ANALISIS ALIRAN DAN PERPINDAHAN PANAS FLUIDA SISKO DALAM KEADAAN STEDI

NURI ANGGI NIRMALASARI

1207 100 017

BAB I PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

BATASAN MASALAH

TUJUAN

MANFAAT

RUMUSAN MASALAH

LATAR BELAKANG

Fluida Sisko digunakan dalam bidang industri dan teknik

Fluida Sisko merupakan fluida non-Newtonian

Sulit memprediksi perilaku fluida tersebut

Menentukan model matematika dari kecepatan aliran dan perpindahan panasnya

Menganalisis bagaimana profil kecepatan aliran dan perpindahan panas berdasarkan grafik

Menampilkan penyelesaian yang didapat dalam bentuk grafik

Menyelesaikan kedua model matematika tersebut secara numerik

RUMUSAN MASALAH

visualisasi profil kecepatan dan

perpindahan panas fluida sisko didalam pipa dalam

bentuk grafik.

Bagaimana penyelesaian numerik dari model

matematika kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

pipa

Bagaimana model matematika dari kecepatan

aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

pipa

BATASAN MASALAH

Tipe aliran fluida sisko yang mengalir dalam pipa adalah seragam stedi.

Model matematika dari permasalahan tersebut diselesaikan secara numerik dengan metode beda hingga pusat.

Diasumsikan pipa yang digunakan adalah pipa lurus dengan panjang (L).

Penampang pipa berupa silinder dengan diameter (D)

Luas penampang pipa adalah konstan

TUJUAN

visualisasi profil kecepatan dan

perpindahan panas fluida sisko didalam pipa dalam

bentuk grafik.

Menyelesaikan model matematika kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

pipa secara numerik

Menurunkan model matematika dari kecepatan

aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

pipa

MANFAAT

diharapkan dapat memberikan informasi tentang profil kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam pipa sehingga dapat digunakan sebagai bahan pengetahuan untuk mengembangkan aplikasinya

untuk mengetahui bagaimana peran metode beda hingga dalam menyelesaikan masalah yang terjadi di bidang teknik

BAGI BIDANG TEKNIK DAN INDUSTRI

BAGI BIDANG MATEMATIKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Fluida merupakan zat yang berubah bentuk secara kontinu, bila terkena tegangan geser. Fluida terdiri dari 2 macam yaitu fluida cair ( tak mampu-mampat) dan fluida gas (mampu-mampat). Pada fluida cair terdapat viskositas, yaitu sifat dari fluida untuk melawan tegangan geser pada waktu mengalir.

Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser dan lau regangan geser (gradien kecepatan) dapat dikaitkan dalam suatu hubungan sebagai berikut, (Munson, 2004):

•

dimana : 𝜏 = tegangan geser

𝜇 = kekentalan (viskositas)

𝛾 = laju regangan geser

FLUIDA

𝜏 = 𝜇𝛾

Karakteristik Fluida

Fluida Cair

Non-Newtonian

Newtonian

Shear tickening

Bingham plastic Shear

thinning

𝜏 >,𝜇 >

𝜏 >,𝜇 <

𝜏 = 𝜇𝛾 𝜏 = 𝜇𝛾 +a

Fluida Sisko

Fluida Sisko termasuk dalam karakteristik Bingham Plastic, yang pada beberapa kasus dialirkan dalam pipa annulus, yaitu pipa yang terdiri dari pipa luar dan pipa dalam dengan pusat jari-jari adalah sama. Tensor teganga fluida sisko sbb (M.Khan, 2010):

dengan 𝑆 = 𝑎 + 𝑏1

2𝑡𝑟 𝐴1

2

𝑛−1

𝐴1

𝐴1 = 𝐿 + 𝐿𝑇, 𝐿 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

Dimana:

𝑻 : Tensor tegangan 𝑝 ∶ tekanan 𝑺 ∶ tegangan geser pada fluida sisko

a, b : Parameter material

n : Power index, termasuk sebagai parameter material

𝑉 : Kecepatan, 𝑉=v(r)

T : Temperatur, T=T(r)

𝑻 = −𝑝𝑰 + 𝑺

Koordinat Polar

Tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat 𝑟, 𝜃 dan 𝑧.

𝑟 = jarak radial dari sumbu- 𝑧

𝜃 = sudut yang diukur dari garis sejajar sumbu- x

𝑧 = koordinat sepanjang sumbu-z

Misal pada kecepatan, komponen-komponennya adalah:

𝑣𝑟 = kecepatan radial

𝑣𝜃 = kecepatan tangensial

𝑣𝑧 = kecepatan aksial

Sehingga kecepatan pada sebuah titik, dinyatakan:

Dimana:

𝒆 𝒓 = vektor arah 𝒓

𝒆 𝜽 = vektor arah 𝜽

𝒆 𝒛 = vektor arah 𝒛

𝑽 = 𝒗𝒓𝒆 𝒓 + 𝒗𝜽𝒆 𝜽 + 𝒗𝒛𝒆 𝒛

Persamaan Kontinuitas

Hukum kekekalan massa:

Dimana:

• 𝜌 : kerapatan fluida

• 𝑉 : komponen kecepatan fluida yang tegak lurus bidang 𝐴

Pada aliran steady state

Dalam keadaan steady 𝜌. 𝐴𝑉. 𝑛 = 0

𝛻. 𝜌. 𝐴𝑉. 𝑛 = 𝛻. 0

𝛻. 𝑉 = 0 ………..Persamaan kontinuitas

Dalam koordinat polar silinder:

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑑∀ + 𝜌.𝐴𝑉. 𝑛 = 0

1

𝑟

𝜕(𝑟𝑣𝑟)

𝜕𝑟+

1

𝑟

𝜕𝑣𝜃

𝜕𝜃+

𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑧=0

Persamaan Momentum Linier

Berdasarkan pergerakan fluida, dijelask+an oleh persamaan Navier-Stokes, yaitu:

𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝛻. 𝑻

Pada fluida Newtonian yang mengalir dalam pipa pada arah-z (sejajar dinding), persamaan diatas menjadi:

ρ𝜕𝑣𝑧𝜕𝑡

+𝑣𝑟𝜕𝑣𝑧𝜕𝑟

+𝑣𝜃𝑟

𝜕𝑣𝜃𝜕𝜃

+𝑣𝑧𝜕𝑣𝑧𝜕𝑧

= −𝜕𝑝

𝜕𝑧+ ρ𝑔 + 𝜇

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟𝜕𝑣𝑧𝜕𝑟

+1

𝑟2𝜕2𝑣𝑧𝜕𝜃2

+𝜕2𝑣𝑧𝜕𝑧2

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑉 𝑑∀ + 𝜌.𝐴𝑉2. 𝑛 = 𝑔𝑎𝑦𝑎 − 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎

Aliran fluida dalam pipa annulus

Kecepatan aliran dalam pipa diasumsikan sebagai berikut:

Aliran sejajar dengan dinding sehingga 𝑣𝑟 = 0 dan 𝑣𝜃 = 0 akibatnya 𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑧= 0

(berdasarkan persamaan kontinuitas). Selain itu pada keadaan steady 𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑡 =0,

dengan demikian persamaan Navier-Stokes menjadi:

Dengan kondisi batas

𝑣𝑧 = 0 pada 𝑟 = 𝑟0

𝑣𝑧 = 𝑣1 pada 𝑟 = 𝑟1

Dimana :

𝑟0 adalah jari-jari silinder dalam

𝑣1 dan 𝑟1merupakan kecepatan dan jari-jari silinder luar

0 = −𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜇

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟𝜕𝑣𝑧𝜕𝑟

Persamaan Distribusi Panas pada aliran fluida

Persamaan secara umum (Lienhard, 2005):

Sedangkan pada fluida sisko dinyatakan sebagai berikut:

Dimana:

• 𝜌 adalah densitas,

• 𝐶𝑝 adalah kapasitas panas pada tekanan konstan,

• 𝑞 adalah fluks panas yang persamaannya ditentukan sebagai berikut:

𝑞 = −𝑘 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇

𝜌𝐶𝑝𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝛻. 𝑘𝛻𝑇 + 𝑞

𝜌𝐶𝑝𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝑻. 𝑳 − 𝑑𝑖𝑣 𝑞

Metode Beda Hingga

Deret Taylor:

• 𝑢(𝑥0 + ℎ) = 𝑢 𝑥0 + ℎ. 𝑢 𝑥0 +ℎ2

2!𝑢 𝑥0 + …+

ℎ𝑛

𝑛!𝑢 𝑥0 + 𝑅𝑛

• 𝑢 𝑥0 − ℎ = 𝑢 𝑥0 − ℎ. 𝑢 𝑥0 +ℎ2

2!𝑢 𝑥0 −⋯+

ℎ𝑛

𝑛!𝑢 𝑥0 + 𝑅𝑛

Didapat pendekatan turunan pertama metode beda hingga pusat:

Pendkatan turunan kedua:

𝑑𝑢 𝑥0𝑑𝑥

≈𝑢 𝑥0 + ℎ − 𝑢 𝑥0 − ℎ

2ℎ

𝑑𝑢2 𝑥0𝑑𝑥2

≈𝑢 𝑥0 + ℎ − 2𝑢 𝑥0 + 𝑢 𝑥0 − ℎ

ℎ2

BAB III PROSEDUR KERJA

Studi Literatur

Model kecepatan aliran Model perpindahan panas

Persamaan diferensial, n=1

Didapat kecepatan

secara numerik

Persamaan diferensial, n=0

Persamaan diferensial, n=1

Persamaan diferensial, n=0

Didapat temperatur

secara numerik

Didapat temperatur

secara numerik

Didapat kecepatan

secara numerik

Setiap penyelesaian divisualisasikan dalam bentuk grafik

Analisis profil kecepatan berdasarkan nilai b yang

bervariasi

Analisis distribusi temperatur berdasarkan

nilai b dan Br yang bervariasi

Membandingkan profil kecepatan dan distribusi temperatur antara Fluida Sisko

dan Fluida Newtonian

BAB IV PEMODELAN DAN PENYELESAIAN

NUMERIK

• Model didapat dengan menurunkan persamaan kontinuitas, momentum linier, dan perpindahan panas yang dipengaruhi oleh gradient kecepatan dan gaya-gaya pada fluida sisko

4.1 Model

kecepatan aliran

Persamaan aliran dalam pipa

0 = −𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜇

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑟

𝜕𝑝

𝜕𝑧=

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟. 𝜇

𝜕𝑣𝑧𝜕𝑟

𝜕𝑝

𝜕𝑧=1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑟𝑺𝑟𝑧

𝜇𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑟= 𝜏𝑟𝑧 (tegangan

geser fluida newtonian)

𝑺𝑟𝑧 (tegangan geser fluida sisko)

𝑑𝑝

𝑑𝑧 : gradient kecepatan

𝑟 : jari-jari penampang pipa

𝑎, 𝑏 : parameter material

𝑣 : fungsi kecepatan terhadap jari-jari

𝑑𝑝 =𝜕𝑝

𝜕𝑟𝑑𝑟 +

1

𝑟

𝜕𝑝

𝜕𝜃𝑑𝜃 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧 Dimana,

𝜕𝑝

𝜕𝑟=

𝜕𝑝

𝜕𝜃= 0, sehingga

𝑑𝑝

𝑑𝑧=𝜕𝑝

𝜕𝑧

Persamaan Kecepatan Aliran : 𝑑𝑝

𝑑𝑧=1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑟𝑺 dengan

𝑺 = 𝑎 + 𝑏𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑛−1𝑑𝑣

𝑑𝑟

Persamaan diferensial Kecepatan Aliran fluida sisko

𝑑𝑝

𝑑𝑧=1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑟 𝑎 + 𝑏

𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑛−1𝑑𝑣

𝑑𝑟

Dimana :

4.2 Model

Distribusi panas

Persamaan Distribusi Panas:

𝜌𝐶𝑝𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑻. 𝑳 − 𝑑𝑖𝑣 𝑞

𝜌𝐶𝑝𝑑𝑇

𝑑𝑡= (−𝑝𝑰 + 𝑺).

𝑑𝑣

𝑑𝑟+ 𝑘 𝛻2𝑇

𝑞 = −𝑘 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝑻 = −𝑝𝑰 + 𝑺 𝐿 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

(−𝑝𝑰 + 𝑺).𝑑𝑣

𝑑𝑟+ 𝑘 𝛻2𝑇= 0

Steady

Persamaan diferensial Distribusi panas fluida sisko

T=T(r)

𝑘

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑟𝑑𝑇

𝑑𝑟+ 𝑎 + 𝑏

𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑛−1𝑑𝑣

𝑑𝑟

2

= 0

Model Kecepatan aliran dan Perpindahan panas non-dimensional

• Variabel-variabel non-dimensional

𝑟∗ =𝑟

𝑟0, 𝑧∗ =

𝑧

𝑧0, 𝑣∗ =

𝑣

𝑣1, 𝑏∗ =

𝑏

𝑎

𝑣1𝑟0

𝑛−1

,

𝑝∗ =𝑝

𝑎𝑣1 𝑟0 , 𝑇∗ =

𝑇 − 𝑇0𝑇1 − 𝑇0

, 𝐸𝑐 =𝑣1

2

𝑐𝑝 𝑇0 − 𝑇1,

𝑃𝑟 =𝑎𝑐𝑝

𝑘 , 𝐵𝑟 = 𝑃𝑟𝐸𝑐

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑟𝑑𝑇

𝑑𝑟+ 𝐵𝑟 1 + 𝑏

𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑛−1𝑑𝑣

𝑑𝑟

2

= 0 𝑑𝑝

𝑑𝑧=

𝑑

𝑑𝑟1 + 𝑏

𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑛−1 𝑑𝑣

𝑑𝑟+ +

1

𝑟1 + 𝑏

𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑛−1 𝑑𝑣

𝑑𝑟

Model matematika Kecepatan aliran fluida sisko

Model matematika Distribusi panas fluida sisko

Penyelesaian Numerik model matematika kecepatan aliran

Akan dibandingkan bagaimana profil kecepatan dengan power index n=0 dan n=1

Dengan : 𝑟𝑖 = 1 + 𝑖∆𝑟, dimana ∆𝑟 = 𝑑 − 1 𝑁

Atau bisa ditulis

Didapat skema numerik untuk i= 1,2,3,…,N-1

Dengan:

𝑝 =1

2∆𝑟 dan 𝑞𝑖 =

1

1+𝑖∆𝑟

n=0 𝑑2𝑣

𝑑𝑟2+1

𝑟

𝑑𝑣

𝑑𝑟+𝑏

𝑟=𝑑𝑝

𝑑𝑧

Skema numerik dengan metode beda hingga pusat

𝑣𝑖+1 − 2𝑣𝑖 + 𝑣𝑖−1(∆𝑟)2

+1

𝑟𝑖

𝑣𝑖+1 + 𝑣𝑖−12∆𝑟

+𝑏

𝑟𝑖=𝑑𝑝

𝑑𝑧

1

∆𝑟2+

1

2(1 + 𝑖∆𝑟)∆𝑟𝑣𝑖+1 −

2

∆𝑟2𝑣𝑖 +

1

∆𝑟2−

1

2 1 + 𝑖∆𝑟 ∆𝑟𝑣𝑖−1 =

𝑑𝑝

𝑑𝑧− 𝑏. 𝑞𝑖

4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑖 𝑣𝑖+1 − 8𝑝2 𝑣𝑖 + 4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑖 𝑣𝑖−1 =𝑑𝑝

𝑑𝑧− 𝑏. 𝑞𝑖

Didapat matriks penyelesaian sebagai berikut:

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞2

4𝑝2 + 𝑝𝑞1− 8𝑝2

00

4𝑝2 − 𝑝𝑞30

⋱0

⋱0

04𝑝2 + 𝑝𝑞2

00

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞4

4𝑝2 + 𝑝𝑞3− 8𝑝2

⋱0

⋱0

00

…⋱

04𝑝2 + 𝑝𝑞4

⋱⋱

⋱0

⋱…

00

00

00

00

⋱4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑛−1

⋱− 8𝑝2

𝑣1𝑣2𝑣3𝑣4⋮

𝑣𝑛−1

=

𝑑𝑝/𝑑𝑧𝑑𝑝/𝑑𝑧𝑑𝑝/𝑑𝑧𝑑𝑝/𝑑𝑧

⋮𝑑𝑝/𝑑𝑧 − 4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑛−1

− 𝑏

𝑞1𝑞2𝑞3𝑞4⋮

𝑞𝑛−1

Dengan cara dan definisi yang sama dengan yang dikenakan pada n=0, didapat skema numerik :

Dan dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

•

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞2

4𝑝2 + 𝑝𝑞1− 8𝑝2

00

4𝑝2 − 𝑝𝑞30

⋱0

⋱0

04𝑝2 + 𝑝𝑞2

00

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞4

4𝑝2 + 𝑝𝑞3− 8𝑝2

⋱0

⋱0

00

…⋱

04𝑝2 + 𝑝𝑞4

⋱⋱

⋱0

⋱…

00

00

00

00

⋱4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑛−1

⋱− 8𝑝2

𝑣1𝑣2𝑣3𝑣4⋮

𝑣𝑛−1

• =1

1+𝑏

𝑑𝑝/𝑑𝑧𝑑𝑝/𝑑𝑧𝑑𝑝/𝑑𝑧𝑑𝑝/𝑑𝑧

⋮𝑑𝑝/𝑑𝑧

−

0000⋮

4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑛−1

n=1 𝑑2𝑣

𝑑𝑟2+1

𝑟

𝑑𝑣

𝑑𝑟=

1

1 + 𝑏

𝑑𝑝

𝑑𝑧

4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑖 𝑣𝑖+1 − 8𝑝2 𝑣𝑖 + 4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑖 𝑣𝑖−1 =1

1 + 𝑏.𝑑𝑝

𝑑𝑧

Dengan 𝑣 bergantung pada penyelesaian sebelumnya, selanjutnya penyelesaian dalam bentuk matriks

•

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞2

4𝑝2 + 𝑝𝑞1− 8𝑝2

00

4𝑝2 − 𝑝𝑞30

⋱0

⋱0

04𝑝2 + 𝑝𝑞2

00

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞4

4𝑝2 + 𝑝𝑞3− 8𝑝2

⋱0

⋱0

00

…⋱

04𝑝2 + 𝑝𝑞4

⋱⋱

⋱0

⋱…

00

00

00

00

⋱4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑛−1

⋱− 8𝑝2

𝑇1𝑇2𝑇3𝑇4⋮

𝑇𝑛−1

• = −𝐵𝑟

𝑝(𝑣2)2

𝑝(𝑣3 − 𝑣1)2

𝑝(𝑣4 − 𝑣2)2

𝑝(𝑣5 − 𝑣3)2

⋮𝑝(1 − 𝑣𝑛−2)

2

− 𝐵𝑟 . 𝑏

𝑝(𝑣2)𝑝(𝑣3 − 𝑣1)𝑝(𝑣4 − 𝑣2)𝑝(𝑣5 − 𝑣3)

⋮𝑝(1 − 𝑣𝑛−2)

−

0000⋮

4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑛−1

Penyelesaian Numerik model matematika distribusi panas

n=0 1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑟𝑑𝑇

𝑑𝑟+ 𝐵𝑟

𝑑𝑣

𝑑𝑟+ 𝑏

𝑑𝑣

𝑑𝑟= 0

Skema numerik dengan metode beda hingga pusat, untuk i=1,2,3,…,N-1

4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑖 𝑇𝑖+1 − 8𝑝2 𝑇𝑖 + 4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑖 𝑇𝑖−1 =

− 𝐵𝑟𝑣𝑖+1−𝑣𝑖−1

2∆𝑟

2+ 𝑏

𝑣𝑖+1−𝑣𝑖−1

2∆𝑟

n=1

Skema numerik dengan metode beda hingga pusat, untuk i=1,2,3,…,N-1

𝑣 bergantung pada penyelesaian model kecepatan aliran untuk n=1, sehingga didapat matriks sebagai berikut:

•

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞2

4𝑝2 + 𝑝𝑞1− 8𝑝2

00

4𝑝2 − 𝑝𝑞30

⋱0

⋱0

04𝑝2 + 𝑝𝑞2

00

− 8𝑝2

4𝑝2 − 𝑝𝑞4

4𝑝2 + 𝑝𝑞3− 8𝑝2

⋱0

⋱0

00

…⋱

04𝑝2 + 𝑝𝑞4

⋱⋱

⋱0

⋱…

00

00

00

00

⋱4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑛−1

⋱− 8𝑝2

𝑇1𝑇2𝑇3𝑇4⋮

𝑇𝑛−1

• = −𝐵𝑟(1 + 𝑏)

𝑝(𝑣2)2

𝑝(𝑣3 − 𝑣1)2

𝑝(𝑣4 − 𝑣2)2

𝑝(𝑣5 − 𝑣3)2

⋮𝑝(1 − 𝑣𝑛−2)

2

−

0000⋮

4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑛−1

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑟𝑑𝑇

𝑑𝑟+ 𝐵𝑟 1 + 𝑏

𝑑𝑣

𝑑𝑟

2

= 0

4𝑝2 + 𝑝𝑞𝑖 𝑇𝑖+1 − 8𝑝2 𝑇𝑖 + 4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑖 𝑇𝑖−1

= −𝐵𝑟 1 + 𝑏𝑣𝑖+1 − 𝑣𝑖−1

2∆𝑟

2

BAB V VISUALISASI DAN PEMBAHASAN

Algoritma program:

• Mendefinisikan parameter-parameter yang dibutuhkan.

• Mendefinisiskan kondisi batas yang telah ditentukan pada bab 4.

• Memasukkan kondisi batas ke dalam skema numerik penyelesaian model matematika kecepatan aliran, yaitu persamaan .

• Skema numerik yang berupa matrik tridiagonal diselesaikan, sehingga didapat nilai kecepatan pada titik-titik sepanjang jari-jari pipa.

• Selanjutnya nilai kecepatan dimasukkan ke dalam skema numerik penyelesaian model matematika perpindahan panas yaitu persamaan

• Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan penyelesaian numerik dan penyelesaian eksak.

Grafik kecepatan aliran

Gradien tekanan 𝑑𝑝

𝑑𝑧= −0.4. dengan variasi parameter material 𝑏 = 0 untuk

fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

n=0

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

Pada gambar (5.2) terlihat kecepatan disekitar jari-jari masih belum mendekati satu, sedangkan pada gambar (5.3) kecepatan mendekati 1 pada jari-jari dsekitar 20

semakin besar nilai b maka kecepatan aliran fluida semakin besar

Grafik Kecepatan Aliran

Gradien tekanan 𝑑𝑝

𝑑𝑧= −0.4. dengan variasi parameter material 𝑏 = 0 untuk

fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

n=1

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

Berbeda dengan distribusi kecepatan dengan power index 𝑛 = 0, dari grafik dapat disimpulkan bahwa untuk power index 𝑛 = 1, kecepatan aliran pada fluida sisko lebih kecil dibandingkan fluida Newtonian, atau dengan kata lain semakin besar nilai b, maka kecepatan aliran semakin kecil

Grafik Distribusi Panas

Gradien tekanan 𝑑𝑝

𝑑𝑧= −0.4 dan bilangan Brinkman 1, dengan variasi

parameter material 𝑏 = 0 untuk fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

n=0

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

Dengan memberikan nilai parameter material yang berbeda-beda terlihat bahwa semakin besar nilai b yang diberikan maka distribusi temparatur semakin besar, yang berarti pada distribusi panas, temperatur fluida sisko lebih besar dari temperatur fluida Newtonian.

Grafik Distribusi Panas

Gradien tekanan 𝑑𝑝

𝑑𝑧= −0.4 dan bilangan Brinkman 1, dengan variasi

parameter material 𝑏 = 0 untuk fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

n=1

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

Dari grafik distribusi temperatur diatas terlihat bahwa gafik yang dihasilkan tidak berbeda dengan grafik distribusi temperatur untuk power index 𝑛 = 0, berbeda dengan distribusi kecepatan aliran, untuk distribusi panas dengan power index 𝑛 = 0 dan power index 𝑛 = 1, temperataur semakin tinggi untuk nilai parameter material b yang lebih besar.

Analisis distribusi panas berdasarkan bilangan Brinkman

Grafik distribusi panas, dengan variasi bilangan Brinkman:

Bilangan Brinkman merupakan bilangan yang mempengaruhi besarnya temperatur pada fluida. Dari grafik distribusi panas pada gambar diatas terlihat bahwa semakin besar bilangan Brinkman yang diberikan, maka temperatur fluida sisko semakin besar.

BAB VI SIMPULAN

Kesimpulan

𝐝

𝐝𝐫𝟏 + 𝐛

𝐝𝐰

𝐝𝐫

𝐧−𝟏𝐝𝐰

𝐝𝐫+𝟏

𝐫𝟏 + 𝐛

𝐝𝐰

𝐝𝐫

𝐧−𝟏𝐝𝐰

𝐝𝐫=𝐝𝐩

𝐝𝐳

Model Kecepatan Aliran

Model Perpindahan Panas

𝟏

𝒓

𝒅

𝒅𝒓𝒓𝒅𝑻

𝒅𝒓+ 𝑩𝒓 𝟏 + 𝒃

𝒅𝒘

𝒅𝒓

𝒏−𝟏𝒅𝒘

𝒅𝒓

𝟐

= 𝟎

Dari grafik disimpulkan bahwa

a. Untuk Power index n=0, kecepatan aliran fluida sisko lebih besar daripada fluida Newtonian, atau semakin besar nilai b, kecepatan semakin besar, begitu juga dengan temperatur.

b. Untuk power index n=1, semakin besar nilai parameter b, kecepatan aliran semakin kecil, namun temperatur semakin tinggi.

c. Semakin besar bilangan Brinkman yang diberikan, temparatur semakin tinggi

Saran

1. Pada Tugas Akhir ini analisis yang dilakukan menggunakan asumsi bahwa aliran fluida sisko dalam pipa annulus dalam keadaan steady, selanjutnya dapat dikembangkan penelitian untuk menganalisis profil kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam pipa dalam keadaan unsteady.

2. Tugas Akhir ini masih bersifat analitis pada tahap pemodelan dan numerik untuk penyelesaiannya, belum ada data laboraturium yang dipakai sebagai pembanding. Diharapkan kedepannya bisa dilakukan uji laboraturium sehingga model tersebut dapat diterapkan di lapangan.

.

DAFTAR PUSTAKA Abdia, Gunaidi. 2006. Matlab Programming. Bandung: Informatika

Alfijar, Julian. Mekanika Fluida II. http://alfijar.files.wordpress.com/2008/01/pertemuan- iii-dan-iii.ppt-Mirip. Diakses pada tanggal 1 Maret 2011 pukul 11.00 WIB.

Arhami, Muhammad dan Desiani, Anita. 2005. Pemrograman Matlab. Yogyakarta: ANDI.

Khan, M. et. al. 2010. Steady Flow and Heat Transfer of a Sisko Fluid In Annular Pipe. Journal of Heat and Mass Transfer. 53: 1290-1297. Departmen of Mathematics, Pakistan.

Lienhard IV, John H dan Lienhard V, John H. 2005. A Heat Transfer Textbook. University of Houston. USA.

Munson, Bruce R. et. al. 2004. Mekanika Fluida. Edisi Keempat Harinaldi dan Budiarso, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fundamental of Fluid Mechanics.

Sajid, M and Hayat, T. 2008. Wire Coating Analysis by Withdrawal From A Bath of Sisko Fluid. Journal of Applied Mathematics and Computation. 199: 13-22. Departmen of Mathematics, Pakistan

Saragi, Elfrida. Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas Pada Pembangkit Energi. http://www.batan.go.id/ppin/lokakarya/LKSTN_10/Elfrida-.pdf. Diakses pada tanggal 2 Maret 2011 pukul 12.00 WIB.

Siddiq, A.m. et. al. 2009. On Taylor’s Scraping Problem and Flow of A Sisko Fluid. Journal of Mathe matical Modelling and Analysis. 14: 515-529. Department of Mthematics, York Campus, York, PA 17403, USA.

Streeter, Victor L and Wylie, E Benjamin. 1999. Mekanika Fluida. Edisi Delapan Arko Prijono, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fluid Mechanics

Sweet, Erik. 2003. Analytical and Numerical Solutions of Differential Equations Arising In Fluid Flow and Heat Transfer Problems. University of Central Florida Orlando, Florida.

Ruwanto, Bambang. 2003. Matematika Untuk Fisika dan Teknik. Yogyakarta: Adicita Karya Nusa.