bab 1 dimensi
DESCRIPTION
DimensiTRANSCRIPT
BAB I PENDAHULUAN FISIKA
ILMU FISIKA : berhunbungan dengan materi dan energi, hukum-
hukum yang mengatur gerakan partikel dan gelombang dengan
interaksi antar partikel dan dengan sifat-sifat molekul, atom dan
inti atom dengan sistem berskala besar seperti gas, zat cair,
padat.
- Telaah empiris
- Dipelajari melalui pengamatan-pengamatan (eksperimen)
- Pengamatan + Pengukuran gejala fisis = Teori ilmu Fisika
BESARAN
Suatu angka atau kumpulan angka-angka yang dipakai untuk
menyatakan suatu gejala fisis. (Besaran adalah suatu sifat yang
dapat diukur dari suatu benda).
Misal: Panjang, Waktu, Massa, Gaya, Suhu, Energi, muatan
listrik dll
BESARAN DASAR BESARAN TAMBAHAN
(BERDIMENSI) (TAK BERDIMENSI)
1. Panjang : Meter 1. Sudut datar: Rad
2. Massa : Kg (Radian)
3. Waktu : Sekon 2. Sudut ruang: Srd
4. Arus listrik : Ampere (Steradian)
5. Suhu termodinamik: Kelvin
6. Intensitas Cahaya : Kandela
7. Jumlah zat : Gram molekul (Mole)
1 Radian: Sudut pusat lingkaran yang menghadap busur sepanjang
jejari lingkaran, R.
1 Steradian: Sudut di titik pusat bola yang menghadapi segmen
permukaan bola seluas R².
BESARAN TURUNAN: Besaran yang diturunkan dari besaran dasar,
besaran turunan dan diturunkan dengan nama khusus.
SISTEM SATUAN PANJANG MASSA WAKTU GAYA
DINAMIS BESAR
(MKS)
DINAMIS KECIL
(CGS)
meter
cm
kg
gr
sekon
sekon
Newton
Dyne
PENGUKURAN
LANGSUNG: Membandingkan besaran yang diukur dengan suatu alat
ukur.
CONTOH: Panjang Penggaris
Massa Neraca
Waktu Arloji
TAK LANGSUNG: Besaran yang akan diukur, dinyatakan melalui
besaran-besaran lain yang diukur.
CONTOH: Kecepatan Jarak, Waktu
Gaya Massa, Jarak, Waktu
STANDAR DAN SATUAN:
Satuan : untuk mengukur besaran, selalu dibandingkan dengan
suatu acuan standar yang telah diakui kebenarannya.
Contoh Satuan: meter, detik, gram dll
Sejarah satuan:
Meter
- 1791 (paris Academy of Science) menetapkan sistem metrik
adalah jarak dua goresan pada batang platium-irridium, 1 m
didefinisikan 10-7 jarak dari Katulistiwa ke Kutub Utara
- 1889 ditetapkan Organisasi International (General Conference
on Weights and Measures) menetapkan secara resmi system
metric menjadi standard SI dengan perbaikan (abadi & dapat
ditiru).
- 14 Oktober 1960, GCWM mengubah standar ke tetapan atom.
(panjang gelombang atom Cripton 86) Misalnya: 1 m
didefinisikan sbg 1.650.763,73 panjang gel cahaya tsb.
- Sekarang 1 m standar didefinisikan sebagai jarak yang
ditempuh cahaya dalam ruang hampa selama 1/299.729.458
sekon.
Sekon
- Awalnya waktu rotasi bumi 1/60x1/60x1/24 rata-rata lama hari
matahari.
- 1967, didefinisikan 1 detik sama frekuensi cahaya dengan
9.192.631,770 siklus per sekon radiasi atom cesium.
1 kg
- Satu Kilogram adalah setara dengan sebuah silinder platina-
irridium yg disimpan di International Bureu of Weights and
Mesures di Sevres dekat Paris.
Masih ada satuan pokok lainnya : satuan temperatur, (oC/oK),
Satuan jumlah zat (mole), satuan arus (A), Kandela (cd), dll
Setelah satuan ditetapkan (SI) yang digunakan secara unversal,
dikenal sistem mgs maka dapat ditentukan satuan yang lebih besar. Berdasar system
metrik :
1 kilometer 1 km 103 meter 103 m
1 kilogram 1 kg 103 gram 103 g
1 kilowatt 1 kW 103 watt 103 W
Sistem desimal lain yang masih digunakan tetapi secara bertahap
digantikanoleh satuan SI adalah sistem cgs
Selain SI ada sistem satuan yang berlaku di USA dan negara
Persemakmuran Inggris, sehingga ada untuk mempermudah
pembacaan dilakukan penyetaraan sistem satuan sebagai berikut:
Panjang:
1 yd = 0,9144 m
1 ft = 1/3 yd= 0,3048 m
1 inci = 2,54 cm
Massa : 1 lb (pon) = 0,45359237 kg
KONVERSI SATUAN
Besaran fisik terdiri dari suatu bilangan dan satuan. Jika besaran2
itu dijumlahkan, dikurangkan, dikalilkan atau dibagi dalam
persamaan. Aljabar, maka satuannya juga diperlakukan seperti
bilangannya.
Contoh : mobil bergerak dengan laju konstan 80 km perjam setelah
3 jam jaraknya berapa?
Jarak (x) = hasil kali kecepatan (v) dan waktu (t).
x = v . t =
cara memperlakukan satuan semacam ini mempermudah untuk
melakukan konversi mis dari km menjadi mil
1 mil = 1,61 km
240 km = 240 km x
DIMENSI
Cara penulisan besaran fisis ke dalam besaran pokok (besaran dasar).
Dalam mekanika, PANJANG : L
MASSA : M
WAKTU : T
Bagaimana DIMENSI dari:
1. Kecepatan m/s = L/T = LT-1
2. Percepatan
3. Gaya
4. gravitas
5. Energi Kinetik &
6. Energi Potensial
7. Momentum
8. impuls
9. momen inersia
10. tegangan
11. regangan
12. modulus elastis
13. modulus geser
14. beban terbagi rata
15. kekakuan
KONSISTENSI SATUAN DIMENSI BESARAN FISIK
Syarat persamaan adalah dimensinya harus konsisten.Misalnya luas segi empat : panjang x lebar
L x L = L2
Kecepatan (v) : meter/detik = m/s = L/TPercepatan (a) : meter/detik2 = m/s2 = L/T-2
Penjumlahan besaran fisik hanya berarti jika besaran-besaran itu mempunyai dimensi yang sama. Sebagai contoh besaran luas tidak dapat dijumlahkan dengan besaran kelajuan.
Contoh kesalahan dalam perhitungan dengan memeriksa dimensi :Luas lingkaran A = 2П r,
L2 = L
Contoh lain x = vt + 1/2at
L =
L= L + L/T
Karena ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan berarti rumus yang disajikan tidak benar.
Contoh penggunaan dimensi besaran fisik
Di inginkan untuk membuat model guna membuat nilai Kekakuan
dari suatu balok sederhana yang bertampang empat persegi panjang
P
Variabel yang terlibat dimensi M L
kekakuan ML-1 1 -1
L(bentang) L 0 1
b (lebar balok) L 0 1
h Tinggi balok L 0 1
E (modulus elatis) M L-2 1 -2
G (modulus geser) M L-2 1 -2
tegangan ML-2 1 -2
Karena r = 2 (yaitu M & L) dipilih 2 variabel independent l dan E
0k
K = C La bc hd Ee Gf
M1 L-1 T0 = La Lc Ld (M L-2)e (M L-2)f
M1 L-1 T0 = M(e+f ) L( a+c+d-2e-2f) T0
Diperoleh
M1 = M(e+f) berarti (e+f) = 1
L-1 = L( a+c+d-2e-2f) berarti ( a+c+d-2e-2f) = -1
Karena dipilih L dan E sebagai variable independent
e + f = 1 e = 1 – f
( a+c+d-2e-2f) = -1 a = -1- c-d +2e +2f
a = -1- c-d +2(1-f) +2f
a = 1- c –d
sehingga K = C La bc hd Ee Gf
K = C L(1-c-d) bc hd E(1-f) Gf
K = C L E
C
Dimana
Persyaratan complete similarity
VEKTOR
Pengertian Vektor dan Skalar
VEKTOR: Besaran yang mempunyai besar dan arah.
Contoh: Kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya, dsb.
VEKTOR a: arah vektor
titik O | a | besar/panjang
tangkap vektor
SKALAR: Besaran yang mempunyai besar saja.
Contoh: Massa, Waktu, Suhu, Energi dsb.
PENJUMLAHAN DAN SELISIH VEKTOR
1. CARA SEGITIGA
a R = a + b = b + a a b
R
o b o
b
R = a – b a
= a + (-b) R
2. CARA JAJARAN GENJANG
a R = a + b
1 | R| = R= √ a² + b² + 2 ab cosθ
o θ 2 RUMUS COSINUS
b
RUMUS SINUS
a b R = =
sin θ2 sin θ1 sin θ
3. CARA POLYGON
b o d
o a c o
o
R = a + b + c + d = a + b + d + c
= a + d + b + c = ……. Penjumlahan vektor komutatif
R d b
o a
c
4. CARA SUMBU SIKU-SIKU
Y
d dy b R = Σ Rx + Σ Ry
by a |R| = R =√ ΣRx² + ΣRy²
dx cx bx X
ΣRx = a + bx – cx - dx
c cy ΣRy = by + dy - cy
Arah resultan:
ΣRy
tg θ = ΣRx 1.5.3 PERKALIAN VEKTOR
1.5.3.1 Perkalian vector a dengan skalar k
Vektor k a.
k > 0 : k a Searah dengan a.
k < 0 : k a Berlawanan arah dengan a.
1.5.3.2 PERKALIAN VEKTOR DENGAN VEKTOR
a) PERKALIAN SKALAR/SCALAR PRODUCT/DOT
PRODUCT SKALAR
a . b = |a| |b| cos (a,b) = a b cos θ
θ : sudut antara vektor a dan b.
b) PERKALIAN VEKTOR/ VECTOR PRODUCT/
CROSS PRODUCT VEKTOR.
a x b = |a| |b| sin (a,b) = a b sin θ arah?
c a x b = c
b b x a = - c
a x b = b x a
a a x b = - b x a
- c
1.5.3.3 VEKTOR SATUAN (UNIT VECTOR)
Adalah vector yang panjangnya satu satuan dan arahnya sesuai
dengan arahyang dikehendaki.
Y
ay a a = ax + ay
j a = i ax + j aj
α X a = i a cos α + j a sin α
i ax |a| = a = √ ax² + ay²
ay
arah vector a, tg α = ax
Y a = ax + ay + az
ay
a = i ax + j ay + k az
a j | a| = a = √ ax² + ay² + az² β γ α i ax X az k
cos²α + cos²β + cos²γ = 1 Z ax ay az
Arah vector a: cos α = , cos β = , cos γ = a a a
j
i k
PERKALIAN TITIK UNIT VEKTOR
senama: i . i = j . j = k . k = 1
tak senama : i . j = j.k = k.i = 0
PERKALIAN SILANG UNIT VEKTOR
senama: i x i = j x j = k x k = 0
tak senama : i x j = k ; j x k = i ; k x i =j
DAPATKAN:
a ± b = ………....
a . b = ………….
a x b = ………….
LATIHAN:
1. Dua buah vector masing-masing besarnya 20 N dan 40 N, arahnya
berturut-turut mengapit sudut dengan sumbu X, Y, dan Z positip
adalah (60°,45°, 60°) dan (40°, 90°, 60°).
Tentukan sudut antara kedua vector dengan menggunakan:
A) Perkalian titik
B) Perkalian silang
2. Tiga buah gaya 10 N, 15 N dan 40 N arahnya berturut-turut
mengapit sudut dengan sumbu X,Y,Z positip (60°, 60°, 45°); (90°,
45°, 45°); (60°, 30°, 45°). Tentukan resultan dan arahnya.
1 A
A =20
B =40
Ax=20 cos 60 = 10
Ay =20cos45 = 14.142
Az=20cos60 = 10
Bx=40 cos 40 = 30.642
By =40cos 90 = 0
Bz=40cos 60 = 20
A.B = Ax.Bx +Ay.By +Az. Bz = 506.42
[A] = = 141.487
[B]= =1338.9185
Cosθ = = θ= 89.998
1B.
A =20
B =40
Ax=20 cos 60 = 10
Ay =20cos45 = 14.142
Az=20cos60 = 10
Bx=40 cos 40 = 30.642
By =40cos 90 = 0
Bz=40cos 60 = 20
=
AxB =(AyBz – Az.By)i + (Az.Bx – AxBz)j + (AxBy-AyBx)k=
[AxB] =
[AxB]= [A] [B] sin θ
Sin θ = =
θ =
2
Ax=
Ay =
Az=
Bx=
By =
Bz=
2
cx=
cy =
cz=
R= (Ax+Bx+cx)i +(Ay+By+cy) j + (Az+Bz+cz)k
Rx Ry Rz
[R] =
Rx Ry Rz
Arah vector a: cos α = , cos β = , cos γ = [R] [R ] [ R]
KINEMATIKA PARTIKEL
KINEMATIKA : Ilmu yang mempelajari gerak benda tanpa meninjau
penyebabnya.
PARTIKEL : Benda yang ukurannya kecil sekali.
KECEPATAN
X kecepatan sesaat
Y X2 Q
kecepatan rata-rata ∆X X1 P
P Q X ∆t
X1 ∆X t1 t2 t X2
Gerak partikel sepanjang sumbu X Grafik posisi sebagai
fungsi waktu
Kecepatan rata-rata:
∆X X2 – X1
v = = (2.1) ∆t t2 – t1
Kecepatan sesaat: Harga limit dari kecepatan rata-rata bila titik kedua dibuat semakin dekat dengan titik pertama.
∆X dX v = lim = (2.2) ∆t 0 ∆t dt
PERCEPATAN
v percepatan sesaat
Y v2 Q
percepatan rata-rata ∆v v1 P
P Q X ∆t
v1 v2 t1 t2 t Gerak partikel sepanjang sumbu X Grafik kecepatan
sebagai fungsi waktu
Percepatan rata-rata: kecepatan benda bergerak berubah
dengan waktu
∆v v2 – v1
a = = (2.3) ∆t t2 – t1
Percepatan sesaat: ∆v dv a = lim = (2.4) ∆t 0 ∆t dt
GERAK LURUS
Gerak lurus adalah gerak suatu benda yang lintasannya berbentuk
garis lurus.
BERATURAN
(kecepatan konstan)
GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN
(percepatan konstan)
BERUBAH TAK BERATURAN
(percepatan berubah)
2.3.1 GERAK LURUS BERATURAN
Kecepatan konstan : v = konstan = c
dva = = dv/dt ( c ) = 0 dt dxv = dx = v dt (2.5) dt
GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN
Percepatan konstan: a = konstan = c
dv a = ∫ dv = ∫ a dt v = at + c1 (2.6) dt
Jika pada saat, t = 0, maka vt = v0, dari (2.6): v0 = 0 +c1, c1 = v0
vt = v0 + at (2.7)
Dari persamaan (2.5), maka:
dx v = dx = v dt, maka: dt xt = v0 t + ½ a t² + C2 (2.8)
Pada saat t = 0, xt = x0 maka: xt = v0 t + ½ a t² + x0 (2.9)
Dari persamaan (2.7) dan (2.9) diperoleh:
vt² = v0² + 2 a (xt – x0) (2.10)
LATIHAN
1. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus ditentukan oleh
persamaan: x = 8 t – 3 t² x: cm dan t: sekon
a) Hitunglah kecepatan rata-rata dalam selang waktu t = 0 sekon dan t
= 1 sekon.
b) Hitunglah kecepatan sesaat ketika t = 1 sekon dan t = 4 sekon
c) Hitunglah percepatannya pada saat t=1 sekon dan t = 4 sekon
d) Tentukan waktu yang dimiliki benda saat diam.
2. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan sebagai fungsi waktu:
v = 6 t + 4 v : m/s dan t : sekon
mempunyai arah tetap mengapit sudut 30° terhadap sumbu x.
Pada keadaan awal, benda berada pada posisi (1;2) meter.
Tentukan: a) Percepatan rata-rata dalam selang waktu t=2 sekon
dan t = 4 sekon.
b) Percepatan pada saat t = 2 sekon
c) Persamaan gerak dan persamaan lintasan partikel
GERAK LURUS BERUBAH TAK BERATURAN (PERCEPATAN
BERUBAH TIDAK BERATURAN)
Fungsi waktuPercepatan berubah
Fungsi posisi
Percepatan sebagai fungsi Waktu
dvx
ax = = f(t) dvx = f(t) dt dt
∫ dvx = ∫ f(t) dt vx = ∫ f(t) dt + C1 (2.11)
dx vx = dx = vx dt dt
∫ dx = ∫ vx dt x = ∫ vx dt + C2 (2.12)
LATIHAN
Sebuah partikel bergerak menurut sumbu x dengan percepatan:
Ax = 5 t – 2 ax : m/s² dan t : sekon
Pada kondisi awal partikel berada pada x = 2m dan kecepatannya vx = 5
m/s. Tentukan:
a. Posisi partikel pada saat t = 2 sekon
b. Kecepatan rata-rata antara t = 2 sekon dan t = 4 sekon
c. kecepatan dan percepatan pada t = 3 sekon
d. Posisi partikel pada saat kecepatannya 12 m/s
e. Kecepatan partikel pada saat percepatan 23 m/s
Percepatan sebagai fungsi Posisi
dvx dvx dx
ax = = f(x) f(x) = dt dt dx
dvx
f(x) = v v dvx = f(x) dx dx
∫ v dvx = ∫ f(x) dx ½ vx² = ∫ f(x) dx + C3 (2.13)
LATIHAN
Percepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaan:
ax = 2 x + 4 ax : m/s² dan x : m
Pada keadaan awal kecepatannya 5 m/s. Tentukan kecepatan benda untuk
setiap poisisi.
2.4 GERAK PELURU/PARABOLA/TRAYEKTORI
Gerak suatu benda yang lintasannya berbentuk parabola
Sumbu x : Gerak lurus beraturan
Sumbu y : Gerak lurus berubah beraturan ( a = g )
g : percepatan gravitasi
Y H vo
vy vo vxw Ο α W X
vox θ vyw
vw
Persamaan Kecepatan:
vx = vo cos α (2.14)
vy = vo sin α – g t (2.15)
v = √ vx² + vy² (2.16)
arah kecepatan:
vy
tg θ = (2.17) vx Persamaan Gerak:
dxvx = x = vo cos α . t + C4 (2.18)
dt
dyvy = y = vo sin α . t - ½ g.t² + C5 (2.19)
dt
Jika C4 dan C5 sama dengan nol, Persamaan Lintasan:
gy = tg α . x - ( ) x² (2.20)
2 vo² cos²α
LATIHAN
1. Dari sebuah titik O di tanah ditembakkan peluru dengan kecepatan awal
vo = 60 m/s dengan sudut elevasi 60°.
a) Bilamana dan dimana peluru akan sampai di titik tertinggi dari
lintasannya?.
b) Bilamana dan dimana peluru akan sampai di tanah dan berapa
kecepatan serta besar arahnya pada waktu itu?.
c) Bilamana, dimana dan dengan kecepatan serta arah berapa peluru
mengenai bidang tegak lurus yang terletak pada jarak 150√3 m dari
titik O.
2. Sebuah peluru ditembakkan dari posisi (1;2) ft dengan
kecepatan awal 80 ft/s membentuk sudut 30° terhadap sumbu
horizontal.
Hitunglah:
a) Jarak horizontal ke titik asal, 2 sekon setelah ditembakkan.
b) Jarak vertikal di atas titik asal, 2 sekon setelah ditembakkan.
c) Kecepatan pada saat itu.
3. Harus ditembakkan dengan sudut elevasii berapa, bila sebuah peluru
mempunyai lintasan yang melewati titik P (5;6) m dengan kecepatan 60
m/s?
2.5 GERAK MELINGKAR
Gerak suatu benda yang lintasannya berbentuk lingkaran.
Q Partikel bergerak dari P Q,
S perpindahannya: ∆s
O O P ∆s Kecepatan rata-rata: v = (2.21) ∆t
O R
∆s Kecepatan sesaat: v = lim ∆t 0 ∆t ds v = (2.22) dt
Jika waktu yang dibutuhkan dari P kembali ke P adalah T, maka:
2Л v = (2.23)
T
V2 q
Q v1 ∆s v2
s -v1 p
P OOvv ∆v = v2 – v1
∆v Percepatan rata-rata: a = (2.24) ∆t
Percepatan sesaat: a = v²/R (2.25)
(percepatan sentripetal/radial)
ds dθ dθ ds ds = R dθ, v = = R dθ dt dθ dt
didefinisikan kecepatan sudut:
O R ∆θ dθ ω = lim = dan v = ω R (2.26) ∆t 0 ∆t dt
at Percepatan tangensial:
at = R α (2.27)
α : percepatan sudut
O R O
a
O ar
R
Percepatan disetiap saat:
a = √ ar² + at² (2.28)
GERAK TRANSLASI GERAK MELINGKAR
vt = vo ± a t
xt –xo = vo t ± ½ a t²
vt² = vo² ± 2 a (xt - xo)
ωt = ωo ± α t
θt – θo = ωo ± ½α t²
ωt² = ωo² ± 2 α ( θt – θo )
LATIHAN
1. Sebuah benda berputar melalui porosnya dengan kecepatan sudut tetap
10 rad/s. Kemudian dipercepat dengan percepatan sudut tetap 2 rad/s²,
hingga mencapai kecepatan sudut 15 rad/s. Setelah itu diperlambat
dengan perlambatan 6 rad/s² sampai berhenti. Tentukan:
a) Waktu yang diperlukan untuk mempercepat sampai dengan
kecepatan 15 rad/s.
b) Waktu yang diperlukan selama perlambatan.
c) Sudut yang ditempuh selama diperlambat dan dipercepat.
d) Jarak yang ditempuh oleh suatu titik pada jarak 1 meter dari
poros selama dipercepat & diperlambat.
2. Suatu fly wheel (roda gila) diameter 4 cm dipercepat sehinga tepi roda
bergerak dengan percepatan yang memenuhi persamaan:
a = 5 t + 10 ; a : cm/s² dan t : sekon
Pada keadaan awal, besar kecepatan tepi roda 5 cm/s.
Tentukan:
a) Kecepatan sudut 5 sekon setelah dipercepat.
b) Percepatan roda pada saat 5 sekon setelah dipercepat.
c) Sudut yang ditempuh selama 5 sekon.
BAB III DINAMIKA PARTIKEL
DINAMIKA: Ilmu yang mempelajari Gerak benda dan Gaya yang
menimbulkan gerak tersebut.
Gerakan patikel mempunyai kecepatan yang lebih kecil dari kecepatan
cahaya MEKANIKA KELASIK
1. Tiga buah hukum Newton
2. Satu buah hukum tentang gravitasi
MEKANIKA NEWTON
3.1 HUKUM-HUKUM NEWTON
3.1.1 HUKUM I NEWTON/ HUKUM KELEMBAMAN
Semua benda akan berada dalam keadaan diam atau bergerak
beraturan, kecuali jika ada gaya yang bekerja padanya.
Jika tidak ada gaya yang bekerja pada suatu benda, maka percepatannya
nol.
3.1.2 HUKUM II NEWTON
Jika terhadap suatu benda bekerja gaya, maka terjadi perubahan
kecepatan atau timbul percepatan.
Gaya yang bekerja untuk tiap satuan massa adalah sebanding dengan
percepatan yang dihasilkan.
F ~ a m F = c m a, benda dengan massa standar c = 1
F = m.a (3.1)
Jika lebih dari satu gaya, maka secara vektoris:
Σ Fx = m ax
Σ F = m a (3.2)
Σ Fy = m ay Jika resultan gaya pada benda sama dengan nol:
Σ F = 0 a = 0, benda dalam keadaan diam atau bergerak
beraturan.
STATIKA
3.1.3 HUKUM III NEWTON
Jika sebuah benda melakukan gaya pada benda lain, maka benda
kedua selalu melakukan gaya balasan pada benda pertama.
Jika salah satu gaya yang terjadi Gaya Aksi, maka gaya yang lain
disebut Gaya Reaksi sama besar berlawanan arah.
Faksi = - Freaksi (3.3)
F’ F F’ F
F = - F’
3.1.4 HUKUM GRAVITASI
Gaya antara dua partikel yang mempunyai massa m1 dan m2 terpisah
pada jarak r, adalah suatu gaya tarik menarik sepanjang garis yang
menghubungkan kedua partikel.
m1 . m2
F = G (3.4) r2
G = 6,67 x 10 -11 N.m²/kg²
3.2 MACAM-MACAM GAYA
1. Gaya berat (W)
2. Gaya tegangan tali (T)
3. Gaya normal (N)
4. Gaya gesekan (fr)
5. Gaya sentripetal (Fcp)
T T
N T
N WA sinα WA cosα T
fr T fr WA WB
W
Statis : fs = μs . N
Gaya gesek
(fr) kinetis : fk = μk . N
Fcp = m . acp
m.v² R = (3.5) R
LATIHAN
1. Sebuah benda terletak pada bidang horizontal yang licin sempurna.
Padanya bekerja gaya F = 20 N arahnya ke atas dengan membuat
sudut α dengan bidang horizontal. Jika massa benda 2 kg, tentukan:
a) Besar sudut α supaya gaya normal tepat ½ kali berat benda.
b) Percepatan benda ( g = 10 m/s²)
2. F = 5 N
v = 3 m/s 45° Tentukan: bilamana dan di
mana benda berhenti.
μk = 0,2 m = 0,5 kg.
3. A
O T R
mA = 2 kg μkA = 0,1
mB = 5 kg
B Tentukan:
Tegangan tali dan percepatan benda
4. Sebuah tikungan jalan raya dirancang untuk lalu lintas dengan
kecepatan 60 km/jam.
a) Jika jejari tikungan 150 m sedang permukaan jalan licin, berapakah
seharusnya kemiringan jalan?
b) Jika tikungan tidak miring, berapakah koefisien gesekan minimum
antara roda dan jalan agar kendaraan tidak tergelincir/slip.
5. mA = 80 kg, μkA = 0,5
A B mB = 40 kg, μkB = 0,4
60° 30°
Tentukan: percepatan benda dan tegangan tali.
6. Sebuah ayunan matematis berputar
Secara horizontal.
θ Jika m = 20 gr, L = 1 m, θ = 30°
L R = 30 cm dan g = 10 m/s²
Tentukan: percepatan benda dan
m tegangan tali.
BAB IV KERJA & ENERGI
KERJA : Energi yang dipindahkan
ENERGI : Kemampuan melaksanakan kerja
R
TRANSFER ENERGI : Perpindahan energi
TRANSFORMASI ENERGI: Perubahan bentuk energi
4.1 KERJA
F sin θ
N F
θ F cos θ
a b
ds
W
Jika dalam waktu dt benda berpindah tempat sejauh ds, maka kerja dW
yang dilakukan oleh gaya F:
dW = F cos θ ds (4.1)
atau secara vektoris:
dW = F . ds
Kerja W yang dilakukan sepanjang lintasan dari a ke b adalah:
b b bWa b = ∫ dW = ∫ F cos θ ds = ∫ F . ds (4.2) a a aJika benda berpindah dari x1 ke x2 akibat gaya F yang konstan:
W = F cos θ (x2 – x1) (4.3)
Jika θ = 0, W = F (x2 – x1 ) (4.4)
Satuan: CGS Dyne.cm = Erg
MKS Newton.m = Joule ; 1 Joule = 107 Erg
British lb.ft
4.2 ENERGI
F
N θ 2
Y Σ Fy = 0
fr Σ Fx = m ax = m dv/dt
1 Ф W y2 = mv dv/ds
y1 Σ F menempuh lintasan ds
X
F cos θ ds –W sinФ ds – fk ds = mv dv/ds . ds
2 2 2 2 ∫ F cos θ ds = ∫ mv dv + ∫ mg dy + ∫ fk ds (4.5) 1 1 1 1 2 ∫ F cos θ ds = ½ m (v2²- v1²) + m g (y2 – y1) + ∫ fk ds (4.6) 1 kerja yang perubahan perubahan kerja yang
dilakukan gaya energi kinetik energi potensial dilakukan gaya
luar F, WF ∆ Ek ∆ Ep gesek, Wfr
Jika WF = 0 dan Wfr = 0 ∆ Ek + ∆ Ep = 0
Ek + Ep = konstan (4.7)
4.3 ENERGI POTENSIAL
ELASTIS PEGAS
▓▓▓
F’ F’ : gaya pemulih ▓▓▓▓▓▓ F ∆ x F = k ∆x hukum Hooke (4.8) 1 2
Kerja yang dilakukan oleh gaya F: dW = F dx
∫ dW = ∫ k x dx
W = Ep’ = ½ k (x2² - x1²) (4.9)
Pengembangan persamaan (4.7):
Ek1 + Ep1 + Ep1’ = Ek2 + Ep2 + Ep2’ (4.10)
Hukum Kekekalan Energi Mekanis
4.4 DAYA/POWER
DAYA: sejumlah kerja dW yang dilakukan dalam selang waktu dt.
∆WDAYA RATA-RATA: P = (4.11) ∆t
∆W dW DAYA SESAAT: P = Lim = (4.12) ∆t 0 ∆t dt
dW d(F.s) P = = = F . v (4.13) dt dt
Satuan Daya: MKS Joule/sekon = Watt, 1 KW = 1000 W
CGS Erg/sekon
British lb.ft/sekon
1 Hp = 1 PK = 1 DK ≈ 746 Watt.
LATIHAN
1. Sebuah benda didorong ke atas sejajar dengan bidang miring dengan
gaya F = 50 N. Laju di A 10 m/s, waktu sampai di B tinggal 5 m/s. Jarak
AB = 3 m, sudut kemiringan bidang α = 30°. Bila massa benda m = 2 kg, g
= 10 m/s², tentukan:
a) Kerja yang dilakukan gaya F pada benda dari A ke B.
b) Kerja yang dilakukan oleh medan gravitasi.
c) Koefisien gesekan lantai.
2. Sebuah benda mula-mula diam di B, massanya 2 kg. Kemudian benda
dilepaskan dan bergerak sepanjang lantai miring dengan sudut
kemiringan 30° dan mempunyai koefisien gesek 0,5. Bila jarak AB 2 m
dan konstanta pegas k = 5 N/cm, hitunglah:
a) Energi awal benda B
b) Laju waktu benda sampai di A A
c) panjang pegas waktu pegas
menahan benda hingga berhenti. 30°
3. Sebuah balok massa 2 kg dari keadaan diam dilepaskan dari titik A
pada sebuah lintasan yang berbentuk kwadran lingkaran dengan jejari 1
meter. Balok meluncur ke bawah sepanjang lintasan sampai di titik B
meluncur di atas permukaan horizontal sejauh 4 m sampai di C lalu
berhenti. Tentukan:
a) Koefisien gesek bidang BC
b) Usaha melawan gesekan saat benda menempuh lintasan BC.
4. Sebuah benda massa 100 kg dengan gaya F yang membetuk sudut 30°
terhadap bidang horizontal. Koefisien gesek antara benda dengan jalan
0,6. Berapa cepat gaya F yang harus diberikan dengan laju konstan agar
melakukan kerja dengan daya sebesar 1 PK.
5. Sebuah katrol mengangkat beban massa 20 kg dengan percepatan
konstan 20 m/s² dari keadaan diam. Tentukan:
a) Tegangan tali penggantung
b) Ek dan Ep setelah 2 sekon
c) Kecepatan beban setelah naik 1 meter
d ) Daya motor penggerak saat kecepatan beban 10 m/s
BAB V MOMENTUM LINEAR
5.1 GAYA IMPULS
Beberapa macam gaya hanya bekerja dalam waktu yang singkat,
misal: peristiwa tumbukan, tendangan pada sepak bola, bola menumbuk
tembok Gaya-gaya yang bekerja disebut GAYA IMPULS
F
Fo
∆ t
t
to
Sebuah gaya luar F bekerja pada sebuah benda bermassa m, maka
berdasarkan hukum II Newton:
F = m a = m dv/dt F dt = m dv (5.1)
F dt = m dv F dt = m (v2 – v1) (5.2)
Impuls Perubahan
Gaya F : I momentum: ∆p
Jika tidak ada gaya luar F = 0, maka
F dt = m (v2 – v1) = 0 m v2 – m v1 = 0
m v2 = m v1 m v = konstan (5.3)
Hukum Kekekalan Momentum Linier
VA1 vB1 vA2 vB2
FA FB
FA = - FB
∫ FA dt = - ∫ FB dt
mA vA1 + mB vB1 = mA vA2 + mB vB2 (5.4)
momentum sebelum momentum setelah
tumbukan terjadi tumbukan terjadi
Jika dalam proses tumbukan energi kinetiknya konstan, maka tumbukan
disebut Tumbukan Elastis Sempurna.
½ mA vA1² + ½ mB vB1² = ½ mA vA2² + ½ mB vB2² (5.5)
mA (vA1² - vA2²) = mB (vB2² - vB1²)
Persamaan (5.4) mA (vA1 - vA2) = mB (vB2 - vB1)
Eliminir mA atau mB vA1 - vB1 = - ( vA2 - vB2) (5.6)
vA2 - vB2
1 = vA1 - vB1
vA2 - vB2
e = e : koefisien (5.7) vA1 - vB1 restitusi
0≤ e ≤ 1
Elastis sempurna e = 1
Tumbukan Elastis sebagian 0 < e < 1
Tidak elastis e = 0
LATIHAN
1. Sebuah balok massanya 100 gram terletak di atas bidang datar tanpa
gesekan. Pada benda bekerja gaya horizontal:
F = 104 + ( 3 x 103) t F : Newton dan t : sekon
Tentukan: a) Impuls selama 5 sekon yang pertama
b) Kecepatan balok ketika t = 5 sekon
c) Usaha yang dilakukan dalam 5 sekon pertama
2. Sebutir peluru massanya 0,05 kg ditembakkan mendatar dengan
kecepatan 400 m/s masuk sampai 0,1 m ke dalam suatu pohon. Jika
gaya hambatan konstan, maka hitunglah:
a) Perlambatan peluru
b) Gaya penghambat
c) Lama waktu menghambat
d) Impuls tumbukan
3. Balok bermassa 300 gram dan 200 gram bergerak saling mendekati di
atas bidang horizontal tanpa gesekan dengan kecepatan yang
besarnya berturut-turut 50 cm/s dan 100 cm/s.
a) Jika kedua balok tetap melekat satu sama lain sesudah tumbukan,
berapa kecepatan akhirnya?
b) Hitunglah energi kinetkc yang hilang selama tumbukan
c) Tentukan kecepatan akhir tiap-tiap balok jika tumbukan bersifat
elastis sempurna.
4. Ketika sebuah peluru massanya 10 gram mengenai ayunan balistik yang
massanya 2 kg, pusat ayunan itu naik ke atas setinggi 10 cm terhitung
dalam arah vertikal dan peluru bersarang di dalam ayunan tersebut.
Tentukan kecepatan awal penembakan peluru.
5. vp
mp = 20 gram, mb = 990 gram
agar balok bergerak 10 cm di
perlukan gaya 105 Dyne.
10 cm Tentukan: a) Ep’ maksimum pegas
b) Kecepatan awal peluru vp
5.2 PUSAT MASSA
Pandang system dua partikel yang terletak pada sumbu x
Massa: m1 x1
M2 x2
m1 m2
x1 x2
Untuk N buah partikel, pusat massa sistem:
Σ mi x i Σ mi yi
Xpm = ypm = (5.8) Σ mi Σ mi
5.2.1 Benda dengan distribusi massa yang kontinu
Y
∆ mi
ri
X
Benda terbagi atas N buah massa ∆m yang terletak pada posisi ri.
m1 m2
X = x1 + x2
m1 + m2 m1 + m2
m1 x1 + m2 x2
X = m1 + m2
Pusat massa benda:
r1 ∆m1 + r2 ∆m2+ ……….+ rN ∆mN
rpm = ∆m1 + ∆m2+ ……….+ ∆mN
Σ ri ∆mi rpm = (5.9) Σ ∆mi
Bentuk integrasi:
r dmrpm = (5.10) dm
Untuk komponen-komponen terhadap sumbu x, y dan z tinggal mengganti
r dengan x, y dan z.
5.2.2 Pusat Berat Sistem
r1 W1 + r2 W2+ ……….+ rn Wn
rpm = W1 + W2+ ……….+ Wn
Σ ri Wi rpm = (5.11) Σ Wi
LATIHAN
1. Tentukan letak pusat massa dari tiga partikel dengan massa masing-
masing 1 kg, 2 kg dan 3 kg yang terletak pada titik-titik sudut sebuah
segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter.
2. Tentukan pusat massa sebuah batang tipis panjang L dengan rapat
massa (massa per satuan panjang): ρ yang serba sama (homogen).
BAB VI DINAMIKA ROTASI
Ditinjau suatu system terdiri dari tiga partikel yang dihubungkan
dengan batang-batang kaku yang tak bermassa dan jarak antara massa-
massa partikel dengan pusat massa selalu tetap
benda tegar.
F2 Jika system benda tegar
m2 ini dipengaruhi oleh
F1 gaya-gaya yang bekerja
m1 m3 pada partikel, maka
ada dua kemungkinan:
F3
1. Jika Σ F = 0, titik pusat massa diam atau bergerak lurus beraturan,
tetapi benda tegar dapat melakukan gerak rotasi terhadap pusat massa.
2. Jika Σ F ≠ 0, titik pusat massa bergerak dengan percepatan dan benda
tegar akan melakukan gerak rotasi gerak campuran.
6.1 Besaran-besaran vector dalam gerak rotasi/melingkar
1. Kecepatan Sudut:
∆θ dθ ω = lim = ∆t 0 ∆t dt
v = ω r = ω x r (6.1)
2. Percepatan sudut:
∆ω dω α = lim = ∆t 0 ∆t dt
a = α r = α x r (6.2)
3. Momentum Linear:
p = m v (6.3)
4. Momentum Angguler:
L = r x p = r x (mv)
= mr x (ω x r) = m r² C (6.4)
I : momen inersia
L = I ω
5. Momen Gaya:
τ = r x F τ = r F sin θ (6.5)
6.2 Momen Inersia untuk Benda Tegar
Ditinjau benda tegar dengan distribusi massa kontinu.
Vi = riω
Untuk N buah partikel yang
OO membentuk benda tegar.O
I = Σ mi ri² I = Σ ri² ∆mi
Jika ∆m <<< I = ∫ r² dm (6.6)
LATIHAN
1. Tiga buah benda yang massanya sama 0,5 kg diletakkan berturut-turut
pada titik A (0,0) m; B (4,0) m; C (2,4) m dihubungkan dengan
batang-batang kaku yang massanya dapat diabaikan. Tentukan:
Momen inersia dan momentum sudut bila diputar sistemnya terhadap
sumbu x dengan kecepatan sudut 20 rad/s.
2. Tentukan momen inersia dari batang langsing dan homogen panjang L,
massanya m dan massa per satuan panjang ρ tetap besarnya yang
diputar di titik O yang berjarak l dari salah satu ujung.
3. Tentukan momen Inersia dari piringan tipis jejari R mempunyai massa
per satuan luas σ yang diputar melalui titik O tegak lurus bidang
gambar.
6.3 Dalil Sumbu Sejajar
Selain menghitung momen inersia suatu benda terhadap sumbu yang
terletak pada pusat massa, kita dapat menentukan momen inersia benda
terhadap sumbu sembarang yang sejajar dengan sumbu putar melalui pusat
massa.
∆mi
Momen inersia melalui S:
Is = ∫ r² dm
S r = l + p
Dm r² = r . r = (l + p) . (l + p)
= l² + p² + 2 p.l
= l² + p² + 2 px lx + 2 py ly
I = ∫ l² dm + ∫ p² dm + ∫ 2 lx px dm + ∫ 2 ly py dm
ml² Ipm = Io 0 0
lx dan ly : tetap
∫ px dm dan ∫ py dm adalah posisi pusat massa dihtung dari pusat massa =
0
I = ml² + I0 (6.7)
LATIHAN
1. Tentukan momen inersia dari piringan yang berputar melalui sumbu
tegak lurus bidang piringan melalui pinggir piringan.
2. Tentukan momen inersia dari batang panjang L berputar pada sumbu
yang terletak pada jarak ⅓ L dari salah satu ujung.
6.3 DINAMIKA BENDA TEGAR
F = m a
τ = I α
Jika momen gaya τ menyebabkan benda berputar, maka kerja yang
dilakukan jika benda bergerak dari sudut θ1 dan θ2:
l PM O p r
θ2
W = ∫ τ . dθ (6.8) θ1
Energi kinetik benda:
∆ Ek = Ek1 – Ek2 = ½ Iω1² - ½ Iω2² (6.9)
LATIHAN
m ; r
Sebuah piringan bermassa m = 5 kg
jejari r = 10 cm berputar tanpa gesekan
pada sumbu melalui pusat piringan .
Padanya dililitkan seutas tali dan ditarik
dengan gaya T = 100 N. Tentukan:
a) percepatan sudut
b) percepatan tangensial
Jika pada ujung tali diberikan beban 0,5 kg kemudian dilepaskan,
tentukan: a) besar percepatan beban waktu bergerak ke bawah
b) besar tegangan tali
6.4 STATIKA BENDA TEGAR (KESEIMBANGAN)
Gerak partikel adalah gerak translasi kesetimbangan
STATIKA PARTIKEL.
Partikel dalam keadaan diam: v = 0 a = 0 atau v = c a = 0
Syarat: Σ F = 0 Σ Fx = 0 , Σ Fy = 0
Gerak benda adalah Gerak Translasi dan Gerak Rotasi
Diam : v = 0, a = 0 dan ω = 0, α = 0
Benda
Bergerak : v = c, a = 0 dan ω = 0, α = 0
Syarat: Σ F = 0
Σ τ = Σ I α = 0
MOMEN GAYA
F F
τ = r x F
besar momen gaya: τ = r F sin θ
arah momen gaya: ….. ?
KESETIMBANGAN TRANSLASI
1.
A 45° 30° B Tentukan TA, TB dan TC
Jika massa beban 10 kg
untuk masing-masing
C soal.
2. B 3. B
45° 45°
A ∟
A
C 60°
rr
C
4. Tentukan tegangan tali A dan C, serta gaya reaksi pada engsel B
jika massa beban 10 kg.
A
A 45°
30° 60°
B B C
C
KESETIMBANGAN TRANSLASI DAN ROTASI
1. Sebuah tangga massa 20 kg, panjang 5 m pusat beratnya terletak
ditengah-tengah dan membentuk sudut 60° terhadap tanah.
Tentukan:
a) Gaya yang dikerjakan oleh dinding
pada tangga.
b) Gaya yang dikerjakan oleh tanah
pada kaki tangga. 60°
c) Sudut antara FA dengan tanah.
2. Sebuah tangga panjang 20 m massa 20 kg bersandar di tembok pada
suatu tempat setinggi 16 m dari tanah. Titik berat tangga terletak pada
jarak 1/3 panjang tangga dari tanah.
Seseorang bermassa 60 kg memanjat tangga dan berhenti di tengah
tangga. Jika koefisien gesek statis antara dinding tembok dan tangga
nol, sedang antara tanah dan tangga 0,4. Tentukan:
a) Gaya-gaya yang dilakukan system pada tanah dan dinding.
b) Berapa jauh orang tersebut dapat naik tangga tergelincir.
3.
Massa batang 20 kg, massa beban
10 kg dan panjang batang 4m
60° diletakkan seperti pada gambar.
Tentukan: tegangan pada kawat
Dan gaya batang oleh engsel.