AnalisisSinusoida

Oleh : Danny Kurnianto

Disampaikan oleh : Risa Farrid Christianti

Sekolah Tinggi Teknologi Telematika Telkom Purwokerto

1. Fungsi Pemaksa Sinusoida

1.1 Karakteristik sinusoida

Kita tinjau sebuah tegangan secara sinusoida .

……………(1)

Dari persamaan (1) diatas, bisa di dapatkan amplitudo

gelombang sinus (Vm), kecepatan sudut (), nilai puncak-

puncak (Vp-p), periode (T), dan frekuensi (f).

tVtv m sin)(

Keterangan :

Amplitudo maksimum = Vm

Kecepatan sudut = rad/s (2f rad/s)

Nilai puncak-puncak = Vp-p (2Vm)

Periode = T detik (2/ detik)

Frekuensi = f Hz (/2 Hz)

Hubungan antara frekuensi dengan kecepatan sudut

adalah :

………….(2)f 2V(t)

wt0 2

Gambar 1.

Perhatikan gambar dibawah ini

Vm sin t digambarkan sebagai fungsi t, dan jelas sekali

terlihat pada Gambar 1 bahwa terlihat sifat periodik dari

gelombang sinus.

Fungsi ini berulang setiap 2 radian.

Sekarang perhatikanlah persamaan gelombang sinus

berikut ini:

…………..(3)

Persamaan (3) digambarkan dalam Gambar 2 sebagai

fungsi t, dan sudut fase () muncul sbg jumlah radian dg

gelombang sinus yg semula .

)sin()( tVtv m

V(t)

wt

tVm sin

tVm sin

Vm

-Vm

2

Gambar 2.

Bisa dikatakan bahwa

mendahului sebesar terhadap

)sin( tVm

)sin( tVm

Diagram fasor dari gambar gelombang sinus pada Gambar

2 adalah

Gambar 2.a

Gambar 2.b.

Pada Gambar 2.b, bisa dikatakan

bahwa

gel sinus Y4 tertinggal sebesar dari Y3

Secara umum, jika dua gelombang sinusoida yang akan

dibandingkan fasenya, maka keduanya harus ditulis

sebagai gelombang sinus atau cosinus; kedua gelombang

harus ditulis dengan amplitudo positif; dan masing-masing

harus mempunyai frekuensi yang sama.

Bisa dikatakan bahwa v1 terbelakang/tertinggal dari v2

sebesar 130 derajat

)305sin( 0

11 tVv m

)1005sin( 0

22 tVv m

Contoh soal :

1. Sebuah tegangan sinusoida diberikan oleh

v = 282,8 sin 314t volt. Tentukan nilai

puncaknya/amplitudonya, tentukan nilai tegangan rms,

berapa frekuensinya, nilai tegangan saat t = 4ms.

Jawab :

a.) dari v = 282,8 sin 314t volt, maka kita tahu bahwa nilai

puncaknya Vm = 282,8 Volt.

b.) tegangan rms (Vrms) = 0,707 x Vm

= 0,707 x 282,8

= 200 V

c.) dari v = 282,8 sin 314t volt, kita dapatkan nilai kecepatan

sudut = 314 rad/s, dengan rumus = 2f maka f = /

2

f = 314 / 2 = 50 Hz.

d.) Nilai tegangan saat t = 4ms,

v = 282,8 sin 314(4ms)

v = 6,198 Volt.

2. Sebuah tegangan sinusoida (v), mempunyai perioda T =

0,01 s dan tegangan puncak Vm = 40 V, saat t = 0 maka

tegangan v = -20 V. Tuliskan ekpresi dari tegangan sinusoida

dalam bentuk v = Vm sin (t )?

Jawab :

Vm = 40 V

= 2 / T = 2/0,01

= 200 rad/s

Saat t = 0 , maka -20 = 40 sin , sin = -0,5

01 305,0sin

Karena masih dalam sudut, maka kitaubah

ke dalam radian= -30 x (/180)= -/6 rads

Jadi bentuk gelombang tegangansinusoidanya menjadi :V= 40 sin (200t - /6) Volt

1.2 Respon paksaan dari fungsi sinusoida

Respon keadaan tunak (steady state) digunakan untuk

menyebut respon paksaan.

Kita tinjau sekarang sebuah rangkaian RL seri sederhana

seperti pada Gambar 3.

Gambar 3

Tegangan sumber sinusoida (vs) pada gambar 3 diatas

telah lama dihubungkan ke rangkaian, sehingga respon

alamiah telah lenyap sama sekali.

Sekarang tinggal mencari respon paksaan yang harus

memenuhi persamaan diferensial berikut ini:

…….(4)

Respon paksaan harus memenuhi bentuk umum:

…….(5)

tVRidt

diL m cos

tItIti sincos)( 21

Atau dengan diketahui nilai I1 dan I2 sbb:

……………….(6)

……………….(7)

Maka didapat respon paksaan sbb :

……(8)

2221LR

RVI m

2222LR

LVI m

tLR

LVt

LR

RVti mm

sincos)(

222222

Tetapi, respon pada persamaan (8) diatas agak rumit,

akan lebih mudah dan jelas jika respon paksaan

dinyatakan sebagai respon sinusoida atau cosinus tunggal

dengan sudut fase.

Respon paksaan dengan sinusoida tunggal dg sudut fase

diberikan oleh permasaan 9 dibawah ini.

…………..(9))cos()( tAti

Dengan mendapatkan nilai dan A sbb:

…………………(10)

…………………(11)

Sehingga bentuk lain dari respon paksaan adalah :

…….(12)

R

L 1tan

222 LR

VA m

)tancos()( 1

222 R

Lt

LR

Vmti

2. Konsep fasor

Arus atau tegangan sinusoida pada suatu frekuensi yg

diketahui disifatkan oleh hanya dua parameter, yaitu

amplitudo dan sudut fase.

Kita lihat contoh berikut ini, sebuah arus sinusoida riil

ditransformasikan ke dalam fasor.

Arus sinusoida riil :

Dinyatakan sbg bagian riil bilangan komplek oleh

identitias Euler :

)cos()( tIti m

)Re()( )( tj

meIti

Kemudian lakukan penyederhanaan dengan

menghilangkan faktor Re dan menambahkan

komponen imajiner sehingga menjadi

jmeII

Dan menuliskan hasil tersebut ke bentuk polar

(bentuk fasor) :

mII

i(t) adalah representasi daerah waktu sedangkan fasor I

sebagai representasi daerah frekuensi.

Langkah-langkah untuk mengubah i(t) ke dalam I dinamai

transformasi fasor dari waktu ke daerah frekuensi:

1. Diberikan fungsi sinusoida i(t) di dalam daerah waktu, tuliskan i(t) sbg

cosinus dg sudut fase.

2. Nyatakan cosinus sbg bagian riil kuantitas komplek dg menggunakan

identitas Euler.

3. Hilangkan Re.

4. Tekantje

Contoh :

Tranformasikan tegangan v(t) berikut ini ke dalam fasor.

Dengan mengambil bagian riil dari representasi

kompleknya:

dan membuang Re dan menekan

)30400cos(100)( ttv

)100Re()( )30400( tjetv

tje

30100 V

Langkah-langkah tranformasi dari daerah frekuensi (fasor)

ke daerah waktu adalh sbb:

1. Diberikan arus fasor I dlm bentuk polar dalam daerah

frekuensi.

2. Sisipkan kembali (kalikan dengan ) faktor

3. Ganti operator bagian riil Re.

4. Dapatkan representasi daerah waktu dg identitas Euler.

tje

Contoh :

Ubahlah fasor (I) berikut ke daerah waktu i(t)?

Maka kita bisa langsung menuliskan ke daerah waktu :

atau jika ditulis dalam bentuk sinus adl:

045115 I

)45cos(115)( 0 ttv

)45sin(115)( 0 ttv

SEKIAN