analisis perancangan percobaan 2 (stk323) · ar y 1 2.. abr y ar y jkb b j j ... yang bersesuaian,...

ANALISIS PERANCANGAN

PERCOBAAN 2

MATERI 3:

KONSEP NILAI HARAPAN

KUADRAT TENGAH

Pengantar

Salah satu komponen penting dalam perancangan

percobaan adalah analisis ragam (anova)

Komponen utama dalam menyusun analisis ragam

meliputi:

Jumlah kuadrat untuk setiap komponen dalam model

Derajat bebas untuk setiap komponen dalam model

Uji statistik, yang diturunkan berdasarkan Nilai harapan

kuadrat tengah

Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat

Aturan 1 Komponen error dalam model, ijk…m, dituliskan (ijk…)m,

dimana m merupakan indeks ulangan. Misal dalam rancangan dua faktor, komponen error dituliskan (ij)k.

Aturan 2 Disamping komponen rataan umum (µ) dan error ((ijk…)m),

model juga memuat semua pengaruh utama dan semua interaksi yang diasumsikan ada oleh peneliti. Jika semua interaksi yang mungkin diantara k faktor ada maka ada sebanyak C5

2 interaksi dua faktor, sebanyak C53 interaksi tiga

faktor, …., 1 interaksi k faktor. Jika ada komponen dalam tanda kurung maka tidak ada interaksi antara faktor tersebut dengan faktor yang lain dalam konteks tersebut.


(Lanjutan)

Aturan 3

Untuk setiap komponen dalam model dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu:

Indeks Hidup, yaitu indeks yang ada dalam suatu komponen dan ditulis bukan dalam tanda kurung

Indeks Mati, yaitu indeks yang ada dalam suatu komponen dan ditulis dalam tanda kurung

Absen, yaitu indeks yang tidak ada dalam suatu komponen

Contoh ()ij, i dan j termasuk indeks hidup dan k absen; (ij)k, k adalah indeks hidup sedangkan i dan j indeks mati


(Lanjutan)

Aturan 4

Derajat bebas untuk setiap komponen dalam model

adalah hasil kali dari jumlah taraf setiap indeks mati

dan jumlah taraf minus satu setiap indeks hidup.

Contoh derajat bebas dari komponen()ij adalah (a-

1)(b-1); derajat bebas dari (ij)k adalah ab(r-1)


(Lanjutan)

Aturan 5

Untuk memperoleh jumlah kuadrat untuk setiap pengaruh,

pertama jabarkan derajat bebasnya. Misal untuk pengaruh j

derajat bebasnya b-1. Setiap komponen dalam besaran

tersebut merupakan bentuk simbolik dari jumlah kuadrat

tidak terkoreksi.

Selanjutnya lakukan prosedur berikut:

Simbol 1 merepresentasikan faktor koreksi, yaitu:

rab

ya

i

b

j

r

m

mijk

...

)...(

11 1 1

2

...)(


(Lanjutan) Susun notasi penjumlahan sehingga huruf

yang diinginkan (misal dalam konteks ini

adalah b) ditulis paling pertama,

selanjutnya diikuti oleh komponen yang

lain dalam tanda kurung. Sehingga untuk

b diperoleh:

Jumlah dalam tanda kurung tulis dalam

notasi “indeks titik (dot subscript)”,

dimana titik menggantikan jumlah dari

indeks yang digantikan. Sehingga

b

j

a

i

r

k

kijy1 1 1

)(

b

j

jy1

..


(Lanjutan)

Selanjutnya kuadratkan komponen dalam

tanda kurung dan dibagi dengan hasil kali

dari jumlah taraf dari indeks “titik”. Misal

simbol b menjadi

Dengan demikian jumlah kuadrat untuk

pengaruh j yaitu gantikan simbol b-1

dengan bentuk jumlah kuadratnya,

sebagai berikut:

b

j

j

ar

y

1

2

..

abr

y

ar

yJKB

b

j

j2

...

1

2

..

Carilah jumlah kuadrat interaksi ()ij, derajat bebas,

(a-1)(b-1)=ab-a-b+1

abr

y

ar

y

br

y

r

y

JKAB

r

y

r

y

ab

ar

y

ar

y

b

br

y

br

y

a

abr

y

abr

y

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

ij

a

i

b

j

ij

a

i

b

j

r

k

ijk

b

j

j

b

j

a

i

r

k

ijk

a

i

i

a

i

b

j

r

k

ijk

a

i

b

j

r

k

ijk

2

...1

2

..

1

2

..1 1

2

.

1 1

2

.

1 1

2

1

1

2

..

1

2

1 1

1

2

..1

2

1 1

2

...

2

1 1 11

Simbol 1,

Simbol a

Simbol b

Simbol ab

Jumlah kuadrat interaksi A

dan B (JKAB)

Latihan

Perhatikan percobaan Faktorial RAL yang

melibatkan 3 faktor dan r ulangan.

Tuliskan model liniernya

Uraikan derajat bebas untuk setiap pengaruh yang

ada dalam model

Uraikan jumlah kuadrat untuk setiap pengaruh yang

ada dalam model

Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah

Nilai harapan kuadrat tengah memainkan peranan penting dalam analisis ragam

Nilai harapan kuadrat tengah menentukan statistik uji untuk menguji hipotesis setiap parameter dalam model

Uji statistik merupakan rasio nilai harapan kuadrat tengah pembilang (numerator) dengan nilai harapan kuadrat tengah penyebut (denominator)


(Lanjutan)

Aturan 1

Hubungkan setiap pengaruh dengan suatu komponen ragam (pengaruh acak) atau suatu faktor tetap (pengaruh tetap). Jika interaksi mengandung minimal satu pengaruh acak maka interaksi dianggap acak. Misal untuk model campuran dengan A tetap dan B acak, maka komponen ragam dari B adalah

2, komponen ragam dari interaksi AB adalah 2,

sedangkan untuk faktor tetap A direpresentasikan sebagai jumlah kuadrat pengaruh dibagi dengan derajat bebas i

2/(a-1).


(Lanjutan)

Aturan 2

Buat tabel dua arah, barisnya

adalah komponen-komponen

dalam model sedangkan

kolomnya adalah sifat masing-

masing faktor (F faktor tetap

dan R faktor acak), jumlah taraf

setiap faktor dan indeksnya.

Ulangan selalu dianggap acak.

Perhatikan model campuran

sebelumnya A tetap dan B

Acak

F R R

a b r

i j k

i

j

()ij

(ij)k

Nilai harapan kuadrat tengah dapat dicari sebagai berikut:

Pada setiap baris, tulis angka 1 untuk setiap indeks mati pada setiap kolom yang indeksnya berpadanan.

Pada setiap baris, jika indeks pada komponen baris berpadanan dengan indeks kolom, tulis 0 jika kolomnya merupakan faktor tetap dan tulis 1 jika kolomnya merupakan faktor acak

Pada setiap baris yang kosong, tulis jumlah taraf sesuai dengan judul kolom yang bersesuaian.

Nilai harapan kuadrat tengah untuk setiap komponen dalam model, langkah pertama perhatikan semua kolom yang berindeks hidup. Selanjutnya, untuk setiap baris yang berisi paling sedikit satu indeks yang bersesuaian, ambil hasil kali unsur sel yang visible dengan faktor acak atau tetap menurut aturan 1. Jumlah besaran ini merupakan nilai harapan kuadrat tengah dari komponen model.

Kita kembali lihat ilustrasi sebelumnya, A tetap dan B acak

F R R

a b r

i j k

i 0 b r

j a 1 r

()ij 0 1 r

(ij)k 1 1 1

Ilustrasi carilah:

E(KTA) perhatikan

indeks i ada pada baris i,

()ij dan (ij)k.

Sedangkan hasil kali

bilangan visible –nya

adalah br, r dan 1.

Dengan demikian nilai

harapannya adalah:

1)( 1

2

22

abrrKTAE

a

i

i

Nilai Harapan Kuadrat Tengah –

A Tetap dan B Acak—Tabel 1

F R R Nilai Harapan

Kuadrat Tengah

a b r

i j k

i 0 b r

j a 1 r

()ij 0 1 r

(ij)k 1 1 1 2

22

ar

22

r

1

2

22

a

brr

i

Pendekatan Lain: Aturan NHKT

Aturan 1

Perhatikan Model linearnya.

Komponen galat selalu diasumsikan komponen acak.

k-keulangan dan j-ke yang B i,-ke yangA faktor kombinasidengan petak digalat atau acak parameter

j-ke yang Bfaktor dengan i-ke yangA faktor interaksiparameter

jke yang Bfaktor parameter

i-ke yangA faktor parameter

tengahnilaiparameter

k-keulangan dan j-ke yang B i,-ke yangA faktor kombinasidengan petak pada pengamatan

..2,1,...2,1,...2,1,

ij(k)

)(

ij

j

ijk

kijijjiijk

Y

nkbjaiY

Aturan NHKT (Lanjutan)

Aturan 2

Interaksi antara dua faktor/pengaruh atau lebih: jika

interaksi mengandung minimal satu pengaruh/faktor

acak maka interaksi dianggap acak.

Misal untuk model campuran dengan A tetap dan B

acak, maka

faktor B, acak, 2,

interaksi AB, acak, salah satunya acak, 2

sedangkan untuk faktor tetap A direpresentasikan sebagai

jumlah kuadrat pengaruh dibagi dengan derajat bebas

i2/(a-1).


Aturan 3

NHKT dari setiap komponen mengandung unsur:

1. Ragam galat

2. Ragam „diri‟ bila faktornya acak atau jumlah kuadrat „diri‟ bila

faktornya tetap

3. Ragam interaksi „diri‟ dengan faktor-faktor lain yang acak

Dari model pada Aturan 1, misalkan faktor A tetap, faktor

B acak, maka

NHKT untuk komponen A akan mengandung:

1. Ragam Galat

2. Jumlah kuadrat A, karena faktor A tetap

3. Ragam interaksi AB, karena faktor B acak

NHKT untuk komponen B akan mengandung:

1. Ragam Galat

2. Ragam B


Aturan 4

Koefisien Unsur NHKT dari setiap komponen 1. Koefisien Unsur ragam galat selalu 1.

2. Koefisien Unsur lainnya didapatkan dari hasil perkalian setiap taraf dari indek absen

Untuk contoh di aturan 3, maka koefisennya sbb: 1. Unsur Ragam Galat, 1

2. Unsur Jumlah Kuadrat A, , indeks absen jk, jadi bn

3. Unsur Ragam interaksi AB, , indeks absen k, jadi n

Jadi NHKT komponen A atau NHKT(A) atau E(KTA) adalah

i

1

2

22

a

bnn

i

ij

Latihan

Susunlah E(KT) untuk :

Dua Faktor : A dan B merupakan faktor tetap

Dua Faktor : A dan B merupakan faktor acak

Dua Faktor : A faktor acak dan B faktor tetap


A dan B Faktor Tetap—Tabel 2

F F R Nilai Harapan

Kuadrat Tengah

a b r

i j k

i 0 b r

j a 0 r

()ij 0 0 r

(ij)k 1 1 1 2

1

2

2

a

br i

1

2

2

b

ar i

)1)(1(

)( 2

2

ba

r ij


A dan B Faktor Acak—Tabel 3

F R R Nilai Harapan

Kuadrat Tengah

a b r

i j k

i 1 b r

j a 1 r

()ij 1 1 r

(ij)k 1 1 1 2

222

brr

222

arr

22

r

F Tests

Dalam menentukan statistika uji F menyesuaikan

dengan struktur nilai harapan kuadrat tengahnya.

Sebagai contoh : percobaan dua faktor dengan A

adalah faktor tetap dan B adalah faktor acak.

Maka untuk menguji pengaruh faktor A, Fhit

merupakan rasio antara KTA/KTAB

Sedangkan untuk menguji keragaman dari faktor

B, Fhit merupakan rasio antara KTB/KTG

ANOVA Percobaan 2 faktor

A Tetap dan B Acak – Tabel 4 Sumber

keragaman

db JK KT E(KT) Fhit

i a-1 JKA KTA KTA/KTAB

j b-1 JKB KTB KTB/KTG

ij (a-1)(b-1) JKAB KTAB KTAB/KTG

(ij)k ab(r-1) JKG KTG 2

y(ij)k abr-1 JKT

1

2

22

a

brr

i

22

ar

22

r

Pendugaan Parameter

Pendugaan bagi :

2 diduga dengan KTG

E(KTB) = 2 + ar 2

= (KTB – KTG) / ar

Pendugaan bagi

E(KTAB) = 2 + r 2

= (KTAB – KTG)/r

2ˆ

2ˆ

2ˆ

2ˆ

Percobaan Tiga Faktor

Dalam percobaan

mixed model atau

random model untuk

tiga faktor

memerlukan

penguraian komponen

interaksi yang lebih

kompleks

Misalkan percobaan

acak tiga faktor

Faktor E(KT)

i 2 + cn2 + bn2

+ n2 + bcn2

j 2 + cn2 + an2

+ n2 + acn2

k 2 + bn2 + an2

+ n2 + abn2

ij 2 + n2 + cn2

ik 2 + n2 + bn2

jk 2 + n2 + an2

ijk 2 + n2

ijkl 2

Approximate F test

ssrr

sr

dbKTdbKT

KTKTp

/.../

)...( 2

vvuu

vu

dbKTdbKT

KTKTq

/.../

)...( 2

Menggunakan Metode Satterthwaite

merupakan kombinasi linear dari kuadrat tengah

Misal : KT‟ = KTr + … + KTs

KT‟‟ = KTu + … + KTv

Fhit = KT‟ / KT‟‟ dengan db (p,q)

Misal dilakukan pengujian terhadap :

H0 : 2 = 0

KT „ = KTA + KTABC

KT‟‟ = KTAB + KTAC

Fhit = (KTA + KTABC)/(KTAB + KTAC)

dengan db1 = p dan db2 = q

Latihan

Carilah pendekatan ujinya untuk menguji hipotesis

berikut:

H0 : 2 = 0

H0 : 2 = 0

H0 : 2 = 0

H0 : 2 = 0

Carilah E(KT) dan pendekatan ujinya dari percobaan

berikut:

Tiga faktor: A dan B acak serta C tetap

Tiga faktor: A dan B tetap serta C acak

analisis perancangan percobaan 2 (stk323) · ar y 1 2.. abr y ar y jkb b j j ... yang bersesuaian,...

Documents