Pertemuan 1

Powerpoint TemplatesPage 1

MATEMATIKA TEKNIK I

MATRIKS

Powerpoint TemplatesPage 2

KONSEP DASAR DAN DEFINISI• NOTASI MATRIKS

Notasi matriks adalah suatu cara yang digunakan untuk memudahkan penulisan bentuk persamaan simultan.

• DEFINISI MATRIKS

Matriks didefinisikan sebagai jajaran bilangan-bilangan yang disebut elemen, disusun secara khusus dalam bentuk m baris dan n kolom sehingga membentuk empat persegi panjang.

elemen-elemen ini dapat berupa bilangan riil atau kompleks. Notasi subskrip ganda aij digunakan untuk menunjukkan sebuah elemen matriks. Subskrip i menunjukkan baris dan subskrip j menunjukkan kolom.

Powerpoint TemplatesPage 3

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

dimana :

x1,, x2, x3 adalah variabel tidak diketahui

a1, a2 , a3 adalah koefisien-koefisien dari variabel tidak diketahui

b1, b2, b3 parameter-parameter yang diketahui

Dalam bentuk matriks dituliskan sebagai berikut :

Dalam bentuk notasi matriks, dapat ditulis : Ax = b

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

b

x

aaa

Powerpoint TemplatesPage 4

• Matriks mxn adalah matriks dengan jumlah baris m dan kolom n

• Matriks baris adalah matriks dengan baris tunggal dengan kolom lebih dari satu kolom.

• Matriks kolom / vektor kolom adalah matrik dengan kolom tunggal dengan baris lebih dari satu baris.

n1

21

11

1n1211

a

.....

a

dan...aaa

Powerpoint TemplatesPage 5

TIPE-TIPE MATRIKS1.Matriks Bujur sangkar

apabila jumlah baris sama dengan jumlah kolom, m = n.

disebut juga matriks kuadrat atau matriks bujur sangkar.

elemen-elemen matriks dalam matriks bujur sangkar, aij dimana i = j disebut elemen-elemen diagonal, sedangkan elemen-elemen dimana i ≠ j disebut elemen-elemen off diagonal.

nm434241

24232221

14131211

mxn

aaaa

........................

aaaa

A

Powerpoint TemplatesPage 6

2. Matriks Segitiga Atasapabila elemen-elemen aij dari matriks bujur sangkar berharga no untuk i > j, matriks tersebut adalah matriks segitiga atas, seperti contoh :

33

2322

131211

u00

uu0

uuu

U

Powerpoint TemplatesPage 7

3. Matriks Segitiga Bawahapabila elemen-elemen aij dari matriks bujur sangkar berharga nol untuk i < j, matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah.

333231

2221

11

III

0II

00I

L

Powerpoint TemplatesPage 8

4. Matriks Diagonal jika elemen-elemen off-diagonal dari suatu matriks bujur sangkar berharga nol (aij = 0, untuk i ≠ j), matriks tersebut disebut matriks diagonal.

33

22

11

d00

0d0

00d

D

Powerpoint TemplatesPage 9

5. Matriks Kesatuan atau Matriks Identitas dan Matriks Nolapabila semua elemen diagonal matriks bujur sangkar berharga satu, dan elemen lainnya nol (aij = 1, untuk I = j dan aij = 0, untuk I ≠ j), matriks tersebut disebut matriks satuan atau matriks identitas.

000

Odan

100

010

001

I

Powerpoint TemplatesPage 10

6. Transpose MatriksJika baris dan kolom matriks mxn saling dipertukarkan, maka resultan matriks mxn adalah transpose dari matriks tersebut yang dinyatakan dengan AT.

418

397

654

A

436

195

874

A

aaa

A

T

332313

322212

312111

T

Powerpoint TemplatesPage 11

7.Matriks Simetrisjika elemen-elemen matriks bujur sangkar aij = aji, matriks tersebut disebut matriks simetris.

transpose dari sebuah matriks simetris identik dengan matriks itu sendiri.

99

63

25

51

Adan9625

9351A T

463

625

351

Adan

463

625

351

A T

Powerpoint TemplatesPage 12

8. Matriks Skewjika matriks bujur sangkar aij = -aij, untuk semua ij, tetapi tidak semua elemen aij = 0, matriks ini disebut matriks skew.

246

405

657

A

Powerpoint TemplatesPage 13

9. Matriks Skew Simetrijika matriks bujur sangkar A = -AT, maka matriks A tersebut disebut matriks skew simetri. Hubungan antara elemen-elemen luar diagonal sama, tetapi berlawanan tanda (aij = -aij), dan elemen diagonal berharga nol.

063

605

350

A

Powerpoint TemplatesPage 14

10. Matriks KonjugateJika semua elemen matriks dipertukarkan dengan konjugatenya (a + jb → a – jb), matriks tersebut disebut matriks konjugate dan ditulis dengan cara A*, seperti :

j11j24

5j3A*dan

j11j24

5j3A

Powerpoint TemplatesPage 15

11. Matriks HermitianJika matriks bujur sangkar kompleks berlaku A = (A*)T, maka matriks A disebut matriks Hermitian, dimana semua elemen diagonal adalah bilangan riil.

5j32

j524A

Powerpoint TemplatesPage 16

12. Matriks Unitary (Uniter)disebut matriks uniter apabila matriks bujur sangkar A memiliki transpose yang sama dengan konjugate inverse nya.

(A*)T A = U = A (A*)T

Powerpoint TemplatesPage 17

13. Matriks Singular dan Non Singularmatriks singular adalah matriks yang nilai determinannya = 0, sedangkan matriks non singular adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0

Powerpoint TemplatesPage 18

DETERMINAN MATRIKS

• Apabila ada dua persamaan sbb :

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

maka determinan nya adalah :

211222112221

1211 aaaaaa

aaA

Powerpoint TemplatesPage 19

• Penyelesaian persamaan tadi dengan cara determinan yaitu :

21122211

121211

2221

1211

221

111

2

21122211

1212121

2221

1211

212

121

1

aaaa

baba

aa

ba

x

aaaa

aaba

aa

ab

x

Powerpoint TemplatesPage 20

MINOR DAN KOFAKTOR• Determinan diperoleh dengan cara

mengeluarkan elemen-elemen baris i, kolom j disebut dengan minor dari elemen aij.

3332

131221

333231

232221

131211

aa

aaaMinor

aaa

A

Powerpoint TemplatesPage 21

Determinan dapat dicari dengan cara berikut :

• Kofaktor suatu elemen adalah (-1)i+j (Minor dari aij) dimana orde dari minor aij adalah n-1. kofaktor dari a21 dinyatakan dengan K21, yaitu :

• Secara ringkas determinan [A] adalah :

• Sedangkan kofaktor Kij dapat dicari dari minor Mij

Kij = (-1)i+jMij

3332

1312

3332

13121221 aa

aa

aa1)(K

1nuntukn,1,2,....,jKaADET ij

n

1iij

Powerpoint TemplatesPage 22

ADJOINT• Apabila setiap elemen dari matriks bujur

sangkar dipertukarkan dengan kofaktornya, kemudian matriks tersebut di transpose, hasilnya disebut matriks adjoint yang dinyatakan dengan A+.

332313

322212

312111

KKK

A

Powerpoint TemplatesPage 23

OPERASI MATRIKS1. MATRIKS SAMA

jika A dan B adalah matriks berdimensi sama, dengan elemen-elemen aij = bij, maka kedua matriks disebut matriks sama

A = B

Powerpoint TemplatesPage 24

2. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Matriks berdimensi sama, dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Penjumlahan atau pengurangan dua matriks berdimensi m x n, akan menghasilkan matriks baru C dengan dimensi sama.

A ± B = C

Powerpoint TemplatesPage 25

• Dimana masing-masing elemen matriks C adalah cij = aij ± bij. Aturan komutatif dan asosiatif berlaku bagi penjumlahan matriks.

A + B = B + A → Komutatif

A + B + C = A + (B + C)

= (A + B) + C → asosiatif

Powerpoint TemplatesPage 26

3. Perkalian Matriks

a. Perkalian Matriks dengan Skalar

bila sebuah matriks dikalikan dengan skalar, elemen hasil perkalian tersebut sama dengan perkalian elemen-elemen asal matriks skalar tersebut.

kA = B, dimana bij = k x aij untuk semua I dan j

perkalian matriks dengan skalar mengikuti aturan komutatif dan distributif :

kA = B → Komutatif

k (A + B) = kA + kB

= (A + B) k → distributif

Powerpoint TemplatesPage 27

b. Perkalian Matriks dengan Matriks

perkalian dua matriks AB = C hanya dapat dilakukan apabila jumlah kolom dari matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B.

amxn Bnxk = Cmxk

2232123121321131

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

3231

2221

1211

babababa

bb

aa

AxB

Powerpoint TemplatesPage 28

• Meski AB dimungkinkan, namun BA tidak dapat dilakukan, sehingga secara umum berlaku AB ≠ BA, kecuali untuk matriks bujur sangkar (komutatif tidak berlaku).

A (B + C) = AB + BC → distributif

A (BC) = (AB) C = ABC → asosiatif

AB = 0, tidak menunjukkan bahwa A = 0

atau B = 0

CA = CB, tidak berarti A = B

Powerpoint TemplatesPage 29

INVERSE MATRIKS [A]-1

• Apabila [A] yang kuadrat dengan m baris dan n kolom, dan merupakan matriks yang non singular (det A ≠ 0) dan Kij merupakan kofaktor dari elemen aij, maka inverse matriks A dirumuskan sebagai berikut :

nn2n1n

n22212

n12111

1

T

T1

.......KKK

K......KK

Adet

1A

KkofaktormatrikstransposeKK

Adet

KAadjoint

Adet

1A

Powerpoint TemplatesPage 30

CONTOH :

54

53

51

52

43

12

5

1A

111K

331K

441K

221K

53.14.2Adet

Adet

KA

nya!inverscarilah,23

14A

1

1221

2112

2222

1111

T1

Powerpoint TemplatesPage 31

SOAL - SOAL

141454

3252

2563

2342

Ab

213

321

132

Aa

dariinversTentukan3.

341

431

321

Aadjoint2.Carilah

2152

1204

0121

.3c

1322

3051

2143

2152

1204

0121

.b

1322

3051

2143

2152

1204

0121

.a1.

Powerpoint TemplatesPage 32

63156

36012

0363

2152

1204

0121

.3c

32-30

2-25-3

22-62

(-1)2312522

31025014

20114231

1322

3051

2143

2152

1204

0121

.b

1474

4255

2024

(-1)231(-2)522

31025014

2011(-4)231

1322

3051

2143

2152

1204

0121

.a1.

Powerpoint TemplatesPage 33

12-1

1-01

1-67-

31

21

41

21

41

31

41

31

41

43

32

34

32

34

43

adalahAadjoint

341

431

321

AadjointCarilah2.

Powerpoint TemplatesPage 34

175-

5-17

75-1

18

1A

175-

5-17

75-1

AAdj

181836

2.1.31.3.23.2.11.1.13.3.32.2.2

13213

21321

32132

A

213

321

132

Aa

dariinversTentukan3.

1

Documents

1 pertemuan 1

pertemuan 1

pertemuan 1