tugas matematika 2

FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

11

ABDUL KOLIK MUZAKIABDUL KOLIK MUZAKI : 12.22.201.0031: 12.22.201.0031

APRIA MAHFUDINAPRIA MAHFUDIN : 12.22.201.0044: 12.22.201.0044

ARYA BUDI WALUYOARYA BUDI WALUYO : 12.22.201.0039: 12.22.201.0039

BAHRUDINSYAHBAHRUDINSYAH : 12.22.201.0048: 12.22.201.0048

DIPEN P HUTAHAEANDIPEN P HUTAHAEAN : 12.22.201.0030: 12.22.201.0030

HARYANTOHARYANTO : 12.22.201.0010: 12.22.201.0010

NOVIANTO IRAWANNOVIANTO IRAWAN : 12.22.201.0063: 12.22.201.0063

04/20/2304/20/23

FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

22

Buku PustakaBuku Pustaka

1.1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus , Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus , Prentice hall Englewood Cliffs , New JerseyPrentice hall Englewood Cliffs , New Jersey

2.2. Kreyszic, 1988 : ‘ Advanced Engineering Kreyszic, 1988 : ‘ Advanced Engineering Mathematics’, 6Mathematics’, 6thth ed, John Wiley & Sons, ed, John Wiley & Sons, New York.New York.

3.3. Spiegel M. R. 1990,’ Kalkulus lanjutan’ , edisi Spiegel M. R. 1990,’ Kalkulus lanjutan’ , edisi terjemahan Penerbit Erlangga.terjemahan Penerbit Erlangga.

4.4. Leithol, L 1991 : ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Leithol, L 1991 : ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’, ErllanggaAnalit’, Erllangga

5.5. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ Kalkulus dan Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ Kalkulus dan Geometri Analitik ‘ , jilid 2 ed terjemahan , Geometri Analitik ‘ , jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta. Erlangga, Jakarta.

04/20/2304/20/23

Sistem Sistem KoordinatKoordinat

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

33

y

z

x

P(x,y,z)

Oktan 1

R2(Bidang) R3(Ruang)

y

x

P(x,y)

Kuadran IKuadran II

Kuadran III Kuadran IV

y

x

Permukaan di Ruang Permukaan di Ruang (R3)(R3)

02222 a,azyx

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

44

Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : lain :

● ● Bola, mempunyai bentuk umum :Bola, mempunyai bentuk umum :

Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa lingkaran222 ayx

Jejak di bidang XOZ, y = 0 222 azx , berupa lingkaran

Jejak di bidang YOZ, x = 0 222 azy , berupa lingkaran

Gambar BolaGambar Bola

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

55

Z

x

y

Permukaan di RuangPermukaan di RuangEllipsoida mempunyai bentuk

umum :

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

66

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

, a, b, c > 0

1b

y

a

x2

2

2

2

Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips

1c

z

a

x2

2

2

2

Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Ellips

1b

y

c

z2

2

2

2

Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Ellips

Gambar EllipsoidaGambar Ellipsoida

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

77

Z

x

y

Permukaan di RPermukaan di R33

Hiperboloida berdaun satu, mempunyai ben

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

88

tuk umum:

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

, a, b, c > 0

1b

y

a

x2

2

2

2

Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips

1c

z

a

x2

2

2

2

Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbolik

1c

z

b

y2

2

2

2

Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbolik

Gambar Hiperbolik Berdaun Gambar Hiperbolik Berdaun SatuSatu

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

99

Z

x

y

Permukaan di RPermukaan di R33

Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

1010

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, a, b, c > 0

12

2

2

2

b

y

a

xJejak di bidang XOY, z = 0

, berupa Hiperbolik

12

2

2

2

c

z

a

xJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbolik

12

2

2

2

c

z

b

yJejak di bidang YOZ, x = 0

, tidak ada jejak

12

2

2

2

2

2

a

x

c

z

b

y , maka terdefinisi saat x - a atau x a

Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips.

Gambar Hiperbolik Berdaun Gambar Hiperbolik Berdaun DuaDua

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

1111

Z

x

y

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

1212

Permukaan di RPermukaan di R33

Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:umum:

cz

by

ax

2

2

2

2

, a, b, c > 0

Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:

cz

by

ax

2

2

2

2

, a, b, c > 0

Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:

02

2

2

2

2

2

cz

by

ax

Bidang , mempunyai bentuk umum:

DCzByxA

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

1313

GambarGambar

Z

x

y

z

x

y

Z

x

y

Paraboloida EliptikParaboloida Hiperbolik

Kerucut EliptikBidang

y

x

z

FAKULTAS TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA SANG BUMI RUWA

JURAIJURAI

1414

Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah

Definisi : Fungsi dua peubah adalah aturan yang Definisi : Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)dengan tepat satu z =f(x,y)

Notasi : f : A Notasi : f : A R ( A C R R ( A C R22))

(x,y) (x,y) z = z = f f (x,y)(x,y)

Diketahui D daerah di dalam R 2 pada bidang

XOY.

Fungsi f : D . didefinisikan z = f (x,y) untuk

setiap (x,y) D disebut fungsi dua peubah

(variable), dengan x dan y peubah bebas.

04/20/2304/20/23

FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

1515

Ilustrasi GrafisIlustrasi Grafis

f : D , (x,y)D dan z = f(x,y) pada bidang S.

X

Z

Y

(x,y)

Z=f(x,y) S

a bc

d

04/20/2304/20/23

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

1616

Daerah Asal (DDaerah Asal (Dff) dan Daerah Nilai ) dan Daerah Nilai (R(Rff))

R)y,x(fR)y,x(D f 2

Contoh. Tentukan dan gambarkan DContoh. Tentukan dan gambarkan Dff dari : dari :

fD)y,x()y,x(ffR

1. f(x,y) = x2 + 4 y2

2429363

12 yx)y,x(f.

)y(x)y,x(f. 13

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

1717

Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)

1.Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}

= {(x,y) R2}

x

y

2.

= {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2 0}

RyxRyxDf222 4936

31

),(

= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}

1

94),(

222 yx

Ryx x

y

2

3

04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

1818

Contoh Contoh (Jawab)(Jawab)3

.= {(x,y) R2| x(1 – y) R}

x

y

RyxRyxDf )1(),( 2

= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x0 dan (1–y)0}

= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x0 dan y 1}

FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

1919

Contoh .1 .1 .Contoh .1 .1 .

Fungsi f didefinisikan :

z = f(x,y) = .

nilai fungsi f, di titik(2,1) adalah f (2,1) =

yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang didefinisikan

22 2 yxyx

xy

92

04/20/2304/20/23

FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI

2020

Contoh 1.2.Contoh 1.2.

Dengan cara yang sama untuk Dengan cara yang sama untuk z = f(x,y) = xz = f(x,y) = x22 + y + y2 2 nilai fungsi z nilai fungsi z dititik (1,-1) adalah f(1,-1) = 2dititik (1,-1) adalah f(1,-1) = 2

04/20/2304/20/23

FAKULTAS TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAIUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

2121

Contoh 1.3.Contoh 1.3.

Luasan yang terbentuk untuk fungsí Luasan yang terbentuk untuk fungsí dengan persamaan dengan persamaan z = f(x,y) = xz = f(x,y) = x22 + y + y22 menyajikan paraboloida dengan titik menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb :puncak (0,0,0) adalah sbb :

04/20/2304/20/23

Z

x

y

FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI

2222

R e s u m eR e s u m e

1. Apabila D daerah di dalam 2

atau bidang XOY, fungsi f : D

didefinisikan z = f (x,y) untuk setiap

(x,y) D disebut fungsi dua variabel,

dengan x dan y variabel independen.

04/20/2304/20/23

04/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAIJURAI

23

Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah

Grafiknya berupa permukaan di Grafiknya berupa permukaan di ruang.ruang.

Z=f(x,y)

Df

x

y

z

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik.satu titik.

24

FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA

JURAI04/20/23