teori himpunan

TEORI HIMPUNAN

TEORI HIMPUNAN

Himpunan adalah koleksi obyek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan

Obyek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen

Penulisan HIMPUNAN

Listing Method◦A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Description Method (notasi pembentuk himpunan)◦ A = {x | 1 x 6 ; x bilangan

bulat}◦ X = Himpunan 5 bilangan prima

yang pertama

NOTASI HIMPUNAN

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}◦ 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 A◦ = anggota himpunan◦ = bukan anggota himpunan◦ 7 A, 8 A, 10 A.◦ A B, = himpunan bagian◦ |A| = banyaknya anggota himpunan A, atau

n(A) A = {a,b,c,d,e,f} ; |A| = 6;

Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan himpunan kosong ;

Dilambangkan dengan atau { } Contoh: A= {} Himpunan kosong adalah

himpunan bagian dari setiap himpunan.

HIMPUNAN KOSONG

DIAGRAM VENN DAN HIMPUNAN SEMESTA

Himpunan semesta: Himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan

Contoh: S = semesta hewanA = hewan berkaki empatA = {kambing, sapi, kuda}

SA

. kambing. sapi

. kuda. ayam

. bebek

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

Himpunan BagianHimpunan saling lepas (disjoin)Himpunan saling berpotongan

HIMPUNAN BAGIAN Definisi himpunan bagian :

Jika setiap anggota himpunan A adalah juga anggota himpunan B ; A B

Himpunan A = B jka dan hanya jika A B dan B A

Jika A dan B adalah himpunan, sedemikian rupa sehingga A B tetapi A B, maka A adalah proper subset dari himpunan B; A Bcontoh: A={1,2,3,4,5}; B={1,2,3}; maka B A

HIMPUNAN SALING LEPAS

Bila v x A ≠ v x B (himpunan A tidak memiliki anggota yang sama dengan himpunan B)

SA B

HIMPUNAN SALING BERPOTONGAN

Bila x A = x BAda anggota himpunan A yang

juga anggota himpunan B

SA B

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN

Operasi dasar himpunan:- Gabungan (union);

A B = {x | x A atau x B}- Irisan (intersection);

A B = {x | x A dan x B}- Komplemen (complement); c

Ac = {x | x S; x A}

S

A B

A U B

S

A B

A n B

S

A n B

AB

S

A U B

BA

S

A n B = {}

BA

S

A U B

BAS

AC

A

AB = {x x A atau x B atau keduanya}AB = {x x A dan x B}AC = {xx S, x A}

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN

S

A B

S

A n B

AB

S

A U B

BA

S

A U B

BA

(a) (b)

(c) (d) A-B = {}

Operasi beda = A-B = AnBC

S

8

Operasi dengan tiga atau lebih subset

7 C

4

6 B

2

A 53

1

CCC

CC

CC

CC

C

C

C

CBA8

CBA7

CBA6

CBA5

CBA4

CBA3

CBA2

CBA1

Operasi penjumlahan

A + B = (A B) – (A B) = (B-A) (A-B)

SA B

ATURAN DAN HUKUM OPERASI HIMPUNAN (GABUNGAN, IRISAN DAN KOMPLEMENTASI)

1. A B = B A ; Hukum komutatif bagi gabungan2. A B = B A ; Hukum komutatif bagi irisan3. A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi

gabungan4. A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi irisan5. A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi

bagi gabungan6. A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi

bagi irisan7. Sc = 8. c = S9. (Ac)c = A10. A Ac = S11. A Ac = 12. (A B)c = Ac Bc ; Hukum De Morgan13. (A B)c = Ac Bc ; Hukum De Morgan

JUMLAH ANGGOTA DALAM HIMPUNAN BERHINGGA

n(A) = Jumlah anggota himpunan An(B) = Jumlah anggota himpunan Bn(C) = Jumlah anggota himpunan C

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) n(A B) = n(A) + n(B) ; n(A B) = 0 n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B)

- n(A C) -n(B C) + n(A B C)

KARTESIAN PRODUKB = {a, b, c, d, e} ; A = {1, 2, 3}

A X B = {(1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (1,e), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (2,e), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d), (3,e)}

Misalkan ada sebuah relasi R = {(1,a), (1,b), (2,d), (2,e), (3,a),

(3,b)}Maka R ⊆ (A X B) (1,a) ∈ R (1,c) ∉ R

LATIHAN 1

DiketahuiA= {1,3,5,7,9,11}B={2,4,6,8,10}C= {1,2,3,5,7,9}

Tentukan:• A B• A B C• A B C• A – B• A – C• Ac C

LATIHAN 2

Dari diagram Venn yang ada arsirlah :a. A’ Bb. ( A B )’ Cc. A’ ( B C )d. A’ ( B C’ )

A

B

C

S

LATIHAN 2 Pada suatu perusahaan yang mempunyai 35 orang

karyawan terdapat informasi sebagai berikut :◦ 15 orang mempunyai telivisi◦ 22 orang mempunyai radio◦ 14 orang mempunyai almari es◦ 11 orang mempunyai telivisi dan radio◦ 8 orang mempunyai radio dan almari es◦ 5 orang mempunyai telivisi dan almari es◦ 3 orang mempunyai ketiganya.

Berapa orang karyawan yang tidak mempunyai telivisi, tidak mempunyai radio maupun tidak mempunyai almari es ?

Berapa orang karyawan yang hanya mempunyai radio? Berapa orang karyawan yang memiliki 1 macam barang Berapa orang karyawan yamg minimal memiliki 2 macam

barang

TERIMA KASIH