analisa perpindahan pada struktur dengan · pdf filemampu menghitung gaya dalam struktur...

DIKTAT MEKANIKA TEKNIK 5

ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR

(Untuk Program Studi Teknik Konstruksi Gedung)

PRATIKTO NIP. 19610725 198903 1 002

JURUSAN TEKNIK SIPIL Didanai dengan DIPA PNJ Tahun 2010

POLITEKNIK NEGERI JAKARTA

JUNI, 2010

LEMBAR PENGESAHAN

1. Judul : Metode Perpindahan dengan Excel dan Calculator

2. Penulis

a. Nama : PRATIKTO .ST, MsI.

b. NIP : 19610725 198903 1 002

c. Jenis kelamin : Laki-Laki

d. Golongan/pangkat : IV a

e. Jabatan Fungsional : Lektor

f. Mata Kuliah yang diampu

Semester gasal : Mekanika Teknik 5 : Kerja Proyek Perencanaan

Semester genap : Kontruksi Beton 1 ; Lab Uji Bahan

g. Jurusan/Program Studi : Teknik Sipil/Teknik Konstruksi Gedung

h. Alamat rumah : Jl. Kakap3 , P15 ; RT3/8 ; Mampang Indah I DEPOK 16433

Alamat email : [email protected] [email protected]

3. Jumlah Anggota : -

4. Lama kegiatan penulisan : 5 (Iima) bulan

5. Biaya yang diperlukan : Rp.3.500.000,- (Tiga Juta Lima Ratus Ribu Rupiah)

6. Sumber dana : DIPA PNJ 2010

Depok, 14 Juni, 2010

Menyetujui, Pelaksana

Ketua Program Studi,

A.Rudi Hermawan, ST,MT PRATIKTO., ST, MSi.

NIP.19660118 199011 1 001 NIP.19610725 198903 1 002

Mengetahui

Ketua Jurusan,

Sidiq Wacono, ST, MT.

NIP. 19640107 198803 1 001

Peta kompetensi Mata Kuliah Mekanika Teknik 5

Mahasiswa mampu menggunakan calculator untuk operasi matrik

Mahasiswa mampu menjelaskan lendutan dan putaran sudut balok dengan metode conyugated beam

Mahasiswa mampu menggunakan lembar kerja dari microsoft excel

Mahasiswa mampu menjelaskan perubahan panjang batang

REV

IEW

Mampu menghitung gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat sistem 2 dimensi

(dengan sistem matrik )

Mahasiswa mampu menjelaskan bidang gaya dalam balok statis tertentu dan statis tak tentu

Mahasiswa mampu menjelaskan langkah langkah metode perpindahan dalam bentuk matrik

Mahasiswa mampu menghitung Atap bangunan gedung – Gaya Dalam - Rangka Batang

Mahasiswa mampu menghitung – Gaya Dalam - Balok Statis tak tentu dengan sistem matrik

Mahasiswa mampu menghitung – Gaya Dalam Portal dengan sistem matrik

Mahasiswa mampu menghitung – Gaya Dalam - Portal dengan Kaki Miring

Mahasiswa mampu menjelaskan gaya dalam batang baik statis tertentu dan tak tentu diatas dua tumpuan dengan sistem matrik

Mahasiswa mampu menjelaskan gaya dalam batang statis tertentu

Unit Komputensi model SKKNI/RMCS

Garis Besar Program Pengajaran (GBPP)

Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik 5 Pengembang : Pratikto ,ST.MSi

Kode Mata Kuliah : TKG Tahun Dikembangkan : 2010

Sistem Kredit Semester : 5 Penelaah Materi : Teori

Deskripsi Matakuliah

Mata Kuliah ini terdiri dari tiga bagian utama yaitu (1).Dasar Teori , (2)Pengoperasian alat bantu dengan format matrik dan Aplikasi pada

struktur bangunan gedung bertingkat. Sangat dibutuhkan pemahaman mekanika teknik dari semester yang lalu dan (3)pemahaman operasi

matrik. Struktur yang ditinjau adalah : Rangka Batang ( Atap bangunan ) , Balok dan Portal secara dua-dimensi. Beban yang digunakan adalah

beban statik Gravitasi dan Lateral. Hasil perhitungan harus dinyatakan dalam gambar bidang gaya dalam Momen, Lintang dan Normal.

Kompetensi Umum

Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa : Mampu menganalisa gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat dengan sistem matrik baik rangka batang ataupun portal 2 dimensi yang berbasis pada perangkat lunak baik Kalkulator ataupun komputer standard seperti microsoft excel .

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP)

Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik 5 Pengembang : Pratikto ,ST.MSi

Kode Mata Kuliah : TKG 5147 Tahun Dikembangkan : 2010

Sistem Kredit Semester : 5 Pendekatan Materi : Teori dan praktek

No Kompetensi Khusus

Pokok Bahasan

Sub Pokok Bahasan Pengalaman Belajar

Metode Media Estimasi

Waktu

Kepustakaan

1 REVIEW Pendahuluan 1. Analisa struktur bangunan 2. Kontrak Perkuliahan

Calculator dan Komputer 3. Review Rangka batang 4. Review bid M,D,N 5. Hubungan mata kuliah dengan

MK yang lain

Mahasiswa mempersiapkan alat bantu hitung dan untuk mengingat kembali pelajaran mekanika teknik semester lalu

Presentasi White board , lcd projector, calculator, komputer

90 menit

2. Mahasiswa mampu menggunakan calculator untuk operasi matrik

Seperti: Casio FX9850GB

Operasi pada perhitungan matrik dengan Calculator

1. Definisi matriks ; Sifat matrik 2. Penjumlahan ; Perkalian 3. Invers matrik 4. Input data calculator 5. Transpose 6. Perkalian 7. Invers 8. Solusi Persamaan Linear

Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan peralatan calculator untuk operasi matrik.

Presentasi , praktek

White board , lcd projector, calculator, komputer

90 menit

1


Pokok Bahasan



Waktu

Kepustakaan

3. Mahasiswa mampu menggunakan komputer untuk operasi matrik

Seperti: Lembar Kerja EXCEL

Operasi pada perhitungan matrik dengan Lembar Kerja EXCEL

1. Input data Lembar kerja 2. Transpose 3. Perkalian 4. Invers 5. Solusi Persamaan Linear

Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan Komputer untuk operasi matrik.

Presentasi , praktek

White board , lcd projector, komputer

90 menit 1

4 Mahasiswa mampu menjelaskan deformasi elemen struktur

Macam-macam Deformasi : Batang dan balok

1. Perubahan Panjang Batang 2. Putaran sudut balok 3. Lendutan Balok

Dosen memberikan pendalaman besaran2 yang akan dipakai untuk matrik

Presentasi , kuis,


90 menit

5. Mahasiswa mampu menjelaskan Dasar teori metode perpindahan dalam bentuk matrik

Membentuk matrik kekakuan struktur dan menyelesaikan persamaan linear

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear

Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal.

Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri


180 menit

6 Mahasiswa mampu menghitung Rangka Batang dengan bentuk matrik

Membentuk matrik kekakuan struktur Rangka Batang dan menyelesaikan persamaan linear

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Rangka Batang

Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung


White board , lcd projector, komputer, calculator

180 menit

6 Mahasiswa mampu menghitung Balok statis tertentu dan tak tentu dengan bentuk matrik

Membentuk matrik kekakuan struktur Balok dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Balok MDN




180 menit

EVALUASI – UTS- 90 MENIT

PUSTAKA

1 Supartono F.X. dan Boen T , 1980; Analisa struktur dengan metode matrix,Fakultas Teknik Universitas Indonesia, UI PRESS

2.Wang, C.K: 1999;”Matrix Methods of structural Analysis”, Scrantons International Text Book, Co

3.User guides Casio FXG9850 ; http://world.casio.com/edu-e/

4.Microsoft office , excel 2007; http://office.microsoft.com/


Pokok Bahasan



Waktu

Kepustakaan

7. Mahasiswa mampu menghitung PORTALdengan bentuk matrik

Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Balok MDN




180 menit

8. Mahasiswa mampu menghitung PORTAL dengan kaki Miring dalam bentuk matrik

Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL MIRING dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan

Linear 6. Gaya Dalam Balok

MDN




180 menit

EVALUASI – UAS- 90 MENIT

GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN ( SILABUS )

Nama Mata Kuliah : Konstruksi Beton 1 Pengembang : Pratikto ,ST.MSi Kode Mata Kuliah : TKG Tahun Dikembangkan : 2010 Sistem Kredit Semester : 4

Pokok Bahasan (Topik)

Sub Pokok Bahasan (Sub Topik)

Hasil Pembelajaran Daftar Pustaka

1 2 3 4 1.REVIEW 1. Analisa Gaya Dalam balok st tertentu

dan rangka batang 2. Dasar teori matrik , operasi matrik, sifat dan jenis matrik dan persamaan linear

1. Memahami mekanika Teknik Statis tertentu balok dan Rangka batang

2. Penggunaan Kalkulator dan Microsoft Excel

2. Metode Matrik - langkah langkah metode perpindahan dalam bentuk matrik

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan

5. Solusi Persamaan Linear

Memahami Dasar teori metode perpindahan

3. Rangka Batang dengan bentuk matrik

1. Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam

Menganalisa Rangka Batang dengan metode perpindahan

4. Balok statis tertentu dan tak tentu

1. . Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam

Menganalisa Balok dengan metode perpindahan

5. PORTAL 1. . Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam

Menganalisa Portal dengan metode perpindahan

6.PORTAL MIRING 1. Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam

Menganalisa Portal Miring – Gable dengan metode perpindahan

Kontrak perkuliahan 1

KONTRAK PERKULIAHAN Mekanika Teknik 5

NO. ISI KONTRAK URAIAN

1. Manfaat matakuliah

Matakuliah ini membahas masalah analisa gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat dengan sistem matrik baik rangka batang ataupun portal 2 dimensi yang berbasis pada perangkat lunak baik Kalkulator ataupun komputer standard seperti microsoft excel. Matakuliah ini merupakan penunjang mata kuliah berikutnya yaitu Kerja Proyek Perencanaan yang akan langsung diterapkan pada semester berikutnya. Matakuliah ini juga sangat berguna ketika mahasiswa sudah memasuki di dunia kerja terutama yang bekerja di bidang struktur bangunan gedung bertingkat.

2. Deskripsi perkuliahan

Mata Kuliah ini terdiri dari tiga bagian utama yaitu (1).Dasar Teori , (2)Pengoperasian alat bantu dengan format matrik dan Aplikasi pada struktur bangunan gedung bertingkat. Sangat dibutuhkan pemahaman mekanika teknik dari semester yang lalu dan (3)pemahaman operasi matrik pada struktur yang ditinjau adalah : Rangka Batang ( Atap bangunan ) , Balok dan Portal secara dua‐dimensi. Beban yang digunakan adalah beban statik Gravitasi dan Lateral. Hasil perhitungan harus dinyatakan dalam gambar bidang gaya dalam Momen, Lintang dan Normal.

3. Tujuan pembelajaran

TIU: Mahasiswa dapat menghitung gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat dengan sistem matrik baik rangka batang ataupun portal 2 dimensi yang berbasis pada perangkat lunak baik Kalkulator ataupun komputer standard seperti microsoft excel

TIK: Mahasiswa dapat menerapkan alat bantu hitung untuk analisa struktur bangunan bertingkat. Mahasiswa dapat menghitung gaya dalam ataupun lendutan rangka batang dengan alat bantu hitung Mahasiswa dapat menghitung gaya dalam ataupun lendutan Portal 2D atau PORTAL MIRING dengan alat bantu hitung

4. Organisasi materi

Kontrak perkuliahan 3

5. Strategi perkuliahan

Materi kuliah ini lebih banyak menggunakan rumus-rumus untuk menyelesaikan kesetimbangan untuk gaya dalam dan mutlak menggunakan alat bantu hitung. Metode perkuliahan untuk matakuliah ini dilakukan dengan kuliah (ceramah), diskusi, dan praktek langsung dengan alat bantu hitung. Metode kuliah digunakan apabila tujuan dari pembelajaran adalah untuk menjelaskan konsep dasar materi perkuliahan, sedangkan untuk mengetahui tingkat pemahaman mahasiswa dilakukan dengan diskusi atau Latihan soal dengan tujuan untuk mengetahui kemampuan mahasiswa dalam mengaplikasikan alat namtu dan menggunakan rumus-rumus yang telah dijelaskan sebelumnya

6. Referensi 1.Supartono F.X. dan Boen T , 1980; Analisa struktur dengan metode matrix,Fakultas Teknik Universitas Indonesia, UI PRESS 2.Wang, C.K: 1999;”Matrix Methods of structural Analysis”, Scrantons International Text Book, Co 3.User guides Casio FXG9850 ; http://world.casio.com/edu‐e/ 4.Microsoft office , excel 2007; http://office.microsoft.com/

7. Tugas- tugas

• Setiap selesai pokok bahasan diberikan tugas individu mengerjakan soal, dengan waktu 1 minggu. Apabila tidak mengerjakan tugas tidak akan mendapat nilai pada item tersebut. Jika mengumpulkan tetapi terlambat nilai diperhitungkan 50% dari nilai yang diperoleh.

• Kuis/Tugas dilakukan sewaktu-waktu tanpa ada pemberitahuan, selama 1 semester dilakukan sebanyak 2 kali.

• Materi UTS dan UAS menggunakan bentuk essai dan diperbolehkan membuka Ringkasan pada kertas double folio. Tidakdiperkenankan saling meminjam Ringkasan

8. Kriteria penilaian

• Indikator penilaian: ketepatan perhitungan, cara penyelesaian, kebenaran konsep dan ketepatan analisa.

• Bobot penilaian: o Tugas 1 : 10% o Kuis/Tugas 2+3 : 20% o UTS : 30% o UAS : 40%

• Kategori nilai: A = 100 – 81 A- = 80 – 76 B+ = 75 – 73 B = 72 – 68 B- = 67 – 64 C+ = 63 – 60 C = 59 – 56 D = 55 – 41 E = 40 - 0

9. Jadwal perkuliahan

Minggu Pokok bahasan 1 Pendahuluan elemen struktur bangunan gedung bertingkat 2 – 6 Rangka Batang dan Balok 8 – 10 Portal 2D beraturan 11–13 Portal Miring atau Gable frame

DAFTAR ISI Halaman Sampul

Prakata

Daftar Isi

PENDAHULUAN

1.1 Gambaran Umum Mata Kuliah

1.2 Hubungan Mata Kuliah dengan yang lain

1.3 Tujuan Pembelajaran Umum

1.4 Petunjuk Buku Ajar

MODUL 1

DASAR METODE PERPINDAHAN

2.1 Pendahuluan

2.2. Tujuan Pembelajaran Khusus

2.3 Kegiatan Belajar

2.3.1 Dasar Teori Perpindahan

2.3.1.1 Pembagian elemen

2.3.1.2 Beban Ekwivalen

2.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan

2.3.1.4 Solusi Persamaan Linear

2.3.2 Latihan

2.3.3 Tugas

2.3.4 Evaluasi

2.4 Rangkuman

2.5 Daftar Pustaka

MODUL 2

RANGKA BATANG

3.1 Pendahuluan

3.2 Tujuan Pembelajaran Khusus


3.3.1 Perpindahan Batang

3.3.1.1 Matrik Deformasi dan Statis




3.3.2 Latihan

3.3.3 Tugas

3.3.4 Evaluasi

3.4 Rangkuman

3.5 Daftar Pustaka

MODUL 3

BALOK

4.1 Pendahuluan



4.3.1 Deformasi Balok





4.3.2 Latihan

4.3.3 Tugas

4.3.4 Evaluasi

4.4 Rangkuman

4.5 Daftar Pustaka

MODUL 4

PORTAL

5.1 Pendahuluan



5.3.1 Deformasi Lentur Portal





5.3.2 Latihan

5.3.3 Tugas

5.3.4 Evaluasi

5.4 Rangkuman

5.5 Daftar Pustaka

MODUL 5

PORTAL MIRING

6.1 Pendahuluan



6.3.1 Deformasi Lentur Portal Miring





6.3.2 Latihan

6.3.3 Tugas

6.3.4 Evaluasi

6.4 Rangkuman

6.5 Daftar Pustaka

I - 1

BAB I. PENDAHULUAN

1. 1. Gambaran Umum Mata Kuliah

Ada beberapa hal yang harus dipahami atau disamakan persepsi terhadap

analisa struktur dewasa ini. Pemakaian alat bantu hitung seperti calculator ataupun

komputer bukan merupakan hal yang aneh dan sulit karena hampir setiap manusia

ataupun mahasiswa sudah mempunyai alat tersebut. Hampir disetiap komputer

terdapat program microsoft office seperti : word, excel dan juga untuk kalkulator

banyak yang menyediakna fungsi2 yang berguna seperti : matrik, trigonometri

dan sebagainya. Apakah kita sudah menggunakan se optimal mungkin ? Hal ini

juga disertakan dalam peninjauan biaya untuk mendapatkan perangkat lunak

tersebut. Mudah2an pernyataan diatas dapat menggugah pembaca untuk dapat

memakai alat bantu yang konon sudah dianggap biasa dapat digunakan seoptimal

mungkin.

Sebagai tujuan akhir tulisan ini adalah agar supaya pembaca dapat

menggunakan alat bantu hitung , seperti kalkulator atau microsoft office untuk

menganalisa gaya dalam struktur pada bangunan bertingkat. Hal ini tentu saja

dibutuhkan ketrampilan menggunakan Kalkulator dan perangkat lunak untuk

lembar kerja microsoft office excel. Lampiran 1

Untuk pemahaman gaya dalam struktur, pembaca dipersilahkan

mempersiapkan beberapa hal seperti : deformasi perubahan bentuk sepeti lendutan

dan putaran sudut yang umumnya dapat dijelaskan melalui metode moment area

ataupun conyugated beam. Lampiran 2

1. 2. Hubungan Mata Kuliah dengan yang lain

Mata kuliah Mekanika Teknik 5 ini berhubungan erat dengan mata kuliah

Mekanika Teknik sebelumnya yang membahas mengenai pengertian Gaya luar,

gaya dalam, syarat kesetimbangan dan Bidang gaya dalam MDN. Adapun

deformasi dapat melihat dari mata kuliah Kekuatan Bahan yang membahas

mengenai putaran sudut , lendutan baik aksial ataupun lentur termasuk

perpanjangan dan perpendekan. Pada mata kuliah Komputer terapan juga dibahas

mengenai pemakaian perangkat lunak microsoft office khususnya adalah excel.

I - 2

Masalah mengenai teori dasar matrik umumnya dapat dijumpai pada matematik

tingkat perguruan tinggi seperti jenis jenis, sifat matrik dan operasi pada matrik

termasuk perkalian, penambahan dan invers matrik. Analisa gaya dalam

merupakan hal yang harus dilakukan terlebih dahulu sebelum menganalisa pada

material yang akan digunakan, seperti Beton, Baja dan sebagainya

1. 3. Tujuan Pembelajaran Umum

Diharapka pembaca dapat melakukan perhitungan dan menganalisa gaya dalam

struktur bangunan gedung bertingkat sistem 2 dimensi dengan alat bantu hitung

yaitu kalkulator ataupun lembar kerja microsoft office excel.

Struktur bangunan gedung bertingkat adalah sistem 3 dimensi. Struktur ini dapat

dipisah dalam beberapa bagian struktur dua 2 dimensi, seperti : Portal, balok,

Pelat dan Rangka batang atap.

1. 4. Petunjuk Buku Ajar

Buku ajar ini dimaksudkan tidak hanya sebagai wacana analisa gaya dalam

tetapi diharapkan dapat di praktekan langsung dengan alat bantu hitung seperti

kalkulator ataupun lembar kerja excel. Dasar teori metode perpindahan akan

dibahas pada diktat ini. Untuk teori matrik dan kekuatan bahan pembaca dapat

melihat rujukan lain.Pemakaian alat bantu hitung kalkulator dan lembar kerja

excel penulis hanya mengambil dari rujukan yang umum dan disajikan pada

lampiran.

Dasar teori metode perpindahan akan dibahas pada bab 2 yang akan

dilanjutkan aplikasinya pada : Struktur rangka batang bab 3 dan Balok baik statis

tertentu ataupun statis tak tentu pada bab 4. Evaluasi akan dilakukan setelah

pembaca memahami metode matrik pada rangka batang dan balok. Tahapan ini

pembaca diharapkan menguasai proses pembentukan matrik dan operasi pada

matrik dengan alat bantu kalkulator.

Pada bab5 pembaca akan diajak untuk mengaplikasikan pada portal bentuk

sederhana yang terdiri dari elemen struktur seperti balok dan kolom. Pada tahap

ini diberikan tugas untuk menyelesaikan struktur Portal bertingkat dengan

I - 3

bantuaan lembar kerja excel yang terdapat pada komputer. Disarankan tidak

menggunakan kalkulator untuk analisa portal bertingkat ini karena keterbatasan

memori yang ada. Untuk bentuk yang tidak beraturan sepeti portal dengan kaki

miring dibahas pada bab 6. Masalah ini biasanya digunakan untuk menganalisa

struktur tangga 2 dimensi

Tulisan ini membahas metode matrik yang digunakan untuk analisa struktur

- framed Structure. Pada umumnya ada 2 metode matrik seperti metode gaya-

force method dan metode kekakuan-displacement method. Metode Gaya adalah

metode untuk analisa gaya dalam struktur yang berdasarkan pada hasil iterasi

gaya dalam seperti : metode cross, Kani, Takebaya, Muto, Clapeyron dsbnya.

Metode ini sudah banyak ditinggalkan, kenapa? Apakah seperti pengaruh metode

elastis dengan kekuatan batas? Tidak seluruh metode dibahas di sini karena

menyangkut keterbatasan waktu dan dana yang ada. Methode yang akan dibahas

adalah metode perpindahan – displacement methods yang sudah berkembang

menjadi metode kekakuan-stiffness method .Metode ini uga merupakan dasar dari

pada metode kekakuan langsung – direct stiffness method dan metode elemen

finite element untuk analia benda kontinum.

Beberapa materi dasar akan ditinjau seperti jenis struktur dan deformasi

akibat beban. Selain itu juga ditinjau konsep dasar seperti keseimbangan,

kesepadanan, derajat ketidaktentuan dan sebagainya.

II - 1

MODUL 1

BAB II. DASAR TEORI

2. 1. Pendahuluan

Tulisan ini membahas metode matrik yang digunakan untuk analisa struktur

framed Structure. Pada umumnya ada 2 metode matrik seperti metode gaya-force

method dan metode kekakuan-displacement method. Metode Gaya adalah metode

untuk analisa gaya dalam struktur yang berdasarkan pada hasil iterasi gaya dalam

seperti : metode cross, Kani, Takebaya, Muto, Clapeyron dsbnya. Metode ini

sudah banyak ditinggalkan, kenapa? Apakah seperti pengaruh metode elastis

dengan kekuatan batas? Tidak seluruh metode dibahas di sini karena menyangkut

keterbatasan waktu dan dana yang ada. Methode yang akan dibahas adalah

metode perpindahan – displacement methods yang sudah berkembang menjadi

metode kekakuan - stiffness method .Metode ini uga merupakan dasar dari pada

metode kekakuan langsung – direct stiffness method dan metode elemen finite

element untuk analia benda kontinum.

Beberapa materi dasar akan ditinjau seperti jenis struktur dan deformasi

akibat beban. Selain itu juga ditinjau konsep dasar seperti keseimbangan,

kesepadanan, derajat ketidaktentuan dan sebagainya.Struktur yang akan dibahas

selanjutnya merupakan struktur rangka/ framed structur dan dapat dibagi atas.

1. Rangka batang bidang

2. Balok statis tertentu dan statis tak tentu

3. Portal bidang

4. Portal berkaki miring

Masing-masing jenis struktur mempunyai ciri tersendiri, sehingga perlu

dibahas secara terpisah. Tempat titik berkumpulnya elemen-elemen struktur

dinamakan titik kumpul (Joints-Nodal) termasuk tumpuan dan ujung elemen yang

bebas. Tumpuan dapat merupakan jepit (fixed), sendi (Hinged, Bin), roller dan

elastis (springs).

Pada metode ini langkah awal yang harus ditinjau adalah perpindahan yang

dinyatakan sebagai derajat kinematis bukan derajat statis. Kinematis adalah

perpindahan yang tidak diketahui atau yang dicari. Metode kekakuan ini struktur

II - 2

dirubah menjadi struktur kinematis tertentu sehingga seluruh perpindahan yang

tidak diketahui adalah NOL. Agar perpindahan ini menjadi NOL maka pada titik

kumpul diberi pengekangan ( Restraint ) terhadap segala macam perpindahan

struktur yang diberi pengekangan dinamakan struktur terkekang / Restrained

structure. Untuk mendapatkan pengaruh seperti pada struktur semula maka dapat

dilakukan super posisi dari stuktur yang terkekang dengan gaya penggantinya.

Tabel 2.1 Derajat Kinematis

STRUKTUR KOMPONEN BEBAS KINEMATIS

0

2

2

6 atau 3

7

D2 D4 D6

D1 D3 D5

D7 D9 D11

D8 D10 D12

12

II - 3

Bagian terpenting dalam penyelesaian superposisi adalah pembentukan

persamaan gaya yang menyatakan seperti keadaan struktur semula. Bersamaan

superposisi gaya ini dikenal juga sebagai persamaan keseimbangan titik kumpul.

Beberapa istilah dalam analisa struktur seperti deformasi, Aksi dan Perpindahan ,

derajat kebebasan , derajat ketidak tentuan statis atau kinematis , stabilitas,

Superposisi , Kekakuan , beban ekivalent dan teori energi, pembaca dapat melihat

pada lampiran 1.

2. 2 Tujuan Pembelajaran

Menguasai teori dasar metode perpindahan dalam bentuk matrik dan

sekaligus pemakaian dengan alat bantu pada operasi matrik Metode ini

sebenarnya adalah mencari hubungan gaya luar dengan lendutan atau

pembentukan matrik kekakuan yang merupakan hubungan antara Gaya luar

dengan deformasi – lendutan. Selanjutnya penyelesaian persamaan linear untuk

mendapatkan deformasi dan diteruskan pada gaya dalam.

Hubungan ini bisa dinyatakan sebagai :

( Q } = [K] { D} (2.1)

{ Q } = matrik gaya2 dalam elemen

[K] = matrik kekakuan struktur .

{ D} = matrik lendutan deformasi struktur.

2. 3 Kegiatan Belajar

2.3.1 Dasar Teori Perpindahan

Pada dasarnya metode ini dimulai dengan memisahkan struktur menjadi

elemen elemen dan memberikan besaran lendutan “ anu “ yang dalam hal ini

merupakan lendutan elemen pada titik diskrit sebagai sasaran yang harus dicari.

Untuk mengetahui lendutan titik diskrit , maka harus diketahui derajat kinematis

atau derajat kebebasan dari struktur. Derajat Kinematis adalah suatu besaran yang

menyatakan jumlah komponen bebas dititik diskrit yang mungkin terjadi.

Sehingga urutan kerjanya adalah sebagai berikut :

II - 4

1. Kompatibiliti; Hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau secara

tegasnya mencari deformasi yang terjadi pada elemen-elemen dititik-titik

diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik tersebut.

2. Persamaan hubungan tegangan dan regangan, yaitu mencari hubungan

mengenai gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi

pada elemen-elemen struktur tersebut.

3. Kesetimbangan; langkah terakhir untuk menyatakan gaya liuar dititik

diskrit dengangaya-gaya dalam, atau mencari berapa besar gaya luar di

ujung elemen yang diimbangi oleh gaya dalam dititik diskrit.

Dengan menggabungkan ketiga langkah diatas, akan didapatkan hubungan antara

gaya dan lendutan seperti dinyatakan pada persamaan (2.1).

Secara garis besarnya , langkah2 metode ini adalah :

1. Memilih elemen-elemen yang akan digunakan.

2. Menentukan kinematis struktur D ,

3. Menentukan matrik gaya luar Q yang sesuai dengan kinematis D.

4. Memberikan deformasi struktur D = 1 unit dan menghitung deformasi

masing2 elemen (d). Hubungan ini dinyatakan dengan matrik deformasi [A].

5. Menentukan hubungan gaya dalam dengan deformasi elemen yang

dinyatakan dengan matrik Kekokohan [S].

6. Menentukan hubungan Kesetimbangan antara gaya luar dengan gaya dalam

yang dinyatakan sebagai matrik Statis [B].

7. Menghitung matrik K yang berasala dari matrik [A] ; [S] dan [B]. Matrik [K]

ini merupakan hubungan antara {Q} dengan {D}

8. Menyelesaikan persamaan linear untuk mendapatkan deformasi struktur {D}.

9. Mencari gaya dalam {H} struktur dari matrik [S] dan [A] .

10. Menyelesaikan reaksi perletakan dan menggambar gaya dalam M, D, N.

II - 5

DIAGRAM :

[K] { }Q { }D

[ ]B [ ]A

{ }H { }d

[ ]S

Gambar 2.1


Pada struktur 2D bidang dengan Rigid connections pada umumnya struktur

terdiri atas beberapa elemen yang dipisahkan oleh titik node diskrit . Perilaku dari

elemen ini diwakili oleh titik diskrit dalam bentuk lendutan translasi linear dan

rotasi anguler. Lendutan dinyatakan oleh dua komponen yang saling tegak lurus

sedangkan rotasi dinyatakan oleh komponen anguler. Sehingga pada titik

pertemuan terdapat 3(tiga) komponen lendutan.

Pada Rangka batang 2D dengan sambungan engsel, maka komponen rotasi

tidak ada dan hanya komponen traslasi baik vertikal atau mendatar. Titik diskrit

merupakan titik pertemuan batang ataun titik kumpul.


Beban luar yang bekerja pada elemen harus dipindahkan ke titik disktrit

yang berada di ujung elemen. Perlu diperhatikan bahwa beban ini bukan gaya

reaksi tetapi merupakan gaya aksi yang bekerja di ujung atau perletakan sebagai

pengganti beban luar. Dengan kata lain beban ekwivalen adalah gaya aksi di

ujung perletakan elemen. Pembaca dapat melihat pada lampiran 1.

II - 6

Gambar 2.2.a. Beban ekwivalent Rangka Batang

Gambar 2.2.b Beban ekwivalent Balok

Beban merata q sepanjang bentang L adalah ekwivalent setara dengan

sepasang momen 1/12 WL2 dan gaya ½ WL. Bedakan antara gaya aksi dan gaya

reaksi


Dari diagram pada gambar 2.1 dapat terlihat jelas bahwa matrik K dibentuk

dari matrik statis [B], matrik kekokohan [S] dan matrik deformasi [A].

Matrik Statis [B] adalah hubungan antara gaya luar dengan gaya dalam yang harus

memenuhi syarat Kesetimbangan.

Matrik kekokohan [S] adalah hubungan antara gaya dalam sebesar 1 unit dengan

deformasi elemen yang mengikuti Hukum Hooke.

Beban merata Q

L

1/12 WL21/2 WL GAYA AKSI

GAYA REAKSI

M-PRIMER

M-BATANG

P

P

P

P

Px

PyP1 Px

Py P1

II - 7

Matrik deformasi [A] adalah hubungan compatibility kesesuaian antara deformasi

elemen dengan deformasi struktur sebesar 1 unit.

Matrik [K] merupakan penggabungan dari ketiga matrik diatas atau dapat pula

ditulis sebagai : [ ] [ ][ ][ ]ASBK ≈

Matrik ini disebut pula sebagai matrik Kekakuan Struktur.

Dilihat dari hasil matrik [B] merupakan transpose dari matrik [A].


Persamaan yang terbentuk dari hubungan gaya luar dengan deformasi adalah

persamaan linear dalam bentuk matrik. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan

operasi matrik untuk mencari besarnya deformasi dari struktur.

{ } [ ]{ }[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]{ } [ ] { }QKD

ABASBK

DKQT

1−≈

≈⇔≈

≈

Selanjutnya untuk matrik gaya dalam dapat dihitung setelah deformasi struktur

didapatkan. Matrik [H] bukan merupakan gaya dalam struktur karena harus di

superposisikan dengan beban aksi

{ } [ ]{ }{ } [ ][ ]{ }DASH

dSH≈≈

II - 8

2.3.1.5 Illustrasi metode

Gambar 2.3

1. Tentukan elemen , Kinematis, buat diagram Q-D dan H-d

Gambar 2.4 ; 3 elemen, Diagram Q-D dan H-d

2. statik Matrik A

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

654321

dddddd

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010010001001000

X ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

321

DDD

{ } [ ]{ }DAd ≈⇒

L

EI

L L

Q1- D1 Q2- D2 Q3- D3

H1-d1

H2-d2

H3-d3

H4-d4

H5-d5

H6-d6

3 elemen 3 kinematis; D1.D2,D3

II - 9

d1 d3 d5

d2 d4 d6

d5

d4

d6

gambar 2.5 matrik A

3. Gaya Dalam dengan Deformasi ( H-d)

d1 H1 H3 d3 H5d5 d2-H2 d4 -H4 d6-H6

d1 = 1 unit H1=4EI/L ; H2=2EI/L

d1 d2 2EI/L

4EI/L

d2 = 1 unit H1=2EI/L ; H2= 4EI/L

d1 d2 4EI/L

2EI/L { } [ ] ( )dSH *=

gambar 2.6 matrik Kekokohan [S]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

654321

HHHHHH

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

LEILEILEILEI

LEILEILEILEI

LEILEILEILEI

/4/20000/2/40000

00/4/20000/2/4000000/4/20000/2/4

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

654321

dddddd

D1=1unit

D2=1unit

D3=1unit

II - 10

4. Hubungan Keseimbangan , Gaya Luar = Gaya Dalam

H2 H3 H4 H5 H6

Q1 = H2 + H3

Q1 Q2 Q3 Q2 = H4 + H5

Gambar 2.7 matrik B Q3 = H6

∑ P = 0 ; Q1 - H2 - H3 = 0

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡≡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

654321

100000011000000110

321

HHHHHH

QQQ

{ } [ ]{ }HBQ ≡⇒

5. Persamaan Linear

{ } [ ]{ }[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ] { }QKD

ASAK

ABASBK

DKQ

T

T

1−≈

≈

≈⇔≈

≈

6. Gaya Dalam

{ } [ ]{ }{ } [ ][ ]{ }DASH

dSH≈≈

7. Momen Akhir

Momen akhir adalah superposisi hasil matrik {H} dengan beban

ekwivalen yaitu Momen Primer

Momen = H - Momen Primer

II - 11

2.3.2 Latihan

Aplikasi pada balok menerus 3 tumpuan

600 KG/M

EI EI

A B C gambar gaya dalam !!

L=10M L=8M

Gambar 2.8 Contoh Balok Menerus

Fixed end momen 1/12 qL2

(-)5000 (+)5000 (-)3200 (+)3200 D1 Derajat kinematis = 1

Gambar 2.9 Kinematis dan elemen Q1=1800 D1 d3 d2

Gambar 2.10 matrik Q dan A

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≈

0110

A [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≈

4EI/82EI/8002EI/84EI/800

004EI/102EI/10002EI/104EI/10

S

432

1

HHH

H←

14131211 ==== dddd H1 d1 H3- d3 H-d diagram , untuk [S] H2 d2 H4- d4 {Q}=[B]{H} Q1 Q1=H2 +H3 H2 H3 [B]= {0 1 1 0}

[B] = [A]T

Gambar 2.11 Matrik S dan B

II - 12

[K] = [B][S][A] = 0.9 EI [K]-1 = 1 / (0.9EI)

{D} = [K]-1 {Q} = 2000 / EI

{H} = [S][A]{D} = [ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≈

5001000800400

H

Momen batang ( kebalik

5000 5000 3200 3200

an momen primer)

400 800 1000 500

Momen Akhir

5400 4200 4200 2700

5400 7500 4200 4800 2700 1/8 600 102 = 7500

1/8 600 82 = 4800

GAYA DALAM MOMEN

2700 1350

3000 3000 2400 2400

120 120 187.5 187.5

3120 2587.5 2112.5 GAYADALAM LINTANG

2880

Gambar 2.12 Penyelesaian

II - 13

2.3.3 Tugas SOAL 1:

P= 36 kN 4m 6m

Gambarkan gaya dalam , M, D

2 elemen : 4m dan 6m

2 elemen : @ 5m

Gambar 2.13

SOAL 2:

Q=8T q = 3T/M’ EI EI

A B C

10M 10M

Gambar 2.14

2.3.4 Evaluasi

Gambar 2.15 Conto untuk evaluasi

P =(kN)40

4 m 6 m

2@5m

II - 14

Tentukan Elemen, Kinematis, Diagram Q-D dan H-d

Beban Ekwivalen

Pembentukan persamaan Linear dan solusi persamaan

Q1-D1 Q2-D2 Q3-D3

Q-D diagram Q4-D4 Degree of kinematic 4Number of member 2

H1-d1 H2-d2 H3-d3 H4-d4

H-d diagram

40

Q4 1 -6,4

25,66,4 5 -25,6 0

-6,4 25,6 -28,16

-3,84 3,8411,84 -8 -32 28,16

-11,84 -28,16

40

A S = (EI) SA=(EI)1 0 0 -0,2 0,8 0,4 0 0 0,8 0,4 0 -0,20 1 0 -0,2 0,4 0,8 0 0 0,4 0,8 0 -0,20 1 0 0,2 0 0 0,8 0,4 0 0,8 0,4 0,240 0 1 0,2 0 0 0,4 0,8 0 0,4 0,8 0,24

A At K=(AE)1 0 0 -0,2 1 0 0 0 0,8 0,4 0 -0,20 1 0 -0,2 0 1 1 0 0,4 1,6 0,4 00 1 0 0,2 0 0 0 1 0 0,4 0,8 0,240 0 1 0,2 -0,2 -0,2 0,2 0,2 -0,2 0 0,24 0,19

Kinv=(1/EI) D H3,33 -0,42 -1,67 6,25 -208 -6,4

-0,42 0,83 -0,42 0,00 24 86,4-1,67 -0,42 3,33 -6,25 176 -60,86,25 0,00 -6,25 20,83 -626,667 0 0

M AKHIR0,00

60,80-60,80

II - 15

Hasil Gaya Dalam

2. 4 Rangkuman

Bedakan jenis struktur menurut deformasi yang terjadi


1. Menentukan kinematis struktur dan memberikan deformasi struktur D

dan deformasi masing2 elemen (d). Hubungan ini dinyatakan dengan

matrik [A].


dinyatakan dengan matrik [S].

3. Menentukan hubungan Kesetimbangan antara gaya luar dengan gaya

dalam yang dinyatakan sebagai matrik [B].

d4d2 d3

d1

0 60,8 -60,8 0

-48,64

-60,80-32

-80,64

40x6/10*4 96-48,64

40x1/5*4 -32-80,64

II - 16

4. Menyelesaikan persamaan linear untuk deformasi struktur {D}.

5. Mencari gaya dalam struktur ataupun reaksi.

6. Gambar gaya dalam struktur

DIAGRAM :

[ ]K

{ }Q

{ }D

[ ]B

[ ]A

{ }H

{ }d

[ ]S

Gambar 2.1

2.5 Daftar Pustaka

1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode

Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984

2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons

International Text Book Co., 1986

III - 1

MODUL 2

BAB III. RANGKA BATANG 3.1 Pendahuluan

Metode ini dimulai dengan memberikan pada struktur ybs beberapa besaran

lendutan “ anu “ yang dalam hal ini merupakan lendutan elemen pada titik diskrit

sebagai besaran yang harus dicari. Pembagian elemen disesuaikan dengan tempat

titik kumpul rangka. Untuk mengetahui lendutan titik diskrit , maka harus

diketahui derajat kinematis atau derajat kebebasan perpindahan dari struktur.

Derajat kinematis yang merupakan jumlah komponen bebas dititik diskrit baik

arah vertikal ataupun horizontal merupakan vektor gaya luar bekerja. Pada rangka

batang tidak terdapat lendutan-rotasi dinyatakan oleh komponen anguler –

putaran sudut . Sehingga pada Rangka batang 2D dengan sambungan engsel,

lendutan dinyatakan oleh dua komponen yang saling tegak lurus.

Gambar 3.1 Rangka Batang

Gambar 3.2 Model Matematik Rangka

III - 2

3.2 Tujuan Pembelajaran Khusus

Tujuan pada pembahasan ini adalah menghitung gaya dalam dari struktur

Rangka Batang. Pada metode ini didahulukan dengan mencari hubungan gaya

dengan lendutan. Pembentukan matrik kekakuan untuk hubungan antara Gaya luar

dengan deformasi – lendutan akan menghasilkan persamaan linear dalam bentuk

matrik. Selanjutnya penyelesaian persamaan linear untuk mendapatkan deformasi

dan diteruskan pada gaya dalam harus menggunakan alat bantu baik calculator

ataupun komputer.

Hubungan ini bisa dinyatakan ulang dari pers 2.1 sebagai :

{ Q } = [K] { D} (2.1)

{ Q } = matrik gaya2 dalam elemen

[K] = matrik kekakuan struktur Rangka batang.

{ D} = matrik lendutan deformasi struktur


Pada dasarnya sifat rangka batang berbeda dengan balok didalam

analisa gaya dalam. Disetiap sambungan rangka batang umumnya hanya

gaya axial yang dipakai dalam perencanaan sambungan. Deformasi axial

dapat berupa translasi vertikal dan horizontal. Jadi pada rangka batang

setiap titik mempunyai 2 derajat kinematis. Untuk material Hooke yang

linear elastis maka berlaku hubungan seperti :

AE H

Δ = HL/AE

L Δ H = (AE/L) Δ

Gambar 3.1

Ilustrasi untuk metode perpindahan pada rangka batang disajikan dalam

pembahasan rangka batang berikut ini.

III - 3

Conto sederhana (1) :

1000 kg

A 1 2 B

C AE for all members

4 3 5 1.5m

D 2000 kg

2m 2m

Gambar 3.2 contoh sederhana

D1

D2

D4

D3

Gambar 3.3 Kinematis

D1=1 D2=1

d1=1

d2=-1

d3=1

α α

D3=1

α 4 3 D4=1

5

III - 4

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

5/000004/000003/000002/000001/

;

5/45/3005/45/300

010100100010

LAELAE

LAELAE

LAE

SA

H2-d2

H1-d1 H1-d1 H2-d2

H4-d4 H3-d3 H5-d5

Gambar 3.4 Matrik Statis B


{ } { }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

=

4321

;

200000

1000

DDDD

DQ


Matrik Statis B merupakan transpose dari matrik A

[K] = ATSA =

[K]=(4X4)

;

135/64000375/35803/2

103/2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−AE

III - 5


Dari persamaan 3.1 { Q } = [K] { D}

Maka {D} = [K]-1 { D}

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

64/12500036/125036/125

1036/179

1AE

Kinv

{ } { } { } ;1

25.2000390622.3472

022.4972

4321

1

AE

DDDD

QKD

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

== −

Jadi besarnya Gaya Dalam adalah :

{ } { }{ }{ } ;

67.41633.2083

100000

54321

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

HHHHH

DASH

3.3.2 Latihan

10 T

6m 6m

Gambar 3.5 latihan Rangka Batang (1)

65E /4 65E /4

55E /6

25E /2 25E /2

8m

III - 6

Es = 20.000 kN/cm2.

80Kn 80Kn

12kN A (20) B

(25) (10) (10) (25) 400cm

24kN C (20) D

(25) (10) (10) (25) 400cm

E F

Gambar 3.6 latihan Rangka Batang (2)

3.3.3 Tugas

=(2.4)e-03m2 E=200E+06 Kn/m2

(3.0) (1.2) (1.8) (1.2) (3.0) 6.0m (1.8)

(2.4) (2.4) (2.4) 4.5m 4.5m P 4.5m 50kN

Gambar 3.7

Catatan :

Sesuaikan gambar Rangka batang dengan Rangka batang pada kerja Proyek anda.

Tanda dalam kurung menyatakan luas penampang propil baja dalam satuana m2

Gunakan fungsi trigonometri yang tepat untuk matrik deformasi.

III - 7

Pembahasan:

1. Σ batang = 10 , Σ kinematis = 4x2 =8

2. Tiga buah matrik utama

[A] = 10x8 ; [S] = 10x10 ; {Q} = 8x1 ;

[K] = 8x8 ; {D} = 8x1 ; [H] = 10x1 ;

3. Perpanjangan (+) dan perpendekan (-)

4. Bila Δ // sumbu batang maka nilainya 1 , bila Δ ⊥ sumbu batang maka

nilai nya perubahan batang = 0

5. Gaya batang hanya axial tidak ada momen

6. Perletakan statis tak tentu

3.3.4 Evaluasi

Struktur mempunyai : 8 derajat kinematis, 10 batang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -1 0 0 -0.6 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0.8 0 0 0 0 0 0

[ A ]t = 3 1 0 0 0 0.6 0 0 0 0 0

4 0 0 1 0 0.8 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 -0.6 -1 0 0 -

0.6 0 6 0 -1 0 0 -0.6 0 1 0 0.6 0 7 0 0 0 0.6 0 1 0 0 0 0.6 8 0 0 -1 -0.8 0 0 0 1 0 0.8 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 -1 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 -1 4 -0.6 0.8 0 0 0 0 0.6 -0.8

[ A ] = 5 0 0 0.6 0.8 -0.6 -0.6 0 0

6 0 0 0 0 -1 0 1 0 7 0 0 0 0 0 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 -0.6 0.6 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0.6 0.8 D 1 2 3 4 5 6 7 8

III - 8

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1333.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 1250.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

[ S ]

= 0.0 0.0

1250.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 400.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 400.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1333.3 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1250.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1250.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 400.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 400.0

[ SAt ] -1333.333 0 1333.3333 0 0 0 0 0

10x8 0 1250 0 0 0 -1250 0 0

0 0 0 1250 0 0 0 -1250

-240 320 0 0 0 0 240 -320

0 0 240 320 -240 -240 0 0

0 0 0 0 -1333.333 0 1333.3333 0

0 0 0 0 0 1250 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1250

0 0 0 0 -240 240 0 0

0 0 0 0 0 0 240 320

[ASAt ] 1477.3333 -192 -1333.333 0 0 0 -144 192

8x8 -192 1506 0 0 0 -1250 192 -256

[K] -1333.333 0 1477.3333 192 -144 -144 0 0

0 0 192 1506 -192 -192 0 -1250

0 0 -144 -192 1621.3333 0 -1333.333 0

0 -1250 -144 -192 0 2788 0 0

-144 192 0 0 -1333.333 0 1621.3333 0

192 -256 0 -1250 0 0 0 3012

[K]inv = 1.32E-02 1.90E-03 1.28E-02 -2.09E-03 5.17E-03 1.37E-03 5.21E-03 -1.55E-03

1.90E-03 1.47E-03 1.84E-03 -1.21E-04 4.47E-04 7.47E-04 3.61E-04 -4.61E-05

1.28E-02 1.84E-03 1.32E-02 -2.13E-03 5.18E-03 1.36E-03 5.18E-03 -1.55E-03

-2.09E-03 -1.21E-04 -2.13E-03 1.48E-03 -4.79E-04 -6.26E-05 -5.65E-04 7.36E-04

5.17E-03 4.47E-04 5.18E-03 -4.79E-04 4.19E-03 4.35E-04 3.85E-03 -4.91E-04

1.37E-03 7.47E-04 1.36E-03 -6.26E-05 4.35E-04 7.59E-04 3.91E-04 -4.98E-05

5.21E-03 3.61E-04 5.18E-03 -5.65E-04 3.85E-03 3.91E-04 4.20E-03 -5.36E-04

-1.55E-03 -4.61E-05 -1.55E-03 7.36E-04 -4.91E-04 -4.98E-05 -5.36E-04 7.32E-04

III - 9

{Q} = 12 {D} = 1.4623 {H} = 24.75

80 [K]inv*{Q} 0.2987 [ SA ]*D 129.01

80 1.4809 -73.66

0 -0.2167 -61.26

24 0.6129 92.08

0 0.1955 -19.14

0 0.5985 244.35

0 -0.1578 -197.20

H9 dan

H10

Hasil ini diambil dari program excel. Check nilai yang terdapat dalam sel.

Koreksi untuk perkalian matriks atau matrik A

TUGAS SOAL 2 Beban Angin 25 kg/m2 dari sebelah KANAN ( No absent GANJIL) Beban Angin 25 kg/m2 dari sebelah KIRI ( No absent GENAP) Tuliskan matrik A,S dan Q !!! saja

☺ AE untuk semua batang sama Jarak kuda-2 diambil 5 m Gunakan koefisien spt : 0,9 ; 0,02α -0,4 ; -0,4 ; -0,4

3.4 Rangkuman

Bedakan jenis struktur menurut deformasi yang terjadi


III - 10

1. Menentukan kinematis struktur dan memberikan deformasi struktur D

dan deformasi masing2 elemen (d). Hubungan ini dinyatakan dengan

matrik [A].


dinyatakan dengan matrik [S].

3. Menentukan hubungan Kesetimbangan antara gaya luar dengan gaya

dalam yang dinyatakan sebagai matrik [B].

4. Menyelesaikan persamaan linear untuk deformasi struktur {D}.

5. Mencari gaya dalam struktur ataupun reaksi.

6. Gambar gaya dalam struktur

DIAGRAM :

[K] { }Q { }D

[ ]B [ ]A { }H { }d

[ ]S

Gambar 2.1

3.5 Daftar Pustaka

1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984

2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons International Text Book Co., 1986

ASMAT I - 1

LAMPIRAN I.

BEBERAPA ISTILAH I. 1. Deformasi

Bila suatu struktur diberi beban, maka struktur tersebut (batang) akan mengalami

deformasi yaitu perubahan bentuk yang kecil, sehingga setiap titik2 pada struktur

akan berpindah ke posisi yang baru perpindahan akan terjadi pada umunya untuk

struktur kecuali pada tumpuan yang tidak dapat bergerak. Perpindahan merupakan

hal penting dalam analisa struktur.

Gambar L.1

Sebagai contoh diambil suatu

potongan elemen dari batang

stryktur rangka berbentuk lingkaran

panjangnya dx

Gaya2 yang bekerja adalah

NX = gaya axsial

Vy & Vz = gaya geser

My & Mz = momen lentur

T adalah forsi

Deformasi yang terjadi pada

penampung dx adalah deformasi

axial, geser lentur dan torsi seperti

diperlihatkan pada gambar (2).

Adapun material bahan yang

digunakan mengikuti Hukum Hooke

yang elastis linier.

Perpindahan (displacement) suatu struktur ditimbulkan oleh gabungan

pengaruh deformasi seluruh elemen. Dalam menentukan perpindahan suatu struktur

ASMAT I - 2

tidak semua jenis deformasi berpengaruh besar dan mungkin bias diabaikan.Pada

balok deformasi lentur biasanya merupakan satu-satunyayang terpentuing dai pada

deformasi axial yang biasanya diabaikan.

Untuk jenis struktur rangka batang, maka titik kumpul rangka dianggap

sebagai sendi dan semua beban bekerja pada titik kumpul, sehingga analisanya hanya

melibatkan deformasi axial batang. Jika terdapat beban di antara titik kumpul, maka

beban ini dipindahkan pada titik kumpul seperti analisa balok ber tumpuan

sederhana.

Pada portal bidang deformasi yangb berpengaruh adalah akibat lenturan dan

gaya axial. Pada balok silang deformasi lentur selalu penting dan deformasi punter

kadang kala turut diperhitungkan. Tergantung pada penampung yang digunakan, jika

penampung tersebut adalah berdendeng tipis seperti balok I, maka batang akan

sangat fleksibel terhadap punter dan tidak mengalami gaya punter yang besar.

Portal ruang merupakan jenis struktur rangka yang paling umum dlm

geometrid an pembebanannya. Oleh karena itu deformasi axial, lentur dan punter

mungkin seluruhnya perlu diperhitungkan tergantung jenis struktur dan bebannya.

Untuk deformasi geser pada struktur rangka biasanya sangat kecil, sehingga jarang

ditinjau dalam analisa.

I. 2. Aksi dan Perpindahan

Untuk menerangkan konsep dasar pada analisa struktur ada istilah yang akan

digunakan seperti AKSI dan PERPINDAHAN. AKSI atau gaya dapat berupa gaya

atau momen kopel ataupun gabungan keduanya. Selain Aksi luar pada struktur Aksi

dalam juga perlu ditinjau sebagai contoh adalah resultan distribusi tegangan akibat

momen lentur, gaya geser, gaya axial ataupun momen puntir.

Konsep dasar yang lain adalah perpindahan yang umunya berupa translasi atau rotasi

di titik struktur. Transaksi menun jukkan adanya pergerakan, sedangkan rotasi

menyatakan sudut perputaran antara garis singgung kurva elastis dengan posisi

semula.

ASMAT I - 3

Dalam analisa struktur kita sering dijumpai aksi dan perpindahan yang paling sesuai

dengan momen kopel ialah rotasi putaran sudut.

L/2 L/2

A1

A B D31

D11 D21

A2

A B D32

D12 D22

A B D33

D13 D23

gambar L.2

Contoh:

Notasi A dipakai untuk aksi gaya dan D

untuk perpindahan.

Pada gambar L2 terdapat aksi A1, A2 dan

A3

Perpindahan yang terjadi :

A1→ D1 (translasi) D11 D21 D31

A2→ D2 (translasi) D12 D22 D32

A3→ D3 (rotasi) D13 D23 D33

Perhatikan subscript yang dipakai

Perpindahan balok atas seluruh beban

D1 = D11 + D12 + D13

D2 = D 21 + D22 + D23

D3 = D 31 + D32 + D33

Penjumlahan ini adalah prinsip superposisi

yang dibahas lebih lanjut.

I. 3. Keseimbanan dan Kesesuaian

Tujuan analisa struktur di antaranya adalah menentukan berbagai aksi pada struktur

seperti reaksi tumpuan dari resultan tegangan, momen lentur, geser dan sebagainya.

Penyelesaian ini harus memenuhi syarat keseimbangan statis begitu juga pada bagian

struktur yang dianalisa sebagai benda bebas free body.

ASMAT I - 4

Enam buah persamaan yang terdapat pada keseimbangan statis dalamnya dimensi

adalah:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 vektor gaya

ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0 momen terhadap sumbu x, y, z

Persamaan ini dapat dideduksi, apabila digunakan pada permasalahan struktur dalam

1 bidang. Dengan menganggap gaya terletak pada bidang x – y maka persamaan

menjadi ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMz = 0

Selain keseimbangan statis maka seluruh syarat kesesuaian harus terpenuhi dalam

analisa struktur. Syarat ini juga disebut syarat geometris karena harus menyatakan

kontinuitas perpindahan di seluruh bagian struktur.

Sebagai contoh adalah titik tumpuan jepit, harus dipenuhi kesesuaian perpindahan

dengan kondisi tumpuan yaitu tidak terjadi tranlasi dan rotasi terhadap sumbu

batang. Pada sambungan yang kaku antara dua batang maka perpindahan yang

terjadi (tranlasi dan rotasi) harus sama bila ditinjau per batang secara terpisah.

I. 4. Ketidaktentuan Statis dan Kinematis

Ketidaktentuan suatu struktur tergantung pada yang ditinjau aksi atau perpindahan.

Ketidaktentuan menunjukkan kelebihan aksi yang tidak diketahui terhadap jumlah

persamaan keseimbangan statis.

Jika persamaan keseimbangan cukup untuk menentukan aksi maka struktur bersifat

statis tertentu. Sebaliknya bila tidak dapat diselesaikan dengan persamaan

keseimbangan maka struktur mempunyai sifat statis tak tentu.

Gambar L3

Ketidaktentuan statis berderajad 3 ada

6 reaksi yang harus dicari

ASMAT I - 5

Ketidaktentuan statis bisa dibedakan atas ketidaktentuan luar dan dalam. Bila

berhubungan dengan reaksi struktur maka termasuk pada ketidaktentuan statis luar.

Sebagai contoh adalah struktur ruang mempunyai 6 buah persamaan dan untuk

struktur bidang mempunyai 3 buah persamaan. Apabila lebih di jumlah persamaan

keseimbangan statis, maka disebut bersifat statis tak tentu luar.

Ketidaktentuan statis dalam berhubungan dengan perhitungan resultan tegangan

dalam struktur dengan anggapan semua reaksi telah ditentukan sebelumnya.

Gambar L4

Ketidaktentuan statis luar adalah

bersifat statis tertentu untuk

ketidaktentuan statis dalam berdenyut-

denyut karena 2j – m = 3 yaitu 2 x 6 –

11 = 1. Ada dua batang yang

dipenggal artinya dengan melepas 2

gaya pada rangka batang, maka

struktur menjadi statis tertentu.

Jenis ketidaktentuan yang lain adalah ketidaktentuan kenematis yaitu yang

bertentangan dengan perpindahan titik kempul yang tidak diketahui. Pada struktur

rangka titik kempul dapat berupa perteman dua batang atau lebih, titik tumpuan dan

ujung bebas. Titik kumpul dapat mengalami transaksi atau rotasi.

A B

Gambar L5

Titik A terjepit tidak mengalami

perpindahan, sedangkan titik B

memiliki 2 perpindahan ber rotasi dan

bergeser.

ASMAT I - 6

Ketidaktentuan kenematis balok AB berderajat dua dan 2 perpindahan titik kempul

ini harus dihitung dalam analisa balok. Apabila deformasi axial balok diabaikan,

maka titik B hanya berrotasi, sehingga balok ini sebagai struktur dengan 1 derajat

ketidaktentuan kenematis.

D A

E B

F C

Gambar L6

Rangka batang statis tak tentu

berderajat 2 titik A, B, D dan E

mempunyai dua derajat kebebasan

masing-masing (translasi dalam 2 arah

tegak lurus). Titik c dan f masing-

masing adalah nol dan satu derajat

kebebasan. Jadi rangka batang

mempunyai 9 derajat kebebasan untuk

translasi titik kempul dan

ketidaktentuan kenematisnya

berderajat 9.

Untuk menentukan ketidaktentuan statis dan kenematis, maka ada aturan yang dapat

dipakai seperti.

I. Tentukan jumlah kelebihan gaya. Hitung jumlah pelepasan yang

diperlukan agar struktur menjadi statis tertentu.

II. Tentukan jumlah derajat kebebasan titik kempul. Hitung jumlah

pengembangan titik kempul yang diberikan agar struktur menjadi

kenematis tertentu tidak ada perpindahan titik kempul.

ASMAT I - 7

I. 5 Stabilitas

Pada pembahasan derajat kebebasan terlihat bahwa, apabila jumlah reaksi melebihi

jumlah persamaan, maka struktur bersifat statis taktentu luar. Dan jika jumlah ini

sama, maka struktur statis tertentu luar. Hal ini berlaku, bahwa struktur tidak akan

bergerak, apabila beban diberikan pada struktur tersebut.

Gambar L7

Pada contoh balok di atas 3 tumpuan

roller terdapat 3 reaksi yang sama

jumlahnya dengan persamaan

keseimbangan statis untuk gaya

perbidang.

Akan tetapi jelas bahwa balok akan bergerak ke kiri apabila beban dan yang mirin g

diberikan. Jenis struktur ini dikatakan bersifat tidak stabil.

Gambar L8 Struktur pada gambar L8 dikatakan

tidak stabil karena garis kerja gaya dan

tidak melalui 3 gaya reaksi yang

konkuren.

Jadi selain jumlah tumpuan struktur struktur yang cukup, maka tata letaknya harus

menjamin agar struktur tidak tidak dapat bergerak.

I. 6. Superposisi

Pada suatu struktur akan terdapat besaran aksi gaya dan perpindahan yang tertentu.

Aksi dan perpindahan ini menimbulkan aksi perpindahan lainnya pada struktur. Aksi

perpindahan semula merupakan penyebab, sedangkan yang terakhir adalah pengaruh.

Secara umum, nahwa pengaruh yang ditimbulkan oleh sejumlah penyebab dapat

diperoleh dengan menggabungkan pengaruh setiap penyebabnya.

ASMAT I - 8

A2 Mb

A1

Ra Rb

A1 M’b

R’a D’ R’b

M”b

R”a D” R”b

Gambar L9

Dari prinsip superposisi bahwa akibat

aksi dan perpibndahan A1 dan A2

dapat ditinjau secara terpisah.

RA = RA’ + RA”

RB = RB + MB”

MD = MB’ + MB”

D = D’ + D”

Prinsip superposisi ini hanya berlaku, apabila hubungan antara aksi dan perpindahan

pada struktur b ersifat linear. Hal ini terjadi apabila syarat-syarat b erikut terpenuhi:

(struktur elstis linear).

1. Bahan struktur mengikuti hokum Hooke

2. Perpindahan struktur kecil (small deflection)

3. Tidak ada interaksi antara pengaruh axial dan lentur.

I. 7. Matrik Kekakuan

Hubungan antara aksi dan perpindahan berperan penting dalam analisa struktur dan

digunakan dalam metode kekakuan. Untuk menyatakan hubungan aksi dan

perpindahan ialah dengan persamaan aksi dan perpindahan.

ASMAT I - 9

Sebagai contoh:

A

D’

Gambar L10

Aksi A yang b ekerja pada balok me

nimbulkan perpindahan D. Hubungan A

dan D ini dapat dengan beban sebagai:

A = S D

Di mana S adalah kekakuan yang didefinisikan sebagai aksi yang dikukuhkan untuk

menimbulkan perpindahan satu unit. Satuannya adalah gaya persatuan panjang.

Untuk keadaan yang lebih umum :

A1 A2 A3

a)

b) D1 D2 D3 1

c) S31

S11 S21

d) 1

S12 S22 S32

e) S13 S23 S33 1

Gambar L11

a Dalam gambar diperlihatkan

perpindahan balok yang selaras

A1,A2 dan A3. Dari superposisi

didapatkan :

D1 = D11 + D12 + D13

D11 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A1



Analog untuk D2 dan D3

D11 : perpindahan yang selaras A2

diakibatkan oleh A2 dst.

Persamaan aksi:

A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3

A2 : S2 D1 + S22 D2 + S23 D3

A3 : S31 D1 + S32 D2 + S23 D3

ASMAT I - 10

Di mana:

S adalah koefisien kekakuan yang menyatakan aksi akibat perpindahan satu

satuan.

S11 : aksi yang selaras dengan A1 bila satu satuan perpindfahan D1 diberikan

sementara perpindahan yang lain = 0 dan seterusnya.

Arah setiap koefisien kekakuan yang diperlihatkan dianggap positif, apabila searah

dengan aksi yang selaras. Persamaan aksi untuk struktur dengan n buah aksi adalah:

A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3

A2 : S21 D1 + S22 D2 + S23 D3

- - -

An : Sn D1 + S31 D2 + S33 D3

Dalam balok matrik

[ ] [ ][ ]DSAatau

Dn

DD

SnnSnSn

nSSSnSSS

An

AA

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

..21

..21........2..22211..1211

..21

Dimana A = Matrik aksi berukuran n x 1

D = Matrik perpindahan berukuran n x 1

S = Matrik kekakuan berukuran n x n

Koefisien kekakuan Sij didefibnisikan sebagai aksi ke – i akibat satu satuan

perpindahan ke- j sementara petrpindahan lainnya adalah nol.

I. 8. Beban Ekivalent

Analisa struktur mengharuskan struktur hanya memikul beban yang bekerja pada

titik kempul. Sebenarnya beban yang bekerja pada struktur tidak memenuhi syarat

tersebut. Agar supaya syarat terpenuhi beban pada batang harus diganti dengan

beban ekivalen pada titik kem pul. Beban ekivalen ini sedemikian rupa, sehingga

ASMAT I - 11

perpindahan struktur yang ditimbulkan sama dengan perpindahan akibat beban

sebenarnya. Beban ekivalen dapat dihitung berdasarkan gaya jepit ujung.

W M1 P1 P2

L L/2 L/2

1/12 WL2

wL/2 P1

PL/8 PL/8

.5P1 .5P1

WL/2

WL/2+.5P1 .5P1+P2

1/12 WL2

M1+1/12WL2-PL/8

Gambar L12

Titik kempul dikekang terhadap semua

perpindahan, sehingga menghasilkan 2

balok terjepit (gambar L12).

Di sini gaya ujung ditunjukkan sebagai

reaksi pengekangan pada struktur

terhekang. Jika reaksi pengekang ini

dibalik arahnya akan menjadi beban

yang ekivalen dengan beban yang

bekerja pada batang.

Beban titik kempul ini digabungkan,

sehingga dapat digunakan dalam analisa

struktur.

I. 9. Teori Energi

Pembahasan konsep energi ini terbatas pada struktur yang regan gan dan

perpindahannya kecil serta energinya tidak hilang selama proses pembebanan statis.

Dengan kata kain, kerja luar (external) dari beban yang diberikan secara perlahan-

lahan sama dengan energi yang disimpan dalam struktur.

Dari teori elastis, apabila ditinjau pada elemen yang sangat kecil akan terdapat

beberapa tegangan seperti pada gambar 17.

ASMAT I - 12

σy

τyx

τyz τxy dx

τzy σx

τzx

σz

Gambar L13

Terdapat 3 tegangan normal (σx, σy, σz)

dan 6 tegangan geser (τxy,τxz dst nya).

τxy = τyx (a.)

τyz = τzy

τzx = τxz

Jadi hanya 6 komponen tegangan yang

perlu ditin jau untuk pegangan berlaku.

u,v,w adalah translasi dalam arah x,y,z.

Єx = du/ dx

Єy = dv/ dy (b.)

Єz = dw/ dz

Untuk regangan geser γxy = γyx = Əu/Əy + Əv/Əx

γyz = γzy = Əv/Əz + Əw/Əy (c.)

γzx = γxz = Əw/Əx + Əu/Əz

σ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

654321

σσσσσσ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zxyxxyzyx

σσσσσσ

ε =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

654321

εεεεεε

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zxyzxyzyx

εεεεεε

(d.)

Tegangan dan regangan pada sembarang titik untuk benda 3 dimensi

Dari diagram tegangan – regangan untuk bahan linear. Energi regangan

didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari tegangan selama pertambahan

regangan untuk pegangan total dan seluruh volume.

U = 21 ∑

=

5

1

..n

i

dViiσε = dVt

V

..2/1 εσ∫

ASMAT I - 13

Dimana : σt transpose matirk kolom

ns jumlah komponen regangan ε

U Energi regangan

σi

dσ

dЄ Єi gambar L14

Energi regangan komplementer didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari

regangan pertambahan tegangan untuk tegangan total dan seluruh volume.

U* = 21 ∑

=

5

1

..n

i

dViiσε = dVt

V

..2/1 σε∫

Dimana : ε t transpose matirk kolom ε

Untuk kerja beban dapat dirumuskan sama seperti energi regangan.

Pj

dP

dΔ Δj

Gambar L15

W = 21 =Δ∑

=

5

1

..n

j

dVjPj 1/2 At D

W* = 21 =Δ∑

=

5

1

..n

j

dVjPj 1/2 Dt A

Dari prinsip kekuatan energi, bahwa kerja beban W = energi pegangan U yang

disimpan dalam struktur, sehingga:

U = W = ½ DT S.D

ASMAT I - 14

Teori costigliano I menyatakan bahwa jika energi regangan benda elastis

diunyatakan sebagai fungsi (himpunan) perpindahan, maka turunan parsial pertama

fungsi ini terhadap perpindahan sama dengan gaya aksi yang selaras.

DjU

∂∂ = ∑

−

n

kSjk

1

Dk = Aj ( j = 1, 2, …..n )

Persamaan ini menyatakan n (himpunan) syarat keseimbangan. Apab ila persamaan

ini diturunkan terhadap Dk , maka akan diperoleh suku kekakuan umum Sjk

sebagai: DjU

σσ

DkDjU∂∗∂

∂ = DkAj

∂∂ = Sjk j = 1, 2, ………… n

k = 1, 2, …………. N

Hubungan timbal balik (teorema Maxwell), jika untuk differensial dibalik, maka

hasilnya harus sama, sehingga: Sjk = Skj

Oleh karena itu semua pasangan kekakuan silang sama besar, sehingga matrik S

adalah simetris atau identik transposenya. S = ST

1.10. Rangkuman

• Bandungkan jenis2 struktur rangka seperti Rangka Batang , Balok

ataupun Portal. Perbedaan terletak pada gaya dalam dan deformasi

• Dasar2 analisa struktur seperti deformasi, Aksi dan Perpindahan ,

derajat kebebasan , derajat ketidak tentuan statis atau kinematis ,

stabilitas, Superposisi , Kekakuan , beban ekivalent dan teori energi.

ASMAT I - 15

LAMPIRAN II

PERINTAH UNTUK CALCULATOR CFX 9850GB

Matrix calculations

26 matrix memories (Mat A Through Mat Z) plus a matrix answer memory

(MatAns), make it possible to perform the following matrix operations.

Addition, subtraction, multiplication

Scalar multiplication calculations

Determinant calculations

Matrix transposition

Matrix inversion

Matrix squaring

Raising a matrix to a specific power

Absolute value, integer part extraction, fractional part extraction, maximum

integer calculations

Matrix modification using matrix commands

LII-1 before performing matrix calculations

LII-2 matrix cell operations

LII-3 modifying matrices using matrix commands

LII-4 matrix calculations

ASMAT I - 16

LII-1 Before Performing Matrix Calaulations In the Main Menu, select the MAT icon to enter the Matrix Mode and display its

initial screen.

{DEL}/{DEL.A} … deletes {a specific matrix}/{all matrices}

The maximum number of rows that can be specifies for a matrix is 255, and the

maximum number of columns is 255.

About Matrix Answer Memory (MatAns)

The calculator automatically stores matrix Answer Memory. Note the

following points about Matrix Answer Memory. Whenever you perform

a matrix calculation, the current Matrix Answer Memory contents are

replaced by the new result. The previous contents are deleted and cannot

be recovered. Inputting values into a matrix does not affect Matrix

Answer Memory contents.

Creating a Matrix

To create a matrix, you must first define its dimensions (size) in the

MATRIX list. Then you can input values into the matrix to specify the

dimensions of a matrix

ASMAT I - 17

Example : To create a 2-row x 3-column matrix in the area named Mat B

Highlight Mat B.

All of the cells of a new matrix contain the value 0.

All “Mem ERROR” remains next to the matrix area name after you input the

dimensions, it means there is not enough free memory to create the matrix you

want.

ASMAT I - 18

Displayed cell values show positive integers up to six digits, and negative

integers up to tive digits (one digit used for the negative sign). Exponential

values are shown with up to two digits for the exponent. Fractional values are

not displayed.

You can see the entire value assigned to a cell by using the cursor keys to move

the highlighting to the cell whose value you want to view.

The amount of memory required for a matrix is ten bytes per cell. This means

that 3 x 3 matrix requires 90 bytes of memory ( 3 x 3 x 10 = 90 ).

Deleting Matrices

You can delete either a specific matrix or all matrices in memory.

To delete a specific matrix

While the matrix list on the display, use and to highlight the matrix

you want to delete.

Press {DEL}

Press {YES} to delete the matrix or {NO} to abort the operation

without deleting anything.

The indicator “None” replaces the dimensions of the matrix you delete.

To delete all matrices

While the matrix list is on the display, press {DEL A}.

Press {YES} to delete all matrices in memory or {NO} to abort the

operation without deleting anything.

The indicator “None” is shown for all the matrices.

ASMAT I - 19

LII – 2 Matrix Cell Operations

Use the following procedure to prepare a matrix for a cell operations.

While the MATRIX list on the display, use to highlight the name

of the matrix you want to use.

And the function menu with the following items appears. {R.OP} …{row calculation menu}

{ROW}/{COL} … {row}/{column} operation menu

Row Calculations The following menu appears whenever you {R . OP} while a

recalled matrix is on the display.

{Swap} … {Row Swap}

{xRw} … {Product of specific row and scalar}

{xRw+} … {Addition of one and the product of a specific row with a

scalar}

{Rw+} … {Addition of specific row to another row}

To swap two rows Example : To swap rows 2 and 3 of the following matrix :

ASMAT I - 20

To calculate the product of a row :

Example : to calculate the product of row 2 of the following matrix

and the scalar 4 :

To calculate the product of a row and add the result to another row

Example : to calculate the product of row 2 of the following matrix and the

scalar 4, then add the result to row 3 :

ASMAT I - 21

To add two rows together

Example : to add row 2 to row 3 of the following matrix :

Row Operations

The following menu appears whenever you {ROW} while a

recalled matrix is on the display.

{DEL} … {delete row}

{INS} … {insert row}

{ADD} … {add row}

To delete a row

Example : to delete row 2 of the following matrix :

ASMAT I - 22

To insert a row Example : To Insert a new row between rows 1 and 2 of the following matrix

:

To add a row

Example : to add a new below row 3 of the following matrix :

Column Operations The following menu appears whenever you (COL) while a recalled matrix is on the display.

{DEL} … {delete column}

{INS} … {insert column}

{ADD} … {add column}

To delete a column Example : to delete column 2 of the following matrix :

ASMAT I - 23

To Insert A Column

Example : to insert a new column between column 1 and 2 of the following

matrix :

To Add A Column

Example : to add a new column to the right of column 2 of the following

matrix :

ASMAT I - 24

LIII – 3 Modifying Matrices Using Matrix Commands

To Display The Matrix Commands

1. From the main menu, select the RUN icon and

The following describes only the matrix command menu items that are used for

creating matrices and inputing matrix data.

{Mat} … {Mat command (matrix specification)}

{M L} … {Mat List command (assign contents of selected column

to list file)}

{Aug} … {Augment command (link two matrices)}

{Iden} … {identify command (identify matrix input)}

{Dim} … {Dim command (dimension check)}

{Fill} … {Fill command (identical cell value)}

ASMAT I - 25

Matrix Data Input Format

The following showns the format you should use when inputing data to create a

matrix using the matrix operation menu’s Mat command.

an error occurs if memory becomes full as you are inputing data.

You can also use the above format inside a program that inputs matrix data.

To Input An Identify Matrix

Use the matrix operation menu’s identify to create an identify

matrix.

ASMAT I - 26

To Check The Dimensions Of A Matrix

Use the matrix operation menu’s Dim to check the

dimensions of an existing matrix.

The display showns that matrix A consists of two rows and three columns.

You can also use {Dim} to specify the dimensions of the matrix.

Modifying Matrices Using Matrix Commands

You can also use matrix commands to assign values to and recall values from an

existing matrix, to fill in all cells of an existing matrix with the same value, to

combine two matrices into a single matrix, and to assign the contents of a matrix

column to a list file.

ASMAT I - 27

To Assign Values To And Recall Values From An Existing Matrix

Use the following format with the matrix operation menu’s Mat

to specify a cell for value assignment anf recall.

Mat X [m, n]

X ………………… matrix name (A through Z, or Ans)

m ………………... row number

n …………………. Column number

To Fill A Matrix With Identical Values And To Combine Two Matrices Into A

Single Matrix

Use the matrix operation menu’s fill to fill all the cells of an

existing matrix with an identical value, or the Augment to

combine two existing matrices into a single matrix.

ASMAT I - 28

The two matrices you combine must have the same number of rows. An error

occurs if you try to combine two matrices that have different numbers of

rows.

To Assign The Contents Of A Matrix Column To A List File

Use the following format with the matrix operation menu’s Mat List

command (F2) to specify a column and a list file.

Mat List (Mat X, m) List n

X = matrix name (A through Z , or Ans)

m = column number

n = list number

You can use matrix answer memory to assign the results of the above

matrix input and edit operations to a matrix variable. To do so, use the

following syntax.

ASMAT I - 29

Fill (n, Mat α) Mat β

Augment (Mat α, Mat β) Mat γ

In the above, α, β, and γ are any variable names A through Z, and n is

any value.

The above does not affect the contents of Matrix Answer Memory.

LIV - Matrix calculations Use the matrix command menu to perform matrix calculation operations.

To Display The Matrix Commands 1. Fro the main menu, select the RUN icon and press ( EXE )

2. Press ( OPTN ) to display the option menu

3. Press ( F2 ) ( MAT ) to display the matrix command menu.

The following describe only the matrix commands that are used for matrix

arithmetic operations.

{Mat} … {Mat command (matrix specification)}

{Det} … {Det command (determinant command)}

{Trn} … {Trn comman (identity matrix input)}

{Iden} …{Identity command (identity matrix input)}

All of the following examples assume that matrix data is already stored in memory.

ASMAT I - 30

ASMAT I - 31

The two matrices must have the same dimensions in order to be added or

subtracted. An error occurs if you try to add or subtract matrices of different

dimensions.

For multiplication, the number of columns in matrix 1 must match the

number of rows in matrix 2. Otherwise, an error occurs.

You can use an identity matrix in place of matrix 1 or matrix 2 in the matrix

arithmetic format. Use the matrix command menu’s identity command ( F1 )

to input the identity matrix.

ASMAT I - 32

ASMAT I - 33

LII – 4 Matrix Calculations

ASMAT I - 34

ASMAT I - 35

ASMAT I - 36

Determinants and inverse matrices are calculated using the elimination

method, so errors (such as dropped digits) may be generated

Matrix operations are performed individually on each cell, so calculations

may require considerable time to complete.

The calculation precision of displayed results for matrix calculations is +/- 1

at the last siginificant digit.

If a matrix calculations result is too large to fit into matrix answer memory,

an error occurs.

You can use the following operatin to transfer matrix answer memory

contents to another matrix (or when matrix answer memory contains a

determinant to a variable)

MatAns Mat α

In the above, α is any variable name A through Z. the above does not affect the contents of matrix answer memory.

analisa perpindahan pada struktur dengan · pdf filemampu menghitung gaya dalam struktur...

Documents