rumus newton cotew tertutup
Post on 11-Feb-2015
25 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
BAB IPENDAHULUAN
Beberapa defenisi metode numerik yang dikemukakan ahli matematika,
misalnya metode numeric adalah teknik maslah matematikadiformulasikan
sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan dengan pengoperasian aretmetika.
Tredapat jenis metode numerik, namun pada dasarnya masing- masing metode
tersebut mempunyai karakteristik umum, yaitu selalu mencakup kalkulasi
aretmetika. Jadi metode numeric adalah suatu teknik untuk menformulasikan
masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan opersi aretmetika yang
terdiri dari operasi tambah, kurang, bagi, dan kali.
Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan pada
insinur dan ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk beberapa
integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Di bidang
termodinamika statistic misalnya, model Debye untuk menghitung kapasitas pana
sebuah benda pejel memuat fungsi berikut
Oleh karena tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, secara analitik
integrasi numeric harus digunakan untuk mendapatkan hampiran nialai-nilai
.
Contoh lainintegral tentu yang tidak dapat diperoleh secara analitik adalah dalam
perhitungan distribusi normal
.
Mislanya banyak contoh-contoh integral tentu, seperti
, dan ,
yang dapat dihitung secara analitik dan memerlukan perhitungan secara numeric
sebagai hampirannya.
Pada makalah ini akan dibahas beberapa metode yang dapat digunakan
untuk menghitung berbagai hampiaran suatu integral tertentu. Rumus-rumus
integrasi numeric untuk integral f(x) pada interval [a,b] didasarkan pada
perhitungan nialai-nilai f(x) di berhingga titik sampel pada [a,b].
Integral numerik sering disebut juga sebagai quadrature; integrasi numerik
disebut sebagai integrasi dgn menjumlah quadrature.
Penurunan rumus-rumus kuadratur sering di dasarkan pada polynomial-
polinomial interpolasi. Suatu polynomial tunggal berderajat yang
melalui N+1 titik yang memiliki basis yang berderajat sama satu dengan
lainnya. Apabila polynomial ini digunakan sebagai hampiran fungsi f(x) pada
interval [a,b], maka integral f(x) pada [a,b] dihampiri oleh integral pada
[a,b] dan rumus yang diperoleh dikenal sebagai Rumus Kuadratur Newton-Cotes.
Apabila titik sampel dan dipakai, maka rumus kuadratur itu
disebut Rumus Newton-Cotes Tertutup.
BAB IIPEMBAHASAN
A. Aturan Trapesium
Dalam menghitung integral dengan menggunakan aturan trapesium dapat dihitung dengan menggunakan tiga cara yaitu:
1. Hampiran Jumlah KiriSecara umum, misalkan f(x) adalah sebuah fungsi nyata satu
variabel. Untuk menghitung menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kiri, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]
sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar
subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang
tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak
hampiran integral yang diinginkan.
2. Hampiran Titik Tengah
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]
sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi
. Misalkan sub-subinterval adalah
. Maka luas persegi panjang yang terbentuk
adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak
hampiran integral yang diinginkan.
Jika sub-subinterval mempunyai lebar sama , katakan h, maka perhitungan di atas menjadi lebih mudah dak akan menjadi
dengan
3. Hampiran Jumlah Kanan
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kanan, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]
sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar
subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang
tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak
hampiran integral yang diinginkan.
Jika sub-subinterval mempunyai lebar sama , katakan h, maka perhitungan di atas menjadi lebih mudah dak akan menjadi
dengan
B. Aturan Simpson 1/3
Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan
menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan
fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi berderajat 2 yang grafiknya
berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai
integrasi adalah daerah dibawah parabola. Untuk itu dibutuhkan 3 buah titik
data misalkan (0,f(0)),(h,f(h)) dan (2h,f(2h)).
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ke 3 titik
tersebut adalah
Integrasikan p2(x) di dalam selang [0,2h]:
Mengingat
Dan Maka, selanjutnya
Persamaan di atas dinamakan kaidah simpson 1/3. Sebutan 1/3 muncul
karena di dalam persamaan ini terdapat factor 1/3 (sekaligus untuk
membedakannya dengan kaidah simpson yang lain yaitu simpson 3/8).
Misalkan kurva fungsi sepanjang selang integrasi [a,b] kita bagi menjadi
n+1 buah itik diskrit x0,x2,….,xn, dengan n genap, dan setiap tiga buah titik
(atau 2 pasang upaselang)di kurva dihampiri dengan parabola (polinom
interpolasi derajat 2), maka kita akan mempunyai n/2 potongan parabola. Bila
masing2 polinom derajat 2 tersebut kita integralkan di dalam upselang
(subinterval) integrasinya, maka jumlah seluruh integral tesebut membentuk
Kaidah simpson 1/3 gabungan
Pesamaan ini mudah di hafalkan dengan mengingat pola koefisien suku-
sukunya
1,4,2,4,2,….,2,4,1
Namun penggunaan kaidah 1/3 simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n)
harus genap, ini berbeda dengan kaidah trapezium, yang tidak mempunyai
persyaratan mengenai jumlah selang.
Galat Kaidah Simpson 1/3
Galat kaidah simpson 1/3 untuk dua pasang upaselang adalah
Uraikan f(x),f1,dan f2 masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar x0
Sulihkan persamaan ke-2 kedalam persamaan pertama :
Jadi, kaidah simpson 1/3 untuk sepasang upaselang ditambah dengan
galatnya dapat dinyatakan sebagai
Galat untuk n/2 pasang upaselang adalah :
, a < t < b
, karena n = (b-a)/h
Jadi, kaidah simpson 1/3 gabungan ditambah galatnya dapat dinyatakan sebagai,
Dengan kata lain, kaidah simpson 1/3 gabungan berorde 4. Dibandingkan dengan
kaidah trapezium gabungan, hasil integrasi dengan kaidah simpson gabungan jauh
lebh baik, karena orde galatnya lebih tinggi. Tapi ada kelemahannya, yaitu kaidah
simpson 1/3 tidak dapat diterapkan bila jumlah upaselang (n) ganjil.
C. Aturan Simpson 3/8
Seperti halnya pada kaidah simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang
lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi
berderajat lebih tingi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan
polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran
nilai integrasi adalah daerah dibawah kurva polinom derajat 3 tersebut
parabola. Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah
titik data, misalkan titik2 tersebut (0,f(0)),(h,f(h)),(2h,f(2h)) dan (3h,f(3h)).
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui ke empat buah titik
itu adalah
Integrasi p3(x) di dalam selang [0,3h] adalah,
Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah simpson 1/3, diperoleh
Yang merupakan kaidah simpson 3/8.
Galat kaidah simpson 3/8 adalah
, 0 < t < 3h
Jadi, kaidah simpson 3/8 gabungan ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan
sebagai
Sedangkan kaidah simpson 3/8 gabungan adalah
Persamaan di atas mudah dihapalkan dengan mengingat pola suku sukunya :
1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, …. , 2, 3, 3, 1
Namun penggunaan kaidah simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus
kelipatan tiga.
Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah
Jadi, kaidah simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai
Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah
simpson 1/3. Namun dalam praktek, kaidah simpson 1/3 biasanya lebih di sukai
dari pada kaidah simpson 3/8, karena dengan tiga titik (simpson 1/3) sudah
diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk n
kelipatan 3, kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan
simpson 1/3
D. Metode integrasi numeric untuk h yang berbeda beda
Misalkan jarak antara titik-titik data dalam selang [a,b] tidak seragam.
Beberapa titik data mempunyai jarak h1, beberapa titik data yg lain h2, sedangkan
sisanya berjarak h3. Integrasi numeric dalam selang [a,b] dilakukan dengan
mengkombinasikan kaidah integrasi yang sudah ada, misalnya kombinasi kaidah
trapezium, kaidah 1/3 simpson, dan kaidah 3/8 simpson. Berdasarkan orde
galatnya, kaidah 1/3 simpson dan 3/8 simpson lebih teliti daripada kaidah
trapezium. Karena itu, kaidah 1/3 simpson diterapkan apabila jumlah upaselang
yang bertetangga genap, sedangkan kaidah 3/8 simpson diterapkan bila jumlah
upaselang yang bertetangga ganjil dan kelipatan 3. Sisanya dihitung dengan
kaidah trapezium. Jadi, tata-ancangnya dapat diringkas sebagai berikut :
a. Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap,
gunakan kaidah 1/3 simpson.
b. Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan
tiga, gunakan kaidah 3/8 simpson
c. Untuk sejumlah upaselang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya,
gunakan kaidah trapezium.
Contoh :
Empat buah upaselang pertama berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah
simpson 1/3 (karena jumlah upaselang genap). Tiga buah upaselang berikutnya
berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 3/8 (karena jumlah
upaselang kelipatan 3). Dua buah upaselang berikutnya masing masing berbeda
lebarnya, maka setiap upaselang dihitung integrasinya dengan kaidah trapezium.
E. Bentuk Umum Metode Newton-Cotes
Kaidah trapezium, kaidah simpson 1/3 dan kaidah simpson 3/8 adalah 3
buah metode integrasi numeric pertama dari metode Newton-Cotes. Masing
masingnya menghampiri fungsi f(x) dengan polinom I nterpolasi derajat 1
(lanjar), derajat 2 (kuadratik), dan derajat 3 (kubik). Kita dapat menemukan
kaidah kaidah lainnya dengan menggunakan polinom interpolasi derajat 4,5,6 dan
seterusnya.
Bentuk umum metode Newton-Cotes dapat di tulis sebagai :
Dalam hal ini dan , E menyatakan galat,
sedangkan dan adalah konstanta riil.
PROGRAM MATLAB
Menghitung integral dengan metode:
A. ATURAN TRAPESIUM
1. Hampiran Jumlah Kiri (Metode Persegi)
%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI KIRI');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')
a=0;b=10;n=10000000; l=(b-a)/n;t=0;for i=1:n; p=i*l-l; p=p^2; luas=p*l; t=t+luas;endt
Output:PROGRAM METODE PERSEGI KIRIPROGRAMER : KELOMPOK II
t =
333.3333
2. Hampiran Titik Tengah(Metode Persegi Tengah)
%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI TENGAH');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')
a=0;b=10;n=10;l=(b-a)/n;t=0;for i=1:n; pkiri=i*l-l; pkiri=pkiri^2 pkanan=i*l; pkanan=pkanan^2; luas=l*(pkiri+pkanan)/2; t=t+luas;endt
3. Hampiran Jumlah Kanan(Medode Persegi Kanan)%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI KANAN');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')
a=0;b=10;n=10000000;l=(b-a)/n;t=0;for i=1:n; p=i*l; p=p^2; luas=p*l; t=t+luas;endt
Output:
PROGRAM METODE PERSEGI KIRIPROGRAMER : KELOMPOK II
t =
333.3333
B. ATURAN SIMPSON%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI TENGAH');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')
a=0;b=10;n=8;t=(b-a)/n;total=0;for i=1:n pkiri=i*t-t; pkanan=i*t; ptengah=(pkiri+pkanan)/2; pkiri=pkiri^2; pkanan=pkanan^2; ptengah=ptengah^2; luas=(t*(pkiri+2*ptengah+pkanan))/4; total=total+luas;endtotal
Output:
total =
333.9844
BAB IIIPENUTUP
Adapun kesimpulan dari pembahasan makalah ini adalah
Dalam menghitung integral dengan menggunakan aturan trapesium dapat dihitung dengan menggunakan tiga cara yaitu:
1. Hampiran Jumlah KiriSecara umum, misalkan f(x) adalah sebuah fungsi nyata satu
variabel. Untuk menghitung menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kiri, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]
sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar
subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang
tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak
hampiran integral yang diinginkan.
2. Hampiran Titik Tengah
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]
sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi
. Misalkan sub-subinterval adalah
. Maka luas persegi panjang yang terbentuk
adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak
hampiran integral yang diinginkan.
3. Hampiran Jumlah Kanan
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kanan, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]
sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar
subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang
tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak
hampiran integral yang diinginkan.
Dan menghitung integral dengan menggunakan aturan simpson yaitu dengan cara: Aturan simpson 1/3 Aturan simpson 1/8
MENGHITUNG INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE NEWTON-COTES
Oleh :
Kelompok II
Anggota:
Hartati Nismawati Milka Andriani Nursyamsu Tsani
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN
MAKASSAR
2010
top related