analisa numerik
DESCRIPTION
Analisa Numerik. Aproksimasi Turunan. Aproksimasi Turunan. Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. Solusi : Pilih x 0 , x 1 , ..., x k ∈ [c, d] f(x) = P k (x) + f[x 0 , ..., x k , x] k (x) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Analisa Numerik
Aproksimasi Turunan
2
Aproksimasi Turunan
• Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d].
• Solusi : Pilih x0, x1, ..., xk [c, d]∈f(x) = Pk(x) + f[x0, ..., xk, x]k(x)
di mana Pk(x) polinom berderajat k menginterpolasi f(x) pada x0, ..., xk
Perhatikan bahwa f[x0, ..., xk, x] = f[x0, ..., xk, x, x]
Jd.: f’(x) = P’k(x) + f[x0, ..., xk, x, x]k(x) + f[x0, ..., xk, x]’k(x) (7-2)
k
jjk xxx
0
)()(
dx
d
3
Error
• Definisikan operator D sebagai D(f) = f’(a), a [c, d].∈• Kesalahan aproksimasi turunan f adalah :
E(f) = D(f) – D(Pk)
= f[x0, ..., xk, a, a]k(a) + [x0, ..., xk, a]’k(a)
=
utk.
Tetapi jarang diketahui f(k+2), f(k+1), dan hampir susah ditentukan
Untuk mempermudah mencari E(f), maka a harus ditentukan.
)!1(
)(')(
)!2(
)()( )1()2(
k
af
k
af kk
kk
),(, dc
,
4
Error
• Pilih a = xi
maka k(a) = 0
• Pilih a sehingga ’k(a) = 0, dng. cara :Pilih xi ∀i sehingga xi simetris thd. a
x0..... a..... xk
Dng. mendefinisikanxk-j – a = a – xj , j = 0, ..., (k-1)/2
)47(),(,)()()!1(
1)(
0
)1(
dcxxfk
fEk
ijj
jik
])([)()!2(
1)(
2
1,,0,)()())((
2)1(
0
2)2(
22
k
jj
k
jjkj
xafk
fE
kjxaaxxxxx
5
Contoh• Berapa banyak titik yg. dibutuhkan agar dapat
menghitung f’(a) ? (k = ?)k = 1, Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0)
D(Pk) = f[x0, x1]
Jk. a = x0 menurut (7-2) (h = x1 - x0)
f’(a) ≈ f[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / hmenurut (7-4)
Disebut Formula forward-difference
a = 1/2 (x0 + x1) Jd. x0 = a-h
x1 = a + h, h = 1/2 (x1 - x0)
diperoleh Formula central-difference
)(''2
1)( hffE
)('''6
)(
2
)()(],[)('
2
fh
fE
h
hafhafhahafaf
6
Contoh
k = 2, Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2] (x - x0) (x - x1)
Jk. a = x0 maka dari 7-2 dan 7-4
f’(a) = f[a, x1] + f[a, x1, x2](a - x1) + 1/6 (a - x1)(a - x2)f’’’() (7-9)
Lalu definisikan x1 = a + h, x2 = a + 2h, maka (7-9) menjadi
Kalau x1 = a - h, x2 = a + h, maka
),(),('''3
)(
2
)2()(4)(3)('
2
haafh
fE
h
hafhafafaf
hafh
fE
h
hafhafaf
),('''6
)(
2
)()()('
2
7
Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik
• Aproksimasi derivatif yg. lebih tinggi utk. f(x)f(x) = Pk(x) + f[x0, …, xk, x]k(x)
f’(x) = P’k(x) + f[x0, …, xk, x, x]k(x) + f[x0, …, xk, x]’k(x)
f’’(x) = P’’k(x) + 2f[x0, …, xk, x, x, x]k(x)
+ 2f[x0, …, xk, x, x]’k(x)
+ f[x0, …, xk, x]’’k(x)
Pilih k = 2, a = x0
Jd. f’’(a) = 2f[a, x1, x2] + 2f[a, x1, x2, a, a] (a - x1)(a - x2)
+ f[a, x1, x2, a] 2 (a - x1 + a - x2)
8
Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik
• Definisikan x1 = a + h, x2 = a + 2h, maka
• Definisikan x1 = a - h, x2 = a + h, maka
• Jd. jk. a berada di tengah-tengah, formula lebih teliti
)(''')(''6
)(
)2()(2)()(''
2
2
hffh
fE
h
hafhafafaf
hafh
fE
h
hafafhafaf
),(''12
)(
)()(2)()(''
2
2
9
Contoh
f’(a) dng. central-difference h
hafhaf
2
)()(
f’’(a) dng. 2
)()(2)()(''
h
hafafhafaf