PSEUDOVECTOR DAN PSEUDOTENSOR, SERTA APLIKASINYA

KELAS FISIKA PARALELKELOMPOK 3Karina Nur Fitriana,1106065981Agam Aidil Fahmi,1106065994Abdul Latif,1106066025Dicky Priambodo, 1106066031

Makalah dariBab 10Untuk Mata KuliahFisika Matematika II

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS INDONESIA2013

SUBAB 7Aplikasi Fisika.1. Tensor Momen InersiaSalah satu tensor rank dua yang paling sering ditemui adalah tensor momen inersia. Tensor ini menghubungkan momentum sudut L dan kecepatan sudut dari gerak rotasi sebuah benda tegar. Momentum sudut L sebuah benda tegar yang berotasi pada titik tertentu diberikan oleh

dengan r adalah vektor posisi dari titik tertentu (tetap) ke elemen massa dm dan v adalah kecepatan dm. Kita telah menunjukkan

Sehingga

Jika kita tuliskan dalam notasi tensor dengan konvensi penjumlahan, komponen ke -i dari L adalah

Karena

dengan Iij dikenal sebagai tensor momen inersia, diberikan oleh

Karena ij dan xixj keduanya tensor rank dua, Iij tensor simetrik rank dua. Secara eksplisit komponen tensor ini adalah

2. Tensor StressNama tensor berasal dari gaya regangan dalam teori elastisitas. Di dalam benda elastik, terdapat gaya antara bagian bertetangga dari material. Bayangkan sebuah irisan pada benda, material di sebelah kanan memberikan gaya sebesar F pada material di sebelah kiri, dan material pada sebelah kiri memberikan gaya yang sama dan berlawanan arah -F pada material di sebelah kanan.Marilah kita uji material melalui luas yang kecil x1x3, Gambar 2.3, dalam bidang imajiner yang tegak lurus sumbu x2. Jika luas daerah tersebut cukup kecil, kita mengharapkan gaya sebanding dengan luas. Sehingga kita dapat mendefinisikan stress/tekanan P2 sebagai gaya per satuan luas. Subscript 2 mengindikasikan bahwa gaya yang bekerja pada bidang tegak lurus sumbu x2 positif. Komponen P2 sepanjang sumbu (x1, x2, x3) secara berurutan diberikan oleh P12, P22, P32. Sekarang kita dapat melihat pada luas daerah kecil pada bidang yang tegak lurus sumbu x1 dan mendefinisikan komponen stress sebagai P11, P21, P31.

Gambar 2.3: Stress P2, didefinsikan sebagai gaya per satuan luas, pada luas daerah yang kecil tegak lurus sumbu x2. Komponennya sepanjang tiga buah sumbu secara berurutan adalah P12, P22, P32

Gambar 2.4: Sembilan buah komponen sebuah tensor stress pada sebuah titik dapat direpresentasikan sebagai gaya normal dan tangensial pada sebuah kubus tak hingga di sekeliling titikSekarang bayangkan bahwa irisannya tegak lurus sumbu x3 sehingga P13, P23, P33 juga bisa didefiniskan dengan cara yang sama. Jika e1, e2, e3 adalah vektor basis satuan, hubungan ini dapat dinyatakan

Komponen stress berjumlah sembilan yaitu:

Subscript pertama pada Pij mengindikasikan arah dari komponen gaya, subscript kedua mengindikasikan arah normal pada permukaan tempat gaya bekerja. Arti fisis dari Pij adalah sebagai berikut. Bayangkan kubus tak hingga banyaknya disekeliling titik di dalam material, seperti Gambar 2.4. Agar jelas, gaya hanya dilukiskan

Gambar 2.5: Gaya pada permukaan tetrahedron tak hingga. Syarat kesetimbangan mengharuskan tensor stress adalah tensor rank dua.

dalam tiga permukaan. Terdapat gaya normal Pii (regangan ditunjukkan tetapi dapat ditekan dengan panah terbalik) dan gaya tangensial/singgung Pij (i j, shear). Perhatikan bahwa dalam kesetimbangan, gaya dalam permukaan berlawanan haruslah sama besar dan berlawanan arah. Lebih dari itu (2.67) simetrik Pij = Pji, karena adanya kesetimbangan rotasional. Sebagai contoh gaya shear pada permukaan atas dalam arah x2 adalah P23x1x2. Torsi di sekitar sumbu x1 karena gaya ini adalah (P23x1x2)x3. Torsi yang berlawanan karena gaya shear pada permukaan kanan adalah (P32x3x1)x2. Karena torsi di sekitar sumbu x1 harus nol, maka

dan kita memiliki

Dengan argumen yang sama kita dapat membuktikan secara umum Pij = Pji, sehingga simetrik. Sekarang kita akan membuktikan sembilan kompoenen (2.68) adalah sebuah tensor, dikenal sebagai tensor stress. Untuk tujuan ini, kita membuat tetrahedron tak hingga dengan sisinya berarah sepanjang sumbu koordinat pada Gambar 2.5. Misalkan a1, a2, a3 merupakan luas permukaan tegak lurus pada sumbu x1, x2, x3, gaya per satuan luasnya adalah -P1, -P2, -P3, karena permukaan ini arahnya ke sumbu negatif. Misalkan an adalah luas permuakaan terinklinasi dengan satuan normal eksterior n dan Pn adalah gaya per satuan luas permukaan ini. Gaya total pada keempat permukaan ini haruslah nol, meskipun terdapat gaya benda, seperti gravitasi. Gaya benda akan sebanding dengan volume, sedangkan semua gaya permukaan akan sebanding dengan luas. Karena dimensinya menuju nol, gaya benda akan sangat kecil dibandingkan dengan gaya permukaan dan dapat diabaikan. Sehingga

Karena a1 adalah luas an yang diproyeksikan pada bidang x2 x3, sehingga

Dengan ekspresi yang sama untuk a2 dan a3, kita dapat menuliskan (2.69) dalam bentuk

Atau

Apa yang kita inginkan adalah mencari komponen tensor stress dalam sistemm terotasi dengan sumbu e1, e2, e3 Sekarang tanpa kehilangan generalisasi, kita dapat mengasumsikan sumbu ke -j sistem terotasi berarah sepanjang n, yaitu

Sehingga Pn adalah Pj dalam sistem terotasi. Sehingga (2.70) menjadi

Dalam suku komponen-komponennya sepanjang sumbu koordinat, seperti pada (2.67)

persamaan terakhir dapat dituliskan

Lakukan perkalian titik dengan pada kedua ruas

kita mempunyai

Karena (em en) = amn, kita melihat bahwa

Sehingga barisan komponen stress (2.68) adalah tensor.3. Tensor Strain dan Hukum HookeDi bawah gaya yang diberikan, benda elastik akan berdeformasi yang meregang. Deformasinya dikarakterisasi oleh perubahan jarak antara titik-titik bertetangga. Misalkan P pada r dan Q pada r + r adalah dua titik berdekatan seperti pada Gambar 2.6. Ketika bendanya terdeformasi, P bergeser sejauh u(r) ke titik Pdan Q sebesar u(r + r) ke titik Q. Jika

Gambar 2.6: Regangan dari sebuah benda elastik. Sebuah benda teregang apabila jarak relatif dua buah titik berdekatan berubah. Tensor strain bergantung pada variasi vektor perpindahan u terhadap vektor posisi r.

perubahan jarak kedua titik ini sama, yaitu jika u(r) = u(r + r), posisi relatif kedua titik tidak berubah. Bagian benda tersebut tidak teregang, karena jarak PQ dan PQ sama. Maka strain/regangan berasosiasi dengan variasi vektor perpindahan u(r). Perubahan u(r) dapat dituliskan

Dengan mengabaikan suku orde kedua dan yang lebih tinggi, komponen u dapat dituliskan

Karena ui adalah vektor dan /xj adalah operator vektor, ui/xj adalah outer product dari dua buah tensor rank satu. Sehingga ui/xj adalah tensor rank dua. Tensor ini dapat didekomposisi dalam bagian simetrik dan anti simetrik (2.73)Kita juga dapat membagi u menjadi dua bagian

Dengan

Gambar 2.7: Perubahan jarak antara dua buah titik berdekatan dalam benda elastik. Perubahan ini ditentukan oleh tensor strain simetrik.Suku anti simetrik (2.73) tidak merubah jarak antara P dan Q karena hal berikut. Misalkanjarak PQ adalah r. Jelas dari Gambar 2.6 yaitu

Sekarang

Hal ini karena dalam ekspresi ini, baik i dan j adalah indeks yang dijumlahkan dan dapat ditukar. Sehingga ua tegak lurus dengan r dan dapat dianggap sebagai panjang busur infinitesimal sebuah rotasi di sekitar ekor r, seperti pada Gambar 2.7Sehingga ua tidak merubah panjan vektor r. Perubahan jarak antara dua titik berdekatan sebuah benda elastik ditentukan secara unik oleh suku simetrik (2.73)

Kuantitas ini dinamakan tensor strain. Tensor strain ini memiliki peran penting dalam teorielastisitas karena mengukur derajat deformasi.Karena gaya elastik satu dimensi dalam sebuah pegas diberikan oleh hukum Hooke F = -kx, kita bisa mengharapkan dalam media elastik tiga dimensi strain/regangan sebanding dengan stress/tekanan. Untuk kebanyakan benda padat dengan regangan relatif beberapa persen, hal ini berlaku. Hubungan linier antara tensor strain dengan tensor stress diberikan oleh hukum Hooke (2.74)dengan cijkl dikenal sebagai tensor elastisitas. Karena Pij dan Ekl keduanya tensor rank dua, dengan aturan pembagian cijkl haruslah tensor rank empat. Terdapat 81 komponen dalam tensor rank empat, tetapi karena beberapa simetri jumlah komponen bebasnya dalam benda kristalin hanya 21. Jika bendanya isotropik, konstanta elastik direduksi lebih lanjut sehingga hanya dua. Kita tidak akan membahas hal ini secara mendalam karena merupakan subjek dari buku tentang elastisitas, di sini kita hanya menunjukkan konsep tensor sangat berguna dalam mendeskripsikan kuantitas fisik.