2 Sumber arus tunggal dan elektroda potensial tunggal dengan D adalah

jarak keduanya, dan r adalah jari – jari bola , serta dr pemisah dua permukaan

potensial ( Burger, 1992 ).

Untuk menemukan besar potensial pada suatu titik maka akan dibandingkan

dengan potensial dengan sumber yang jauh sekali (∞ ), yang mana dapat dianggap

nol. Kemudian dengan mengintegralkan persamaan 6 sepanjang jarak D hingga

sumber arus pada jarak tak terhingga.

22 2D D

i dr iV dVr D

ρ ρπ π

∞ ∞= = =∫ ∫ ( 7 )

( Van Nostran & Cook, 1966, op. cit. Burger, 1992 ).

2.2 Sumber Arus Ganda dengan Satu Elektroda Potensial

Gambar 2.3 Elektroda arus ganda dengan satu elektroda potensial ( Burger, 1992 ).

11

Besarnya tegangan pada titik P1 akan dipengaruhi oleh dua sumber arus listrik

yang ada. Di mana arus mengalir dari elektroda arus positif ke elektroda arus negatif.

Hal ini telah dibuktikan oleh Franz Neuman pada tahun 1887. Jika P1 adalah titik

ukur potensial dan C1 (+) dengan C2 (-) masing–masing adalah sumber arus, maka

akan diperoleh hubungan sebagai berikut,

11 22 2pV i ir r

ρ ρπ π

⎛ ⎞ ⎛= + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

( 8 )

Persamaan 8 di atas ditransformasikan ke system kordinat x-z maka diperoleh

persamaan :

1 12 22 2

2 2

1 12

2 2

iVpd dx z x z

ρπ 1

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

( 9 )

Karena arus mengalir tegak lurus terhadap kontur equipotensial maka ingin

diketahui bagaimana caranya arus mengalir pada bidang yang berlapis. Jika

dihubungkan kembali dengan prinsip elektronika tentang arus yang mengalir pada

rangkaian seri maka akan diketahui bahwa arus yang mengalir bukanlah arus total,

melainkan arus yang terbagi – bagi menjadi beberapa fraksi. Jika dimbil pendekatan

ini pada arus yang mengalir darielektroda C1 ( + ) ke elektroda C2 ( - ) maka akan

diperoleh fraksi arus sepanjang bidang vertikal yang ada di tengah sumber arus.

Apabila ‘ fi ’ adalah total arus, z adalah kedalaman, dan d adalah jarak pisah elektroda

maka total arus yang mengalir diberikan oleh persamaan,

12

12 2tanfzi

dπ− ⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ ( 10 )

(Van Nostrand & Cook, 1966, op. cit. Burger, 1992 ).

2.3 Sumber Arus Ganda dengan Dua Elektroda Potensial

Gambar 2.4 Sumber arus ganda dengan dua elektroda potensial ( Burger, 1992 ).

Beda potensial yang terukur adalah beda potensial yang terjadi antara dua

elektroda potensial yang dipasang di tengah–tengah dua elektroda arus. Dengan

mengaplikasikan persamaan 8 untuk masing–masing titik ukur potensial maka akan

diperoleh,

11 22 2pV i ir r

ρ ρπ π

⎛ ⎞ ⎛= + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

( 11 )

23 42 2pV i i

r rρ ρπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ( 12 )

Dengan demikian maka beda potensial antara P2-P1 adalah :

13

1 21 2 32 2 2 2p p

i i i iV V Vr r r r4

ρ ρ ρ ρπ π π π

⎛ ⎞⎛ ⎞Δ = − = − − −⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ( 13 )

1 2 3 4

1 1 1 12iV

r r r rρπ⎛ ⎞

Δ = − − +⎜⎝ ⎠

⎟ ( 14 )

Maka diperoleh besar ρ,

1 2 3 4

2 11 1 1 1

Vi

r r r r

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ ⎜=⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ ( 15 )

( Burger, 1992 ).

2.4 Faktor Geometri

Pada metoda Eksplorasi Tahanan Jenis ada beberapa konfigurasi elektroda

atau susunan elektroda arus dan potensial yang digunakan. Perbedaan letak elektroda

potensial ( M-N ) dari letak elektroda arus ( A-B ) akan memengaruhi besar medan

listrik yang diukur. Besar faktor oleh perbedaan akibat letak titik pengamatan disebut

faktor geometri ( K ).

1 2 3 4

12 1 1 1 1K

r r r r

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜=⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ ( 16 )

Masing–masing aturan atau konfigurasi elektroda memiliki nilai K yang tetap.

Berikut merupakan penurunan faktor geometri dari susunan elektroda Schlumberger,

14

bila AB/2 = r dan MN/2 = m dan menyubsitusikannya dengan persamaan 16 akan

diperoleh,

12 1 1 1 1K

AM BM AN BN

π

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

12 1 1 1 1K

r m r m r m r m

π

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟− − +

− + + −⎝ ⎠

11 1K

r m r m

π

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−

− +⎝ ⎠

1

( ) ( )

K r m r mr m r m

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=

+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠

( 2 2

2sK rm )mπ

= − ( 17 )

jika ditulis dalam MN,

( 2 1/ 42 / 2sK r

MN )2MNπ= −

2 1

4srK MN

MNπ

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

atau

2

4sr MNK

MNπ⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

15

untuk r >> MN maka dapat ditulis

2

srK

MNπ⎛ ⎞

≈ ⎜⎝ ⎠

⎟ ( 18 )

Jika diketahui besar kuat medan listrik ( E ) adalah

22iEr

ρπ

=

maka besar medan listrik akibat pengaruh dua sumber arus adalah

22iEr

ρπ

= x 2

2

iErρπ

= = dVdr

( 19 )

dan dengan substitusi persamaan 18 sebagai faktor geometri untuk AB/2 ( r ) >> MN

kedalam persamaan 15, maka diperoleh:

2

ar V

iMNπρ = Δ ( 20 )

di mana dari persamaan 17 dan 18 kita dapat memperoleh syarat perbandingan AB/2

dengan MN,

2 2

2

100%

4

4

t

t

k ke xk

r r MMN MN

r MNMN

π π

π

N

−=

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2

2 24MN

r MN=

−

16

241

eMNe

=+

L ( 21 )

( Taib, 1999 ).

Persamaan 21 di atas merupakan pendekatan untuk bidang isopotensial yang

berupa bola. Dengan demikian dapat dilihat bahwa persamaan ini berlaku pada media

homogen isotropi. Namun persamaan 21 dapat membantu dalam perencanaan akuisisi

data.

Berikut beberapa faktor geometri untuk beberapa susunan elektroda (Loke,

2004) :

Gambar 2.5 Faktor geometri untuk beberapa susunan elektroda ( Loke, 2004 ) .

17

2.5 Tahanan Jenis Semu

Tahanan jenis semu merupakan tahanan jenis yang terukur di permukaan yang

dilakukan dengan aturan elektroda yang ada. Besarnya tahanan jenis yang terukur

tersebut merupakan besarnya tahanan jenis pengganti untuk variasi tahanan jenis yang

ada. Di mana asumsi dasarnya diturunkan dari medium homogen isotropik,

sedangkan pada kenyataannya medium yang terukur adalah medium anisotropik yang

tidak sesederhana asumsi awal. Adanya perbedaan antara hasil pengukuran dengan

harga tahanan jenis yang teoritis itulah yang disebut anomali. Selanjutnya anomali ini

yang akan membantu interpretasi besar tahanan jenis sebenarnya dan kedalaman yang

sebenarnya pula.

1 2 3 4

2 11 1 1 1

Vi

r r r r

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ ⎜=⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ ( 22 )

Dari persamaan 2 dan 3 maka dapat dilihat hubungan bahwa potensial

berbanding lurus dengan rapat arus. Maka bila diukur besar potensial antara dua

elektroda potensial maka perubahannya akan sebanding dengan rapat arus pada

silinder dari material dekat permukaan yang berada antara dua elektroda potensial itu.

Hal ini akan memengaruhi besarnya tahanan jenis semu yang terukur. Pada gambar

3.6 dapat dilihat bahwa pada kasus ( a ) maka akan diperoleh harga ρa = ρ1. pada

kasus ( b ) rapat arus akan meningkat pada ρ2 > ρ1 sehingga ρa akan lebih besar dari

ρ1. Pada kasus ( c ) pada keadaan ρ2 < ρ1, rapat arus akan berkurang sehingga besar

ρa akan lebih kecil dari ρ1. Kesemuanya terjadi akibat pengaruh besar rapat arus yang

sebanding dengan besarnya beda potensial yang terukur.

18

Gambar 2.6 Efek tahanan jenis medium pada tahanan jenis semu yang terukur ( Burger, 1992 ).

2.6 Sifat Tahanan Jenis Batuan Berpori

2.6.1 Porositas dan Faktor Formasi

Porositas adalah bagian dari volume batuan yang tidak terisi oleh benda padat.

Ada beberapa macam porositas ( Harsono, 1997 ) :

1. Porositas Total, merupakan perbandingan antara ruang kosong ( pori2,

rekahan, retakan, gerohong ) total yang tidak diisi oleh benda padat yang

ada di antara elemen – elemen mineral dari batuan dengan volume total.

pt st

t t

VV VV V

φ −= = ( 23 )

Di mana :

Vp = volume ruang “kosong”, biasanya terisi oleh fluida ( air, minyak, gas ).

Vs = volume yang terisi oleh zat.

Vt = volume total batuan.

φ = porositas.

Porositas total meliputi :

Porositas Primer, antar butir atau kristal.

Porositas Gerowong, diperoleh dari proses mekanik ( rekahan ) dan

dari proses kimiawi ( dolomitisasi ).

19

2. Porositas Bersambung ( connected porosity ), merupakan bagian dari ruang

kosong bersambung di dalam batuan. Contohnya batu apung.

3. Porositas Potensial, berhubungan dengan ukuran jalur pori – pori pada

batasan tertentu di mana fluida tak dapat lagi mengalir.

Pada formasi air bersih faktor formasi = 1, faktor formasi dinyatakan sebagai berikut :

0

w

F ρρ

=

di mana, 0ρ = tahanan jenis total batuan.

wρ = tahanan jenis air pengisi pori.

Pada batuan dengan butir dan porositas terisi air maka faktor formasinya berdasarkan

percobaan di laboratorium, adalah :

m

aFφ

=

maka,

0 w m

aρ ρφ

= ( 24 )

persamaan 24 dikenal sebagai hokum Archie I, di mana :

a = koefisien yang tergantung pada litologi, antara 0.6 – 2.

m = faktor sementasi yang tergantung dari jenis sedimen, bentuk pori, macam

sambungan pori, jenis pori, dan distribusi juga kemampatannya.

2.6.2 Kejenuhan

Kejenuhan adalah rasio dari volume yang terisi oleh cairan tersebut dengan

volume porositas total, ditandai dengan S ( Harsono, 1997 ).

Jika fluidanya adalah air formasi :

ww

p

VSV

=

di mana : Vw = volume terisi cairan.

20

Vp = volume porositas total.

Jika air adalah satu – satunya fluida yang mengisi pori maka Sw = 1, jika tidak maka :

p ww

p

V VS

V−

=

Banyak percobaan laboratorium menunjukkan kejenuhan air dapat ditulis dalam

bentuk,

0w

t

S ρρ

=

jika persamaan 24 di substitusi ke dalam persamaan di atas maka akan diperoleh :

wt m n

w

aSρρ

φ= ( 25 )

persamaan 25 dikenal juga sebagai persamaan Archie II untuk formasi bersih, di

mana :

tρ = tahanan jenis batuan tidak jenuh air.

wS = kejenuhan air.

n = eksponen kejenuhan yang ditentukan berdasarkan percobaan.

2.7 Sifat Anisotropi Bahan

Suatu bahan dikatakan memiliki sifat anisotropi bila besar parameter

listriknya berubah terhadap arah, umumnya ke arah pergerakan arus. Menurut Kunetz

(1966), biasanya tahanan jenis dari suatu batuan bergantung terhadap arah dari arus

yang mengalir melalui batuan tersebut, dalam kasus ini batuan dikatakan bersifat

anisotropi. Sifat ini mungkin disebabkan oleh struktur mikro dari batuan tersebut.

Sebagai contoh batuan sedimen yang pada umumnya lebih resistan pada arah normal

terhadap bidang lapisan. Tahanan jenis ini mungkin diukur di laboratorium. Namun

untuk volume yang lebih besar pada saat pengukuran dalam eksplorasi, merupakan

21

suatu anisotropi semu. Dengan demikian, sifat anisotropi terkait dengan arah dan

skala yang digunakan.

Bardasarkan geometrinya maka sifat anisotropi tahanan jenis dibagi dua, yaitu:

1. Anisotropi makro yang meliputi sifat anisotropi akibat keadaan geologi,

seperti bidang lapisan, perubahan facies, struktur, dll.

2. Anisotropi mikro yang disebabkan oleh susunan kristal pembentuk batuan,

dan lainnya yang bersifat mikro yang terukur di laboratorium.

2.8 Pendekatan Anisotropi Dengan “Parameter Dar – Zarrouk”

Gambar 2.7 Ketebalan ( h ) dan tahanan jenis sebenarnya ( ρ) dari masing – masing lapisan. S

adalah total kondukatansi longitudinal dan T adalah total resistansi transversal ( Reynold, 1997 ).

Raymond Maillet ( 1947 ) berhasil memecahkan masalah media anisotropi

dengan suatu parameter yang dikenal dengan Dar–Zarrouk Parameter atau biasa

disebut Dar – Zarrouk Function. Nama ini diambil dari nama desa Kartago di Sidi

Bon Said, Tunisia. Inti dari parameter ini adalah pengertian tentang Unit Tahanan

Listrik Transversal ( tρ ) dan Unit Tahanan Listrik Longitudinal ( lρ ), terutama untuk

media homogen anisotropi. Media homogen anisotropi sendiri merupakan suatu

media dimana media tersebut homogen dan isotropi untuk masing–masing

lapisannya, atau bisa dikatakan kalau media homogen anisotropi merupakan media

22

yang terdiri dari lapisan–lapisan media yang homogen isotropi dengan sifat

kelistrikan yang berbeda antar lapisan, namun tetap untuk lapisan itu sendiri.

Sehingga dengan demikian perubahan terbesar terjadi pada arah vertikal terhadap

bidang lapisan. Itulah sebabnya akan selalu diperoleh nilai Tahanan Listrik

Transversal yang lebih besar dari Tahanan Listrik Longitudinal.

Harga Tahanan Jenis terukur dari suatu media merupakan resultan dari total

sifat fisik media tersebut, seperti Tahanan Listrik dengan arah tegak lurus bidang

lapisan ( tρ ) dan Tahanan Listrik dengan arah sejajar bidang Lapisan ( lρ ). Bila suatu

bidang lapisan dengan luas permukaan 1 m dan memiliki ketebalan t dan besar

tahanan jenis transversal untuk lapisan ke-i adalah,

i ilRA

ρ=

untuk luas permukaan 1 dan l = h, maka, 2m

i iR hρ=

atau bisa ditulis dengan T adalah tahanan jenis transversal yang merupakan tahanan

jenis normal terhadap bidang perlapisan.

T hρ= ( 23 )

Sedangkan konduktansi yang sejajar dengan bidang perlapisan disebut dengan

konduktansi longitudinal ( S ).

hSρ

= ( 24 )

Maka dengan demikian dapat ditentukan besarnya tahanan jenis transversal dan

konduktansi longitudinal pada tiap lapisan ke-n,

1 1 2 2 3 31

...n

n n i ii

T h h h h hρ ρ ρ ρ ρ=

= + + + + =∑ ( 25 )

23

31 2

11 2 3

...n

n

in i

h hh hS ihρ ρ ρ ρ ρ=

= + + + + =∑ ( 26 )

2.9 Barnes Resistivity Layers

Pendekatan ini berdasarkan asumsi bahwa besar tahanan listrik yang terukur

merupakan tahanan listrik pengganti yang terbentuk dari tahanan listrik total.

Sehingga bila dikombinasikan dengan parameter Dar – Zarrouk, dapat diketahui

bahwa total tahanan jenis transversal untuk Dar – Zarrouk merupakan perhitungan

seri dari seluruh nilai tahanan jenis lapisan yang ada, sedangkan total konduktansi

longitudinalnya merupakan perhitungan paralel dari seluruh nilai tahanan jenis yang

ada.

Konduktansi Longitudinal

Dengan menganggap bidang potensial berupa bola maka dapat dihitung

tahanan jenis untuk tiap lapisan menggunakan parameter Dar–Zorrouk

apabila diketahui

1, 2, 3, nh h h h

1 1, 2 1 2,... 1 2 ...na h a h h a h h h= = + = + + + n , di mana a = kedalaman dan h = tebal

lapisan, maka dapat ditulis

i

i

hSρ

=∑

Diturunkan dari Dar – Zarrouk untuk 2 lapisan,

2 1

2 1a

a h hS 2

2ρ ρ ρ= = +

apabila 2 2 1 1 1 1, , ah a a h a 1ρ ρ= − = ≈ , dan besar l tρ ρ= untuk lapisan pertama,

maka

24

( )2 12 1

2 1 2

2 12

2 1

2 1

a l

l

a a

a aa h

a aa a

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ

−= +

−=

−

atau dapat ditulis besar tahanan longitudinal untuk tiap lapisan ke – n adalah

1

1

1

n nl n

n n

an an

a aa aρ

ρ ρ

−

−

−

−=

− ( 27 )

Tahanan Jenis Transversal

Diturunkan dari Dar – Zarrouk,

i iT h ρ=∑

maka untuk kasus 2 lapisan

2 2 1 1 2 2aT a h hρ ρ ρ= = +

Dengan asumsi yang sama dengan di atas maka diperoleh,

( )

( )

2 2 1 1 2 1 2

2 2 1 12

2 1

a a

a at

T a a a aa a

a a

tρ ρ ρρ ρρ

= = + −

−=

−

Maka untuk tiap lapisan ke–n dapat dihitung besar tahanan jenis transversalnya,

( )

1

1

n an n antn

n n

a aa a

1ρ ρρ − −

−

−=

− ( 28 )

Dengan diketahuinya besar masing–masing tahanan jenis baik pada arah tegak

lurus ( transversal ) maupun sejajar ( longitudinal ) dari masing–masing lapisan,

25

maka dapat ditentukan besar hambatan jenis anisotropinya ( mρ ), di mana

merupakan resultan dari keduanya,

m l tρ ρ ρ= ( 29 )

besar koefisien anisotropinya adalah

/t lm ρ ρ= ( 30 )

Bila harga masing–masing tahanan untuk tiap lapisan diplot untuk tiap tengah

ketebalan masing–masing, maka akan didapat log “True Resistivity” dari Barnes

Resistivity Layers (Taib, 1999).

2.10 Teori inversi

2.10.1. Least Square Inversion

Metoda least square merupakan metoda inversi dari persamaan yang memiliki

jumlah data lebih banyak daripada parameter persamaan yang akan ditentukan. Pada

kasus seperti ini, solusi dari parameter yang dicari bukanlah merupakan hasil yang

eksak untuk semua parameter dalam persamaannya, melainkan hasil minimalisasi

jumlah kuadrat (sum of square) dari error (Manthey, 2001). Untuk itu maka data yang

digunakan haruslah data yang bersifat diskrit.

Metoda least square dapat dibagi menjadi dua jenis berdasarkan jenis

persamaannya, yaitu:

1. Linear Least Square

Persamaan simple linear adalah persamaan dimana parameternya bersifat

linear dalam bentuk,

( 31 ) 1

.n

i ijj

d G=

=∑ jm

dan penyelesaian persamaan ini bersifat langsung dan sederhana.

2. Non-Linear Least Square

Persamaan non-linear adalah persamaan yang parameternya tidak

berhubungan langsung (linear) dengan hasil, seperti:

26

( 32 ) 2. md G e−=

dan penyelesaiannya bersifat iterative dan lebih kompleks.

2.10.2. Metoda Gauss-Newton

Penyelesaian masalah inversi pada metoda ini didekati dengan fungsi

Gaussian. Di mana suatu persamaan nonlinear didekati dengan persamaan linear

dengan mengekspansi fungsi f (m) ke dalam deret Taylor disekitar model awal.

Model awal ini didasari oleh suatu nilai tebakan awal dengan variabel . Persamaan

dari model awal dapat ditulis sebagai berikut ( Meju, 1994, op. cit. Gerald, 2006):

0m

( )0 0 0 0 01 2 3, , ,...,i i nd f m m m m= ( 33 )

Dengan asumsi bahwa f (m) bersifat linear di sekitar , maka persamaan tersebut

dapat diekspansi dengan menggunakan deret Taylor,

0m

1 1( )k k T Tm m A A A+ −= + y

0

0

0

( )( ) ( ) . 0(|| || )n

ij

j j

f mf m f m m mm=

⎧ ⎫∂⎪ ⎪= + ∂ + ∂⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭∑ 2 ( 34 )

Jika hubungan nilai observasi dengan hasil perhitungan dengan fungsi f (m) adalah:

( )d f m e= + ( 35 )

di mana e adalah besar kesalahan ( error ), maka dengan menggunakan persamaan 35

dan 36 dapat diperoleh besar error, yaitu:

0

0

0

( )( ) ( ) .n

ij

j j

f me d f m d f m mm=

⎧ ⎫∂⎪ ⎪= − = − − ∂⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ( 36 )

27

jika 0( )y d f m= − , menunjukkan besar beda antara data observasi dengan hasil

perhitungan dan jika /ij jf m A∂ ∂ = , dan m x∂ = , maka dapat ditulis sebagai berikut:

e y Ax= − ( 37 )

Di mana A adalah turunan parsial dari f (m) terhadap variabel m yang berupa matrik

Jacobian. Karena matrik Jacobian bukan merupakan matrik yang simetris maka

fungsi yang akan diminimalisasi berupa:

. ( ( )) .( ( ))T Tq e e d f m d f m= = − −

( 38 ) ( ) ( )Tq y Ax y Ax= − −

Dengan menggunakan metoda Gauss-Newton maka persamaan nonlinear ini dapat

diselesaikan dengan menentukan turunan q terhadap x adalah 0:

( ) 0

0

2 2 0

T T T T T T

j j

T T T T T

T T

q y y x A y y Ax x A Axx x

A y y A A Ax x A A

A Ax A y

∂ ∂ − − += =

∂ ∂

− − + + =

− =

1( )T Tx A A A y−= ( 39 )

x merupakan besar penambahan terhadap variabel awal yang akan selalu dicari untuk

tiap iterasi hingga besar . Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka: 0x ≈

( 40 ) 1 ( )k k T Tm m A A A+ = + 1 y−

28

2.11 Kedalaman Penyelidikan pada Metoda Arus Searah ( Depth Of

Investigation )

Kedalaman penyelidikan (Depth Of Investigation ) merupakan kedalaman

dimana suatu lapisan tipis horizontal ( paralel dengan permukaan bumi ) memberikan

jumlah kontribusi maksimum terhadap total sinyal yang terukur pada permukaan

(Evjen, 1938). Depth of investigation ditentukan oleh posisi dari dua elektroda arus

dan elektroda potensial dan tidak hanya dari penetrasi arus maupun distribusinya

sendiri. Ada sebuah ide yang sudah menyebar luas, di mana untuk sumber arus dua

titik dengan spasi L pada susunan elektroda Wenner atau Schlumberger kedalaman

efektif adalah sama dengan / 3L a≡ ( Roy & Apparao, 1971 ). Avjen menemukan

bahwa kedalaman penyelidikan absolut pada susunan elektroda wenner bukanlah L/3

melainkan L/9. Akan tetapi kembali lagi, yang dimaksud dengan kedalaman

penyelidikan di sini bukanlah kedalaman dimana nilai tahanan jenis semu terukur

saja. Pada keadaan sebenarnya, nilai tahanan jenis semu yang terukur adalah

kontribusi (dipengaruhi) dari seluruh kedalaman, hanya saja dicari distribusi dari

besar kontribusi pada tiap kedalaman. Dengan demikian yang dimaksud dengan

kedalaman penyelidikan (depth of investigation) adalah kedalaman yang memberikan

kontribusi maksimum terhadap besar nilai tahanan jenis yang terukur dengan spasi

elektroda arus L tertentu yang kemudian disebut kedalaman absolut.

Dengan menggunakan kesamaan antara medan statis dan stasioner. Besarnya

perubahan medan potensial yang disebabkan oleh perubahan tahanan jenis dari suatu

lapisan tipis dapat diperoleh dengan mengasumsikan lapisan tipis horizontal tersebut

memiliki batas x dan y dari -∞ sampai∞ . Sehingga fungsi sensitivitas untuk lapisan

tersebut pada susunan 2 elektroda sederhana dapat diperoleh dengan

mengintegrasikan persamaan yang disebut Frechet Derivative dibawah terhadap x

dan y ( Loke, 2004 ).

2 2

3 1.5 1.52 2 2 2 2 2 2

1 ( )( , , )4 ( )

Dx x a y zF x y z

x y z x a y zπ

⎧ ⎫− + +⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

29

2 2

1.5 1.52 2 2 2 2 2 2

1 ( )( )4 ( )

IDx x a y zF z dxdy

x y z x a y zπ

+∞ +∞

−∞ −∞

− + +=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ( 41 )

Persamaan diatas memiliki solusi yang sederhana ( Roy & Apparao, 1971, op.cit

Loke, 2004 ) berikut,

2 1

2( )( 4 )ID

zF za zπ

=+ .5 ( 42 )

30

Nilai fungsi diatas kemudian diplot seperti yang ditunjukkan oleh gambar dibawah,

Grafik kesensitifan untuk beberapa konfigurasi elektroda. Sumbu x adalah perbandingan kedalaman dengan spasi elektroda arus (z/L) dan sumbu y adalah nilai kesensitifannya, l = spasi elektroda potensial, dan L = Spasi elektroda arus.Panah biru adalah kedalaman untuk sesitifitas maksimum Schlumberger array dan panah jingga adalah nilai median depth of investigation Schlumberger array (Roy & Apparao, 1971).

Plot Nilai Sensitivitas Untuk Tiap Z/L

Beberapa penulis mengambil nilai maksimum dari grafik tersebut sebagai

kedalaman penyelidikan untuk masing–masing susunan elektroda. Namun Edward

(1977) dan Barker (1991) memberikan pendekatan dengan konsep Median Depth of

Investigation (Loke, 2004). Median Depth of Investigation adalah kedalaman di mana

area yang berada di bawah kurva sama besarnya dengan setengah dari total luas area

dibawah kurva. Dengan menggunakan konsep ini maka dapat didekati variasi

kedalaman dari masing–masing susunan elektroda.

31

A.Roy & Apparao, 1971 telah menemukan beberapa nilai maksimum dari

fungsi sensitivitas untuk beberapa susunan elektroda sebagai berikut :

Tabel 2.1 Besar perbandingan Depth of Investigation Characteristic terhadap spasi elektroda arus (

Roy & Apparao, 1971).

Two electrode 0.35L

Equitorial or azimunthal dipole( 1 / 4θ π= ) 0.25L

Perpendicular dipole ( 1 / 4θ π= ) 0.20L

Polar or radial dipole ( 1 / 4θ π= ) 0.195L

Parallel dipole ( 1 / 4θ π= ) 0.18L

Modified unipole 0.18L

Surface lateralog ( ) 1 2 0.1O O L= 0.17L

Surface lateralog 1 2( 0.2 )O O L= 0.135L

Schlumberger 0.125L

Wenner 0.11L

Di bawah ini merupakan besarnya perbandingan Median Depth of Investigation (Ze)

untuk susunan elektroda Wenner Schlumberger ( gambar 3.5.g ). Dimana L adalah

jarak antara elektroda arus ( AB ), a = 1, dan k adalah faktor geometri ( Loke, 2004 ) :

32

Tabel 2.2 Besar perbandingan Median Depth of Investigation terhadap spasi elektroda arus ( Loke,

2004 ).

Wenner Schlumberger Ze/L Faktor Geometri ( k )

n = 1 0.173 6.2832

n = 2 0.186 18.850

n = 3 0.189 37.699

n = 4 0.190 62.832

n = 5 0.190 94.248

n = 6 0.191 131.95

n = 7 0.191 175.93

n = 8 0.191 226.19

n = 9 0.191 282.74

n = 10 0.191 345.58

Besarnya kedalaman dari penyelidikan berbanding terbalik dengan resolusi

vertikal yang didapatkan, jika diurutkan dari susunan elektroda dengan resolusi

vertikal terbesar hingga yang terkecil maka akan diperoleh :

1. Wenner

2. Schlumberger

3. Parallel dipole ( 1 / 4θ π= )

4. Polar ( radial dengan 1 / 4θ π= ) dipole

5. Perpendicular dipole ( 1 / 4θ π= )

6. Surface lateralog 1 2( 0.2 )O O L=

7. Surface lateralog ( 1 2 0.1O O L= ) dan Modified unipole

8. Equatorial ( azimunthal dengan 1 / 4θ π= ) dipole

9. Two electrode

33