bab 1 - interpolasi dan ekstrapolasi - updated

Bab 1 Interpolasi dan Ekstrapolasi Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titik x1, x2, x3, , xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y = f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar interval titik-titik yang diketahui (ekstrapolasi). Permasalahan utama dalam interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya. Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan trigonometri. Proses interpolasi dilaksanakan dalam dua tahap, yaitu pertama, menentukan fungsi interpolasi yang merupakan kombinasi dari titik-titik (data) yang ada, dan kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu dimensi. 1.1. Interpolasi Kedepan Cara Newton untuk

Data dengan Interval Konstan Polinomial interpolasi kedepan Newton Ff(x) dengan x0, , xn-1 sebagai titik pusatnya yang mempunyai interval (x) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut:

)1nxx)....(2xx)(1xx)(0xx(na

.....)1xx)(0xx(2a)0xx(1a0a)x(fF

++++=

(1-1)

Koefisien a0, a1, a2, an tergantung dari x0, x1, x2, xn dan nilai f(x) di titik-titik tersebut. Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-1) dapat dinyatakan sebagai berikut:

++++=

h1nxx.....

h2xx

h1xx

h0xx

!n0y

n

..........h1xx

h0xx

20y

2

h0xx0y

1)0x(f)x(fF

(1-2)

1y0, 2y0 ny0 disebut dengan perbedaan kedepan atau forward difference,

sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan (1-2) disebut dengan interpolasi kedepan cara Newton. Perbedaan kedepan dihitung sebagai berikut:

Catatan Kuliah Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

I-1


I-2

(1-3)

ecara skematis perbedaan kedepan diberikan dalam Tabel 1.1 berikut ini.

Tabel 1.1: Tabel Perbedaan Kedepan untuk n = 6

x f(x) 1y 2y 3y 4y 5y 6y

( ) ( )( ) ( )

dst.....

0y21y

20y3

)1f(x)2f(x)2f(x)3f(x1y12y

11y2

)0f(x)1f(x)1f(x)2f(x0y11y

10y2

)1f(x)2f(x1y1

)0f(x)1f(x0y1

=====

==

S

x f(x0) 0 1y0

x1 f(x1) 2y0 1 3y01y

x2 f(x2) 2y1 4y0 2 3y1 5y01y

x3 f(x3) 2y2 4y1 6y0 1 3 3y2 5y1y

x4 f(x4) 2y3 4y2 1 4 3y3y

x5 f(x5) 2y4 1y5

x6 f(x6)

1.2. Interpolasi Kebelakang Cara Newton untuk

olinomial interpolasi kebelakang Newton Fb(x) dengan x0, , xn-1 yang mempunyai

Data dengan Interval Konstan Pinterval (x) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut:

)1xx).....(2nxx)(1nxx)(nxx(na.....)1nxx)(nxx(2a)nxx(1a0a)x(bF

++++= (1-4)

Koefisien fungsi interpolasi tergantung dari kombinasi data-data yang diketahui. Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-4) dapat dinyatakan sebagai berikut:

++++=

h1xx.....

h2nxx

h1nxx

hnxx

!nny

n

..........h

1nxxhnxx

2ny

2

hnxxny

1)nx(f)x(bF

(1-5)

1yn, 2yn nyn disebut perbedaan kebelakang atau backward difference, sehingga

i

nterpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan (1-5) disebut dengan interpolasi kebelakang cara Newton. Untuk n = 6, maka persamaan (1-5) menjadi:

++++=

h1xx.....

h4xx

h5xx

h6xx

!66y

6

..........h5xx

h6xx

26y

2

h6xx6y

1)6x(f)x(bF

(1-6)

erbedaan kebelakang dihitung sebagai berikut:

)) (1-7)

ecara skematis perbedaan kebelakang diberikan dalam Tabel 1.2 berikut ini.

Tabel 1.2: Tabel Perbedaan Kebelakang untuk n = 6

x f(x) 1y 2y 3y 4y 5y 6y

P

( ) (( ) (

dst.....

5y2

6y2

6y3

)3x(f)4x(f)4x(f)5x(f4y1

5y1

5y2

)4x(f)5x(f)5x(f)6x(f5y1

6y1

6y2

)4x(f)5x(f5y1

)5x(f)6x(f6y1

=====

==

S

x0 f(x0) x1 f(x1) 1y1 x2 f(x2) 1y2 2y2 x3 f(x3) 1y3 2y3 3y3 x4 f(x4) 1y4 2y4 3y4 4y4 x5 f(x5) 1y5 2y5 3y5 4y5 5y5 x6 f(x6) 1y6 2y6 3y6 4y6 5y6 6y6


I-3


I-4

.3. Interpolasi Cara Lagrange untuk n

olinomial interpolasi Lagrange F(x) dengan x0, , xn-1 mempunyai interval (x) tidak

(1-8)

Koefisien a0, a1, a2, an tergantung dari x0, x1, x2, xn dan nilai f(x) di titik-titik

1Data dengan Interval Tidak Konsta

Pkonstan dapat dinyatakan sebagai berikut: ( )

)1n-x(x...)x(x)x(x)0x(xa...)nx(x...)3x(x)x(x)0x(xa

)nx(x...)x(x)x(x)x(xa)nx(x...)x(x)x(x)x(xaxF

21n

12

3201

3210

++

++=

tersebut. Koefisien-koefisien tersebut dihitung sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1n-xnx...2xnx1xnx0xnx)nx(f

na

...nx2x...3x2x1x2x0x2x

)2x(f2a

nx1x...3x1x2x1x0x1x)1x(f

1a

nx0x...3x0x2x0x1x0x)0x(f

0a

=

===

(1-9)

engan mensubstitusi persamaan (1-9) ke dalam persamaan (1-8), maka diperoleh Dpersamaan polinomial interpolasi Lagrange yang dinyatakan sebagai berikut:

( )

)nx(f)1n-xn...(x)xn)(xxn(x)xn(x)1n-x(x...)3x)(xx(x)0x(x

...)2x(f)nx2...(x)3x2(x)x2(x)x2(x)nx(x...)3x(x)x(x)0x(x

)x(f)nx1(x...)x1)(xx1(x)x1x(

)nx(x...)3x)(xx(x)x(x

)x(f)nx(x...)x)(xx(x)xx(

)nx(x...)3x)(xx(x)x(xxF

210

1

10

1

1320

20

00302010

21

++

+

+=

(1-10)

Persamaan (1-10) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y, sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.


I-5

.4. Interpolasi Cara Newton untuk stan

olinomial interpolasi Newton F(x) untuk data dengan interval (x) tidak konstan

1Data dengan Interval Tidak Kon

Pdikembangkan dari polinomial interpolasi Lagrange dan Newton dan dinyatakan dengan:

.....)1xx)(0xx(2b)0xx(1b0b)x(F ++++=)1nxx).....(2xx)(1xx)(0xx(nb

(1-11)

Koefisi

en b0, b1, b2, bn tergantung dari nilai x0, x1, x2, xn dan ordinatnya, yaitu

masing-masing adalah: f(x0 , f(x) 1), f(x2), f(xn) dan dihitung sebagai berikut:

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

dst.....

0x3x2x,1x,0x3x,2x,1x

3x,2x,1x,0x3b

0x2x0x1x

)0x(f)1x(f

1x2x)1x(f)2x(f

0x2x1x,0x2x,1x

2x,1x,0x2b

0x1x)0x(f)1x(f

1x,0x1b

)0x(f0x0b

==

=

==

==

==

(1-12)

ecara skematis harga koefisien-koefisien dalam persamaan (1-11) diberikan berikut ini.

Tabel 1.3: Tabel Nilai Koefisien Persamaan (1-11) untuk n = 4

0 1 2 3 4

S

x b b b b bx0 f )

[xo, 1] x f( ) [xo, x x2]

[x1, 2] [xo, x1, 2, x3] x f( ) [x1, x x3] [xo, x1, x x3, x4]

[x2, 3] [x1, x2, 3, x4]

x f( ) [x2, x x4]

[x3, 4]

x f( )

(xo x

1 x1 1,

x x

2 x2 2, 2, x x

3 x3 3,

x

4 x4


I-6

.5. Interpolasi dengan Lengkung Kubik (Cubic Spline) untuk Data dengan Interval Sembarang

Interpo rpolasi y = f(x), dengan kemiringan lope) dan kurvatur (curvature) yang sama di sekitar titik x interpolasi. Untuk interval

1-13)

adalah koe n yan tergantun

terval xi-1 dan xi akan menghasilkan:

1

lasi lengkung kubik menghasilkan nilai inte

(santara xi1 dan xi, polinomial orde tiga mempunyai turunan kedua sebagai berikut:

)x("iy = ''1iy + "iy)1( , untuk xi-1 x xi (

fisie g g dari nilai x. Penyelesaian persamaan di atas pada in

ixx1ix,"iy

1ixixxix''xix 11iy

1ixixy"(x)

+ = untuk (1-14)

Sedangkan pada interval xi dan xi+1 akan menghasilkan:

1ixxix,''ixx"ixx 1iy

ix1ixiy

ix1ix-1y"(x) ++ +

+ += untuk (1-15)

Jika persamaan (1-14) diintegrasi relatif terhadap interval (xi

ersamaan berikut: - x) akan dihasilkan

p

ixx1ix

1c"iy)1ixix(

2)xix(21x-ix

''1iy)1ixix(

2)xix(1 2

y'(x)

+

=

untuk

(1-16)

sedangkan integrasi persamaan (1-15) akan menghasilkan persamaan berikut:

( ) ( )1ixxix

)ix1ix(2)ix1ix(2

++ +

untuk

(1-17)

c1 dan c2 adalah konstanta integrasi. Integrasi sekali lagi akan menghasilkan:

2c''1iy

2ixx1"

iy2ixx1-ixxy'(x) ++

+ =

( ) ( )sertauntuk ixx1ix

3cxix1c"iy)1ixix(

3)xx(13)xx(1 i-2xix36''1iy)1ixix(

i6

y(x)

+

+=

(1-18)

( ) ( ) ( ) ( )1ixxix

4cixx2c''1iy)ix1ix(

3ixx

61"

iyix1ix

3ixx-2ixx36

1y(x)

+

+++++

+=

untuk

(1-19)

Lengkung kubik pertama melalui titik (xi-1, yi-1) dan titik (xi, yi) mempunyai bentuk:

( ) ( ) ( )3ciy

3c1i-xix1c"iy

21i-xix3

1''1i-y

21i-xix6

11i-y

=++=

(1-20)

selanjutnya:

( )1i-xix1i-yiy"

iy2''1iy1i-xix6

1(-)'iy1c

+

+== (1-21) dimana y'(-)i adalah turunan di sebelah kiri titik x = xi. Demikian juga lengkung kubik kedua melalui titik (xi,yi) dan (xi+1,yi+1) mempunyai ekspresi:

( ) ( ) ( )4ciy

4cix1ix2c''1iy

2ix1ix6

1"iy

2ix1ix3

11iy

=+++++++=+ (1-22)

selanjutnya:

( )ix1ixiy1iy''

1iy"iy2ix1ix6

1)'(iy2c +

++

+++=+= (1-23) dimana y'(+)i adalah turunan di sebelah kanan titik x = xi. Turunan di sebelah kiri dan di sebelah kanan harus mempunyai harga yang sama di titik x = xi, sehingga:

( )( )

ix1ixiy1iy''

1iy''iy2ix1ix6

11i-xix1i-yiy''

iy2''1iy1i-xix6

1

+++

+++

=+

(1-24)

dengan pengaturan selanjutnya, maka akan diperoleh ekspresi berikut:

+++

=+++++

ix1ixiy1iy6

1i-xix1i-yiy6

''1iy)ix1ix(

''iy)1i-x1ix(2

''1iy)1i-xix(

(1-25)

Untuk titik (data) sebanyak n buah, persamaan sebanyak (n-1) buah, maka jumlah

bilangan tidak diketahui akan berjumlah (n+1) buah , i = 0,n. Agar sistem persamaan dapat diselesaikan, maka dibutuhkan tambahan dua persamaan lagi, yang

"iy


I-7

biasanya berhubungan dengan kondisi batas di titik i = 0 dan i = n. Kedua persamaan tersebut biasanya menspesifikasikan kondisi batas, dalam hal ini mengekspresikan kemiringan di titik i = 0 dan i = n sebagai berikut:

( )0x1x0y1y''

1y''0y20x1x6

1)'(0y

+

+=+ (1-26)

( )1n-xnx1n-yny''

ny2''1ny1n-xnx6

1)'(ny

+

+= (1-27) Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier dapat dituliskan sebagai berikut: [ ]{ } { }DMA = (1-28)

[A] adalah matriks koefisien aij berupa matriks tridiagonal yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut:

( )( )( )

0ija1nxnx2nna

0x1x200a

1ix1ix2iia,ni0,ijix1ixija,ni0,1ij1ixixija,ni0,1ij

==

=

+=

( ) ( ) ( )1ixxix

3ixx

ix1ix

''iy

''1iy

612

ixx"iy2

1ixx

)'(iyiyy(x)

+

++++++=

untuk

(1-32)

Turunan y'(-)i dan y'(+)i masing-masing dapat diperoleh dari persamaan (1-21) dan (1-23). Seringkali turunan lebih dipilih, daripada kurvatur, sebagai bilangan tidak diketahui. Transformasi kurvatur menjadi turunan mudah dilakukan. Langkah-langkah interpolasi dengan lengkung kubik:

Step 1: membentuk matriks koefisien [A] berdasar persamaan (1-29). Step 2: membentuk vektor {D} berdasar persamaan (1-30). Step 3: menghitung vektor {M} atau vektor {y''i} dengan cara menyelesaikan sistem persamaan linier. Step 4: menghitung turunan pertama di sebelah kiri (y'(-)i) dan kanan x (y'(+)i)

berdasar persamaan (1-21) dan (1-23). Step 5: menghitung nilai interpolasi untuk titik x tertentu berdasar persamaan

(1-31) atau (1-32). 1.6. Interpolasi dengan Trigoneometri untuk Data Periodik Jika data-data yang diinterpolasi cenderung bersifat periodik, maka sebaiknya interpolasi dilakukan dengan menggunakan fungsi trigoneometri. Salah satunya dapat dinyatakan sebagai berikut:

)xx(sin...)xx(sin)xx(sin)x(xsinnc...)xx(sin...)xx(sin)xx(sin)x(xsin1c

)nxx(sin...)xx(sin)xx(sin)x(xsin0c)x(F

1n210

n320

321

++

+= (1-33)

Koefisien c0, c1, c2, cn tergantung dari nilai x0, x1, x2, xn dan ordinatnya, yaitu masing-masing adalah: f(x0), f(x1), f(x2), f(xn) dan dihitung sebagai berikut:

)xx(sin...)xx(sin)xx(sin)xx(sin)x(f

nc

...)xx(sin...)xx(sin)xx(sin)xx(sin

)x(f1c

)xx(sin...)xx(sin)xx(sin)xx(sin)x(f

0c

1nn2n1n0n

n

n1312101

1

n0302010

0

=

==

(1-34)

Persamaan (1-13) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y, sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.


I-9

1.7. Contoh Kasus Ekstrapolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan Interval Konstan

PersoalanPosisi planet Mars diukur setiap 10 hari seperti ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari data ini diminta untuk memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450.5. Jawaban: Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan berada di luar interval data-data yang diketahui. Ekstrapolasi dilakukan berdasar 5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300.5. Perhitungan perbedaan nilai kedepan diberikan berikut ini.

Tabel 1.4: Tabel Koordinat Planet Mars dengan Interval 10 hari (Sumber: Conte & de Boor, 1981)

dan Perbedaan Kedepan

no t f(t) 1y 2y 3y 4y 0 1250.5 139140

1 1260.5 137696

2 1270.5 134783

3 1280.5 130456 4 1290.5 124767

5 1300.5 117862 -8086

6 1310.5 109776 -1054 -9140 111

7 1320.5 100636 -943 4 -10083 115

8 1330.5 90553 -828 -10911

9 1340.5 79642 Ekstrapolasi kedepan cara Newton berdasar persamaan (1-2) menghasilkan polinomial ekstrapolasi dan posisi planet Mars pada t = 1450.5 sebagai berikut:

209302)5.1450(fF10

5.1330x10

5.1320x10

5.1310x10

5.1300x4

..........10

5.1310x10

5.1300x105410

5.1300x8086117862)x(fF

=

++=


I-10

1.8. Contoh Interpolasi Kasus Kedepan Cara Newton untuk Data dengan Interval Tidak Konstan

Persoalan: Dari pengukuran topografi didapatkan data ketinggian dan posisinya sebagai berikut:

Tabel 1.5: Data Pengukuran Topografi

Posisi (x) 1.1 2.3 3.2 4.4 5.0 6.0 7.0 8.2 9.3 10.1Elevasi (d.p.l.) 5.5 5.7 6.5 5.4 3.0 -1.0 -2.0 -3.0 -1.5 -1.0

Dari data tersebut diminta membuat fungsi interpolasi kedepan cara Newton untuk elevasi topografi berdasar data pada x = 3.2, 4.4, 5.0, 6.0, 7.1 dan 8.2 (6 data). Selanjutnya dengan fungsi tersebut memperkirakan ketinggian di x = 5.5. Jawaban: Fungsi interpolasi kedepan cara Newton untuk data dengan interval tidak konstan dinyatakan dalam persamaan (1-11). Harga koefisien-koefisien dalam persamaan (1-11) dihitung dalam tabel berikut ini.

Tabel 1.6: Harga Koefisien untuk Interpolasi Kedepan Cara Newton

x b0 b1 b2 b3 b4 b53.2 6.5

-0.92 4.4 5.4 -1.71

-4.00 0.61 5.0 3.0 0.00 -0.01

-4.00 0.58 -0.05 6.0 -1.0 1.50 -0.27

-1.00 -0.45 7.0 -2.0 0.08

-0.83 8.2 -3.0

Polinomial interpolasi dengan koefisien seperti tercantum dalam Tabel 1.6 adalah:

)0.7x)(0.6x)(0.5x)(4.4x)(2.3x(05.0)0.6x)(0.5x)(4.4x)(2.3x(01.0

)0.5x)(4.4x)(2.3x(61.0)4.4x)(2.3x(71.1)2.3x(92.05.6)x(F

+=

Dengan demikian untuk x = 5.5, maka ketinggiannya adalah:

= 5.6)5.5(F 2.12 4.33 + 0.77 + 0.01 0.05 = 0.79


I-11

1.9. Contoh Interpolasi Kasus dengan Lengkung Kubik untuk Data dengan Interval Tidak Konstan

Persoalan: Erupsi Gunung Piton de la Fournaise (Pulau Reunion) memuntahkan material dengan komposisi kimia yang berubah terhadap waktu. Pengukuran rasio (Ce/Yb)N selama interval 1948-1985 yang diambil dari lava erupsi diberikan dalam Tabel 1.7. Dari data ini diminta memperkirakan rasio (Ce/Yb)N pada tahun 1960.

Tabel 1.7: Data Rasio (Ce/Yb)N Diukur pada Delapan Contoh Lava Hasil Erupsi Gunung Piton de la Fournaise (Albarede & Tamagnan, 1988)

i 0 1 2 3 4 5 6 7

Tahun 1948 1953 1956 1966 1972 1975 1981 1985 (Ce/Yb)N 20.9 21.2 22.0 20.8 21.7 22.4 21.3 18.9

Jawaban: Langkah-langkah penyelesaian:

Step 1: membentuk matriks koefisien [A] berdasar persamaan (1-29), misalnya:

a00 = 2 x (1953-1948) = 10 a01 = 1953 - 1948 dst.

Akhirnya matriks koefisien [A] mempunyai harga sebagai berikut:

[ ]

=

8400000042060000006183000000318600000063210000000102630000003165000000510

A

Step 2: membentuk vektor {D} berdasar persamaan (1-30) dengan asumsi bahwa

turunan pada titik akhir sama dengan nol, misalnya:


I-12

24.160.136.0195319562.210.226

194819539.202.2161d

36.00194819539.202.2160d

=+=

++

=

=

=

Setelah melengkapi semua perhitungan, maka vektor {D} akan berharga:

{ }

+++++

=

66.350.250.250.062.132.224.136.0

D

Step 3: menyelesaikan sistem persamaan linier. Berdasar persamaan (1-28), maka sistem

persamaan simultan akan mempunyai bentuk sebagai berikut:

+++++

=

60.350.250.250.062.132.224.136.0

MMMMMMMM

8400000042060000006183000000318600000063210000000102630000003165000000510

7

6

5

4

3

2

1

0

Vektor {M} merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yang berupa turunan kedua atau {y''i}. Setelah penyelesaian sistem persamaan linier, maka diperoleh:

=

=

5581.02161.00683.00085.00919.01371.01090.00185.0

y

y

y

y

y

y

y

y

MMMMMMMM

''7

''6

''5

''4

''3

''2

''1

''0

7

6

5

4

3

2

1

0


I-13


I-14

Step 4: menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasar

persamaan (1-21) dan (1-23) yang diberikan dalam Tabel 1.8 berikut ini:

Tabel 1.8: Turunan Kedua, Turunan Pertama di sebelah kiri dan kanan

I "iy )('

iy )(' +

iy 0 -0.0185 0 0 1 0.1090 0.2262 0.2262 2 -0.1371 0.1840 0.1840 3 0.0919 -0.0423 -0.0423 4 0.0085 0.2589 0.2589 5 -0.0683 0.1693 0.1693 6 -0.2161 -0.6839 -0.6839 7 0.5581 0 0

Step 5:

menghitung nilai interpolasi untuk titik x, misal berdasar persamaan (1-31). Dalam hal ini i = 3 (1966), maka x3 x = 1966 - 1960 = 6, kemudian x3 x2 = 1966 - 1956 = 10., y3 = 20.8, = -0.0423 dan = 0.0919, - = 0.0919 (-0.1371) = 0.2290. Harga-harga ini disubstitusikan dalam persamaan berikut

)('3y ''

3y"3y "2y

( ) ( ) 3)x3x(2x3x

"2y

"3y

612x3x

"3y2

1x3x)('

3y3y)x(y

+=

( ) ( ) ( ) 88.2136x102290.0

6126x0919.0

216x0423.08.201960ty =

+==

1.10. Contoh Kasus Ekstrapolasi Trigoneometri untuk Data dengan Interval Konstan

PersoalanPosisi planet Mars secara berkala ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari data ini kita diminta memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450.5. Jawaban: Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi data periodik, sehingga dapat dikerjakan menggunakan ekstrapolasi trigoneometri. Ekstrapolasi trigoneometri dilakukan berdasar 5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300.5 (perhatikan kembali Tabel 1.4). Perhitungan koefisien-koefsien fungsi ekstrapolasi diberikan berikut ini.

3.4172369)8t9(tsin)7t9(tsin)6t9(tsin)5t9(tsin/)9t(f4c3.17560654)9t8(tsin)7t8(tsin)6t8(tsin)5t8(tsin/)8t(f3c1.28530510)9t7(tsin)8t7(tsin)6t7(tsin)5t7(tsin/)7t(f2c4.21288509)9t6(tsin)8t6(tsin)7t6(tsin)5t6(tsin/)6t(f1c

1.6174679)9t5(tsin)8t5(tsin)7t5(tsin)6t5(tsin/)5t(f0c

====

====

==

Koefisien-koefsien tersebut disubstitusi ke dalam persamaan (1-33) akan menghasilkan persamaan ekstrapolasi berikut ini.

127648)5.1450(f)8ttsin()7t(tsin)6t(tsin)5t(tsin4172369)9ttsin()7t(tsin)6t(tsin)5t(tsin17560654)9ttsin()8t(tsin)6t(tsin)5t(tsin28530510)9ttsin()8t(tsin)7t(tsin)5t(tsin21288509)9ttsin()8t(tsin)7t(tsin)6t(tsin6174679)t(f

=

++

=

Hasil ekstrapolasi cara trigoneometri (127648) berbeda cukup jauh dengan hasil ekstrapolasi kedepan cara Newton (209302). Hal ini disebabkan oleh ketelitian masing-masing interpolator yang berbeda. Dari keduanya tidak dapat ditentukan mana yang lebih baik, karena keduanya tidak mempunyai mekanisme pengukuran kesalahan. Selain itu tidak ada informasi posisi planet Mars pada t = 1450.5 hasil observasi. Dengan memperhatikan latar belakang masalahnya, lintasan planet merupakan sesuatu yang sifatnya berkala atau periodik yang tidak dapat diantisipasi oleh ekstrapolasi kedepan cara Newton.


I-15


I-16

1.11. Komentar Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang diketahui. Metode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali. Beberapa metode yang diberikan dalam bab ini hanya sebagian diantaranya. Dalam bab ini hanya diberikan contoh fungsi interpolasi berupa polinomial dan trigoneometri satu dimensi. Pembaca dapat mencari sendiri beberapa metode lainnya. Kata kunci dalam masalah interpolasi dan ekstrapolasi adalah ketelitian interpolasi. Dalam bab ini hanya diberikan metode-metode klasik, padamana tidak disertakan hal-hal berikut ini: kriteria interpolasi, ekspresi dan optimasi ketelitian interpolasi. Satu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan titik interpolasi. Masalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam bab ini bertujuan hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi data dalam fungsi sederhana. Hasil interpolasinya sendiri bukan merupakan tujuan dari bab ini. Bagian III buku ini akan membahas pemodelan data yang berkenaan dengan masalah interpolasi dan ekstrapolasi menggunakan metode-metode mutakhir dan lebih baik yang didasarkan pada model deterministik maupun statistik (spasial statistik), baik untuk satu maupun multi dimensi. Hasil interpolasi dengan ketelitiannya yang optimal merupakan tujuan dari Bagian III. Dengan demikian keunggulan masing-masing metode-metode interpolasi dan ekstrapolasi dapat dianalisis dan dibandingkan secara kuantitatif. Dari beberapa fungsi interpolasi yang diberikan dalam Bab 1 dapat disimpulkan, bahwa rmasalah utama dalam penyusunan fungsi interpolasi adalah penentuan koefisien fungsi interpolasi. Dalam hal ini besarnya koefisien tersebut tidak ditentukan misalnya tergantung dari jarak antara titik interpolasi dan titik-titik lainnya. Dalam aplikasi ilmu-ilmu kebumian, data merupakan fungsi dari jarak. Jadi penentuan koefisien fungsi interpolasi atau kemudian disebut dengan bobot merupakan masalah yang sangat kritis dalam pemodelan data. Bobot titik-titik di sekitar titik interpolasi dengan demikian lebih besar dari bobot titik-titik yang lebih jauh dari titik interpolasi. Untuk keperluan interpolasi dan ekstrapolasi dalam bidang ilmu-ilmu kebumian disarankan menggunakan metode-metode yang akan diberikan dalam Bagian III, karena ketelitiannya dapat dipertanggungjawabkan dan diuji secara statistik serta sesuai untuk aplikasi ilmu-ilmu kebumian.

Bab 1Interpolasi dan EkstrapolasiTabel 1.1: Tabel Perbedaan Kedepan untuk n = 6Tabel 1.2: Tabel Perbedaan Kebelakang untuk n = 6Tabel 1.3: Tabel Nilai Koefisien Persamaan (1-11) untuk n =

Interpolasi lengkung kubik menghasilkan nilai interpolasi y = + , untuk xi-1 ( x ( xi (1-13)( adalah koefisien yang tergantung dari nilai x. Penyelesaian persamaan di atas pada interval xi-1 dan xi akan menghasilkan:(1-14)(1-28)

Langkah-langkah interpolasi dengan lengkung kubik:Tabel 1.6: Harga Koefisien untuk Interpolasi Kedepan Cara Nei

Tahun

bab 1 - interpolasi dan ekstrapolasi - updated

Documents