bab i materi matematika sma kelas x semester 1
DESCRIPTION
get fun with mathematicsTRANSCRIPT
1.1 BENTUK PANGKAT
MENU UTAMA
1.2 BENTUK AKAR
1.4 PERSAMAAN KUADRAT
1.5 FUNGSI KUADRAT
1.6 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
1.3 BENTUK LOGARITMA
BAB I MATERI MATEMATIKA SMA
KELAS X SEMESTER 1
BENTUK PANGKAT
Sebelum mempelajari materi pangkat bulat negatif, perlu diingat kembali sifatsifat yang berlaku pada pangkat bulat positif.
MENU UTAMAKE MATERI
Sifat 1.1: Jika m, n adalah sebarang bilangan bulat positif, dan
a sebarang bilangan real maka nmnm aaa
Sifat 1.2: Jika m, n bilangan bulat positif, bilangan real dan 0a
maka
nmn
m
aa
a jika m > n dan mnn
m
aa
a
1 jika m < n
a
Sifat 1.3: Jika m, n bilangan bulat positif, dan bilangan real maka
mnnm aa a
BENTUK PANGKAT
MENU UTAMAKE MATERI
Sifat 1.4: Jika m, n bilangan bulat positif, dan a, b bilangan real maka
mmm baab Sifat 1.5: Jika m, n bilangan bulat positif, dan a, b bilangan real, 0b
maka
m
mm
b
a
b
a
BENTUK PANGKAT
Selain pangkat bulat positif, akan didefinisikan pula pangkat nol.
MENU UTAMAKE MATERI
Definisi 1.1: Jika a bilangan real dan maka 10 a
Definisi 1.2 : nn
aa
1
( dan n bilangan bulat positif)0a
0a
BENTUK AKAR
Kita akan memperluas operasi perpangkatan, sehingga berlaku untuk pangkat pecahan atau disebut juga pangkat rasional.
MENU UTAMAKE MATERI
Definisi 1.3 Misalkan a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, dan antara a, b dan n terdapat hubungan bn = a. Bilangan b dinamakan akar pangkat n dari a
Definisi 1.4 nn aa 1
asalkan n a ada
Definisi 1.5 n mnmnm
n
m
aaaa 11
BENTUK LOGARITMA
Definisi 1.6
Logaritma x dengan basis (pokok) a, a > 0, dilambangkan loga x, ialah pangkat atau eksponen yang akan dimiliki oleh x seandainya ia dituliskan sebagai suatu bilangan berpangkat dengan basis a. Dengan kata lain, loga x = y
bermakna bahwa x =ay. Karena ay > 0 untuk semua bilangan nyata y bila a > 0, maka haruslah x > 0. Jadi loga x hanya didefinisikan bila x > 0. Bila basis a = 10, log10 x biasanya cukup ditulis sebagai log x saja. Logaritma dengan basis 10 dinamakan logaritma biasa. Jadi, log x = y bermakna bahwa x = 10y. Di Indonesia loga x lebih sering ditulis alog x. Namun untuk membiasakan dengan notasi yang digunakan di dunia internasional, kita akan menggunakan notasi loga x.
KE MATERI MENU UTAMA
BENTUK LOGARITMA
Berikut ini sifat-sifat pokok logaritma yang diperlukan untuk memecahkan berbagai soal yang berkaitan dengan logaritma.
MENU UTAMAKE MATERI
Teorema 1.1 Jika x adalah sembarang bilangan nyata positif, maka
xa xa log
Bukti: Misalkan ya xa log . Menurut definisi logaritma, ax = ay
xa xa logyang berimplikasi x = y, maka
BENTUK LOGARITMA
MENU UTAMAKE MATERI
Teorema 1.2 Jika x adalah sembarang bilangan nyata positif, maka
xa xa log
Bukti: misalkan p = xalog
maka x = ap. Dengan mensubstitusikan p ke dalampersamaan x = ap akan diperoleh x =
xaa logatau xa xa log
BENTUK LOGARITMA
MENU UTAMAKE MATERI
Teorema 1.3 Hukum Logaritma untuk Perkalian. Jika x dan y adalah sembarang bilangan nyata positif,
maka yxxy aaa logloglog
.dan makaN,logdan Mlog N M ayaxyx aa
Dengan demikian N M aaxy NMa
Oleh karenanya,
yxaxy aaaa loglogNMloglog NM .
Bukti: Misalkan
=
BENTUK LOGARITMA
Teorema 1.4 Hukum Logaritma untuk Pembagian. Jika x dan y adalah sembarang bilangan nyata positif,
maka
yxy
xaaa logloglog
Bukti: Misalkan
.dan maka N,logdan Mlog N M ayaxyx aa
Dengan demikian N
M
a
a
y
x
=
NMa Oleh karenanya,
yxay
xaaaa loglogNMloglog NM
MENU UTAMAKE MATERI
=
BENTUK LOGARITMA
MENU UTAMAKE MATERI
Teorema 1.5 : Jika x dan n adalah bilangan nyata dan x > 0, maka
xnx an
a loglog
Bukti: Misalkan . maka M,log Maxxa
Dengan demikian, M M nnn aax Jadi
xnax an
an
a lognMloglog M .
BENTUK LOGARITMA
Teorema 1.6 : Jika x dan n adalah bilangan nyata dan x > 0, maka
xn
x an
a log1
log
Bukti: Misalkan . Maka . Mlog Maxxa Dengan demikian
nnnn aaxxM1
M1
J
adi x
nnax an
an
a log1M
loglogM
.
MENU UTAMAKE MATERI
MENU UTAMAKE MATERI
PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum Persamaan Kuadrat
0;02 acbxax
Persamaan kuadrat merupakan persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya sama dengan dua. Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang dapat dicari dengan:
1. PEMFAKTORAN2. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT SEMPURNA3. MENGGUNAKAN RUMUS (abc)
PERSAMAAN KUADRAT
• PEMFAKTORAN
02 cbxax
xax 2 mempunyai faktor yang sama dengan cx
Dalam sistem bilangan nyata berlaku ab = 0 a = 0 atau b = 0 untuk sembarang bilangan nyata a dan b. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menjadikan salah satu ruas bernilai nol dan ruas yang lain berbentuk perkalian yaitu dari bentuk umum
mencari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan hasil kali a dan c, dan jumlahnya sama dengan b. Misalnya akar-akar tersebut dan , kemudian ubahlah bx menjadi x + x, sehingga
dan selanjutnya dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif.
MENU UTAMAKE MATERI
PERSAMAAN KUADRAT
MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT SEMPURNA
MENU UTAMAKE MATERI
Persamaan 0,0 real, konstanta,,;2 qaadalahqpadanqpax
dapat diselesaikan dengan mudah setelah diubah menjadi bentuk yang ekuivalen dengannya yaitu qpax
Bentuk 2pax disebut bentuk kuadrat sempurna.
02 cbxax dapat diubah menjadi
02 qpxa Oleh karena itu 02 cbxax
dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya menjadi
02 qpxa.
Persamaan kuadrat
PERSAMAAN KUADRAT
MENGGUNAKAN RUMUS (ABC)
MENU UTAMAKE MATERI
Rumus ini biasanya ditulis sebagai
a
acbbx
2
42
2,1
dan dikenal sebagai rumus abc.
PERSAMAAN KUADRAT
Diskriminan Persamaan Kuadrat
Dari rumus abc ini tampak bahwa banyaknya akar persamaan kuadrat hanya ditentukan dari hasil perhitungan ungkapan aljabar yang ada di dalam tanda akar. Oleh karena itu, ungkapan aljabar ini disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditulis sebagai
D = b2 – 4ac. Dengan demikian, diperoleh sifat berikut:
MENU UTAMAKE MATERI
PERSAMAAN KUADRAT
• mempunyai akar kembar (bilangan rasional) jika dan hanya jika D = 0;
• mempunyai dua akar (berbeda) jika dan hanya jika D > 0; (dalam hal D merupakan kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional, sedangkan dalam hal lainnya kedua akarnya merupakan bilangan irasional);
• tidak mempunyai akar (bilangan nyata) jika dan hanya jika D < 0.
Sifat 1.7 Persamaan kuadrat 02 cbxax
MENU UTAMAKE MATERI
PERSAMAAN KUADRATSifat 1.8: Bilangan x1
dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan
kuadrat
02 cbxax
(atau 02 a
cx
a
bx ) jika dan hanya jika
a
bxx 21 dan x1. x2 =
a
c.
MENU UTAMAKE MATERI
Fungsi
Kuadrat
untuk bilangan-bilangan nyata a, b, dan c merupakan konstanta serta a 0 disebut fungsi kuadrat dari x dan grafiknya disebut parabol.Titik maksimum atau minimum parabol disebut titik ekstrem fungsi kuadrat atau puncak atau titik balik parabol.
Grafik Fungsi KuadratDefinisi 1.7 : Fungsi y = f (x) = 02 cbxax
MENU UTAMAKE MATERI
Fungsi Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Sifat 1.9 Fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2
dapat disajikan dalam bentuk
y = f(x) = 2
22
4
4
2 a
acb
a
bxa
Fungsi Kuadrat
• minimum jika dan hanya jika a > 0. Parabolnya dikatakan cekung ke atas
• maksimum jika dan hanya jika a < 0 . Parabolnya dikatakan cekung ke bawah
Sifat 1.10 Fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2
mempunyai:
MENU UTAMAKE MATERI
Fungsi Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Sifat 1.11 Titik ekstrem atau puncak parabola fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2
ialah
2
2
4
4,
2 a
acb
a
b
sedangkan sumbu setangkupnya ialah garisa
bx
2
Jadi sumbu setangkupnya selalu melalui titik ekstremnya dan sejajar sumbu Y
Fungsi Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Sifat 1.12 Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2
bersifat:
~ Memotong sumbu X pada dua titik berlainan jika dan hanya jika D > 0.
~ Tidak memotong sumbu X jika dan hanya jika D < 0.
~ Menyinggung sumbu X jika dan hanya jika D = 0.
Fungsi Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Sifat 1.13 Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2
dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi kuadrat
y = g (x) = ax2 sejauha
b
2
satuan dalam arah mendatar dan
2
2
4
4
a
acb satuan dalam arah tegak, sedangkan arah pergeserannya ialah:
a. dalam arah sumbu X positif jika dan hanya jika ab < 0 ( a dan b berlawanan tanda)b. dalam arah sumbu X negatif jika dan hanya jika ab > 0 ( a dan b bertanda sama)c. dalam arah sumbu Y positif jika dan hanya jika D < 0d. dalam arah sumbu Y negatif jika dan hanya jika D > 0
MENU UTAMAKE MATERI
Jadi dapat disimpulkan bahwa banyaknya titik potong dengan sumbu X bergantung pada nilai-nilai a, b, dan c, akibatnya letak parabol terhadap sumbu X juga bergantung pada nilai-nilai a, b, dan c. Grafik fungsi kuadrat f(x) =
02 cbxaxdapat dilukis dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y, jika x = 0.b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X, jika y = 0 atau mencari akar persamaan 02 cbxax
c. Menentukan puncak parabola a
Dy
a
bxyx pppp 4
dan 2
;,
d. Lukislah beberapa titik yang dianggap perlu dengan mengingat posisi setangkupnya terhadap garis
a
bx
2
e. Telusuri jejak titik-titik tersebut. Kedudukan fungsi kuadrat terhadap sumbu X dapat dilihat dari nilai a dan diskriminan seperti pada sifat berikut.
untuk mempermulus jejaknya.
Membentuk Fungsi Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan sifat-sifat yang ada yaitu;a.Melalui koordinat titik balik yang diketahui
2
2
4
4,
2 a
acb
a
b
dapat dibentuk fungsi kuadrat yaitu y = f(x) =2
22
4
4
2 a
acb
a
bxa
b. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X di (,0) dan (0,) dapat dibentuk fungsi kuadrat dengan menggunakan
xxay
c. Jika diketahui tiga titik sebarang dapat dibentuk fungsi kuadrat menggunakan
cbxaxy 2
.
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat
• Persamaan Linear dan Persamaan Linear• Persamaan Linear dan Persamaan Kuadrat• Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Persamaan Linear dan Persamaan Linear
Bentuk umum persamaan linear dua peubah adalah ax + by = c;dimana x, y adalah peubah; a, b 0. Persamaan linear dua peubah dapat dibentuk melalui titik (x1, y1) dengan gradien = m, diperoleh persamaan y = m (x x1) + y1. Selain itu, dapat juga ditentukan melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) sehingga diperoleh persamaan
0;0; 121212
1
12
1
xxyyxx
xx
yy
yy
Melalui titik (a, 0) dan (0, b) diperoleh persamaan
0;0;0 bab
y
a
x
MENU UTAMAKE MATERI
Persamaan linear tiga peubah mempunyai bentuk umum ax + by + cz = d; x, y dan z adalah peubah; a 0, b 0, dan c 0.
Sistem persamaan linear dibedakan menjadi sistem persamaan linear homogen dan non homogen. Sistem persamaan linear dikatakan homogen jika beberapa persamaan linear pada saat bersamaan c1 = c2 = 0 untuk sistem persamaan linear dua peubah dan d1 = d2 = d3 = 0 untuk persamaan linear tiga peubah.
Sistem persamaan linear non homogen jika beberapa persamaan linear pada saat bersamaan c1, c2 0 untuk sistem persamaan linear dua peubah dan d1, d2, d3 0 untuk persamaan linear tiga peubah.
KE MATERI MENU UTAMA
Persamaan Linear dan Persamaan Linear
Sistem persamaan linear dan linear dapat diselesaikan dengan:(a) Metode Subtitusi Substitusi artinya penggantian. Persamaan linear dua peubah a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 dapat diselesaikan dengan langkah sebagai berikut: 1. Ubahlah salah satu persamaan menjadi y = f (x) atau x = f (y) 2. Substitusikan f (x) ke peubah y atau f (y) ke peubah x pada persamaan lain sehingga terbentuk satu persamaan linear dengan satu peubah 3. Selesaikan persamaan linear yang terbentuk 4. Substitusikan hasilnya ke salah satu persamaan semula untuk mendapat nilai peubah yang lain.
MENU UTAMAKE MATERI
Persamaan Linear dan Persamaan Linear
MENU UTAMAKE MATERI
Persamaan linear dua peubah a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 dapat diubah dengan langkah
1
1
1
1
a
cy
a
bx
kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang kedua a2x + b2y = c2 didapat
2121
2121
2121
2121
abba
acca
baab
accay
dan
2121
2121
abba
cbbcx
Himpunan penyelesaiannya adalah:
2121
2121
2121
2121 ,abba
acca
abba
cbbc
.
Persamaan Linear dan Persamaan Linear
Persamaan linear tiga peubah a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2 dan a3x + b3y + c3z = d3 dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan linear dua peubah, akan diperoleh
122131331223321
122131331223321
122131331223321
122131331223321
122131331223321
122131331223321
cbcbacbcbacbcba
dbdbadbdbadbdbaz
cbcbacbcbacbcba
cdcdacdcdacdcday
cbcbacbcbacbcba
cbcbdcbcbdcbcbdx
Dari penyelesaian tersebut di atas, nilai x, y, z mempunyai penyebut yang sama, dimana nilai penyebut ini tidak boleh
samadengan nol.
MENU UTAMAKE MATERI
Persamaan Linear dan Persamaan Linear
MENU UTAMAKE MATERI
(b) Metode Eliminasi Untuk menyelesaikan dengan jalan mengubah koeffisien salah satu peubah menjadi 0. Dengan cara ini akan terbentuk dua persamaan, yang masing-masing hanya mengandung satu peubah. Caranya ialah dengan mengalikan masing-masing persamaan dengan koeffisien masing-masing peubah.
Persamaan Linear Dan Persamaan Linear
(c) Metode Determinan Matrik Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan determinan matrik. Sistem persamaan linier dua peubah digunakan determinan matrik 22 sedangkan sistem persamaan linier tiga peubah digunakan determinan matrik 33.
A =
dc
ba, determinan A dinotasikan A = ad – bc .
A =
333
222
111
cba
cba
cba
, determinan A dinotasikan
= A 321321321321321321 cabbcaabcbacacbcba Sistem persamaan linier a1x + b1y = c1
dan a2x + b2y = c2 mempunyai penyelesaiannya D
Dydan
D
Dx yx
KE MATERI MENU UTAMA
Persamaan Linear dan Persamaan Linear
MENU UTAMAKE MATERI
122122
111221
22
111221
22
11 ;; cacaca
caDbcbc
bc
bcDbaba
ba
baD yx
Jadi 1221
1221
1221
1221
baba
cacaydan
baba
bcbcx
Persamaan linear tiga peubah a1x + b1y + c1z = d1; a2x + b2y + c2z = d2; dan a3x + b3y + c3z = d3 dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti sistem persamaan linear dua peubah, yaitu
D
Dz
D
Dy
D
Dx zyx ;;
.
Persamaan Linear dan Persamaan Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Penyelesaian sistem persamaan adalah titik potong kedua grafik tersebut. Persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c = 0 dan persamaan linier y = mx + n digambarkan dalam bentuk grafik sebagai berikut.
Persamaan Linear dan Persamaan Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Untuk menentukan titik potong kedua grafik digunakan metodesubstitusi, kemudian mencari akar persamaan kuadrat.
a
ncambmbxx
ncxmbax
ncmxbxax
nmxcbxax
2
4)()(,
0
0
2
21
2
2
2
Harga x disubstitusikan terhadap y sehingga diperoleh titik potong kedua grafik tersebut.
Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat
MENU UTAMAKE MATERI
Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat merupakan penyelesaian dari dua persamaan kuadrat yang merupakan titik potong kedua grafik dari persamaan tersebut. Persamaan y = ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r digambarkan dalam grafik sebagai berikut.
Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat
Cara menyelesaikannya dengan metode substitusi yaitu:
0)()()( 2
22
rcxqbxpa
rqxpxcbxax
Harga x didapat dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat,selanjutnya disubstitusikan ((ke peubah y, sehingga diperoleh titik potong kedua kurva.
MENU UTAMAKE MATERI