relasi antar dua variabel - scele.ui.ac.id fileberikut adalah grafik produksi dalam 5 tahun (ton):...
Post on 27-Apr-2019
230 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Penyusun: Bevina D.Handari
Relasi antar dua variabel
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Seorang pelanggan air minum setiap bulan membayar tagihan dengan perincian sebagai berikut: biaya pemeliharaan meter Rp 5.200, biaya beban tetap Rp 14.190, dan biaya pemakaian Rp 6.825/m3.
Bagaimana kita membantu pelanggan tersebut mengestimasi pengeluarannya setiap bulan?
Dengan menggunakan fungsi yang tepat, kita dapat mengestimasi pengeluaran pelanggan air minum tersebut.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Sesuai dengan itu, lingkup subpokok bahasan adalah karakteristik grafik dan fungsi 2, khususnya karakteristik fungsi.
Dalam karakteristik fungsi akan dipelajari jenis fungsi linier, fungsi berbanding lurus, fungsi berbanding terbalik, dan fungsi eksponensial yang dapat menjelaskan relasi antara peubah terikat (dependent) dengan peubah bebas (independent).
Pengetahuan ini dapat memperkaya kita dalam menjelaskan/menganalisis suatu masalah.
DAFTAR ISI
Pembahasan Fungsi: Fungsi
Fungsi linier Fungsi
Eksponensial
Fungsi Berbanding
Lurus Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Fungsi Berbanding
Terbalik
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Relasi antara temperatur dengan kedalaman bumi dalam bentuk tabel dan grafik batang merupakan sebuah fungsi, yaitu π = 30 π₯.
Pada fungsi tersebut, peubah terikat (π) adalah sama dengan sebuah konstanta (yaitu 30) dikali dengan peubah bebas (π₯). Dengan kata lain peubah terikat berbanding lurus dengan variabel bebas, dan fungsi tersebut dikenal sebagai fungsi berbanding lurus/langsung. Temperatur berbanding lurus dengan kedalaman bumi.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Peubah terikat adalah sama dengan perkalian sebuah konstanta dengan peubah bebas
Notasi simbolik
π¦ = π. π₯,
c konstanta
Fungsi
Berbanding
Lurus
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik fungsi berbanding lurus:
Grafik fungsi berbanding lurus adalah
garis lurus melalui titik (0,0)
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Fungsi berbanding lurus merupakan bagian dari fungsi linier. Pada fungsi linier relasi antara peubah dapat dinyatakan dalam sebuah garis lurus.
Fungsi linier tidak
harus melalui (0,0)
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
π dan π
konstanta
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Relasi antara peubah π₯
dan π¦ dalam fungsi linier
π¦ = π. π₯ + π,
Jika π = 0,
bagaimana grafik fungsinya?
Jika π = 0,
bagaimana grafik fungsinya?
Pro
du
ksi
x (
ton
)
2010 2011 2012 2013 2014 2015
Tahun
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Berikut adalah grafik produksi π₯ dalam 5 tahun (ton): Produksi x dalam 5 tahun (ton)
7
6
5
4
3
2
1
0
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik tersebut menjelaskan jika hingga pada tahun 2010 sudah diproduksi produk π₯ sebanyak 5 juta ton, dan diasumsikan produk π₯ dapat diproduksi dengan jumlah yang sama tiap tahunnya sebesar 0,25 ton hingga lima tahun ke depan, maka dapat diestimasi total jumlah produk π₯ setiap tahun hingga lima tahun ke depan.
Grafik menunjukkan relasi antara peubah terikat produksi (π₯) dengan peubah bebas tahun (π‘) sebagai berikut: π₯ = 0,25 π‘ + 5. Dalam hal ini produksi π₯ merupakan fungsi linier terhadap waktu π‘.
Tahun Produksi π (ton)
2010 5
2011 5,25
2012 5,5
2013 5,75
2014 6
2015 6,25
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Produksi π₯ dapat dinyatakan dalam tabel:
Laju perubahan produksi pada tahun 2010-2011:
(5,25-5)/(2011-2010)=0,25.
Berapakah laju perubahan produksi pada selang waktu yang lain?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Perhatikan bahwa laju perubahan produksi π₯ pada selang waktu yang lain adalah juga 0,25.
Fungsi linier adalah satu-satunya fungsi dengan laju perubahan konstan.
Pada fungsi linier, perubahan peubah terikat dibagi dengan perubahan peubah bebas pada sebarang selang waktu berupa sebuah konstanta yang disebut sebagai kemiringan garis (slope). Apa peranan kemiringan garis dalam sebuah grafik?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Fungsi linier dalam
notasi simbolik
π = π π + π,
π, π konstanta
Grafik π < 0?
Contoh:
Grafik π = β2?
Contoh:
Grafik π = β5?
Grafik π = 0? Grafik π > 0?
Contoh:
Grafik π = 2?
Contoh:
Grafik π = 5?
Besar kemiringan
dari garis
menentukan
seberapa curam
garis lurus tersebut.
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Bandingkan kemiringan dari 3 grafik ini.
Grafik dengan nilai konstanta π manakah yang paling curam?
Karakteristik grafik apakah yang dapat anda
jelaskan? Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5
π = π
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5
π = ππ + π
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5
π = ππ + π
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik pertama adalah grafik mendatar karena nilai konstanta π nol. Nilai grafik fungsi bergantung pada konstanta π.
Dua grafik di kanannya adalah grafik fungsi naik. Grafik dengan konstanta π yang lebih besar lebih
curam dari pada grafik dengan konstanta π yang lebih kecil.
Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan positif yang lebih besar.
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Apa beda 2 grafik ini dengan grafik sebelumnya?
Nilai konstanta c pada dua grafik di atas negatif.
Karakteristik grafik apakah yang dapat anda
jelaskan? Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
π = βππ + π
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
π = βππ + π
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Dua grafik tersebut adalah grafik fungsi turun. Grafik dengan konstanta c yang lebih kecil lebih
curam dari pada grafik dengan konstanta c yang lebih besar.
Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan negatif yang lebih besar.
Dapat disimpulkan bahwa konstanta c menunjukkan kemiringan garis, dan kecuraman grafik. Kemiringan garis merepresentasikan besar laju perubahan.
Ha
mb
ata
n (
Am
p)
5 10 15 20 25 30
Kuat Arus (Ohm)
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Bagaimana dengan grafik berikut? Apakah grafik ini merupakan grafik fungsi linier? Relasi Kuat Arus dan Hambatan 50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Kuat Arus (Ohm) Hambatan (Amp)
5 44
10 22
15 14,7
20 11
25 8,8
30 7,3
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Representasi tabel dari grafik tersebut adalah:
Perhatikan bahwa laju perubahan tidak sama di setiap selang.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Laju perubahan pada selang hambatan (5,10) adalah: (22-44)/(10-5)=-4,4. Laju perubahan pada selang hambatan (20,25) adalah: (8,8-11)/(25-20)=-0,44.
Karena laju perubahan tidak sama maka grafik di atas bukan grafik fungsi linier.
Dari grafik dapat dilihat bahwa semakin besar nilai peubah bebas hambatan, nilai peubah terikat kuat arus mengecil. Berarti grafik diatas adalah grafik fungsi turun.
Kuat Arus
(Ohm) (π)
Hambatan
(Amp) (π)
Hasil Kali π. π
5 44 220
10 22 220
15 14,7 220
20 11 220
25 8,8 220
30 7,3 220
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Hal yang menarik, jika kita kalikan masing-masing nilai peubah bebas dengan nilai peubah terikatnya maka kita peroleh bilangan yang sama, yaitu 220.
c
adalah π¦ =π
π₯
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Jika nilai peubah terikat dikali dengan nilai peubah bebas adalah bilangan yang sama, maka fungsi dengan karakteristik tersebut disebut sebagai fungsi berbanding terbalik.
Secara simbolik dapat dinyatakan sebagai yx=c, dimana π¦ peubah terikat, π₯ peubah bebas dan π konstanta. Notasi yang lebih umum digunakan
Kuat arus berbanding terbalik terhadap hambatan.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Sampai saat ini kita sudah mempelajari:
Fungsi linier
Fungsi Berbanding Lurus
Fungsi
Berbanding Terbalik
Bentuk khusus
Hu
tam
g (
rib
u r
up
iah
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bulan
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Bagaimana dengan grafik berikut? Fungsi apa yang direpresentasikannya? Pertumbuhan Hutang
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Banyak dijumpai data yang merepresentasikan pertumbuhan atau penurunan suatu besaran. Grafik sebelumnya merepresentasikan pertumbuhan.
Grafik di atas adalah grafik pertumbuhan hutang seseorang dalam 1 tahun, jika ia meminjam uang sejumlah Rp 200.000 rupiah dengan bunga 40% per bulan. Grafik dapat dinyatakan dalam tabel dan grafik batang sebagai berikut:
Bulan ke Besar
Hutang
0 200
1 280
2 392
3 548,8
4 768,3
5 1075,6
6 1505,9
7 2108,3
8 2951,6
9 4132,2
10 5785,1
11 8099,1
12 11338,8
Hu
tam
g (
rib
u r
up
iah
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bulan
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Pertumbuhan Hutang
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Laju perubahan tidak sama pada setiap selang waktu
Bukan fungsi
linier
Hasil kali antar dua peubah tidak konstan
Bukan fungsi
berbanding terbalik
Fungsi apakah yang mungkin? Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Bulan ke Besar
Hutang
Rasio
0 200 -
1 280 1,4
2 392 1,4
3 548,8 1,4
4 768,3 1,4
5 1075,6 1,4
6 1505,9 1,4
7 2108,3 1,4
8 2951,6 1,4
9 4132,2 1,4
10 5785,1 1,4
11 8099,1 1,4
12 11338,8 1,4
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Perhatikan tabel berikut:
Rasio adalah perbandingan
besar hutang bulan ini dengan
besar hutang bulan lalu
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
π΅ππ ππ βπ’π‘πππ ππ’πππ πππ
π΅ππ ππ βπ’π‘πππ ππ’πππ ππππ’ =1,4
Besar hutang bulan ini=
1,4 x Besar hutang bulan lalu
Berarti laju pertumbuhan hutang adalah
40% karena besar hutang bulan ini =
(1+0,40) x besar hutang bulan lalu Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik tadi menunjukkan bahwa nilai suatu besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih besar dari 1, yaitu 1,4.
Karakteristik tersebut merupakan ciri dari pertumbuhan eksponensial.
Grafik berbentuk melengkung ke atas sehingga laju pertumbuhan besar hutang meningkat.
Pertumbuhan hutang tumbuh secara eksponensial.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Jika suatu grafik menunjukkan bahwa nilai suatu besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih kecil dari 1, misalnya 0,5. Maka karakteristik ini menunjukkan penurunan eksponensial. Fungsi Eksponensial
Pertumbuhan
Eksponensial
Penurunan
Eksponensial
Apa yang
sudah kita pelajari?
Karakteristik
Fungsi
KESIMPULAN Fungsi Linier,
Fungsi Berbanding Lurus
Fungsi Berbanding
Terbalik
Fungsi
Eksponensial Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
SARAN
Gunakan pengetahuan kita mengenai karakteristik fungsi dalam menjelaskan/menganalisa suatu masalah.
Gunakan data untuk membentuk grafik fungsi jika memungkinkan.
Gunakan grafik fungsi untuk menjelaskan suatu perubahan, misalnya laju perubahan yang berbanding lurus/terbalik atau meningkat/menurun secara eksponensial.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
DAFTAR PUSTAKA
Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of Mathematics with Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, 2009.
Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.
Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, 2006.
Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools For Todayβs Informed Citizen, Key College Publishing, 2007.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Sekian
top related