presentasi matematika operasi aljabar pada matriks xii ip
Post on 09-Aug-2015
73 Views
Preview:
TRANSCRIPT
OM SWASTIASTU
Operasi-Operasi Aljabar pada
MatriksOleh :
Agus Hendra Jaya (01)Tubagus Singgih (33)
Kelas XII IPA 1
MATERI-MATERI YANG AKAN DIBAHAS
Penjumlahan dan
Pengurangan
Matriks
PerkalianMatriks
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Definisi :Jika matriks A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua buah matriks yang berordo m × n, maka jumlah kedua matriks tersebut yang dinotasikan dengan A + B adalah suatu matriks baru C = [cij] yang berordo m × n dengan cij = aij + bij untuk setiap i dan j.
2. Lawan Suatu Matriks
Definisi :Jika matriks A = [aij] dan B = [bij] adalah dua matriks yang berordo sama, sedemikian sehingga berlaku A + B = O = B + A, dengan O matriks nol, maka A disebut lawan dari B yang dinotasikan dengan A = -B, matriks B disebut juga lawan dari matriks A yang juga dapat dinotasikan sebagai B = -A. Matriks A dan B yang memenuhi definisi di atas dinamakan matriks yang saling berlawanan.
3. Pengurangan Matriks
Definisi :Jika matriks A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua buah matriks berordo m × n, maka matriks A dikurangi matriks B dinotasikan dengan A – B didefinisikan sebagai jumlah matriks A dengan lawan dari matriks B dan ditulis A + (-B) sehingga A – B = A + (-B). Hasil dari pengurangannya merupakan matriks C = [cij] yang juga berordo m × n dengan [cij] = [aij] + [-bij].
Contoh Soal
1. Jika diketahui dan , tentukanlah :a. A + Cb. B + Cc. B + Ct
Jawab :a.
b. B + C = tidak terdefinisi sebab ordo matriks B ≠ ordo matriks C, sehingga B + C tidak ada.c.
01
22
30
,124
752BA
531
230C
453
582
5132)1(4
)2(7)3(502
531
230
124
752CA
53
51
20
50)2(1
32)3(2
)1(300
52
33
10
01
22
30tCB
2. Tunjukkan bahwa matriks dan matriks adalah dua buah matriks yang saling berlawanan ! Jawab :
Karena A + B = B + A = O, maka A dan B dua buah matriks yang saling berlawanan.
109
73A
109
73B
00
00
1010)9(9
)7(733
109
73
109
73BA
00
00
101099
77)3(3
109
73
109
73AB
3. Diketahui dan . Tentukan A - B dan B – A ! Jawab : a.
b.
1112
104A
24
52B
98
52
24
52
1112
104)( BABA
98
52
1112
104
24
52)( ABAB
Pada operasi bilangan berlaku sifat-sifat komutatif, asosiatif, memiliki elemen identitas terhadap penjumlahan. Pada matriks sifat-sifat itu berlaku di mana sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut :Jika matriks A = [aij], B = [bij] dan C = [cij], dan O (matriks nol) adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku :a. Sifat komutatif
artinya A + B = B + A b. Sifat asosiatif
artinya (A + B) + C = A + (B + C)c. Mempunyai elemen identitas terhadap operasi
penjumlahan, yaitu O sehingga untuk setiap A = [aij] berlaku A + O = A = O + A
d. Mempunyai invers terhadap penjumlahan, yaitu A + (-A) = (-A) + A = O
Perkalian Matriks
Definisi :Misalnya k € R dan A = [aij] adalah suatu matriks yang berordo m × n. Perkalian bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks baru yang juga berordo m × n yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada A dengan bilangan real k dan diberi notasi kA sedemikian sehingga kA = [kaij].
1. Perkalian Skalar dengan Suatu Matriks
Contoh Soal :
1. Jika , tentukan matriks yang diwakili oleh 2A.
Jawab :
2.Diketahui matriks-matriks dan f(x,y) = 3x – 2y. Tentukan f(B,A)!Jawab :
401
253A
802
4106
)4(2)0(2)1(2
)2(2)5(2)3(2
401
25322A
15
30,
40
32BA
1115
154
80
64
315
90
40
322
15
30323),( ABABf
Berdasarkan definisi perkalian matriks dengan skalar, maka sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar diberikan sebagai berikut :
Jika k,l € R, matriks-matriks A = [aij] dan B = [bij] berordo m × n, maka dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut :1. (k + l)A = kA + lA dan (k – l)A = kA- lA 2. k(BA) = (kB)A3. k(lA) = (kl)A
2. Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi :Apabila matriks A = [aij] adalah matriks yang berordo (m x p) dan matriks B = [bij] adalah matriks yang berordo (q x n), maka perkalian matriks A dan B yang dinotasikan dengan AB dapat dilakukan apabila p x q. Hasil kali matriks AB didefinisikan sebagai matriks C = [cij] yang berordo m x n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah :cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ...... + aipbqj
Dengan i = 1, 2, 3, ....., m j = 1, 2, 3, ....., n
Dari definisi diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut :
Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.
Contoh Soal
1. Diketahui dan . a. Tentukan AB dan BA. b. Apakah A.B = B.A? Jawab : a.
Berdasarkan definisi perkalian matriks dengan matriks, perkalian B.A tidak
dapat diselesaikan. b. Dari jawaban a diperoleh kesimpulan bahwa A.B ≠ B.A
01
32A
3
2B
2
13
02
94
)3(0)2)(1(
)3(3)2(2
3
2
01
32AB
2. Diketahui matriks-matriks dan Carilah P.Q. Jawab :
420
132P
52
03
12
Q
2014
33
2000860
502294
5.40.2)1.(02.43.22.0
5.10).3()1.(22.13).3(2.2
52
03
12
420
132PQ
Sama dengan operasi pada bilangan, pada matriks pun juga berlaku sifat-sifat yang berhubungan dengan perkalian matriks. Sifat-sifat dari perkalian matriks adalah sebagai berikut :
1. AB ≠ BA, yaitu tidak berlaku sistem komutatif2. Untuk sembarang k € R, A = [aij] dan B = [bij], maka:
a. (kA)B = k(AB)b. (Ak)B = A(kB)c. (AB)k = A(Bk)
3. Untuk A = [aij], B = [bij] dan C = [cij], maka :
a. A(BC) = (AB)C, jika AB dan BC terdefinisikan atau memenuhi sifat asosiatif.b. A(B + C) = AB + AC, jika AB, AC dan B + C terdefinisikan. Sifat ini disebut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan, danc. (A + B)C = AC + BC, jika AC, BC dan A + B terdefinisikan. Sifat ini disebut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
Contoh Soal :
1. Jika dan , tunjukkan
bahwa A(BC) = (AB)C! Jawab :
Jadi, A(BC) = (AB)C.
53
02,
03
21BA
14
20C
120
2640
14
20
06
108
14
20
53
02
03
21)(
120
2640
1120
40
03
21
14
20
53
02
03
21)(
CAB
BCA
2. Diketahui dan .
Tunjukkan bahwa A(B + C) = AB + AC. Jawab :
Jadi, A(B + C) = AB + AC.
31
10
01
,523
102BA
17
60
53
C
1934
1412
226
1113
178
31
17
60
53
523
102
31
10
01
523
102
1934
1412
48
70
52
523
102
17
60
53
31
10
01
523
102)(
ACAB
CBA
OM SANTIH, SANTIH, SANTIH OM
top related