BAB 1Sistem Bilangan Real

Outline Materi

1. Sistem Bilangan

2. Supremum Infimum

3. Pertidaksamaan

4. Nilai Mutlak

1. Sistem Bilangan

Sistem Bilangan

Himpunan bilangan asliN = {1, 2, 3, 4, }

Himpunan bilangan bulatI = { , –2, –1, 0, 1, 2, }

Himpunan bilangan rasionalQ = { | p, q I, q≠0}

N I Q R

Sistem BilanganKompleks

Real

Rasional

Bulat

Asli

Bulat Negatif

Nol (0)

Pecahan

Irrasional

Imajiner

Sifat-Sifat Bilangan Real

• Komutatif (pertukaran) terhadap penjumlahan dan perkalianx + y = y + x dan xy = yx

• Asosiatif (pengelompokan) terhadap penjumlahan dan perkalian(x+y)+z = x+(y+z) dan (xy)z = x(yz)

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan(x+y)z = xz + yz

• Memiliki unsur identitas

– terhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = x ,– terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x . 1 = x .

• Mempunyai invers– terhadap penjumlahan yaitu –x, sehingga x + (–x) = 0 – terhadap perkalian yaitu 1/x sehingga x . 1/x = 1.

Sifat-Sifat Urutan Bilangan Real

• TrikotomiJika x dan y bilangan real, maka berlaku x < y atau x > y atau x = y.

• TransitifJika x < y dan y < z, maka x < z

• Penambahanx < y x + z < y + z

• Perkalianx < y xz < yz, untuk z positifx < y xz > yz, untuk z negatif

Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real

Penulisan himpunan dalam bentuk interval / selang:{x|a ≤ x ≤ b, xR} = [a , b] disebut selang tutup{x|a < x < b, x R } = (a , b) disebut selang buka{x|a ≤ x < b, x R } = [a , b) disebut selang setengah buka atau selang setengah tutup{x|a < x ≤ b, x R } = (a , b] disebut selang setengah buka atau selang setengah tutup{x|x ≥ b, x R } = [b , ), disebut selang tak terbatas{x|x < a, x R } = (– , a], disebut selang tak terbatas

2. Supremum Infimum

Unsur Maksimum dan Minimum

Definisi• a A disebut unsur maksimum dari himpunan A,

apabila untuk semua x A berlaku x ≤ a.• b A disebut unsur minimum dari himpunan A,

apabila untuk semua x A berlaku x ≥ b.

ContohA = (3,7}Unsur Maksimum A = 7Unsur Minimum A tidak ada

Batas Atas dan Batas Bawah

Definisi• p R disebut batas atas dari himpunan A

apabila x A berlaku x ≤ p• q R disebut batas bawah dari himpunan A

apabila x A berlaku x ≥ qContohB = (3,7]batas atas B adalah p ≥ 7batas bawah B adalah q ≤ 3

Supremum dan Infimum

Definisi Supremumu R disebut supremum dari himpunan A,ditulis sup A = u apabila– u batas atas dari A– jika t batas atas lain dari A, maka u < t .

Definisi Infimumv R disebut infimum dari himpunan A,ditulis inf A = v apabila– v batas bawah dari A– jika s batas bawah lain dari A, maka v > s .

Supremum dan InfimumContoh• Untuk A = {1, 2, 3, 4, 5},

maka sup A = 5 dan inf A = 1• Untuk B = (3,7] ,

maka sup A = 7 dan inf A = 3

LatihanTentukan unsur maksimum, unsur minimum, batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum dari himpunan berikut

3. Pertidaksamaan

Bentuk-bentuk Pertidaksamaan

Catatan

pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa bernilai positif atau negatif.

Pertaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai negatif

Contoh Soal Pertidaksamaan

Tentukan himpunan penyelesaian dari1.

2.

3.

4. Nilai Mutlak

Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak x dengan notasi lxl didefinisikan sebagai:

Contoh

Akibat Definisi Nilai Mutlak

Sifat – Sifat Nilai Mutlak

Contoh Soal Nilai Mutlak

Tentukan himpunan penyelesaian dari