bab i pendahuluan · 2013. 5. 3. · penyebaran data diatas ketajaman analisisnya lebih nyata dalam...

VARIABILITY (Wanda Puspita)

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam penyelidikan data sering kali kita membutuhkan informasi yang lebih

banyak dari pada hanya mengetahui salah satu tendensi sentral saja. Misal kita ingin

mengetahui bagaimana penyebaran tiap-tiap nilai dari tendensi sentral itu.

Analisis menggunakan tendensi sentral diharapkan lebih bisa dirasakan lebih maju

satu tahap lagi tidak hanya sekedarnya saja dengan mengetahui frekuensi dari data yang

diteliti. Perhatikan contoh berikut ini :

Nilai ujian statistik 5 mahasiswa kelas A adalah 71,75,79,77,73

Nilai ujian statistik 5 mahasiswa kelas B adalah 45,60, 90,85,95

Nilai rata-rata atau mean dari data diatas adakah sama yaitu 75, tetapi kenyataan

kedua kelompok data diatas adalah berbeda, oleh karena itu kita perlu menganalisis lebih

lanjut lagi dari penyebaran data diatas agar mempunyai arti yang sama dalam statistik.

Dari contoh diatas, agar dapat diketahui analisis data lebih lanjut atau kelihatan

penyebaran data diatas ketajaman analisisnya lebih nyata dalam distribusi frekuensinya

maka perlu kita lakukan ukuran yang dapat digunakan untuk analisis penyebaran data

yaitu variabilitas data (data of variability) atau ukuran penyebaran data (Measure of

dispertion).

Dalam mempelajari penyebaran data, kita akan menemui istilah Kuartil. Untuk

lebih memahami pengtitungan yang berkaitan dengan kuartil, maka alangkah baiknya kita

mempelajari terlebih dahulu apa itu kuartil dan bagaimana cara mencari kuartil dari

suatu data. Maka dari itu, kami membagi penjelasan materi ini ke dalam dua pokok

pembahasan, yaitu ukuran letak data, yang berisi pembahasan mengenai kuartil dan desil,

dan ukuran penyebaran data yang berisi range dan macam-macam deviasi.


BAB II

PEMBAHASAN

I. UKURAN LETAK DATA

A. Kuartil

Ada tiga macam kuartil yaitu:

Kuartil pertama (Q1) Adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25 %

frekuensi di bagian bawah distribusi dari 75% frekuensi bagian atasnya .

Kuartil kedua (Q2) Adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatsi 50%

frekuensi di bagian bawah distribusi dari 50% frekuensi bagian atas.

Kuartil ketiga (Q3)Adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75%

frekuensi di bagian bawah distribusi dari 25% frekuensi bagian atasnya.

1. Mencari Kuartil Data Tunggal

Rumus Quartil data tunggal :

Qn = 𝜆 +( ⁄

)

Keterangan:

Qn = Kuartil ke-n, disini quartil ada 3, maka n=1, 2, dan 3

𝜆 = Lower limit (batas bawah nyata dari skor yang mengandung Qn

N = Number of cases (jumlah individu)

b = Frekuensi kumulatif yang terletak dibawah score yang mengandung Qn

i = frekuensi aslinya yang mengandung Qn

Perhatikan contoh soal di bawah ini.


Jawab :

1) Q1 = ⁄ N

= ⁄ 80

= 20

(terletak pada nilai 55)

Kemudian tentukan nilai

nyatanya, yaitu:

𝜆 = 54,50 fi = 8 fkb= 16

Kemudian subsitusikan pada

rumus:

Q1 = + ( ⁄ –

)

= 54,50 + (

)

= 54,50 + 0,5

Q1 = 55

2) Q2 = ⁄ N

= ⁄ 80

= 40



nyatanya, yaitu:

𝜆 = 64,50 fi =14 fkb=33


rumus:

Q2 = + ( ⁄ –

)

= 64,50 + (

)

= 64,50 + 0,50

Q2 = 65

3) Q3 = ⁄ N

= ⁄ 80

= 60



nyatanya yaitu:

𝜆 = 74,50 fi = 8 fkb=56


rumus:

Nilai(x) b

95 2 80 =N

90 3 78

85 5 75

80 6 70

75 8 64

70 9 56

65 14 47

60 9 33

55 8 24

50 6 16

45 5 10

40 3 5

35 2 2


Q3 = + ( ⁄ –

)

= 74,50 + (

)

= 74,50 + 0,50

Q3 = 75

2. Mencari Kuartil Data Berkelompok

Rumus yang digunakan

Qn = 𝜆 + i ( ⁄ –

)

Qn = kuartil ke-n, disini kuartil ada 3, maka n = 1,2, dan 3

𝜆 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor yang mengandung Qn )


fkb = frekuensi kumulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung Qn

fi = frekuensi aslinya yang mengandung Qn

i = interval class atau kelas interval

Contoh :

Misalnya nilai dari 80 Mahasiswa mata kuliah statistik dalam table 4.2.

distribusi frekuensi, carilah Q1 , Q2 , Q3 !


Interval Frekuensi

(f) fkb

78-80 2 80=N

75-77 2 78

72-74 3 76

69-71 4 73

66-68 5 69

63-65 10 64

60-62 17 54

57-59 14 37

54-56 11 23

51-53 6 12

48-50 4 6

45-47 2 2

Total 80 = N

Jawab:

1) Q1 = ¼ N

= ¼ x 80

= 20 (terletak pada nilai 54-56)

Kemudian tentukan nilai nyatanya

yaitu:

𝜆 = 54,5 fi = 8 fkb =16

Kemudian subtitusikan pada rumus:

Q1 = 𝜆 + i ( ⁄ –

)

= 53,5 + (

)

= 53,5+2,19

Q1 = 55,69 (dibulatkan, = 56)

Q1 = 56

2) Q2 = ⁄ N

= ⁄ x 80


Kemudian kita tentukan nilai

nyatanya yaitu:

𝜆 = 59,50 fi = 17 fkb = 37

Kemudian substitusikan pada

rumus:

Q2 = 𝜆 + i ( ⁄ –

)

= 59,5 + 3 (

)

= 59,50 + 0,56

Q2 = 60,1 (dibulatkan = 60)

Q2 = 60

3) Q3 = ¾ N

= ¾ x 80

= 60 (terletak pada nilai 63-65),

Kemudian kita tentukan nilai

nyatanya yaitu:

𝜆 = 62,50 fi =10 fkb= 56

Kemudian substitusikan pada

rumus:


Q3 = 𝜆 + i ( ⁄ –

)

= 62,50 + 3 (

)

= 62,50 + 1,2

Q3 = 63,7 (dibulatkan menjadi 64)

Q3= 64

B. Desil

Istilah desil biasanya kita kenal dengan nama decile dan dilambangkan dengan

D. Ada sembilan buah desil yaitu desil pertama sampai desil sembilan, jadi jika

dilambangkan desilnya adalah D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, dan D9.

a. Desil pertama adalah suatu titik yang membatasi 10% frekuensi yang terbawah

dalam distribusi.

b. Desil kelima adalah suatu titik yang membatasi 50% frekuensi yang terbawah

dalam distribusi.

c. Desil kedelapan adalah suattu titik yang membatasi 80% frekuensi yang terbawah

dalam distribusi.

Salah satu fungsi desil adalah membagi bagian distribusi menjadi 10 bagian yang

sama besar yang selanjutnya digunakan untuk penempatan subjek penelitian yang tepat pada

tempatnya.

1. Desil Data Tunggal

Rumus yang di gunakan

Dn = λ + ( ⁄

)

Keterangan:

Dn = Desil ke- n, disini desil ada 9, maka n= 1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9.

λ = lower limit ( batas bawah nyata dari skor yang mengandung Qn )


b = frekuensi kuulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung Qn


f i = frekuensi aslinya yang mengandung Qn

Contoh :

Misalnya kita akan menghitung Desil ke-1 (D1), ke-5 (D5), dan ke-9 (D9) dari data

yang tertera pada tabel 4.1 yang di dapatkan nilai kwartil-kwartilnya.

TABEL 4.3

Jawab:

1) Mencari D1

D1 = 1/10 N

= 1/10 x 80

= 8

terletak pada skor 45. Maka:

λ = 44,5 fi = 5 fkb = 5.

Kemudian di subtitusikan pada rumus:

D1 = λ + ( ⁄

)

= 44,5 + (

)

= 44,5 + 0,6

= 45,1 (dibulatkan, = 45)

D1 = 45

2) Mencari D5

D5 = 5/10 N

= 5/10 x 80

= 40 (terletak pada skor 45)

Maka:

λ = 64,5 fi = 14 fkb = 33


D5 = λ + ( ⁄

)

= 64,5 + (

)

= 64,5 + 0,5

D5 = 65

3) Mencari D9

D9 = 9/10 N

= 9/10 x 80

= 72 (terletak pada skor 85).

Maka:

λ = 84,5 fi = 5 fkb= 70.


Nilai (𝑥) kb

95 2 80 = N

90 3 78

85 5 75

80 6 70

75 8 64

70 9 56

65 14 47

60 9 33

55 8 24

50 6 16

45 5 10

40 3 5

35 2 2


D9 = λ + ( ⁄

)

= 84,5 + (

)

= 84,5 + 0,4

= 84,90 (dibulatkan = 85)

D9 = 85

2. Desil Data Berkelompok

Rumus yang digunakan:

Dn = λ + 𝑖 ( ⁄

)

Keterangan:

Dn = Desil ke- n, disini desil ada 9,

maka n = 1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9.

λ = lower limit ( batas bawah nyata dari

skor yang mengandung Qn )


b = frekuensi kumulatif yang terletak di

bawah skor yang mengandung Qn

𝑖 = frekuensi aslinya yang mengandung

Qn

i = interval kelas atau kelas interval

Contoh: Dari tabel 4.2 kita akan

menghitung D3 dan D7 .

Interval

Frekuensi

( ) kb

78-80 2 80 = N

75-77 2 78

72-74 3 76

69-71 4 63

66-68 5 69

63-65 10 64

60-62 17 54

57-59 14 37

54-56 11 23

51-53 6 12

48-50 4 6

45-47 2 2

Total 80 = N

Jawab:

1. Mencari D3

D3 = 3/10 N

= 3/10 x 80

= 24 (terletak pada nilai 57-59).

Maka :

λ= 56,5 fi = 14 fkb = 23

Kita subtitusikan kedalam rumus:

D3 = λ + 𝑖 ( ⁄

)

= 56,5 +3 (

)

= 56,5 +0,2


D3 = 57

2. Mencari D7

D7 = 7/10 N

= 7/10 x 80



Maka:

λ= 62,5 fi = 10 fkb = 56

Kita subtitusikan ke dalam rumus:

D7 = λ + 𝑖 ( ⁄

)

= 62,5 + 3 (

)

= 62,5 + 0


D7= 63


II. UKURAN PENYEBARAN DATA

A. Pengertian Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data merupakan suatu harga yang menunjukan besar kecilnya

variasi sekelompok data. Macam ukuran penyebaran data dalam statistik yang dapat

digunakan untuk mengetahui penyebaran data adalah Luas penyebaran atau Variasi atau

Homoginitas Data atau Stabilitas Data. Sedang dalam ukuran penyebaran data yang sering

digunakan dalam dunia statistik pendidikan adalah Range, Deviasi, Varian, dan Ukuran

Penyebaran Relatif yang akan dibicarakan lebih lanjut pada bahasan selanjutnya.

B. Macam-macam Ukuran Penyebaran Data

Diatas sudah dijelaskan bahwa macam-macam ukuran penyebaran data yaitu Range,

Deviasi, Varian, dan ukuran penyebaran data Relatif. Untuk deviasi juga ada beberapa jenis

yaitu Deviasi Kuartil, Deviasi rata-rata, dan Deviasi standar. Dilihat dari relevansinya, dalam

pembahasan selanjutnya akan dibahas masalah Range, Deviasi, dan Varian.

1. Range

Range adalah jarak antara nilai data tertinggi dengan nilai data yang terendah.

Lambang range adalah R. Rumus yang digunakan dalam mencari range :

R = H - L

Dimana: R = Range

H = Highest score (nilai tertinggi)

L = Lowest score (nilai terendah)

Contoh :

No.

Ujian Nama

Nilai yang dicapai R=H-L

B.indo B.inggris IPA

1 Andi 55 75 90 35

2 Karto 55 80 85 30

3 Safi’i 50 75 95 45


Kegunaan Range :

Jika kita ingin mengetahui sebaran data dalam waktu yang sangat singkat

dengan mengabaikan faktor ketelitian dari sebaran data.

Kelemahan Range :

Range sangat tergantung pada nilai ekstrim data, besar kecilnya range untuk

menentukan nilai tertinggi dan nilai terendah. Dengan demikian semakin sedikit

range-nya maka semakin mudah dicari sebaran datanya dan semakin besar range-nya

semakin sukar untuk dicari sebaran datanya.

Range tidak memperhatikan sebaran datanya. Yang diperhatikan adalah hanya

nilai tertinggi dan nilai terendah sehingga dalam aplikasinya range jarang digunakan

dalam penelitian, lebih lanjut dalam analisis statistik.

2. Deviasi

Dalam kamus besar bahasa Indonesia istilah Deviasi diartikan sebagai

Penyimpangan. Dalam dunia statistik istilah deviasi adalah simpangan atau selisih dari

masing-masing skor atau interval dari nilai rata-rata hitung (Deviation from the Mean)

Lambang dalam deviasi biasanya sesuai dengan lambang nilai/skor data, tetapi

pada deviasinya lambangnya kecil. Misalnya lambang skor atau nilai adalah “X” maka

lambang Deviasinya adalah “x”; lambang nilai atau skor “Y” maka lambang Deviasinya

adalah “y”.

Dalam pembahasan sebelumnya sudah kita bahas sedikit tentang diviasi yaitu

dengan member tanda (+) yang berada di atas nilai meannya dan member tanda minus (-)

yang berada di bawah nilai meannya. Istilah deviasi yang diberi tanda (+) biasanya

disebut dengan Deviasi Positif dan Deviasi yang diberi tanda minus (-) disebut Deviasi

Negatif.


Perlu diingat dalam pencarian mean atau nilai rata-rata hitung ada dua macam

yaitu mean data tunggal dan mean data kelompok. Disini kita cermati data kita apakah

data tunggal atau data kelompok.

Perhatikan contoh deviasi berikut ini:

Rumus Mx:

Mx =

=

Mx = 6

Dari contoh dapat kita lihat “x” atau Deviasi berasal dari “X” atau ilai. Maka

jelas untuk lambang Deviasi adalah dilambangkan dengan huruf kecil yaitu “x” dari nilai

atau “X” dan rumus deviasi adalah selisih antara nilai dengan mean dari ilai atau x = X

– M.

2.1 Deviasi Rata-Rata/Mean Deviation

Dalam penggunaaan deviasi agar bisa digunakan sebagai ukuran variabilitas

maka kita abaikan tanda-tanda aljabar yaitu tanda Plus (+) dan Minus (-), karena

kalau kita lihat dari contoh di atas jumlah dari deviasi adalah nol (∑x = 0), dalam

pengabaian tanda aljabar itu dimaksudkan agar terdapat harga mutlak dari deviasi

Nilai

(X) f

Deviasi

x = X-Mx

10 1 10-6 = +4

9 1 9-6 = +3

8 1 8-6 = +2

7 1 7-6 = +1

6 1 6-6 = 0

5 1 5-6 = -1

4 1 4-6 = -2

3 1 3-6 = -3

2 1 2-6 = -4

54 = ∑X 9 = ∑f = N 0 = ∑x

Deviasi Positif

Deviasi Positif

Deviasi Positif

Deviasi Negatif

Deviasi Negatif

Deviasi Negatif

Deviasi Negatif

Deviasi Positif

Jumlah Defiasi

pasti = 0


tersebut sehingga didapatkan rata-ratanya. Dengan demikian yang dimaksud Deviasi

rata-rata adalah jumlah harga mutlak deviasi dari tiap-tiap skor atau nilai yang dibagi

dengan banyaknya individu atau frekuensi itu sendiri.

Rumus yang digunakan deviasi rata-rata adalah

MD =

Dimana : MD = Mean Deviation atau deviasi rata-rata

∑x = Jumlah deviasi rata-rata

N = Number of cases (Jumlah Individu)

Dalam pencarian mean deviation atau deviasi rata-rata ada dua macam yaitu cara

mencari deviasi rata-rata tunggal dan cara mencari deviasi rata-rata kelompok.

a. Mencari Deviasi rata-rata data Tunggal

Mencari Deviasi rata-rata data tunggal dengan skornya mempunyai

frekuensi satu

Misalnya dalam tinggi badan 10 siswa dalam masing-masing kelas A

dan B seperti table berikut ini. Dalam mencari deviasi rata-ratanya yang

mempunyai jumlah nilai atau skornya tinggi badan sama tetapi mempunyai

deviasi rata-rata berbeda.

Tabel Deviasi Rata-rata Tinggi Badan Kelas A

Tinggi Badan (X) f Deviasi

(x = X-Mx)

150 1 -15.8

155 1 -10.8

157 1 -8.8

160 1 -5.8

163 1 -2.8

167 1 1.2

172 1 6.2

176 1 10.2

178 1 12.2


180 1 14.2

1658 10 88

Mx =

= 658

0 = 165.8 MD =

=

= 8,8

Mencari deviasi rata- rata data tunggal yang nilai frekuensi lebih

dari satu

Rumus: MD=

MD = Mean Deviation atau Deviasi rata- rata

∑fx = Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi


Contoh:

Misalnya usia guru SMP Banyuwangi dalam usia antara 35 sampai

45 yang terdapat pada tabel. Kita cari deviasi rata- ratanya.

Tabel penghitungan Deviasi Rata Usia Guru SMP Banyuwangi

Usia

(X) F X

x

(X - Mx) x

45 2 90 5 10

44 4 176 4 16

43 5 215 3 15

42 6 252 2 12

41 8 328 1 8

40 10 400 0 0

39 8 312 -1 -8

38 6 228 -2 -12

37 5 185 -3 -15

36 4 144 -4 -16

35 2 70 -5 -10

Total N= 60 ∑ X= 2400 - ∑ x= 122


Langkahnya sebagai berikut:

1. Mencari mean dari data tunggal dengan rumus

Mx =

=

= 40

2. Mencari deviasi, dengan masing- masing skor atau nilai dengan

rumus x = X-Mx

3. Mengalihkan masing- masing banyaknya frekuensi ( ) dengan

nilai deviasi- deviasi masing- masing skor atau nilai, sehinggga

didapatkan x dengan mengabaikan tanda aljabar (Plus dan

Minus) atau menjumlahkan harga mutlaknya sehingga kita

dapatkan ∑ x= 122 (pada kolom 5)

4. Menghitung deviasi rata- rata atau Mean Deviation dengan rumus

MD =

=

= 2,033

b. Mencari Deviasi Rata- rata Data Berkelompok

Rumus: MD =

MD = Mean Deviation atau Deviasi rata- rata

∑fx = Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi


Langkah- langkahnya sebagai berikut:

1. Menentukan Midpoint atau nilai tengah masing- masing interval (X)

2. Mengalihkan masing- masing banyak frekuensi ( ) dengan nilai midpoint,

sehingga di dapatkan X, kemudian menjumlahkan nilai X menjadi

∑ X.


3. Mencari meannya dari data tunggal dengan rumus: Mx =

4. Mencari Deviasi tiap- tiap interval dengan rumus: x= X-Mx

5. Mengalihkan masing- masing banyaknya frekuensi ( ) dengan nilai

deviasi- deviasi tiap- tiap interval, sehingga didapatkan x menjadi x.


MD =

Contoh:

Misalnya nilai dari 70 siswa matematika seperti pada tabel data

kelompok di bawah ini dan kita ingin mencari devisi rata- ratanya.

Interval

Nilai X X

x

(X - Mx) x

70-74 2 72 144 20 40

65-69 4 67 268 15 60

60-64 9 62 558 10 90

55-59 12 57 684 5 60

50-54 16 52 832 0 0

45-49 12 47 564 -5 -60

40-44 9 42 378 -10 -90

35-39 4 37 148 -15 -60

30-34 2 32 64 -20 -40

Total N= 70 - X= 3640 - x= 500

1. Menentukan Midpoint atau nilai tengah masing- masing interval

(X) (lihat kolom 3)

2. Mengalihkan masing- masing banyak frekuensi ( ) dengan nilai

midpoint, sehingga di dapatkan X, kemudian menjumlahkan nilai

X menjadi ∑ X. (pada kolom 4)

3. Mencari meannya dari data tunggal dengan rumus:

Mx =

=

= 52

4. Mencari Deviasi tiap- tiap interval dengan rumus: x= X-Mx (pada

kolom 5)


5. Mengalihkan masing- masing banyaknya frekuensi ( ) dengan

nilai deviasi- deviasi tiap- tiap interval, sehingga didapatkan x

menjadi x. (pada kolom 6)


MD =

=

= 7,14

2.2 Deviasi Standar (Standard Deviation)

Deviasi standar atau standard deviation adalah pengembangan dari deviasi

rata-rata. Deviasi standar atau standart deviation dilambangkan dengan SD / 𝛅.

Rumus deviasi standar adalah :

SD = √ ∑X

SD = (Standard Deviation) Deviasi Standar

𝑥 = Jumlah deviasi standar setelah di kuadratkan dari masing-masing deviasi.


a) Mencari Deviasi Standar Data Tunggal

Mencari deviasi standar data tunggal yang masing-masing skor atau nilai

mempunyai frekuensinya satu.

Contoh :

Perhatikan table 5.3 yang sudah dicari deviasi rata-ratanya, kemudian

kita cari standar deviasi.

Tinggi badan

(X) F

Deviasi

(x = X-Mx) X

2

150 1 -15.8 249.64

155 1 -10.8 116.64

157 1 -8.8 77.44


160 1 -5.8 33.64

163 1 -2.8 7.84

167 1 1.2 1.44

172 1 6.2 38.44

176 1 10.2 104.04

178 1 12.2 148.84

180 1 14.2 201.64

1658 10 = N 0 =∑ x 979.6 = ∑x2

Langkah-langkahnya :

1. Mencari meannya dengan :

MX =

=

= 16,58

2. Mencari deviasi masing-masing nilai (x) dengan rumus x = X – Mx ( lihat

kolom 3)

3. Mengkuadratkan masing-masing deviasi yang sudah di dapat pada

langkah 2 menjadi ∑ x2, kemudian menjumlahkan x

2 menjadi x

2 = 979,6

4. Mencari standar deviasi dengan rumus :

SD = √ X

= √

979,6

= 97,6 ( Disederhanakan menjadi 10)

Ternyata SD-nya lebih tinggi dari pada MD-nya. Dan kalau kita cermati

dengan teliti tingkat ketelitiannya dari SD lebih teliti dari MD dalam

perhitungannya.

Mencari deviasi standar data tunggal yang masing-masing skor atau

nilai mempunyai frekuensinya lebih dari satu :

Contoh :

Perhatikan table dibawah ini.

Usia

(X) f fX x x

2 fx

2

45 2 90 5 25 50

44 4 176 4 16 64

43 5 215 3 9 45

42 6 252 2 4 24

41 8 328 1 1 8

40 10 400 0 0 0


39 8 312 -1 1 8

38 6 228 -2 4 24

37 5 185 -3 9 45

36 4 144 -4 16 64

35 2 70 -5 25 50

Total 60 = N 2400 =∑fX - 110 =∑x2 382 = ∑fx

2

Langkah-langkahnya sebagai berikut :

1. Mengalikan masing-masing antara X dengan f (lihat kolom 3)

2. Mencari meannya dengan rumus mean yaitu :

Mx =

=

= 40

3. Mencari deviasi masing-masing nilai (X) dengan rumus x = X - Mx

(lihat kolom 4).

4. Mengkuadratkan masing-masing deviasi yang sudah di dapat pada langkah

4. Menjadi X2

(lihat kolom 5).

5. Mengalihkan banyaknya frekuensi (f) dengan X2 menjadi FX

2. Kemudian

menjumlahkan semua FX2 menjadi ∑ fx

2 (kolom 6).

6. Mencari standar deviasi dengan rumus :

SD = √

= √

= √ = 2,524

b) Mencari Deviasi Standar (Standar Deviation) data berkelompok.

Mencari deviasi standar (Standart Deviation data berkelompok dengan

metode panjang

Rumus yang digunakan:

SD = √

Dimana

SD = Deviasi Standar atau Standar Deviation

∑f𝑥 = Jumlah seluruh perkalian frekuensi dengan deviasi standar

setelah dikuadratkan dari masing-masing interval.



Contoh:

Misalkan data yang tertera pada table 5.7 kita cari deviasi standarnya dengan

metode panjang.

Tabel 5.10 Perhitungan Standar Deviasi Metode Panjang

Interval

Nilai f X f.x x f

70-74 2 72 144 20 400 800

65-69 4 67 268 15 225 900

60-64 9 62 558 10 100 900

55-59 12 57 684 5 25 300

50-54 16 52 832 0 0 0

45-49 12 47 564 -5 25 300

40-44 9 42 378 -10 100 900

35-39 4 37 148 -15 225 900

30-34 2 32 64 -20 400 800

Total N= 70 - ∑fx= 3640 - ∑f = 5800

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Menentukan Midpoint (X) atau nilai tengah masing-masing kolom, (lihat kolom

3)

2. Mengalikan nilai Midpoint (X) atau nilai tengah frekuensi (f) sehingga didapat

Fx, Kemudian menjumlahkan Fx-nya sehingga diperoleh ∑fx= 3640 (lihat kolom

4)

3. Mencari Mean dengan rumus:

Mx =

=

= 52

4. Mencari Deviasi masing-masing midpoint (X) dengan rumus

X = X – Mx (lihat kolom 5)

5. Menguadratkan masing-masing nilai deviasi (x) menjadi (x2) . lihat kolom 6


6. Mengalikan antara nilai frekuensi (f) dengan masing-masing deviasi yang telah

dikuadratkan (x2) sehingga didapatkan fx

2. Kemudian menjumlahkan semua fx

2

sehingga didapat ∑f𝑥 = 5800

7. Mencari standar deviasi dengan rumus:

SD = √

= √

= √ = 9,1

Mencari Deviasi standar ( Standar Deviation ) data kelompok singkat.

SD= 𝑖 √

(

)

Dimana

SD = Deviasi standar atau Standar Deviasi

∑fx = Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi standar dari

masing-masing interval

∑fx2

= Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi standar setelah

dikuadratkan dari masing-masing interval


Contoh:

Misalkan data yang tertera pada table 5.7. Kita cari deviasi standarnya

dengan metode singkat.

Tabel 5.11. Perhitungan Standar Deviasi Metode Singkat

Interval

Nilai f X X f . x f .

70-74 2 72 5 10 25 50

65-69 4 67 3 12 9 36

60-64 9 62 2 18 4 36

55-59 12 57 1 12 1 12

50-54 16 52 (Mx) 0 0 0 0

45-49 12 47 -1 -12 1 12


40-44 9 42 -2 -18 4 36

35-39 4 37 -3 -12 9 36

30-34 2 32 -4 -8 16 32

N= 70 - ∑x = 1 ∑fx = 2 - ∑f = 250

Langkah – langkahnya sebagai berikut :

1. Menentukan Midpoint (X) atau nilai tengah pada masing=masing interval

(kolom 3).

2. Mencari Mean perkiraan dengan rumus 1/2 N. Karena N= 70, maka

1/2 x

70 = 35

3. Mencari deviasi masing-masing dengan memberi tanda plus untuk di atas

mean perkiraan dan memberi tanda minus di bawah mean perkiraan,

Ingat!

Urutan nilai +1. +2, +3, +4, dan seterusnya. Di atas mean perkiraan

penandaan tanda plus dan urutan -1, -2, -3, -4, dan seterusnya di bawah

mean perkiraan penandaan tanda plus. Lihat kolom 4

4. Mengalikan frekuensi masing-masing dengan deviasinya sehingga

didapatkan fx, lihat kolom 5.

5. Menguadratka masing-masing nilai deviasi (x) menjadi (x2), lihat kolom 6.

6. Mengalikan antara nilai frekuensi (f) dengan masing-masing deviasi yang

telah dikuadratkan (x2) sehingga didapatkan fx

2. Kemudian menjumlahkan

semua fx2 sehingga

didapatkan ∑ fx

2 = 250

7. Mencari standar deviasi dengan rumus:

SD = 𝑖 √

(

)

SD = 5 . √

(

)

SD = 5. √

SD = 5 . √

SD = 5 . 1,82


SD = 9,1 (hasilnya sama persis dengan cara panjang)

BAB III

KESIMPULAN

Berikut ini akan di paparkan kembali secara umum rumus-rumus yang telah kita bahas bersama

pada pembahasan sebelumnya.

1. Kuartil

Kuartil data tunggal : Qn = 𝜆 +( ⁄

)

Kuartil data kelompok : Qn = 𝜆 + i ( ⁄ –

)

2. Desil

Desil data tunggal : Dn = λ + ( ⁄

)

Desil data kelompok : Dn = λ + 𝑖 ( ⁄

)


3. Deviasi

Deviasi Rata-Rata : MD =

Deviasi Standar : SD = √ ∑X

bab i pendahuluan · 2013. 5. 3. · penyebaran data diatas ketajaman analisisnya lebih nyata dalam...

Documents