TEORI GRAPH

Aplikasi Graf Berbobot dalam Menentukan Trek Berlari untuk Mengetahui Nilai Pembakaran Kalori Tubuh

Oleh:

1. M. Khalif Ikhsan (1201125110)2. Rani Rafidah (1201125145)

Program Studi Pendidikan MatematikaFakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA2015

Aplikasi Graf Berbobot dalam Menentukan Trek Berlari untuk Mengetahui Nilai Pembakaran Kalori Tubuh

Rani Rafidah – 1201125145M. Khalif Ikhsan – 1201125110

Dosen pengampu : Dr. Ishaq Nuriadin M.PdProgram Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA

ABSTRAKMakalah ini membahas tentang penggunaan salah satu materi Graf dalam

menentukan trek berlari untuk mengetahui nilai pembakaran kalori tubuh. Pembakaran kalori pada aktivitas berlari sangat ditentukan oleh kecepatan dan jarak yang ditempuh oleh pelari tersebut. Aplikasi ini akan sangat berguna bagi seseorang yang akan menurunkan kadar kalori tubuh melalui aktivitas berlari, terutama mengetahui trek lari yang efisien untuk dilalui.

PENDAHULUANBanyak orang mulai menekuni olahraga lari karena mereka ingin menurunkan

berat badan. Sebagai salah satu bentuk aktifitas berat, lari merupakan cara efisien untuk membakar kalori. Jarak jangkau dan kecepatan lari seseorang merupakan salah satu faktor penentu seberapa besar nilai pembakaran kalori yang didapat. Peran graf dalam permasalahan ini adalah sebagai media untuk mempermudah menganalisis hubungan antara jarak berlari dan pembakaran kalori dan graf dibentuk sebgai representasi trek berlari seseorang.

Penulis memilih topik ini, karena penulis telah mengalami sendiri berbagai kesulitan dalam membakar kadar kalori tubuh untuk menurunkan berat badan. Sebagai pelari tentu saja kita ingin membakar banyak kalori dengan jarak tempuh lari yang pendek. Tanpa mengetahui efisiensi penggunaan trek yang dilalui, aktivitas lari pun terasa kurang sempurna. Dapat dilihat bahwa kebutuhan untuk mengetahui trek berlari yang efisien cukup mendesak bagi para pelari.

Penulis akan membahas dan menganalisis teori berkaitan dengan materi Graf yang dikemukakan pada judul tulisan ini serta memperlihatkan bagaimana teori Graf yang telah dipelajari dapat membantu kita untuk menyelesaikan persoalan sehari-hari.

KAJIAN PUSTAKAGraf

Berdasarkan definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan (V, E) dimana: V adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotanya dinamakan simpul (verteks), E adalah sebuah himpunan sisi

(edge) yang menghubungkan sepasang simpul. Graf G dilambangkan dengan G=(V,E).

Teorema 2.4.1.3 sebuah graf G dengan n simpul, mempunyai (n – 1) sisi dan tidak ada sirkuit di dalamnya adalah terhubung

Teori Graf adalah teori yang sudah tua, namun aplikasi dan pembahasannya masih berlangsung hingga saat ini. Pada umumnya, Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan menjelaskan hubungan-hubungan antar objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah , bulatan atau titik, sedangkan hubungan antar objek-objek tersebut dinyatakan dengan garis.

Sebagai contoh, sebuah peta yang menghubungkan jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota. Sesungguhnya peta tersebut adalah sebuah graf, yang dalam hal ini kota dinyatakan sebagai bulatan sedangkan jalan dinyatakan sebagai garis. Contoh lain penerapan graf adalah rangkaian listrik. Kirchoff (1847) mrnggunakan graf untuk memodelkan rangkaian listrik. Berdasarkan graf tersebut, Kirchoff menurunkan persamaan arus yang masuk dan keluar pada tiap simpul.

Secara matematis,graf didefinisikan sebagai berikut:Definisi 1Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul.

Salah satu jenis Graf adalah Graf berlabel atau berbobot. Definisi 2Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot). Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot). Bobot pada tiap sisi dapat berbeda – beda bergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf. Bobot dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan antara dua buah kota, waktu tempuh pesan (message) dari sebuah simpul komunikasi ke simpul komunikasi lain ( dalam jaringan computer), ongkos produksi, dan sebagainya.Contoh Graf Berbobot:

Graf G

Didalam teori graf, ada tiga macam persoalan pewarnaan graf, yaitu pewarnaan simpul, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah. Tulisan ini hanya menggunakan konsep pewarnaan simpul saja.

LARILari adalah salah satu cabang olahraga tertua di dunia. Sebelum menjadi

sebuah cabang olahraga, lari sudah dikenal oleh peradaban-peradaban manusia kuno. Kebutuhan utama untuk lari jarak adalah kecepatan.

Semakin modern manusia hidup pada suatu era semakin sedikit aktifitas berjalan dan berlari. Lama kelamaan menyadari bahwa manusia tetap membutuhkan oleh raga lari dalam aktifitasnya untuk memelihara kesehatanya. Sehingga menjadi kecenderungan bahwa manusia memilih olah raga lari dalam hidupnya untuk dijadikan kebiasaan atau hobi. Kini, dalam era modern keinginan manusia tidak hanya dijadikan sekedar hobi, namun berubah menjadi klub sehat dan menjadi gaya hidup bahkan untuk bersosialisasi.

Bagi orang yang mengalami kelebihan berat badan, berlari juga sangat membantu untuk mengatasi kasus tersebut berdasarkan atas tempo dan kecepatan serta energi yang dikeluarkan, orang yang berjalan dengan jarak 4 km dalam satu jam akan membakar 200 – 250 kalori dan 22 – 28 gram lemak.

PEMBAKARAN KALORIPembakaran kalori dalam tubuh terjadi karena adanya proses metabolisme

dalam tubuh. Laju proses metabolisme yang cepat akan mampu membakar kalori lebih banyak. Sebaliknya, laju metabolisme yang lambat, jumlah kalori yang terbakar juga akan berjumlah sedikit. Proses metabolisme sendiri merupakan proses tubuh untuk menghasilkan energi di mana energi ini akan digunakan untuk mendukung berbagai jenis aktivitas fisik maupun berfikir sehari-hari. Tiap orang memiliki laju metabolisme yang berbeda-beda. Jadi tak perlu heran jika kebutuhan kalori tiap orang juga berbeda-beda. Usia sangat mempengaruhi kecepatan metabolisme. Semakin tua usia seseorang, laju metabolisme-nya akan semakin lambat. Ada juga faktor-faktor lainnya yang berpengaruh terhadap laju metabolisme. Sebut saja faktor lingkungan (seperti suhu) dan jenis kelamin. Faktor fisik juga berkontribusi dalam mempercepat laju metabolisme. Seseorang yang sering beraktivitas fisik, laju metabolisme-nya akan cepat, sebaliknya seseorang yang jarang melakukan aktivitas fisik, laju metabolisme-nya lambat.

PEMBAHASANAplikasi Graf Berbobot dalam Menentukan Trek Berlari untuk Mengetahui Nilai Pembakaran Kalori

Dalam tulisan ini, penulis mengambil contoh trek berlari dari rumah penulias hingga GOR Bekasi.

Peta trek lari

Lokasi awal : Kav. Rawa Bugel Jl.Musholah Bekasi UtaraLokasi Tujuan : GOR Bekasi

Terdapat 3 trek yang dapat dilalui dari lokasi awal menuju GOR Bekasi, yaitu: Trek 1 (via Jl. Jendral soedirman) Trek 2 (via Jl. Raya Rawa Bugel dan Jl. Bulevar Ahmad Yani) Trek 3 (via Jl. Kh. Muchtar Thabrani dan Jl. Bulevar Ahmad Yani)

Representasi graf trek lari

Berdasarkan keberadaan loop dan sisi ganda, graf trek 1, 2, 3 digolongkan dalam graf sederhana.Definisi 3

Graf sederhana (simple graph) adalah graf yang tidak mengandung loop dan sisi ganda.

Trek 1, 2, 3 merupakan sebuah graf terhubung.Teorema 1Sebuah graf G dengan n simpul, mempunyai n – 1 sisi dan tidak ada sirkuit didalamnya adalah terhubung.

Trek 1, 2, 3 merupakan subgraph dari keseluruhan graph trek lari Definisi 4Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1=(V 1 , E1 ) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V 1⊆V dan E1⊆E

Untuk merepresentasikan trek lari dalam bentuk graph, penulis menggunakan konsep pewarnaan simpul pada graf.Definisi 5Pewarnaan simpul adalah memberi warna pada simpul-simpul didalam graf sedemikian sehingga setiap dua simpul bertetangga mempunyai warna yang berbeda.

Keterangan : Diasumsikan jika kalori yang terbakar untuk kecepatan pelari rata-rata

4km/jam adalah 220 kal, maka 1km/jam kalori yang terbakar adalah 55 kal Kecepatan rata-rata pelari pada trek biru, hijau dan kuning adalah 10 km/jam

dan kalori yang terbakar adalah 55 x 10 = 550 kal Kecepatan rata-rata pelari pada trek merah adalah 7 km/jam (trek ini adalah

trek yang dilalui kendaraan bermotor berkecepatan tinggi) dan kalori yang terbakar adalah 55 x 7 = 385 kal

PENGHITUNGAN PEMBAKARAN KALORI BERDASARKAN TREK LARITrek 1 (via Jl. Jendral soedirman)

Peta trek 1Jarak pada trek 1 dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

abcdefgh[

0890

000000

8900

43000000

04300

4600000

00

4600

1570000

000

15700

90000

0000

9000

5000

00000

5000

50

000000

500

]Berdasarkan matriks diatas bentuk grafnya:

Graf trek 1

Jumlah bobot setiap sisi pada trek 1 menyatakan jarak tempuh dari tempat semula ke GOR bekasi.

e (1)+e(2)+e (3)+e (4 )+e(5)+e (6)+e (7)=4800 m Trek kuning (550 kal terbakar dengan kecepatan 10 km/jam)

e (1 )+e (3 )+e (6 )¿890+460+500¿1850 m1850 m=1,85km1,8510

×550=101,75 kal

a b c d e f g h

Trek hijau (550 kal terbakar dengan kecepatan 10 km/jam)e (2 )+e (4 )+e (7 )¿430+1570+50¿2050 m2050 m=2,05 km2,0510

×550=112,75kal

Trek merah (385 kal terbakar dengan kecepatan 7 km/jam)e (5)=900 m900 m=0,9 km0,97

×385=49,5 kal

Jumlah kalori yang terbakar¿101,75+112,75+49,5=264 kalTrek 2 (via Jl. Raya Rawa Bugel dan Jl. Bulevar Ahmad Yani)

Peta trek 2

Jarak pada trek 2 dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

a i j k l m h

aijklmh[

01610

00000

16100

5000000

0500

0290

000

00

2900

85000

000

8500

13000

0000

13000

50

00000500

]Berdasarkan matriks diatas bentuk grafnya:

Graf trek 2

Jumlah bobot setiap sisi pada trek 2 menyatakan jarak tempuh dari tempat semula ke GOR bekasi.

e (1 )+e (2 )+e (3 )+e (4 )+e (5)+e (6)=4600 m

Trek hijau (550 kal terbakar dengan kecepatan 10 km/jam) e (1 )+e (3 )+e (5 )1610+290+1300=32003200 m=3,2km3,210

×550=176 kal

Trek kuning (550 kal terbakar dengan kecepatan 10 km/jam)e (2 )+e (4 )+e (6 )

¿500+850+50¿1400 m1400 m=1,4km1,410

× 550=77 kal

Jumlah kalori yang terbakar ¿176+77=253 kalTrek 3 (via Jl. Kh. Muchtar Thabrani dan Jl. Bulevar Ahmad Yani)

Peta trek 3

Jarak pada trek 3 dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

anopjklmh

[0

4600000000

4600

840000000

08400

120000000

00

12000

3100000

000

3100

290000

0000

2900

85000

00000

8500

13000

000000

13000

50

0000000

500

]Berdasarkan matriks diatas bentuk grafnya:

a n o p j k l m h

Graf trek 3Jumlah bobot setiap sisi pada trek 3 menyatakan jarak tempuh dari tempat semula ke GOR bekasi.

e (1 )+e (2 )+e (3 )+e (4 )+e (5 )+e (6 )+e (7 )+e (8 )=5300m

Trek biru (550 kal terbakar dengan kecepatan 10 km/jam)e (1 )+e (4 )¿460+310¿770 m770 m=0,77km0,7710

× 550=42,35 kal

Trek hijau (550 kal terbakar dengan kecepatan 10 km/jam)e (2 )+e (5 )+e (7 )¿840+290+1300¿2430 m2430 m=2,43 km2,4310

×550=133,65 kal

Trek kuning (550 kal terbakar dengan kecepatan 10 km/jam)e (6 )+e (8 )¿850+50¿900m900 m=0,9 km0,910

×550=49,5 kal

Trek merah (385 kal terbakar dengan kecepatan 7 km/jam)e (3)=1200 m1200 m=1,2km

1,27

×385=66 kal

Jumlah kalori yang terbakar ¿42,35+133,65+49,5+66=291,5

KESIMPULANTeori Graf dapat dimanfaatkan untuk menentukan efisiensi penggunaan trek

dalam berlari. Tujuan penentuan trek menentukan seberapa besar nilai kalori yang terbakar pada saat berlari, dengan catatan penghitungan dilakukan berdasarkan rata-rata kecepatan pelari yang sama. Dari perhitungan pembakaran kalori pada saat berlari dari tempat awal (Gg. Musholah) hingga lokasi tujuan (GOR Bekasi) dapat disimpulkan bahwa pembakaran kalori dengan nilai terbesar terjadi ketika pelari melalui trek 3.

DAFTAR PUSTAKASuryadi H. S. Teori Graf Dasar. Jakarta: Gunadarma.Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.Az-Zakki, Jamal Muhammad. 2010. Hidup Sehat Tanpa Obat. Jakarta: Cakrawala

Publishing. Google. 2015. Peta Bekasi. https://www.google.co.id/maps/. Diakses tanggal 15

Desember 2015 pukul 22.00.