5

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Objek Fraktal

Fraktal memiliki dua arti yang saling berhubungan. Dalam penggunaan sehari-hari,

fraktal adalah bentuk yang dibentuk secara berulang atau self-simiar. Atau dengan kata lain,

sebuah bentuk yang mirip pada semua tingkat pembesaran. Karena alasan ini objek fraktal

seringkali dianggap “rumit tidak berhingga – infinitely complex.” Dalam sudut pandang

matematika, fraktal adalah objek yang memenuhi spesifikasi teknis tertentu. Spesifikasi ini

adalah:

Dimensi Hausdorff > Dimensi Topologi (Mandelbrot, 1983, p361)

Objek-objek dengan spesifikasi ini sudah lama dikenal jauh sebelum kata fraktal ini di

definisikan. Objek-objek ini dapat ditemukan dalam kerajinan primitif di benua Afrika.

Konsep self-similar sudah timbul sejak abad ke 17. Pada tahun 1960, Benoit Mandelbrot mulai

mempelajari konsep self-similar dan pada tahun 1975 mulai mempopulerkan istilah fraktal.

Asal usul penggunaan kata fraktal adalah:

”Fraktal berasal dari bahasa Latin, yaitu kata sifat “fractus” dan kata kerja “frangere”.

“Frangere” berarti memecah: membuat fragmen-fragmen yang tidak beraturan.

Sebagai tambahan untuk istilah terfragmen (seperti dalam fraksi (fraction) atau

refraksi (refraction)), “fractus” juga berarti tidak teratur atau terfragmentasi, tetapi

juga dapat berarti dimensi fraksional (fractional dimensional). Keduanya berarti

terbagi dalam bentuk fragmen.” (Mandelbrot, 1983, p15)

6

Menurut Mandelbrot, (Mandelbrot, 1983, p16) fraktal adalah bentuk geometri kasar

yang terfragmentasi, dapat dibagi dalam beberapa bagian, dan tiap bagian merupakan tiruan

dalam ukuran yang sama besar atau lebih kecil dari bentuk asli keseluruhannya.

Berdasarkan uraian tersebut, fraktal dapat dikatakan sebagai objek geometri yang

serupa dengan dirinya sendiri pada semua ukuran skala perbesarannya.

2.1.1 Sifat Objek Fraktal

Objek fraktal mempunyai sifat-sifat dasar yang membedakan objek-objek fraktal

dengan objek-objek geometri pada umumnya, yaitu:

Self-similarity, atau sifat keserupaan diri. Sifat ini berarti suatu objek fraktal terdiri dari

banyak tiruan yang sama, dari objek fraktal itu sendiri, dengan ukuran yang lebih kecil

terkubur di dalam bentuk aslinya. Dengan kata lain, terdapat kesamaan di dalam

bagian-bagian objek dibanding keseluruhan objek fraktal itu sendiri.

Infinite detail, atau detil yang tak berhingga. Sifat ini berarti bahwa semakin objek

fraktal diperbesar akan didapatkan bentuk objek yang lebih mendetil. Detil dari objek

fraktal tidak terlihat langsung, tetapi akan muncul secara bertahap ketika objek fraktal

tersebut dilihat ‘semakin dekat’ dengan perbesaran. Setiap tahap perbesaran yang

semakin meningkat akan memunculkan detil-detil baru. Karena itu sifat ini juga berarti

bahwa objek fraktal tidak terpengaruh dengan ukuran skala, tidak mempunyai variasi

penskalaan (invariance of scale).

7

(a) (b)

Gambar 2.1 Segitiga Sierpinski

Sebagai contoh, segitiga Sierpinski, salah satu jenis objek fraktal, pada Gambar 2.1

ditunjukkan dalam dua macam ukuran perbesaran. Pada Gambar 2.1(b), yang merupakan

perbesaran dari Gambar 2.1(a), terlihat detil-detil tambahan yang bentuknya serupa dengan

bentuk objek pada Gambar 2.1(a). Jika gambar semakin diperbesar, detil- detil baru akan terus

muncul.

2.1.1.1 Dimensi Objek Fraktal

Di awal bab ini didefinisikan fraktal memiliki sifat: dimensi Hausdorff > dimensi

Topologi. Untuk itu diperlukan pengertian mengenai kedua dimensi tersebut.

Pada awalnya manusia mengenal dimensi paling dasar, sebuah dimensi klasik yang

seringkali disebut dimensi Euclidean. Dimensi ini adalah dimensi yang terdiri dari:

- Garis dikenal sebagai satu dimensi, atau dimensi dimana diperlukan satu parameter

untuk menemukan sebuah titik. Seperti di gambarkan pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Garis

8

- Bidang datar dikenal sebagai dua dimensi, atau dimensi dimana yang memerlukan dua

parameter untuk menentukan sebuah titik. Contohnya (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) dan (x4,y4).

Contoh dua dimensi digambarkan pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Bidang Datar

- Gambar 2.4 menggambarkan contoh bentuk bangun ruang. Bangun ruang dikenal

sebagai tiga dimensi, atau dimensi yang memerlukan tiga buah parameter untuk

menentukan sebuah titik di dalamnya. Contohnya (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3),

(x4,y4,z4) dan seterusnya.

Gambar 2.4 bangun ruang

Dari pengertian dimensi Euclidean, dapat diambil kesimpulan bahwa sebuah garis

merupakan satu dimensi, bidang datar merupakan dua dimensi, dan bangun ruang merupakan

tiga dimensi dan pada umumnya ruang Euclidean sebagai n-dimensi. Atau, dimensi dari

sebuah ruang sama dengan jumlah parameter real yang diperlukan untuk menunjukkan titik

yang berbeda pada ruang.

9

Pandangan dimensi euclidean mendapat sanggahan pada akhir abad ke-19 oleh dua

penemuan berikut:

• Cantor set membuktikan adanya korespondensi satu-satu antara (satu dimensi) dan

(dua dimensi).

• Konstruksi Peano mengenai pemetaan yang berkelanjutan dari (satu dimensi) ke

(dua dimensi).

Sanggahan ini menunjukkan bahwa pandangan mengenai dimensi belum cukup kuat.

Pada awal abad ke 20, ahli matematika menemukan definisi yang tepat mengenai dimensi.

Definisi ini disebut dimensi topologi.

Sebagai permulaan perlu dimengerti mengenai open set dan closed set. Dalam sebuah

ruang metrik X didefinisikan (Barnsley, 1994, p12):

Open ball: sebuah open ball dalam X adalah sebuah subset dalam bentuk

Untuk dan radius . Artinya, mengandung semua dengan

jarak dari kurang dari .

Open: sebuah subset adalah open jika merupakan arbitrary union dari open

balls dalam X. Artinya tiap titik dalam S dikelilingi oleh open ball yang seluruhnya

berada di dalam X.

Closed: sebuah subset adalah closed jika komplemennya dalam X

adalah open. Hal ini juga bisa digambarkan dengan mengatakan bahwa titik manapun

di dalam X yang merupakan limit dari deretan titik dalam S harus terkandung dalam S.

10

Dalam ruang topologi X, dianggap bahwa tidak ada distance function, tetapi dianggap

apa yang merupakan open subsets. Artinya dimiliki sekelompok dari subset X yang disebut

open subsets dari X. Kelompok ini harus memiliki tiga aksiom dasar topology:

• Baik X dan open.

• Union dari open set apapun juga open.

• Simpangan dari open set apapun adalah open.

Sebuah subset S dari ruang topologi X mewarisi sebuah topologi dari X.

dikatakan open jika ada open subset seperti . Ini disebut topologi

subspace pada S. Kemudian ada konsep lain yang berhubungan yaitu:

Covering: Sebuah covering dari subset S adalah kumpulan dari open subset dalam X

dimana union-nya mengandung semua S.

Refinement: Sebuah refinement dari covering dari S adalah covering lainnya berupa

dari S dimana tiap set B dalam berada dalam beberapa set dalam set A dalam .

Jadi set dalam lebih kecil dari set dalam dan memberikan cakupan yang lebih

rinci dari S.

Coverings berperan penting dalam definisi dimensi topologi dan dimensi Hausdorff.

Sebagai contoh, pada Gambar 2.5 ditunjukkan covering dari kurva Koch dalam warna

merah dengan garis merah putus-putus yang menunjukkan batas dari lingkaran open, dan

refinement dari dengan warna biru. Terlihat bagaimana tiap lingkaran biru berada dalam

beberapa lingkaran merah, dan kurva Koch berada dalam union dari kedua covering.

11

Gambar 2.5 Covering dari kurva Koch

Sebuah ruang topologi X memiliki dimensi topologi sebesar m jika tiap covering dari

X memiliki refinement dimana tiap titik dari X berada pada paling besar m+1 set pada ,

dan m adalah paling kecil dari bilangan bulat ini. Gambar 2.5 menunjukkan gambaran untuk

menemukan refinement dari covering dari kurva Koch dimana tiap titik dari kurva berada pada

paling banyak dalam dua set pada kurva Koch, yang menunjukkan mengapa kurva koch

memiliki dimensi topologi bernilai 1.

Dimensi Hausdorff, didefinisikan oleh Felix Hausdorff (1868-1942), adalah dimensi

dengan definisi: Untuk objek apapun dengan ukuran (P) yang terdiri dari objek-objek dengan

ukuran (p), dan jumlah objek (N) yang dapat dimasukkan ke dalam objek yang lebih besar

sama dengan rasio ukuran (P/p) dipangkatkan dimensi Hausdorff (d). (Tucek, 2006, p1)

d

pPN ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pPnd

log

log

12

Sebelum memulai dengan objek fraktal, dicontohkan dengan objek sederhana. Pada

Gambar 2.6 sebuah garis (satu dimensi) dengan (P) 2cm dibagi menjadi dua, akan didapatkan

dua buah garis (N) dengan (p) 1cm. Apabila Rumus diatas diaplikasikan.

1

12log

2log=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= dmakad

Gambar 2.6 Garis dibagi dua

Sedangkan pada Gambar 2.7 sebuah bidang persegi dengan sisi (P) 2cm dibagi dua,

didapatkan empat (N) buah persegi dengan sisi (p) 1cm.

2

12log

4log=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= dmakad

Gambar 2.7 Bidang persegi dibagi empat

13

Terakhir, pada Gambar 2.8 tiap sisi sebuah kubus dengan sisi (P) 2cm dibagi dua, akan

menghasilkan delapan (N) buah kubus dengan sisi (p) 1 cm.

3

12log

8log=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= dmakad

Gambar 2.8 Kubus dibagi delapan

Sekarang persamaan diatas diaplikasikan dengan sebuah objek fraktal. Sebagai contoh

digunakan kurva Koch pada Gambar 2.9. Dengan segmen garis yang panjangnya 3cm (P),

dibuat kurva Koch, yang berbentuk bintang yang terdiri dari 12 segmen. Jika kurva ini

ditingkatkan dan menggunakan segmen garis dengan panjang 1cm (p), jumlah segmen garis

yang digunakan meningkat menjadi 48 segmen garis. N = 48 segmen dibagi 12 segmen.

4292618595071.1

13log

4log=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= dmakad

Hasilnya kurva Koch pada Gambar 2.9 memiliki dimensi 1.2618595071429. Jadi

kurva Koch memiliki dimensi Hausdorff > dari dimensi topologi (1.261859071429 > 1).

14

Gambar 2.9 Kurva Koch

2.1.1.2 Klasifikasi Objek Fraktal

Fraktal diklasifikasikan berdasarkan kemiripannya dengan diri sendiri atau self-

similarity. Ada tiga jenis self-similarity dalam fraktal:

Exact self-similarity — bentuk terkuat self-similarity; fraktal tampak sama persis pada

ukuran dan rasio berbeda. Fraktal yang dibuat oleh iterated function systems biasanya

menghasilkan jenis ini.

Quasi-self-similarity — bentuk yang lebih lemah dari self-similarity; fraktal tampak

mirip (tetapi tidak sama persis) pada ukuran dan rasio yang berbeda. Fraktal Quasi-

self-similar terdiri dari bentuk yang lebih kecil dari seluruh fraktal dalam bentuk yang

terdistorsi. Fraktal seperti ini biasanya dibuat dengan cara recurrence relations.

Statistical self-similarity — bentuk self-similarity yang paling lemah; fraktal jenis ini

memiliki ukuran numerik atau statistik yang dipertahankan pada ukuran dan rasio yang

berbeda. Sebenarnya ini bentuk fraktal yang paling dasar karena semua fraktal pasti

memiliki bentuk self-similarity karena fraktal adalah ukuran numerik yang

dipertahankan pada ukuran apapun. Fraktal seperti ini biasanya di buat dengan Random

Fractal.

15

Perlu dicatat bahwa tidak semua objek yang self-similar adalah fraktal – contohnya

garis nyata (garis Euclidean) berbentuk self-similar, tetapi karena dimensi Hausdorff dan

dimensi topologinya sama-sama bernilai satu, garis tersebut tidak termasuk fraktal.

2.1.2 Teori Chaos

Teori Chaos adalah adalah teori yang menggambarkan pergerakan rumit dan tidak

dapat ditebak atau dinamika sebuah sistem yang mudah berubah dari kondisi inisialnya.

Sistem Chaos dapat dijelaskan secara matematika karena mengikuti hukum tertentu. Tapi

karena sifat berubah-ubahnya akan tampak acak bagi mata awam. Teori Chaos merupakan

suatu bentuk perkembangan dari teori sistem dinamis (dynamical system), yang memfokuskan

pembahasan pada gerakan-gerakan yang sangat kompleks (highly complex motions) yang

dikenal dengan nama gerakan keotik (chaotic motions). Hal ini ditemukan oleh Henri Poincaré

sekitar tahun 1890-an dalam usahanya membuktikan kestabilan sistem tata surya (solar

system).

Poincaré menyatakan:

“Mungkin terjadi bahwa perbedaan kecil pada kondisi awal menghasilkan perbedaan

yang sangat besar pada fenomena akhirnya. Sebuah kesalahan kecil di awal akan

menghasilkan kesalahan besar di akhir. Hal ini menyebabkan prediksi menjadi

mustahil (Microsoft Corporation, 2005, p243).”

Teori sistem dinamis sendiri merupakan cabang ilmu matematika yang membahas

berbagai gerakan (motion) dalam berbagai sistem yang terbentuk dan senantiasa berubah

berdasarkan aturan-aturan yang sederhana. Teori ini ditemukan pertama kali oleh Isaac

16

Newton, sekitar abad ketujuhbelas, untuk memperagakan pergerakan sistem tata surya,

bersamaan dengan teori gravitasi universalnya (universal gravitation) (Abraham, 2004, p16).

Chaos terjadi didalam suatu sistem dinamis, yaitu jika dua buah titik acak yang

mendekati titik pemicu (starting point) terbagi-bagi secara eksponensial, sehingga hasil

akhirnya menjadi tidak dapat diprediksi.

Fraktal juga merupakan salah satu dari sekian banyak topik menarik dalam teori

Chaos. Contohnya, pada Gambar 2.9, adalah jenis fraktal dengan metode Strange Attractor

dari persamaan logistik (logistic equation), yang dapat dilihat pada Gambar 2.9(a) berikut,

serupa dengan diagram bifurkasi dari metode Chaos pada Gambar 2.9(b)

Gambar 2.9 (a) Gambar 2.9 (b)

Gambar 2.10 Perbandingan antara Fraktal dengan Chaos 2.9 (a) Objek Fraktal Strange

Attractors dan Persamaan Logistik, 2.9 (b) Diagram Bifurkasi

Fraktal berhubungan erat dengan chaos karena keduanya sama-sama merupakan sistem

yang kompleks, yang memiliki sifat-sifat yang jelas. Fraktal dan chaos, keduanya tidak sama,

walaupun fraktal sendiri sering kali dibentuk dari chaos.

Devaney (Devaney, 1990, p35) mendefinisikan suatu fungsi sebagai chaotic function

jika fungsi tersebut cenderung tergantung pada kondisi-kondisi inisial, jika fungsi tersebut

transitif secara topologis, dengan titik-titik periode yang padat dan teratur. Dengan kata lain,

sebuah fungsi merupakan chaotic function jika fungsi tersebut tidak terduga, tidak dapat

diperkirakan, tidak dapat didekomposisi, tetapi tetap mengandung keteraturan. Sedangkan

17

Allgood dan Yorke mendefinisikan chaos sebagai jalur, garis, atau kurva yang tidak stabil

baik secara eksponensial maupun menurut periodenya (Strohbeen, 2006, p14).

Perilaku Chaotic sering dijumpai pada berbagai sistem seperti jaringan listrik,

penyebaran penyakit, laser, ritme jantung, aktivitas listrik pada otak, cairan, populasi binatang

dan reaksi kimia.

2.1.3 Metode Pembuatan Fraktal

Ada beberapa teknik yang biasa digunakan untuk membuat fraktal. Teknik-teknik

tersebut adalah:

Metode Iterated Function Systems

Metode Iterated Complex Polynomial

Metode L-system

Metode Strange Attractor

2.1.3.1 Metode Iterated Function System

Iterated function systems atau IFS adalah sebuah metode pembentukan fraktal yang

divisualisasikan ke dalam bentuknya seperti sekarang oleh John Hutchinson dan di populerkan

oleh Michael Barnsley dalam buku Fractals Everywhere.

Fraktal yang dibentuk dari IFS dapat berada pada dimensi spasial manapun (pada

dimensi apapun). Tetapi biasanya fraktal IFS di hitung dan di gambar pada dua dimensi.

Sebuah fraktal IFS adalah hasil dari sebuah persamaan set rekursif. Fraktal IFS tediri dari

union atau gabungan dari beberapa tiruan dirinya sendiri. Masing-masing tiruan ini di

transformasikan oleh sebuah fungsi (function system). Contoh utama adalah Sierpinski gasket.

18

Fungsi ini biasanya contractive yang berarti fungsi ini membawa titik-titik menjadi lebih dekat

dan membuat objek menjadi lebih kecil. Oleh karena itu bentuk fraktal IFS terdiri dari

beberapa tiruan objek yang lebih kecil dan saling tumpang tindih, yang masing-masing juga

terdiri tiruan dirinya sendiri. Hal ini berlangsung secara tak hingga. Inilah yang membuat

fraktal IFS self similar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 2.11

Umumnya, dimana dan

Gambar 2.11 Sierpinski gasket dengan IFS

Secara umum ada dua metode dalam membentuk fraktal IFS. Metode pertama adalah

Supercopier dan metode kedua adalah metode Chaos game.

IFS Supercopier merupakan pendekatan yang menerapkan konsep mesin fotokopi

khusus yang memproduksi citra baru I1 dari citra awal I0. Citra I1 ini merupakan superposisi

dari beberapa reduksi citra I0. Kemudian citra I1 diproses lagi dengan mesin fotokopi tersebut

untuk memproduksi citra I2. Proses ini dilakukan berulang-ulang hingga didapatkan citra- citra

baru (I3, I4, …, Ik) yang merupakan komposisi bentuk yang lebih kecil dari citra awalnya.

Sedangkan metode Chaos Game, atau yang dikenal dengan nama Algoritma Iterasi

Acak (Random Iteration Algorithm) memberikan konsep nonrekursif yang sederhana untuk

memproduksi gambar dari attractor IFS. Konsep ini menghilangkan kebutuhan akan memori

komputer yang besar dalam membentuk Fraktal IFS. Chaos Game sendiri merupakan salah

satu bentuk penerapan dari teori Chaos.

19

2.1.3.2 Metode L-System

Fraktal L-system dikembangkan oleh seorang ahli biologi, Lindenmayer, yang bekerja

dengan ragi dan jamur berfilamen dan meneliti pola pertumbuhan berbagai jenis ganggang

(algae), seperti bakteri Anabaena catenula. L-system awalnya di bentuk untuk menyediakan

deskripsi formal perkembangan organisme multisel yang sederhaha, dan menggambarkan

hubungan antar sel tumbuhan. Kemudian, sistem ini diperluas untuk menggambarkan jenis

tumbuhan yang lebih tinggi dan struktur dahan yang rumit

Perilaku rekursif L-system mengarah pada self similarity. Hal ini menyebabkan

bentuk-bentuk natural seperti fraktal mudah di gambarkan dengan L-system. Bentuk

tumbuhan dan bentuk organisme lainnya cukup mudah untuk di definisikan karena dengan

memperbesar tingkat perulangan, bentuk ini akan tumbuh dan menjadi lebih rumit. Contoh

hasil fraktal L-system digambarkan pada Gambar 2.12.

Gambar 2.12 Contoh hasil fraktal L-system

2.1.3.3 Metode Iterated Complex Polynomial

Metode Iterated Complex Polynomial digunakan untuk menggambarkan bentuk-

bentuk fraktal yang menerapkan perhitungan bilangan kompleks. Contoh fungsi

perhitungannya adalah Julia set dan Mendlebrot set. Penelitian pertama tentang metode ini

dilakukan oleh Julia (1918) dan Fatou (1919-1920).

20

Gambar 2.13 Mandelbrot set Metode Iterated Complex Polynomial

2.1.3.4 Metode Strange Attractor

Metode strange attractor, berhubungan erat dengan konsep space of phase dan

attractor. Space of phase adalah ruang yang memiliki koordinat dari variabel yang digunakan

pada persamaan yang mendeskripsikan gerak. Untuk setiap pergerakan keotik, attractor

adalah sebuah garis dengan panjang tak terbatas, tapi selalu berisi dalam bagian yang terbatas

dari space of phase. Tipe attractor inilah yang disebut dengan strange attractor. Strange

attractor ini terbukti juga mempunyai struktur fraktal. Hal ini dapat dilihat dari bentuknya

yang tak beraturan yang merupakan garis-garis yang tak terputus dengan detil-detil yang tak

berhingga. Strukturnya tampak sangat rumit. Contoh bentuk fraktal yang dapat dibuat dengan

menggunakan metode ini dapat dilihat pada Gambar 2.14.

Gambar 2.14 Kurva Simpanim metode Strange Attractor

21

2.1.4 Fraktal Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Fraktal digunakan hampir di setiap bidang ilmu. Beberapa metode fraktal digunakan

pada bidang biologi dan obat-obatan, seperti dalam pemodelan sel, protein, struktur

kromosom, bentuk DNA, enzim dan tumbuhan. Bentuk-bentuk fraktal sering dianggap mirip

dengan bentuk-bentuk yang ada di bidang biologi, seperti bentuk Julia set yang dianggap mirip

dengan bentuk sel, atau bentuk daun pakis yang mendetil dengan menggunakan metode IFS,

sehingga untuk menggambarkan bentuk-bentuk biologi pada komputer dapat menggunakan

salah satu metode fraktal.

Selain aplikasi di bidang biologi, fraktal juga digunakan untuk memperkirakan grafik

bursa saham, melukiskan seismic. Dari penerapan-penerapan ini, musik fraktal merupakan

bentuk penerapan yang terkenal. Dalam pembuatannya, musik fraktal dapat menerapkan

algoritma yang biasa digunakan untuk melukiskan suatu bentuk fraktal.

Di bidang lainnya, fraktal juga dimanfaatkan dalam proses pembuatan permainan di

komputer. Banyak bentuk-bentuk fraktal yang dimanfaatkan dalam pembuatan permainan

seperti Bush yang digunakan sebagai bentuk tumbuhan di dalam permainan, dan Dragon curve

yang dapat dijadikan suatu peta wilayah dalam permainan. Sebagai contoh, Gambar 2.15

menunjukkan contoh peta permainan yang digambar dengan menggunakan fraktal Dragon

Curve.

Gambar 2.15 Peta Permainan dengan Dragon Curve

22

Algoritma fraktal juga dapat digunakan dalam membuat permainan itu sendiri. Selain

geometri fraktal, musik fraktal yang unik juga digunakan sebagai lagu tema pengiring yang

mengisi permainan di komputer. Fraktal juga sedang dikembangkan sebagai metode kompresi

gambar. Diharapkan kompresi dengan menggunakan metode fraktal dapat membuat kompresi

yang jauh lebih kecil dari metode kompresi yang ada saat ini.

Fraktal juga dimanfaatkan di bidang konstruksi untuk membuat antena yang sangat

kompak dan optimal untuk penggunaan komunikasi microwave maupun komunikasi selular.

Fraktal juga dimanfaatkan dalam fracture mechanics atau ilmu memprediksi kerusakan atau

adanya retakan pada sebuah bangunan

2.2 Musik

Kata 'musik' berasal dari bahasa Yunani, mousike. Menurut Kamus Besar Miriam-

Webster, istilah musik (music) berarti (1) suatu komposisi atau kombinasi berbagai bunyi atau

suara (sound); (2) seni bunyi-bunyian, atau kumpulan bunyi atau suara.

Sound (suara) dihasilkan dari getaran, baik udara maupun benda-benda padat. Ketika

getaran itu bersifat tidak teratur, maka suara itu adalah noise; ketika getaran tersebut teratur,

maka suara itu disebut tone atau nada. Musik tergantung dari nada, tidak termasuk noise

(seperti bunyi simbal, tabrakan, piring pecah, dan lain-lain). Getaran yang pelan akan

menghasilkan nada dan bunyi yang rendah (low), getaran yang cepat akan menghasilkan suara

yang lebih tinggi (high). Pada prakteknya suara musik berkisar antara 40 – 40000 getaran per

detik (hertz). Frekuensi dari getaran akan menghasilkan bunyi yang sering disebut pitch. Pitch

digunakan sebagai standar tinggi rendah dari sebuah tone atau nada.

23

2.2.1 Tangga Nada

Komposisi bunyi atau suara tersebut merupakan kombinasi deretan frekuensi bunyi

yang berbeda-beda di dalam suatu interval nada yang disebut dengan satu oktaf. Istilah 'oktaf'

dapat diartikan 'jarak' antara nada dasar dan nada oktafnya atau nada kedelapannya. Istilah ini

digunakan, misalnya untuk menetapkan luas suara piano atau luas suara seseorang. Satu oktaf,

terdiri dari delapan (oktal) tingkat nada, yaitu dari nada do sampai nada do yang lebih tinggi.

Secara keseluruhan, satu oktaf terdiri dari dua belas nada, nada C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#,

A, A#, dan B.

Gambar 2.16 Satu Oktaf Nada pada Tuts Piano

Gambar 2.16 menunjukkan gambaran satu oktaf pada sebagian tuts-tuts (keys) piano.

Piano mempunyai 88 tuts, sedangkan keyboard biasa mempunyai 61 tuts. Semua nada disusun

secara continue dari yang terendah (sisi kiri) ke yang tertinggi (sisi kanan). Tuts putih, dalam

urutan dari kiri, disebut dengan nama huruf C D E F G A B, sedangkan yang hitam dinamakan

C# atau Db; D# atau Eb; F# atau Gb; G# atau Ab; A# atau Bb.

Jarak antara dua tuts putih adalah whole-tone atau satu nada, kecuali E-F dan B-C', dua

bagian itu berjarak semitone atau halftone atau setengah nada. Setiap semitone mempunyai

perbedaan frekuensi sekitar 1.059463hz. Tuts hitam memisahkan dua tuts putih, jarak tuts

putih ke tuts hitam, dalam hal ini C-C#; D- Eb; F-F#;G- G#;A-A#, adalah semitone. Jarak

antar nada atau tone ini disebut interval.

24

Gambar 2.16 juga menunjukkan 'derajat' pada nada dasar C diwakili dengan angka 1

sampai dengan 7. Pada Gambar 2.16 juga digambarkan solmisasi (solmization). Solmisasi

adalah nada yang pertama kali digunakan oleh Guido d'Arezzo (Italia, 1025), dengan nama ut

re mi fa sol la untuk 6 nada dari hexachord, pada awal abad XVII nada si ditambahkan dan

nada ut diganti menjadi nada do.

Antara C ke C' ada 11 tuts (baik hitam maupun putih). Satu oktaf (one octave) adalah

jarak terdekat antara dua nada yang sama tapi berbeda pitch, yang dipisahkan oleh 12

semitones atau bisa juga dibilang 11 tuts. Misalnya C ke C' atau E ke E', dan seterusnya. Jika

disebutkan dua oktaf maka pengertiannya sama, hanya saja dibedakan oleh (12x2) semitones

atau 24 semitones, begitu dengan tiga oktaf dan seterusnya.

Pada Gambar 2.16 terdapat tanda # dan b. Tanda 'b' (flat atau mol), artinya nada

tersebut diturunkan semitone. Misalnya Eb, artinya nada E diturunkan semitone menjadi Eb.

Sebenarnya tanda flat atau mol bukanlah huruf 'b', tapi . Sedangkan tanda '#' (sharp atau

cruis), artinya nada tersebut dinaikkan semitone. Misalnya F#, artinya F dinaikkan semitone

menjadi F#. C# dan Db; D# dan Eb; F# dan Gb; G# dan Ab; serta A# dan Bb disebut

enharmonic, yang artinya berbeda tanda dan huruf tetapi memberikan bunyi yang sama. Tanda

“ ' ” menunjukkan tingkat oktaf. Misalnya C', berarti C satu oktaf lebih tinggi dari C.

Kebalikannya 'C, berarti C satu oktaf lebih rendah dari C. Tanda ''' juga menunjukkan nada

tertentu telah melewati C'.

Urutan nada pada tangga nada ditentukan oleh nada dasar tangga nada tersebut dan

jenis tangga nada, apakah tangga nada mayor (major) atau minor. Tangga nada mayor adalah

tangga nada yang memiliki nilai interval nada 1 – 1 – ½ - 1 – 1 – 1 – ½. Tangga nada minor

25

adalah tangga nada yang memiliki nilai interval nada 1 – ½ – 1 – 1 – ½ – 1 – 1. Tangga nada

paling dasar pada tangga nada mayor adalah (C = do) dan pada tangga nada minor (A = do).

Gambar 2.17 Tangga nada C Mayor pada not balok

Gambar 2.18 tangga nada A minor pada not balok

Pada Tabel 2.1 dan Tabel 2.2 dijelaskan urutan tangga nada mayor dan minor.

Tangga nada mayor

Tangga Nada

Nada Dasar Urutan Nada

(7b) Cb Cb - Db - Eb - Fb - Gb - Ab - Bb - Cb (6b) Gb Gb - Ab - Bb - Cb - Db - Eb - F - Gb (5b) Db Db - Eb - F - Gb - Ab - Bb - C - Db (4b) Ab Ab - Bb - C - Db - Eb - F - G - Ab (3b) Eb Eb - F - G - Ab - Bb - C - D - Eb (2b) Bb Bb - C - D - Eb - F - G - A - Bb (b) F F - G - A - Bb - C - D - E - F

Natural C C - D - E - F - G - A - B - C (#) G G - A - B - C - D - E - F# - G

(2#) D D - E - F# - G - A - B - C# - D (3#) A A - B - C# - D - E - F# - G# - A (4#) E E - F# - G# - A - B - C# - D# - E (5#) B B - C# - D# - E - F# - G# - A# - B (6#) F# F# - G# - A# - B - C# - D# - E# - F# (7#) C# C# - D# - E# - F# - G# - A# - B# - C#

Tabel 2.1 Tangga nada mayor

26

Tangga nada minor

Tangga Nada

Nada Dasar Urutan Nada

(7b) Ab Ab - Bb - Cb - Db - Eb - Fb - Gb - Ab (6b) Eb Eb - F - Gb - Ab - Bb - Cb - Db - Eb (5b) Bb Bb - C - Db - Eb - F - Gb - Ab - Bb (4b) F F - G - Ab - Bb - C - Db - Eb - F (3b) C C - D - Eb - F - G - Ab - Bb - C (2b) G G - A - Bb - C - D - Eb - F - G (b) D D - E - F - G - A - Bb - C - D

Natural A A - B - C - D - E - F - G - A (#) E E - F# - G - A - B - C - D - E

(2#) B B - C# - D - E - F# - G - A - B (3#) F# F# - G# - A - B - C# - D - E - F# (4#) C# C# - D# - E - F# - G# - A - B - C# (5#) G# G# - A# - B - C# - D# - E - F# - G# (6#) D# D# - E# - F# - G# - A# - B - C# - D# (7#) A# A# - B# - C# - D# - E# - F# - G# - A#

Tabel 2.2 Tangga nada minor

Not dan nada (tone atau note) pada dasarnya adalah sama yaitu menunjukkan satu

karakter suara dengan pitch tertentu. Beberapa not tunggal dapat dirangkaikan dengan tinggi

rendah yang berbeda. Rangkaian semacam ini disebut melodi.

27

2.2.2 Chord

Chord adalah dua atau lebih nada yang digunakan pada waktu sama atau hampir

bersamaan. Chord terdiri dari sebuah nada dasar yang memberi nama utama chord tersebut

dan satu atau lebih nada lainnya. Nama kedua dari chord ditentukan dari nama nada selain

nada dasar pada chord tersebut. Chord yang paling banyak digunakan adalah chord mayor,

chord minor, chord mayor minor atau yang dikenal sebagai chord ke tujuh, chord mayor ke

tujuh dan chord minor ke tujuh.

Susunan nada masing-masing jenis chord adalah sebagai berikut:

• Chord mayor terdiri dari sebuah nada dasar, nada pada tangga nada mayor ketiga

dan nada kelima. Contoh: chord C mayor terdiri dari nada C – E – G, dimana C

adalah nada dasar, E adalah nada ketiga setelah C pada tangga nada mayor. G

adalah nada kelima sesudah C

• Chord minor terdiri dari sebuah nada dasar, nada pada tangga nada minor ketiga

dan nada kelima. Contoh: chord C minor terdiri dari nada C – D# - G, dimana C

adalah nada dasar, Eb adalah nada ketiga setelah C pada tangga nada minor. G

adalah nada kelima.

• Chord mayor minor atau yang lebih dikenal sebagai chord ke 7 terdiri dari chord

mayor yang ditambahkan nada minor ketujuh. Contoh: chord C7 terdiri dari nada C

– E – G – Bb. C – E – G merupakan nada-nada dari chord C mayor dan Bb

merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga nada minor.

• Chord mayor ke 7 terdiri dari chord mayor yang ditambahkan nada mayor ketujuh.

Contoh: chord C7 terdiri dari nada C – E – G – B. C – E – G merupakan nada-nada

28

dari chord C mayor dan B merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga nada

mayor.

• Chord minor ke 7 terdiri dari chord minor yang ditambahkan nada minor ketujuh.

Contoh: chord C7 terdiri dari nada C – Eb – G – Bb. C – E – G merupakan nada-

nada dari chord C minor dan Bb merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga

nada minor.

2.2.3 Tempo

Melodi memerlukan rangkaian nada yang memiliki perbedaan panjang dan pendek

nada. Pada notasi balok, panjang pendeknya nada oleh bentuk atau wujud not-notnya, dan tiap

bentuk not mempunyai nilai tertentu. Nilai not ini dihitung dengan satuan hitungan yang

disebut dengan ketukan.

Gambar 2.19 Nilai ketukan not

Secara umum nilai ketukan not bernilai 4 ketuk, 2 ketuk, 1 ketuk dan seterusnya. Pada

notasi balok, panjang not dapat diperpanjang dengan menambahkan sebuah titik. Titik ini akan

menambahkan nilai not sebesar 50% dari nilai not awal. Pada notasi angka, penambahan nilai

atau panjang ketukan diwujudkan dengan menambah titik di belakang not yang ditambah.

Sebagai contoh, jika not bernilai 4 ketuk maka dalam not angka untuk nada do akan ditulis

menjadi (1 . . .).

Dalam musik, kecepatan lagu mempengaruhi bagaimana lagu tersebut dinyanyikan

dan apa yang di sampaikan oleh lagu.. Istilah untuk menyatakan kecepatan lagu dikenal

29

dengan tempo. Pencipta lagu atau komponis, biasanya telah menetapkan tempo lagunya. Jika

diperlukan perubahan kecepatan di tengah-tengah lagu, dapat memakai perubahan tempo.

Terdapat delapan istilah tempo yang sering digunakan, yaitu seperti yang terdapat pada

Tabel 2.3.

Tingkat Kecepatan Istilah Tempo Kecepatan Ketukan (per menit)

Lambat Sekali Lambat Sedang Cepat Cepat Sekali

Largo Lento Adagio Andante Moderato Allegro Vivace Presto

40 - 60 60 – 66 66 – 76 76 – 108 108 – 120 120 – 160 160 – 184 184 – 208

Tabel 2.3 Istilah Tempo Utama

Delapan istilah tempo tersebut mewakili kecepatan ketukan setiap not per menitnya.

Dua istilah yang pertama dan dua istilah yang terakhir lebih sering digunakan dalam musik

instrumental.

2.2.4 Musik Fraktal

Musik fraktal adalah musik yang merupakan hasil proses rekursif dimana sebuah

algoritma diaplikasikan berulang kali untuk memproses output sebelumnya. Dalam pandangan

yang lebih luas, semua bentuk musik, dalam tingkat mikro maupun makro dapat di buat

dengan proses ini.

Ada beberapa cara untuk membuat musik fraktal yang merupakan bentuk dari

komposisi berdasarkan algoritma. Komposisi berdasarkan algoritma bergantung pada

algoritma untuk menentukan fitur-fitur lagu. Pada bentuk paling dasar, algoritma digunakan

30

untuk menentukan nada apa saja yang dimainkan beserta urutannya. Dalam bentuk yang lebih

rumit algoritma digunakan untuk menentukan kekuatan atau volume sebuah not, tempo dan

panjangnya not.

Algoritma telah digunakan untuk membuat komposisi selama berabad-abad.

Contohnya, prosedur yang digunakan untuk menentukan suara utama dalam western

counterpoint dapat dipermudah menjadi determinan algoritma. Ada dua macam bentuk

komposisi algoritma.

Banyak algoritma yang tidak memiliki relevansi langsung terhadap musik digunakan

oleh composer sebagai inspirasi untuk musiknya. Diantaranya adalah algoritma fraktal IFS, L-

system. Bahkan algoritma dengan data yang acak seperti nilai sensus, koordinat system

informasi geografi telah digunakan untuk interpretasi musik.

Sukses atau tidaknya prosedur-prosedur ini dalam menghasilkan musik yang baik

sangat bergantung pada system mapping yang digunakan oleh komposes untuk

menerjemahkan informasi non-musik menjadi data stream musik yang acak. Salah satu cara

yang banyak digunakan adalah dengan mengambil suatu angka dengan algoritma kemudian

angka tersebut di mod dengan 88. Kemudian hasil mod tersebut digunakan untuk menentukan

not mana yang akan dimainkan. Untuk penentuan not mana yang dimainkan, diasumsikan

bahwa angka 0 adalah ‘C’ , angka 1 adalah ‘C#’, angka 2 adalah ‘D’ dan seterusnya hingga

angka ke 88 ‘C’. Untuk mendapatkan hasil yang lebih melodic dapat range nada dapat

diperkecil dari 88 menjadi 2 oktaf atau 25 (nada C hingga C’’). Atau dapat juga dengan

membatasi not yang dipilih agar berada dalam sebuah chord tertentu pada tiap beberapa bar.

Misalnya bar pertama diisi dengan chord C Mayor berarti not yang dimainkan adalah C – E –

G kemudian bar kedua diisi dengan chord DMayor7 (D – F# – A – C#) dan seterusnya.

31

2.2.5 MIDI

MIDI, adalah singkatan dari Musical Instrument Digital Interface. Dalam ilmu

komputer, MIDI adalah standar serial interface yang memungkinkan koneksi antara

synthesizer musik, instrumen musik dan komputer. Standar MIDI dibuat berdasarkan bagian

perangkat keras dan bagian penggambaran cara dimana musik dan suara di encode dan

dikomunikasikan antara perangkat MIDI. MIDI port adalah bagian perangkat keras dari

standar ini yang menentukan tipe saluran input/output. MIDI port menentukan tipe kabel

tertentu, sebuah kabel MIDI, yang terhubung ke port tersebut. Ada tiga tipe port yang

ditentukan oleh spesifikasi MIDI, yaitu, MIDI In, MIDI Out, dan MIDI Thru. Sebuah

synthesizer atau perangkat MIDI lainnya menerima pesan MIDI melalui port MIDI In. pesan

MIDI ini juga dikirimkan lagi melalui port MIDI Thru sehingga perangkat lainnya dapat

menerima pesan tersebut. Perangkat MIDI dapat mengirim pesan mereka sendiri ke perangkat

lainnya melalui port MIDI Out.

Informasi yang dikirimkan antar perangkat MIDI berada dalam bentuk yang disebut

MIDI message, yang mengkodekan aspek-aspek suara seperti pitch dan volume sebagai

informasi digital sebesar 8-bit bytes. Perangkat MIDI dapat digunakan untuk membuat,

merekam dan memainkan musik. Dengan menggunakan MIDI, komputer, synthesizer, dan

sequencer dapat saling berhubungan, apakah untuk mengendalikan tempo atau mengendalikan

musik yang dibuat oleh perangkat lainnya yang juga terhubung. Adanya standarisasi MIDI

oleh produsen synthesizer terkemuka cukup berpengaruh dalam suksesnya komputer dalam

profesi musik.

32

2.3 State Transition Diagram

State transition diagram (STD) atau yang juga dikenal sebagai behavioral modeling

adalah prinsip operasional untuk semua kebutuhan metode analisis. STD menggambarkan

perilaku dari sebuah sistem dengan menunjukkan kondisi (state) dan kejadian (event) yang

menyebabkan sistem berubah kondisi. Lebih lanjut, state transition diagram menunjukkan

tindakan apa (contohnya aktivasi proses) yang dijalankan sebagai hasil dari sebuah kejadian

tertentu. State digambarkan dengan kotak. Alur kendali digambarkan dengan tanda panah

memasuki dan keluar dari proses individu. Contoh dari STD digambarkan pada gambar 2.20.

Gambar 2.20 contoh STD pada software fotocopy

33

2.4 Flowchart

Flowchart adalah representasi skematik dari sebuah algoritma atau proses. Biasanya flowchart

digambarkan dengan symbol – symbol berikut:

• Symbol awal dan akhir, digambarkan sebagai kapsul, oval atau kotak dengan sudut

tumpul. Biasanya symbol ini berisi kata "Start" atau "End", atau frase lainnya yang

menunjukkan awal ataupun akhir dari sebuah proses

• "Flow of control" atau alur kendali pada ilmu computer digambarkan dengan panah.

Sebuah panah berasal dari sebuah symbol menunjuk ke symbol lainnya untuk

menggambarkan tahapan alur kendali.

• Langkah proses digambarkan dengan kotak. Kotak tersebut berisi perintah sederhana

• Input/Output, digambarkan dengan jajaran genjang.

• Kondisi digambarkan dengan limas atau diamond. Biasanya mengandung pertanyaan

dengan True/False.

Contoh flowchart digambarkan pada Gambar 2.21:

Gambar 2.21 Contoh Flowchart

34

2.5 Borland Delphi 6

Borland Delphi merupakan perangkat lunak yang dikembangkan oleh Borland dan

Delphi versi 6.0 ini merupakan pengembangan dari versi-versi sebelumnya.

Borland Delphi, atau yang lebih sering disebut Delphi, menggunakan bahasa

pemrograman Pascal. Delphi merupakan salah satu perangkat lunak yang banyak digunakan

oleh para programmer dunia saat ini. Dukungan Delphi terhadap control Active-X dan VCL

(Visual Component Library) menjadikan kompiler ini mudah digunakan dan cukup andal

untuk membangun program aplikasi Windows.(Nugroho, 2002, p1)

Delphi mengenkapsulasi fungsi-fungsi Windows API (Application Programming

Interface) yang terkenal rumit ke dalam fungsi, kelas, atau objek baru yang menjadi lebih

mudah digunakan. Dengan Delphi, seorang programmer dapat membuat program dengan

interface yang menarik secara lebih cepat dan mudah dengan memanfaatkan komponen-

komponen VCL yang telah disediakan.

Sebagai salah satu perangkat pemrograman berorientasi objek yang handal, Delphi

juga merupakan perangkat aplikasi database berbasis Windows, dengan kemampuan untuk

menggunakan bahasa SQL.

Saat ini komputer tidak hanya menangani informasi tetapi juga menampilkan gambar

di layar, menjalankan video, atau memperdengarkan suara. Delphi juga dapat memanfaatkan

multimedia untuk mengeluarkan suara atau musik. Umumnya Delphi akan memanggil

prosedur PlaySound dari komponen TMediaPlayer untuk memainkan sebuah file tipe wave

(ekstension WAV) atau memainkan suara sistem. Tipe file multimedia yang lain adalah MIDI.

File MIDI yang menyimpan suara berisi data mengenai alat musik yang dimainkan, dan

35

berapa lamanya musik tersebut. Keuntungan MIDI adalah ukuran filenya jauh lebih kecil

daripada file wave (Martina, 2000, p298-299).

Untuk dapat membuat dan mengkomposisi serta memainkan file MIDI, Delphi

membutuhkan komponen tambahan, antara lain yaitu komponen TMidiGen. TMidiGen

merupakan komponen yang dirancang oleh Alan Warriner yang dapat membantu dalam

membuat kreasi sederhana efek suara dan rangkaian not dan nada di dalam aplikasi tanpa

membutuhkan file-file ataupun sumber eksternal. TMidiGen merangkaikan data MIDI tersebut

di dalam memory. TMidiGen ini menyediakan 175 macam instrumen alat musik yang

mungkin disediakan dari sound card, penyesuaian volume suara, metode yang sederhana

dalam memainkan not-not tunggal, merangkaikan nada-nada dalam bentuk string, pengaturan

durasi sampai 10mS, dan lain sebagainya (Warriner, 2004, p1).