analisisanalisis rangkaian listrik · umumnya adalah kondisi mantap dan dalam operasi tersebut...
TRANSCRIPT
2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian Listrik
Jilid 2
Sudaryatno Sudirham
1
BAB 6 Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde
Pertama
Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi normal rangkaian pada
umumnya adalah kondisi mantap dan dalam operasi tersebut banyak
digunakan sinyal sinus baik pada pemrosesan energi maupun
pemrosesan sinyal listrik. Dalam teknik energi listrik, tenaga listrik
dibangkitkan, ditransmisikan, serta dimanfaatkan dalam bentuk
sinyal sinus dengan frekuensi yang dijaga konstan yaitu 50 atau 60
Hz. Dalam teknik telekomunikasi, sinyal sinus dimanfaatkan dalam
selang frekuensi yang lebih lebar, mulai dari beberapa Hz sampai
jutaan Hz. Untuk hal yang kedua ini, walaupun rangkaian beroperasi
pada keadaan mantap, tetapi frekuensi sinyal yang diproses dapat
bervariasi ataupun mengandung banyak frekuensi (gelombang
komposit), misalnya suara manusia ataupun suara musik. Karena
impedansi satu macam rangkaian mempunyai nilai yang berbeda
untuk frekuensi yang berbeda, maka timbullah persoalan
bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap perubahan nilai
frekuensi atau bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap sinyal
yang tersusun dari banyak frekuensi. Dalam bab inilah persoalan
tersebut akan kita bahas.
6.1. Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan
Mantap
Pernyataan di kawasan s dari sinyal masukan berbentuk sinus x(t) =
Acos(ωt+θ) adalah (lihat tabel Transformasi Laplace) :
22
sincos)(
ω+
θω−θ=
s
sAsX (6.1)
Jika T(s) adalah fungsi alih, maka tanggapan rangkaian adalah
2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
)())((
sincos
)(sincos
)()()(22
sTjsjs
sA
sTs
sAssTs
ω+ω−
θω−θ=
ω+
θω−θ== XY
(6.2)
Sebagaimana telah kita bahas di bab sebelumnya, T(s) akan
memberikan pole-pole alami sedangkan X(s) akan memberikan pole
paksa dan pernyataan (6.2) dapat kita uraikan menjadi berbentuk
n
n
ps
k
ps
k
ps
k
js
k
js
ks
−+⋅⋅⋅+
−+
−+
ω++
ω−=
2
2
1
1*
)(Y (6.3)
yang transformasi baliknya akan berbentuk
tpn
tptptjtj nekekeKekkety +⋅⋅⋅++++= ω−ω 2121
*)( (6.4)
Di kawasan t, pole-pole alami akan memberikan komponen transien
yang biasanya berlangsung hanya beberapa detik (dalam kebanyakan
rangkaian praktis) dan tidak termanfaatkan dalam operasi normal.
Komponen mantaplah yang kita manfaatkan untuk berbagai
keperluan dan komponen ini kita sebut tanggapan mantap yang
dapat kita peroleh dengan menghilangkan komponen transien dari
(6.4), yaitu :
tjtjtm ekkety ω−ω += *)( (6.5)
Nilai k dapat kita cari dari (6.2) yaitu
)(2
sincos
)()(
sincos)()(
ωθ+θ
=
ω+
θω−θ=ω−=
ω=ω=
jTj
A
sTjs
sAsjsk
jsjs
Y
(6.6)
Faktor T(jω) dalam (6.6) adalah suatu pernyataan kompleks yang
dapat kita tuliskan dalam bentuk polar sebagai |T(jω)|ejϕ dimana
|T(jω)| adalah nilai mutlaknya dan ϕ adalah sudutnya. Sementara itu
menurut Euler (cosθ + jsinθ) = ejθ. Dengan demikian (6.6) dapat kita
tuliskan
ϕθ
ω= jj
ejTe
Ak )(2
(6.7)
3
Dengan (6.7) ini maka tanggapan mantap (6.5) menjadi
)cos( )(
2
)(
)(2
)(2
)(
)()(
ϕ+θ+ωω=
+ω=
ω+ω=
ϕ+θ+ω−ϕ+θ+ω
ω−ϕ−θ−
ωϕθ
tjTA
eejTA
eejTe
AeejTe
Aty
tjtj
tjjj
tjjj
tm
(6.8)
Persamaan (6.8) ini menunjukkan bahwa tanggapan keadaan mantap
dari suatu rangkaian yang mempunyai fungsi alih T(s) dengan
masukan sinyal sinus, akan :
• berbentuk sinus juga, tanpa perubahan frekuensi
• amplitudo berubah dengan faktor |T(jω)|
• sudut fasa berubah sebesar sudut dari T(jω), yaitu ϕ.
Jadi, walaupun frekuensi sinyal keluaran sama dengan frekuensi
sinyal masukan tetapi amplitudo maupun sudut fasanya berubah dan
perubahan ini tergantung dari frekuensi. Kita akan melihat kejadian
ini dengan suatu contoh.
CO%TOH-6.1 : Carilah sinyal keluaran
keadaan mantap dari rangkaian di
samping ini jika masukannya adalah
vs = 10√2cos(50t + 60o) V.
Penyelesaian :
Transformasi rangkaian ke kawasan
s memberikan rangkaian impedansi
seperti di samping ini.
Fungsi alih rangkaian ini adalah
50
50
1002
100)(
+=
+=
sssTV .
Karena frekuensi sinyal ω = 50 , maka
o
1
45
)50/50(tan22 2
1
5050
50
5050
50)50(
j
jV e
ejjT
−=+
=+
=−
Keluaran keadaan mantap adalah :
+ vo −
+ −
2H 100Ω
vs
+ Vo −
+ −
2s 100
Vs
4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
)1550cos(10)456050cos(2
210)( ooo
o +=−+= tttv
Pemahaman :
Frekuensi sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan, yaitu ω = 50 rad/sec.
Amplitudo sinyal masukan V 210=maksv , sedangkan
2
1)50()( ==ω jj VV TT .
Amplitudo sinyal keluaran
V 102
1210)(o =×=ω= jTvv smaksmaks
Sudut fasa sinyal masukan θ = 60o, sedang sudut |T(jω)| = −45o.
Sudut fasa sinyal keluaran : θ + ϕ = 60o − 45o = 15o.
6.2. Pernyataan Tanggapan Frekuensi
6.2.1. Fungsi Gain dan Fungsi Fasa
Faktor pengubah amplitudo, yaitu |T(jω)| yang merupakan fungsi
frekuensi, disebut fungsi gain yang akan menentukan bagaimana
gain (perubahan amplitudo sinyal) bervariasi terhadap perubahan
frekuensi. Pengubah fasa ϕ yang juga merupakan fungsi frekuensi
disebut fungsi fasa dan kita tuliskan sebagai ϕ(ω); ia menunjukkan
bagaimana sudut fasa sinyal berubah dengan berubahnya frekuensi.
Jadi kedua fungsi tersebut dapat menunjukkan bagaimana amplitudo
dan sudut fasa sinyal sinus berubah terhadap perubahan frekuensi
atau dengan singkat disebut sebagai tanggapan frekuensi dari
rangkaian. Pernyataan tanggapan ini bisa dalam bentuk formulasi
matematis ataupun dalam bentuk grafik.
5
CO%TOH-6.2: Selidikilah perubahan gain dan sudut fasa terhadap
perubahan frekuensi dari rangkaian orde pertama di bawah ini.
Penyelesaian :
Setelah di transformasikan ke kawasan s, diperoleh
1000tan)( : fasa fungsi
1000
500)( : fungsi
1000
500)(
1000
500)( : rangkaian alih fungsi
1
22
ω−=ωϕ⇒
ω+=ω⇒
+ω=ω⇒
+=
−
jTgain
jjT
ssT
V
V
V
Untuk melihat dengan lebih jelas bagaimana gain dan fasa
berubah terhadap frekuensi, fungsi gain dan fungsi fasa di plot
terhadap ω. Absis ω dibuat dalam skala logaritmik karena
rentang nilai ω sangat besar. Hasilnya terlihat seperti gambar di
bawah ini.
+ vo −
+ −
1 H
500Ωvs 500Ω
-90
-45
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
ϕ [o]
Gain passband stopband
0
0.5
1 10 100 1000 10000 1E+05
0.5/√2
ω
ωC
6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Pemahaman:
Kurva gain menunjukkan bahwa pada frekuensi rendah terdapat
gain tinggi yang relatif konstan, sedangkan pada frekuensi tinggi
gain menurun dengan cepat. Kurva fungsi fasa menujukkan
bahwa pada frekuensi rendah sudut fasa tidak terlalu berubah
tetapi kemudian cepat menurun mulai suatu frekuensi tertentu.
Gain tinggi di daerah frekuensi rendah pada contoh di atas
menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi rendah mengalami
perubahan amplitudo dengan faktor tinggi, sedangkan gain rendah
di frekuensi tinggi menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi
tinggi mengalami perubahan amplitudo dengan faktor rendah.
Daerah frekuensi dimana terjadi gain tinggi disebut passband
sedangkan daerah frekuensi dimana terjadi gain rendah disebut
stopband. Nilai frekuensi yang menjadi batas antara passband dan
stopband disebut frekuensi cutoff , ωC . Nilai frekuensi cutoff biasanya diambil nilai frekuensi dimana gain menurun dengan
faktor 1/√2 dari gain maksimum pada passband.
Dalam contoh-6.2 di atas, rangkaian mempunyai satu passband yang
terentang dari frekuensi ω = 0 (tegangan searah) sampai frekuensi
cuttoff ωC , dan satu stopband mulai dari frekuensi cutoff ke atas.
Dengan kata lain rangkaian ini mempunyai passband di daerah
frekuensi rendah saja sehingga disebut low-pass gain. Inilah
tanggapan frekuensi rangkaian pada contoh-6.2.
Kebalikan dari low-pass gain adalah high-pass gain, yaitu jika
passband berada hanya di daerah frekuensi tinggi saja seperti pada
contoh 6.3. berikut ini.
CO%TOH-6.3: Selidikilah tanggapan frekuensi rangkaian di bawah
ini.
Penyelesaian :
Fungsi alih rangkaian adalah
+ vo −
+ − 500
vs 500
105/s
7
2
1o
42
225
10tan90)( ;
10
5,0)(
10
5,0)(
10
5,0
1000/10
500)(
ω−=ωϕ⇒
+ω
ω=ω⇒
+ω
ω×=ω→
+=
+=
−jT
j
jjT
s
s
ssT
V
VV
Kurva gain dan fasa terlihat seperti pada gambar di bawah ini.
Stopband ada di daerah frekuensi rendah sedangkan passband
ada di daerah frekuensi tinggi. Inilah karakteristik high-pass
gain
6.2.2. Decibel
Dalam meninjau tanggapan frekuensi, gain biasanya dinyatakan
dalam decibel (disingkat dB) yang didefinisikan sebagai
)(log20 dB dalamGain ω= jT (6.9)
Gain dalam dB dapat bernilai nol, positif atau negatif. Gain dalam
dB akan nol jika |T(jω)| bernilai satu, yang berarti sinyal tidak diperkuat ataupun diperlemah; jadi gain 0 dB berarti amplitudo
sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan. Gain dalam dB akan
positif jika |T(jω)| >1, yang berarti sinyal diperkuat, dan akan bernilai negatif jika |T(jω)| < 1, yang berarti sinyal diperlemah.
0
45
901 10 100 1000 10000 100000
ϕ [o]
0.5/√2
ωC 0
0.5
1 10 100 1000 10000 1E+05
ω
Gain stopband passband
8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Frekuensi cutoff adalah frekuensi dimana gain telah turun 1/√2 = 0.707 kali nilai gain maksimum dalam passband. Jadi pada frekuensi
cutoff, nilai gain adalah
dB 3)(
2log)(log20)(2
1log20
dB −ω=
−ω=
ω
maks
maksmaks
jT
jTjT (6.10)
Dengan demikian dapat kita katakan bahwa frekuensi cutoff adalah
frekuensi di mana gain telah turun sebanyak 3 dB.
Untuk memberikan gambaran lebih jelas, mengenai satuan decibel
tersebut, berikut ini contoh numerik gain dalam dB yang sebaiknya
kita ingat.
CO%TOH-6.4: Berapa dB-kah nilai gain sinyal yang diperkuat K
kali , jika K = 1; √2 ; 2 ; 10; 30; 100; 1000 ?
Penyelesaian :
Untuk sinyal yang diperkuat K kali,
( ) ( ) ( )KjTjTKgain log20)(log20)(log20 +ω=ω=
Jadi pertambahan gain sebesar 20log(K) berarti penguatan sinyal
K kali.
dB 601000log20 : 1000
dB 40 100log20 : 100
dB 30 30log20 : 30
dB 20 10log20 : 10
dB 6 2log20 : 2
dB 3 2log20 : 2
dB 0 1log20 : 1
=⇒=
=⇒=
≈⇒=
=⇒=
≈⇒=
≈⇒=
=⇒=
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
Jika faktor K tersebut di atas bukan penguatan akan tetapi
perlemahan sinyal maka gain menjadi negatif.
9
dB 60 : 1000/1
dB 40 : 100/1
dB 30 : 30/1
dB 20 : 10/1
dB 6 : 2/1
dB 3 : 2/1
−⇒=
−⇒=
−⇒=
−⇒=
−⇒=
−⇒=
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
6.2.3. Kurva Gain Dalam Decibel
Kurva gain dibuat dengan absis (frekuensi) dalam skala logaritmik
(karena rentang frekuensi yang sangat lebar); jika gain dinyatakan
dalam dB yang juga merupakan bilangan logaritmik sebagaimana
didefinisikan pada (6.9), maka kurva gain akan berbentuk garis-garis
lurus.
Low-pass gain. Dengan menggunakan satuan dB, kurva low-pass
gain pada contoh-6.2 adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah
ini. Gain hampir konstan −6 dB di daerah frekuensi rendah, sedangkan di daerah frekuensi tinggi gain menurun dengan
kemiringan yang hampir konstan pula.
High-pass gain. Dalam skala dB, high-pass gain pada contoh-6.3
adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir
konstan −6 dB di daerah frekuensi tinggi sedangkan di daerah frekuensi rendah gain meningkat dengan kemiringan yang hampir
konstan pula
-40
-20
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
Gain [dB]
ω
−6
ωC
−9
10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Band-pass gain. Apabila gain meningkat di daerah frekuensi rendah
dengan kemiringan yang hampir konstan, dan menurun di daerah
frekuensi tinggi dengan kemiringan yang hampir konstan pula,
sedangkan gain tinggi berada di antara dua frekuensi cutoff kita
memiliki karakteristik band-pass gain.
Band-pass gain kita peroleh pada rangkaian orde kedua yang akan
kita pelajari lebih lanjut di bab selanjutnya. Walaupun demikian kita
akan melihat rangkaian orde kedua tersebut sebagai contoh di bawah
ini.
CO%TOH-6.5: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde
kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.
Penyelesaian :
Fungsi alih rangkaian ini adalah
+ −
+ Vo(s)
− Vin(s) 1100
s 10
5/s
Gain
[dB]
-40
-20
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
ω
−6
ωC
−9
-40
-20
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
Gain
[dB]
ω
−3
ωC
11
)1000)(100(
1100
101100
1100
/101100
1100)(
525 ++=
++=
++=
ss
s
ss
s
sssTV
22221000100
1000)(
)1000)(100(
1100)(
+ω×+ω
ω=ω⇒
+ω+ω
ω=ω
jT
jj
jjT
V
V
Kurva gain terlihat seperti gambar di bawah ini. Di sini terdapat
satu passband , yaitu pada ω antara 100 ÷ 1000 dan dua stopband di daerah frekuensi rendah dan tinggi.
Apabila kurva gain dibuat dalam dB, kurva yang akan
diperoleh adalah seperti diperlihatkan di atas.
CO%TOH-6.6: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde
kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.
Penyelesaian :
Fungsi alih rangkaian ini adalah
+ Vo(s)
−
Vin(s)
10
0,1s
105/s +
−
0
0.7
1.4
1 10 100 1000 10000
Gain
1
1/√2
ω
passband stopband stopband
12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
28226
62
642
62
642
62
5
5
10)10(
10)(
1010
10)(
1010
10
/101,0
/101,010
10)(
ω+ω−
+ω−=ω⇒
+ω+ω−
+ω−=ω
++
+=
+
×+
=
jT
jjT
ss
s
ss
sssT
V
V
V
Kurva gain adalah seperti gambar di bawah ini.
Kurva ini menunjukkan bahwa ada satu stopband pada ω antara 100 ÷ 10000 dan dua passband masing-masing di daerah
frekuensi rendah dan tinggi.
Karakteristik gain seperti pada contoh-6.5. disebut band-pass gain
sedangkan pada contoh-6.6 disebut band-stop gain. Frekuensi cutoff
pada band-pass gain ada dua; selang antara kedua frekuensi cutoff
disebut bandwidth (lebar pita).
6.3. Bode Plot
Bode plots adalah grafik gain dalam dB ( |T(jω|dB ) serta fasa (ϕ(ω) ) sebagai fungsi dari frekuensi dalam skala logaritmik. Kurva-kurva
ini berbentuk garis-garis lengkung. Walaupun demikian kurva ini
mendekati nilai-nilai tertentu secara asimtotis, yang memungkinkan
kita untuk melakukan pendekatan dengan garis lurus dengan patahan
di titik-titik belok. Melalui pendekatan ini, penggambaran akan lebih
mudah dilakukan. Bila kita ingin mendapatkan nilai yang lebih tepat,
terutama di sekitar titik belok, kita dapat melakukan koreksi-koreksi
pada kurva pendekatan ini.
passband stopband passband
ω 0
0.7
1.4
1 100 10000 1000000
1
1/√2
Gain
13
Manfaat Bode plots dapat kita lihat misalnya dalam proses
perancangan rangkaian; kurva-kurva pendekatan garis lurus tersebut
merupakan cara sederhana tetapi jelas untuk menyatakan
karakteristik rangkaian yang diinginkan. Dari sini kita dapat
menetapkan maupun mengembangkan persyaratan-persyaratan
perancangan. Selain dari pada itu, tanggapan frekuensi dari berbagai
piranti, perangkat maupun sistem, sering dinyatakan dengan
menggunakan Bode plots. Pole dan zero dari fungsi alih peralatan-
peralatan tersebut dapat kita perkirakan dari bentuk Bode plots yang
diberikan. Berikut ini kita akan mempelajari tahap demi tahap
penggambaran Bode plots dengan pendekatan garis lurus. Kita akan
mulai dari rangkaian orde pertama disusul dengan rangkaian orde
kedua.
6.3.1. Low-Pass Gain
Bentuk fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik low-
pass gain adalah
α+=s
KsTV )( (6.11)
K dapat bernilai riil positif ataupun negatif. Jika K positif berarti K
mempunyai sudut θK = 0o dan jika negatif mempunyai sudut θK =
±180o. Pole fungsi alih ini haruslah riil negatif karena hanya pole negatif (di sebelah kiri sumbu imajiner dalam bidang s) yang dapat
membuat rangkaian stabil; komponen transiennya menuju nol untuk t
→∞. Hanya rangkaian yang stabil sajalah yang kita tinjau dalam
analisis mengenai tanggapan frekuensi.
Dari (6.11) kita dapatkan :
( )αω+α=
α+ω=ω
/1)(
j
K
j
KjT (6.12)
Fungsi gain dan fungsi fasa dapat kita tuliskan
)/(tan)(dan
)/(1
/)( 1
2αω−θ=ωϕ
αω+
α=ω −
KV
KjT (6.13)
Fungsi gain dalam satuan dB, menjadi
14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
( )
αω+−α=ω 2
dB)/(1log20/log20)( KjTV (6.14)
Fungsi gain ini terdiri dari dua komponen, yang ditunjukkan oleh
suku pertama dan suku kedua ruas kanan (6.14). Komponen pertama
bernilai konstan untuk seluruh frekuensi. Komponen kedua
tergantung dari frekuensi dan komponen inilah yang menyebabkan
gain berkurang dengan naiknya frekuensi. Komponen ini pula yang
menentukan frekuensi cutoff, yaitu saat (ω/α) =1 dimana komponen
ini mencapai nilai −20log√2 ≈ −3 dB. Jadi dapat kita katakan bahwa frekuensi cutofff ditentukan oleh komponen yang berasal dari pole
fungsi alih, yaitu
α=ωC (6.15)
Gb.6.1. memperlihatkan perubahan nilai komponen kedua tersebut
sebagai fungsi frekuensi, yang dibuat dengan α = 1000. Dengan pola perubahan komponen kedua seperti ini maka gain total akan
tinggi di daerah frekuensi rendah dan menurun di daerah frekuensi
tinggi, yang menunjukkan karakteristik low-pass gain. Kurva ini
mendekati nilai tertentu secara asimtotis yang memungkinkan
dilakukannya pendekatan garis lurus sebagai berikut.
Gb.6.1. Pola perubahan−log√((ω/α)2+1); α=1000 ; dan pendekatan
garis lurusnya.
Untuk frekuensi rendah, (ω/α) << 1 atau ω << α , komponen kedua
dapat didekati dengan
( ) 01log20)/(1log202 =−≈
αω+− (6.17)
dB
ω [rad/s]
-60
-40
-20
0
1
10
100
1000
10000
1E+05
1E+06
−log√((ω/α)2+1)
pendekatan garis lurus
ωC
15
yang akan memberikan kurva garis lurus horisontal di 0 dB.
Untuk frekuensi tinggi, (ω/α)>>1 atau ω>>α, komponen kedua
tersebut didekati dengan
( )αω−≈
αω+− /log20)/(1log20
2 (6.18)
sehingga kurvanya berupa garis lurus menurun terhadap log(ω). Untuk setiap kenaikan frekuensi 10 kali, yang kita sebut satu dekade,
penurunan itu adalah
( ) ( ) dB 2010log20/log20/10log20 −=−=αω−αω−
Jadi pendekatan garis lurus untuk komponen kedua ini adalah garis
nol untuk 1<ω<α dan garis lurus −20 dB per dekade untuk ω>α. Titik belok terletak pada perpotongan kedua garis ini, yaitu pada
(ω/α) =1, yang berarti terletak di frekuensi cutoff, seperti terlihat pada Gb.6.1.
Tanggapan fasa kita peroleh dari fungsi fasa (6.13) yaitu
)/(tan)( 1 αω−θ=ωϕ −K (6.16)
Komponen pertama fungsi ini bernilai konstan. Komponen kedua
memberi pengurangan fasa yang juga menjadi penentu pola
perubahan tanggapan fasa. Lengkung komponen kedua ini terlihat
pada Gb.6.2.
Gb.6.2. Pola perubahan−tan−1(ω/α); α=1000 ; dan pendekatan garis lurusnya.
ω [rad/s]
-90
-45
0
1
10
100
1000
10000
1E+05
1E+06
ωC
ϕ [o]
−tan−1(ω/α)
pendekatan garis lurus
16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Seperti halnya kurva pada Gb.6.1. kurva inipun mendekati nilai-
nilai tertentu secara asimtotik yang juga memungkinkan kita untuk
melakukan pendekatan garis lurus. Pendekatan garis lurus untuk
komponen kedua fungsi fasa ini kita lakukan dengan
memperhatikan bahwa pada (ω/α)=1, yaitu pada frekuensi cutoff, nilai −tan−1(ω/α) adalah −45o. Pada ω=0.1ωC , nilai −tan
−1(ω/α)
kecil dan dianggap 0o ; pada ω=10ωC , nilai −tan
−1(ω/α) mendekati
−90o dan dianggap −90o; untuk ω>10ωC , nilai −tan−1(ω/α) adalah
−90o . Jadi untuk daerah frekuensi 0.1ωC < ω < 10ωC perubahan fasa dapat dianggap linier −45o per dekade, seperti terlihat pada Gb.6.2.
Dengan pendekatan garis lurus seperti di atas, baik untuk fungsi
gain maupun untuk fungsi fasa, maka tanggapan gain dan
tanggapan fasa dapat digambarkan dengan nilai seperti tercantum
dalam dua tabel di bawah ini. Perhatikanlah bahwa nilai komponen
pertama konstan untuk seluruh frekuensi sedangkan komponen ke-
dua mempunyai nilai hanya pada selang frekuensi tertentu.
Gain Frekuensi
ωC = α
ω=1 1<ω<α ω>α
Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)
Komponen 2 0 0 −20dB/dek
Total 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) −20dB/dek
ϕ Frekuensi
ωC = α
ω=1 0,1α<ω<10α ω>10α
Komponen 1 θK θK θK
Komponen 2 0 −45o/dek 0
Total θK θK −45o/dek θK
17
Kurva pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa
ini, dengan mengambil α = 1000, diperlihatkan pada Gb.6.3.a. dan Gb.6.3.b.
Gb.6.3. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan
tanggapan fasa − lowpass gain. ωC = α = 1000 rad/s.
Karena kurva garis lurus adalah kurva pendekatan, maka untuk
mengetahui gain sebenarnya, diperlukan koreksi-koreksi. Sebagai
contoh, pada Gb.6.3.a. gain pada frekuensi cutoff sama dengan gain
maksimum dalam pass-band; seharusnya gain pada frekuensi cutoff
adalah gain maksimum dalam pass-band dikurangi 3 dB.
6.3.2. High-Pass Gain
Fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik high-pass
gain ini berbentuk
( )αω+α=
α+ω=ω
α+=
/1)( sehingga )(
j
Ks
j
KsjT
s
KssT (6.19)
Berbeda dengan fungsi alih low-pass gain, fungsi alih ini
mempunyai zero pada s = 0. Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah
( ))/(tan90)(dan
)/(1
/)( 1o
2αω−+θ=ωϕ
αω+
ωα=ω −
K
KjT (6.20)
( ) )/(1log20log20/log20)( 2dB
αω+−ω+α=ω⇒ KjT (6.21)
ω [rad/s] a).
-40
-20
0
20
1
10
100
1000
10000
1E+05
1E+06
Gain [dB]
20log(|K|/α)
−20dB/dek
ωC = α
ω [rad/s] b).
-135
-90
-45
0
45
1
10
100
1000
10000
1E+05
1E+06
ϕ [o]
−45o/dek
0.1ωC 10ωC
θK
18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Dengan hanya menggunakan pendekatan garis lurus, nilai fungsi
gain dan fungsi fasa adalah seperti dalam tabel berikut.
Gain Frekuensi
ωC = α
ω=1 1<ω<α ω>α
Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)
Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(α/1)+20dB/dek
Komponen 3 0 0 −20dB/dek
Total 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)
+20dB/dek
20log(|K|/α)
+20log(α/1)
ϕ(ω) Frekuensi
ωC = α
ω=1 0,1α<ω<10α ω>10α
Komponen 1 θK θK θK
Komponen 2 90o
90o 90
o
Komponen 3 0o −45o/dek −90o
Total θK +90o θK +90
o −45
o/dek θK
Pendekatan garis lurus dari tanggapan gain dan tanggapan fasa
dengan α=100, diperlihatkan pada Gb.6.4.a.dan Gb.6.4.b.
19
Gb.6.4. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan
tanggapan fasa – highpass gain. ωC = α = 100 rad/s.
CO%TOH-6.7: Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain
dari dua rangkaian yang masing-masing mempunyai fungsi alih
100
20dan
100
20)( 21 +
=+
=s
s(s)T
ssT
Penyelesaian:
Fungsi gain rangkaian pertama adalah
( ) 21dB1
211
)100/(1log20)2.0log(20)(log20)(
)100/(1
2.0)(
100/1
2.0
100
20)(
ω+−=ω=ω⇒
ω+=ω⇒
ω+=
+ω=ω
jTjT
jTjj
jT
Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian pertama terlihat
pada tabel berikut ini.
Gain Frekuensi
ωC = 100 rad/s
ω=1 1<ω<100 ω>100
Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dB
Komponen 2 0 0 −20dB/dek
Total −14 dB −14 dB −14 dB −20dB/dek
20log(|K|/α)
+20dB/dek
ωC = α -40
-20
0
20
40
1
10
100
1000
10000
1E+05
1E+06
Gain [dB]
ω [rad/s]
a).
-45
0
45
90
1
10
100
1000
10000
1E+05
1E+06
ϕ [o]
ω [rad/s]
−45o/dek
0.1ωC 10ωC
θK
b).
θK+90o
20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Fungsi gain rangkaian kedua adalah:
2dB2
222
)100/(1log20)log(20)2.0log(20)(
)100/(1
2.0)(
100/1
2,0
100
20)(
ω+−ω+=ω⇒
ω+
ω=ω⇒
ω+
ω=
+ω
ω=ω
jT
jTj
j
j
jjT
Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian kedua terlihat
pada tabel berikut ini.
Gain Frekuensi
ωC = 100 rad/s
ω=1 1<ω<100 ω>100
Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dB
Komponen 2 0 20 dB/dek 40+20 dB/dek
Komponen 3 0 0 −20 dB/dek
Total −14 dB −14 dB +20 dB/dek 26 dB
Gambar tanggapan gain ke-dua rangkaian adalah sebagai
berikut.
-60
-40
-20
0
20
40
1
10
100
1000
10000
ω [rad/s]
Gain [dB]
(Rangkaian 1)
ωC
Komp-1 Komp-2
Gain
ω [rad/s]
-60
-40
-20
0
20
40
1
10
100
1000
10000
Gain [dB]
(Rangkaian 2)
Komp-2
Komp-1 Komp-3
Gain
21
6.3.3. Band-Pass Gain
Rangkaian dengan karakteristik band-pass gain dapat diperoleh
dengan menghubungkan secara bertingkat dua rangkaian orde
pertama dengan menjaga agar rangkaian yang di belakang (rangkaian
kedua) tidak membebani rangkaian di depannya (rangkaian pertama).
Rangkaian pertama mempunyai karakteristik high-pass gain
sedangkan rangkaian kedua mempunyai karakteristik low-pass gain.
Hubungan kaskade demikian ini akan mempunyai fungsi alih sesuai
kaidah rantai dan akan berbentuk
β+×
α+=×=
s
K
s
sKTTT 2121 (6.22)
( ) ( )
( ) ( )22
21
2121
/1 /1
/)(
/1/1
)()()(
βω+×αω+
ωαβ=ω⇒
βω+β×
αω+α
ω=
β+ω×
α+ω
ω=ω
KKjT
j
K
j
jK
j
K
j
jKjT
( )
)/(1log20)/(1log20
log20/log20)(
22
21dB
βω+−αω+−
ω+αβ=ω⇒ KKjT
Dengan membuat β >> α maka akan diperoleh karakteristik band-
pass gain dengan frekuensi cutoff ωC1 = α dan ωC2 = β. Sesungguhnya fungsi alih (6.22) berbentuk fungsi alih rangkaian
orde kedua. Kita akan melihat karakteristik band-pass gain
rangkaian orde ke-dua dalam bab berikut.
22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Daftar Pustaka
1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB
2002, ISBN 979-9299-54-3.
2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit Output Untuk
Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah”,
Monograf, 2005, limited publication.
3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, Catatan
Kuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.
4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan
Kualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008.
5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint, 1990,
ISBN 0-07-451899-2.
6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices and Systems”
; John Wiley & Son Inc, 5th ed, 1992.
7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : “Electric
Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2nd ed, 1992.
8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-Hall
International, Inc., 1992.
9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Design of
Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.
10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,
McGraw-Hill, 1999.
23
Daftar %otasi
v atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.
V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.
Vrr : tegangan, nilai rata-rata.
Vrms : tegangan, nilai efektif.
Vmaks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.
V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.
V : nilai mutlak fasor tegangan.
V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.
i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu.
I : arus dengan nilai tertentu, arus searah.
Irr : arus, nilai rata-rata.
Irms : arus, nilai efektif.
Imaks : arus, nilai maksimum, nilai puncak.
I : fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.
I : nilai mutlak fasor arus.
I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.
p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu.
prr : daya, nilai rata-rata.
S : daya kompleks.
|S| : daya kompleks, nilai mutlak.
P : daya nyata.
Q : daya reaktif.
q atau q(t) : muatan, fungsi waktu.
w : energi.
R : resistor; resistansi.
L : induktor; induktansi.
C : kapasitor; kapasitansi.
Z : impedansi.
Y : admitansi.
TV (s) : fungsi alih tegangan.
TI (s) : fungsi alih arus.
TY (s) : admitansi alih.
TZ (s) : impedansi alih.
µ : gain tegangan.
β : gain arus.
r : resistansi alih, transresistance.
g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance.