bab 5 sinyal dan sistem waktu diskrit
TRANSCRIPT
Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit
Oleh: Tri Budi Santoso
Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS
Materi:
Tujuan: • Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar
transformasi Fourier Waktu Diskrit• Siswa mampu membawa persoalan dari konsep
sinyal waktu kontinyu menjadi sinyal waktu diskrit.
Representasi matematik pada sinyal waktu diskrit, domain waktu dan frekuensi pada suatu sinyal waktudiskrit, transformasi pada sinyal waktu diskrit
Sub Bab:5.1. Transformasi Fourier Waktu Kontinyu5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT)5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT)5.4. Komputasi DFT5.5. Komputasi Inverse DFT5.6. Interpretasi Hasil DFT5.7. Hubungan DFT- Transformasi Fourier
5.1. Continues Time Fourier Transform
• Sinyal periodik waktu kontinyu f(t) dengan periode T dinyatakan sebagaibentuk weighted sum pada complex exponential:
dimana:Fk = koefisien-koefisien ekspansi
Ω0 = frekuensi fundamental Ω0 =π/T
teFtfk
jkk∑
∞
−∞=
Ω= 0)( untuk semua nilai t (1)
∫ Ω−=T
jkk tdtetf
TF
0
0)(1
Lanjutan….• Persamaan (1) dikenal sebagai deret Fourier eksponensial komplek• Dalam terminologi deret geometri seringkali dinyatakan sebagai
( )∑∞
=
Ω+Ω+=1
000 sincos)(k
kk tkbtkaatf
∫ ==T
FdttfT
a0
00 )(1
(2)
(3)
∫ −+=Ω=T
kkk FFdtktfT
a0
0cos)(2
( )∫ −=Ω= −
T
kkk jFFdtktfT
b0
0sin)(2
(4)
(5)
5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT)• Untuk sinyal periodik waktu diskrit x(n) dengan periode N.
Kita kenal frekuensi digital 0 ~ 2π. Ekspansinya dinyatakandalam:
∑−
=
=1
0
0)(1)(N
k
njkekXN
nx ω(6)
(7)∑−
=
−=1
0
0)()(N
k
njkenxkX ω
Persamaan (6) dan (7) dikenal sebagai pasangan Discrete Fourier Series (DFS)
Dalam hal iniω0 = frekuensi fundamental
= 2π/sampling rate= 2π/N
Lanjutan….
• Untuk N genap:
• Untuk N ganjil:
nNA
nN
kkBnN
kkAAnxN
k
N
k
π
ππ
cos2
2sin)(2cos)()0()(1)2/(
1
1)2/(
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= ∑∑
−
=
−
=
∑∑−
=
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2/)1(
1
2/)1(
1
2sin)(2cos)()0()(N
k
N
kn
NkkBn
NkkAAnx ππ
……….(8a)
……….(8b)
Lanjutan
Untuk N Genap:
∑−
=
=1
0)(1)0(
N
nnx
NA
( )∑−
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1
012/,...,2,12cos)(2)(
N
nNkuntukn
Nknx
NkA π
( )∑−
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1
012/,...,2,12sin)(2)(
N
nNkuntukn
Nknx
NkB π
( )∑−
=
−==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1
012/,...,2,1cos)(1
2
N
nNkuntuknnx
NNA π
(9)
5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT)• Bisa digunakan untuk sinyal periodik dan non periodik
• Dimana ω0=2π/N• Bentuk Inversnya:
• Dalam terminologi (WN=e-j2π/N) dinyatakan:
10)()(1
0
0 −≤≤=∑−
=
− NkenxkXN
n
njkω (10)
10)(1)(1
0
0 −≤≤= ∑−
=
NnekXN
nxN
n
njkω (11)
10)()(1
0−≤≤=∑
−
=
NkWnxkXN
n
knN
10)(1)(1
0−≤≤= ∑
−
=
− NnWkXN
nxN
n
knN
Sifat-Sifat DFT• Secara umum sama dengan sifat Transformasi Fourier waktu
kontinyu.
• Tetapi durasi untuk n dibatasi 0 s/d N-1. Maka setelah n = N-1, akan berputar kembali pada nilai n = 0.
• Dari beberapa sifat tsb, kita bahas 4 saja, yaitu:- Sifat Linearitas- Sifat Circular Translation- Sifat Perkalian dengan Eksponensial- Sifat Circular Convolution
a. Sifat Linearitas
DFT[a1x1(n)] = a1X1(k) , DFT[a2x2(n)] = a2X2(k)
Maka:DFT[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1DFT[x1(n)] + a2DFT[x2(n)]
= a1X1(k) + a2X2(k) ……..(12)
b. Sifat Circular Translation• Pada kasus translasi linear x(n-n0) merupakan
bentuk pergeseran ke kanan.• Tetapi pada kasus sinyal non-periodik (n = 0 s/d N-1),
maka pergeseran terbatas sampai dengan N-1. Setelah itu kembali ke n=0 Modulo N, makabentuknya menjadi
N=8
0 1
2
34
5
6
7
x(n) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)]x((n-1)mod N) = [x(N-1), x(0),……, x(N-3), x(N-2)]……x((n-n0)mod N) = [x(N-n0), x(N-n0+1),……., x(N- n0 -1)]……x((n-N)mod N) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)]
DFT[(n-N)mod N]=WNkmX(k) ………(13)
c. Sifat Perkalian dengan Eksponensial
Jika DFT[x(n)] = X(k)
Maka DFT[WN-lnx(n)] =X((k-l) mod N)
………..(14)
d. Sifat Circular Convolution
• Konvolusi Linear:
• Konvolusi Circular:
)()()()()()( 212121 knxkxataukxknxnxnxkk
−−=∗ ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
[ ] ( ) ( )[ ] [ ] )()()()(
)()(
211
21
2121
nxFnxFFnxnx
eXeXnxnxF jj
⋅=∗
=∗−
ωω
( )
( )∑
∑−
=
−
=
−=
−∆⊗
1
021
1
02121
mod)()(
)(mod)()()(
N
k
N
k
Nknxkx
kxNknxnxnx
Dimana x1(n-k)mod N) merupakan versi ter-refleksi danter-translasi (geser) pada x1(n)
……….(15)
Contoh 1:• Sebuah operasi konvolusi circular dibentuk dari
dua komponen x1(n)=(1,2,2,0) dan x2(n)=(0,1,2,3). Dapatkan hasil konvolusi
)()()( 21 nxnxnx ⊗=
x1(n) x2(n)
Gambar 5.1. Contoh kasus konvolusi circular
Penyelesaian:Step 2: x1(k) = (1, 2, 2, 0)
x2((1-k)mod 4)= (1, 0, 3, 2)------------- +
y(0) = 1 0 6 0= 7
Step 1: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1)
------------- +y(0) = 0 6 4 0
= 10
Step 3: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((2-k)mod 4)= (2, 1, 0, 3)
------------- +y(0) = 1 2 0 0
= 4
Step 4: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((3-k)mod 4)= (3, 2, 1, 0)
------------- +y(0) = 3 4 2 0
= 9
Step 5: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1)
------------- +y(5) = 0 6 4 0
= 10
Terjadi perulangan hasil.
Hasilnya:
)9,4,7,10()()()( 241 =⊗= nxnxny
n
y(n)
[ ] [ ] )()()()( 2121 nxDFTnxDFTIDFTnxnx NNNN ⋅=⊗
……….(16)
Gambar 5.2. Hasil konvolusi circular
5.4. Computation of DFT
( )
( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]
( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]
( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
++=
−==
∑∑
∑∑
∑
∑
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
ReImImRe
ImImReRe
ImReImRe
1,.....,1,0;)(
N
n
knN
N
n
knN
N
n
knN
N
n
knN
N
n
knN
knN
N
n
knN
WnxWnxj
WnxWnx
WjWnxjnx
NkWnxkX
perkalianjumlahan
……(17)
5.5. Computation of Inverse DFT
( )∑−
=
− −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1
0
1,....,1,0;1)(N
k
knN NnWkX
Nnx
……….(18)
5.6. Interpretation of DFT Result
x(n) versi diskrit (tersampel) pad asinyal analog xa(t)
Frekuensi indek(tanpa satuan)
k
Frekuensi digital(radiant)
ωk = k2π/N
Frekuensi indek(tanpa satuan)
Ωk= k2π/NT
……..(19)
Contoh 2• Dapatkan transformasi Fourier dari sinyal cosinus yang
memiliki periode eksak di dalam window yang terdapat padasampel. Tetapkan x(n) seperti pada Gambar dibawah yang direpresentasikan sebagai x(t) = 3cos(2πt), pada t=nT. Untuksuatu n = 0~ 99, dan T=0,01.
t
x(t)
Gambar 5.3. Contoh sinyal sinus waktu kontinyu
Penyelesaian• Didapatkan sekuen diskrit sebagai
x(n) = 3cos(2πnT) = 3cos(0.02πn) untukn =0,1,….,199. Perlu dicatat bahwa x(n) merupakan sinyal cosinussepanjang dua periode.
n
x(n)
Gambar 5.4. Contoh sinyal sinus waktu diskrit
• Bagian real XR(k) dan imajiner XI(k) dapatdihitung dari persamaan (11).
10)()(1
0
0 −≤≤=∑−
=
− NkenxkXN
n
njkω
( )( ) ( ) ( )( )∑−
=
−=1
000 sincos02,0cos3)(
N
nnkjnknkX ωωπ
Hasilnya seperti pada gambar berikut…
Bagian RealXR(k)
2
0,02π
2π
Freq Analog(rad/det)
Freq Digital(rad)
Indek Freq Digital(rad/det)
k
ωk
Ωk
m
2πm/200
mπ
100
π
100π Gambar 5.5. Bagian real hasil transformasi sinyal sinus
Bagian Imaginer
Semua bernilai 0, atau mendekati 0
Gambar 5.6. Bagian imajiner hasil transformasi sinyal sinus
Perhatikan pada bagian Real, ada dua nilai munculyaitu pada indek frekuensi (2) dan (N-2 =198).Masing-masing dengan nilai 300. Inimerepresentasikan (AN/2), dimana:- A=3 amplitudo- N = 300 jumlah sampel yang digunakan
Karena struktur sampling, frekuensi indek 2 berkaitansecara tepat dengan penuh pada gelombang cosinus.
Keterangan
Contoh 3• Gambarkan magnitudo pada DFT 64 titik pada x(n) = (1/32) sin (0,2πn).
Dengan nilai n=0,1,…,63
Gambar 5.7. Sinyal sinus diskrit pada contoh 3
Penyelesaian
X(k) = XR(k) + XI(k)Magnitudonya:
( ) ( ) ( ) ( )kXkXkXkXkX IIRR +=)(Seperti terlihat pada gambar sebelumnya, dengan persamaantersebut terjadi 6,4 gelombang sinus.Jika gelombang sinus tepat pada 1 periode penuh, |X(k)| akanmemiliki nilai (AN/2), sehingga:
12
64321
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
AN
Tetapi ternyata hasilnya sedikit berbeda, yaitu nilai maksimum terjadipada n=6, dan bernilai < 1.
k=6
Gambar 5.7. Hasil transformasi fourier sinyal sinus diskrit contoh 3
5.7. Hubungan DFT-Fourier Transform
• Transformasi Fourier
• Discrete Fourier Transform
( ) ( ) ( )∑∑−
=
−∞
−∞=
− ==1
0
N
n
nj
n
njj enxenxeX ωωω
( ) ( ) ( ) 1,...,1,01
0
/2 −==∑−
=
− NkenxkXN
n
Nkj π
Sinyal Tersampel dan Transformasi Fouriernya
Gambar 5.8. Sinyal persegi tersampel (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
Zero Padding|8 titik DFT| dengan tambahan 4 zero pada x(n)
Hasil DFT
Gambar 5.9. Sinyal persegi dengan 4 zero padding (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
|16 titik DFT| dengan tambahan 12 zero pada x(n)
Hasil DFT
Gambar 5.10. Sinyal persegi dengan 12 zero padding (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
|64 titik DFT| dengan tambahan 60 zero pada x(n)
Hasil DFT
Gambar 5.11. Sinyal persegi dengan 60 zero padding (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
Contoh Lain DFT pada Sinyal Sinusx(n) = (1/64)*(sin(2*pi*n/64) + (1/3)*sin(2*pi*15*n/64))
Gambar 5.12. Sinyal sinus beragam frekuensi (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
Soal Latihan
[ ]⎩⎨⎧
==
=9,......,2,1;0
0;1)
nn
nxa
[ ] 9,......,2,1,0;) 52 == nenxd nj π
[ ]⎩⎨⎧
==
=9,......2,1;0
0;1)
kk
kXa a
1. Dapatkan bentuk transformasi Fourier (DFT)10-point untuk sinyal waktu diskrit berikut ini:
2. Dapatkan bentuk invers Transformasi Fourier (IDFT) 10-point untuk sinyal berikut ini:
[ ] 9,......,2,1,0;1) == kkXb b
[ ] 9,......,2,1;1) == nnxb
[ ]⎩⎨⎧
≠=
=4;04;1
)nn
nxc
[ ]⎩⎨⎧
==
=9,8,6,5,4,2,1,0;0
7,3;1)
kk
kXc c
[ ] ( ) 9,......,2,1,0;5/2cos) == kkkXd d π
3. Sebuah sinyal waktu diskrit dinyatakan dalam bentuk komplek berikut ini
[ ] ( ) 1,.....2,1,0;/21 −== Nnenx nNkj π
Dapatkan bentuk transformasi Fourier waktu diskrit (DFT) dari x[n] sebanyakN-titik
4. Sebuah sinyal waktu diskrit tersusun dari fungsi sinusioda:
x2[n]=cos(2πkn/N)
Dapatkan bentuknya dalam domain frekuensi N-titik
5. Buatlah sebuah program visualisasi dengan Matlab untuk domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal berikut ini:
a) x[n] = 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0b) x[n] = 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0
6. Buat visualisasi sinyal domain waktu & frekuensi sinyal ini:
a). 1,1,1,1,0,0,0,……0,0 b). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0
c). 1,1,1,1,0,0,0,………………0,0 d). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0
16 titik 32 titik
64 titik 128 titik
7. Buat visualisasi domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal:
a) x[n] = sinc(2πn/10) ; n = -30,-29,…..-1,0,1,……..,29,30
b)⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
−−−−==
30,29.....,,.........2,1;00;1
1,2,....,29,30;0][
nnn
nx