pertemuan 1
DESCRIPTION
asTRANSCRIPT
![Page 1: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/1.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 1
MATEMATIKA TEKNIK I
MATRIKS
![Page 2: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/2.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 2
KONSEP DASAR DAN DEFINISI• NOTASI MATRIKS
Notasi matriks adalah suatu cara yang digunakan untuk memudahkan penulisan bentuk persamaan simultan.
• DEFINISI MATRIKS
Matriks didefinisikan sebagai jajaran bilangan-bilangan yang disebut elemen, disusun secara khusus dalam bentuk m baris dan n kolom sehingga membentuk empat persegi panjang.
elemen-elemen ini dapat berupa bilangan riil atau kompleks. Notasi subskrip ganda aij digunakan untuk menunjukkan sebuah elemen matriks. Subskrip i menunjukkan baris dan subskrip j menunjukkan kolom.
![Page 3: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/3.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 3
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
dimana :
x1,, x2, x3 adalah variabel tidak diketahui
a1, a2 , a3 adalah koefisien-koefisien dari variabel tidak diketahui
b1, b2, b3 parameter-parameter yang diketahui
Dalam bentuk matriks dituliskan sebagai berikut :
Dalam bentuk notasi matriks, dapat ditulis : Ax = b
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
![Page 4: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/4.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 4
• Matriks mxn adalah matriks dengan jumlah baris m dan kolom n
• Matriks baris adalah matriks dengan baris tunggal dengan kolom lebih dari satu kolom.
• Matriks kolom / vektor kolom adalah matrik dengan kolom tunggal dengan baris lebih dari satu baris.
n1
21
11
1n1211
a
.....
a
a
dan...aaa
![Page 5: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/5.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 5
TIPE-TIPE MATRIKS1.Matriks Bujur sangkar
apabila jumlah baris sama dengan jumlah kolom, m = n.
disebut juga matriks kuadrat atau matriks bujur sangkar.
elemen-elemen matriks dalam matriks bujur sangkar, aij dimana i = j disebut elemen-elemen diagonal, sedangkan elemen-elemen dimana i ≠ j disebut elemen-elemen off diagonal.
nm434241
24232221
14131211
mxn
aaaa
........................
aaaa
aaaa
A
![Page 6: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/6.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 6
2. Matriks Segitiga Atasapabila elemen-elemen aij dari matriks bujur sangkar berharga no untuk i > j, matriks tersebut adalah matriks segitiga atas, seperti contoh :
33
2322
131211
u00
uu0
uuu
U
![Page 7: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/7.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 7
3. Matriks Segitiga Bawahapabila elemen-elemen aij dari matriks bujur sangkar berharga nol untuk i < j, matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah.
333231
2221
11
III
0II
00I
L
![Page 8: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/8.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 8
4. Matriks Diagonal jika elemen-elemen off-diagonal dari suatu matriks bujur sangkar berharga nol (aij = 0, untuk i ≠ j), matriks tersebut disebut matriks diagonal.
33
22
11
d00
0d0
00d
D
![Page 9: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/9.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 9
5. Matriks Kesatuan atau Matriks Identitas dan Matriks Nolapabila semua elemen diagonal matriks bujur sangkar berharga satu, dan elemen lainnya nol (aij = 1, untuk I = j dan aij = 0, untuk I ≠ j), matriks tersebut disebut matriks satuan atau matriks identitas.
000
000
000
Odan
100
010
001
I
![Page 10: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/10.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 10
6. Transpose MatriksJika baris dan kolom matriks mxn saling dipertukarkan, maka resultan matriks mxn adalah transpose dari matriks tersebut yang dinyatakan dengan AT.
418
397
654
A
436
195
874
A
aaa
aaa
aaa
A
T
332313
322212
312111
T
![Page 11: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/11.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 11
7.Matriks Simetrisjika elemen-elemen matriks bujur sangkar aij = aji, matriks tersebut disebut matriks simetris.
transpose dari sebuah matriks simetris identik dengan matriks itu sendiri.
99
63
25
51
Adan9625
9351A T
463
625
351
Adan
463
625
351
A T
![Page 12: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/12.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 12
8. Matriks Skewjika matriks bujur sangkar aij = -aij, untuk semua ij, tetapi tidak semua elemen aij = 0, matriks ini disebut matriks skew.
246
405
657
A
![Page 13: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/13.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 13
9. Matriks Skew Simetrijika matriks bujur sangkar A = -AT, maka matriks A tersebut disebut matriks skew simetri. Hubungan antara elemen-elemen luar diagonal sama, tetapi berlawanan tanda (aij = -aij), dan elemen diagonal berharga nol.
063
605
350
A
![Page 14: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/14.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 14
10. Matriks KonjugateJika semua elemen matriks dipertukarkan dengan konjugatenya (a + jb → a – jb), matriks tersebut disebut matriks konjugate dan ditulis dengan cara A*, seperti :
j11j24
5j3A*dan
j11j24
5j3A
![Page 15: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/15.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 15
11. Matriks HermitianJika matriks bujur sangkar kompleks berlaku A = (A*)T, maka matriks A disebut matriks Hermitian, dimana semua elemen diagonal adalah bilangan riil.
5j32
j524A
![Page 16: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/16.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 16
12. Matriks Unitary (Uniter)disebut matriks uniter apabila matriks bujur sangkar A memiliki transpose yang sama dengan konjugate inverse nya.
(A*)T A = U = A (A*)T
![Page 17: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/17.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 17
13. Matriks Singular dan Non Singularmatriks singular adalah matriks yang nilai determinannya = 0, sedangkan matriks non singular adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0
![Page 18: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/18.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 18
DETERMINAN MATRIKS
• Apabila ada dua persamaan sbb :
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
maka determinan nya adalah :
211222112221
1211 aaaaaa
aaA
![Page 19: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/19.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 19
• Penyelesaian persamaan tadi dengan cara determinan yaitu :
21122211
121211
2221
1211
221
111
2
21122211
1212121
2221
1211
212
121
1
aaaa
baba
aa
aa
ba
ba
x
aaaa
aaba
aa
aa
ab
ab
x
![Page 20: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/20.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 20
MINOR DAN KOFAKTOR• Determinan diperoleh dengan cara
mengeluarkan elemen-elemen baris i, kolom j disebut dengan minor dari elemen aij.
3332
131221
333231
232221
131211
aa
aaaMinor
aaa
aaa
aaa
A
![Page 21: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/21.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 21
Determinan dapat dicari dengan cara berikut :
• Kofaktor suatu elemen adalah (-1)i+j (Minor dari aij) dimana orde dari minor aij adalah n-1. kofaktor dari a21 dinyatakan dengan K21, yaitu :
• Secara ringkas determinan [A] adalah :
• Sedangkan kofaktor Kij dapat dicari dari minor Mij
Kij = (-1)i+jMij
3332
1312
3332
13121221 aa
aa
aa
aa1)(K
1nuntukn,1,2,....,jKaADET ij
n
1iij
![Page 22: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/22.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 22
ADJOINT• Apabila setiap elemen dari matriks bujur
sangkar dipertukarkan dengan kofaktornya, kemudian matriks tersebut di transpose, hasilnya disebut matriks adjoint yang dinyatakan dengan A+.
332313
322212
312111
KKK
KKK
KKK
A
![Page 23: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/23.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 23
OPERASI MATRIKS1. MATRIKS SAMA
jika A dan B adalah matriks berdimensi sama, dengan elemen-elemen aij = bij, maka kedua matriks disebut matriks sama
A = B
![Page 24: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/24.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 24
2. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
Matriks berdimensi sama, dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Penjumlahan atau pengurangan dua matriks berdimensi m x n, akan menghasilkan matriks baru C dengan dimensi sama.
A ± B = C
![Page 25: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/25.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 25
• Dimana masing-masing elemen matriks C adalah cij = aij ± bij. Aturan komutatif dan asosiatif berlaku bagi penjumlahan matriks.
A + B = B + A → Komutatif
A + B + C = A + (B + C)
= (A + B) + C → asosiatif
![Page 26: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/26.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 26
3. Perkalian Matriks
a. Perkalian Matriks dengan Skalar
bila sebuah matriks dikalikan dengan skalar, elemen hasil perkalian tersebut sama dengan perkalian elemen-elemen asal matriks skalar tersebut.
kA = B, dimana bij = k x aij untuk semua I dan j
perkalian matriks dengan skalar mengikuti aturan komutatif dan distributif :
kA = B → Komutatif
k (A + B) = kA + kB
= (A + B) k → distributif
![Page 27: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/27.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 27
b. Perkalian Matriks dengan Matriks
perkalian dua matriks AB = C hanya dapat dilakukan apabila jumlah kolom dari matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B.
amxn Bnxk = Cmxk
2232123121321131
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
3231
2221
1211
babababa
babababa
babababa
bb
bb
aa
aa
aa
AxB
![Page 28: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/28.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 28
• Meski AB dimungkinkan, namun BA tidak dapat dilakukan, sehingga secara umum berlaku AB ≠ BA, kecuali untuk matriks bujur sangkar (komutatif tidak berlaku).
A (B + C) = AB + BC → distributif
A (BC) = (AB) C = ABC → asosiatif
AB = 0, tidak menunjukkan bahwa A = 0
atau B = 0
CA = CB, tidak berarti A = B
![Page 29: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/29.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 29
INVERSE MATRIKS [A]-1
• Apabila [A] yang kuadrat dengan m baris dan n kolom, dan merupakan matriks yang non singular (det A ≠ 0) dan Kij merupakan kofaktor dari elemen aij, maka inverse matriks A dirumuskan sebagai berikut :
nn2n1n
n22212
n12111
1
T
T1
.......KKK
K......KK
K......KK
Adet
1A
KkofaktormatrikstransposeKK
Adet
KAadjoint
Adet
1A
![Page 30: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/30.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 30
CONTOH :
54
53
51
52
43
12
5
1A
111K
331K
441K
221K
53.14.2Adet
Adet
KA
nya!inverscarilah,23
14A
1
1221
2112
2222
1111
T1
![Page 31: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/31.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 31
SOAL - SOAL
141454
3252
2563
2342
Ab
213
321
132
Aa
dariinversTentukan3.
341
431
321
Aadjoint2.Carilah
2152
1204
0121
.3c
1322
3051
2143
2152
1204
0121
.b
1322
3051
2143
2152
1204
0121
.a1.
![Page 32: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/32.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 32
63156
36012
0363
2152
1204
0121
.3c
32-30
2-25-3
22-62
(-1)2312522
31025014
20114231
1322
3051
2143
2152
1204
0121
.b
1474
4255
2024
(-1)231(-2)522
31025014
2011(-4)231
1322
3051
2143
2152
1204
0121
.a1.
![Page 33: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/33.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 33
12-1
1-01
1-67-
31
21
41
21
41
31
41
31
31
31
31
41
43
32
34
32
34
43
adalahAadjoint
341
431
321
AadjointCarilah2.
![Page 34: Pertemuan 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062809/5695d48c1a28ab9b02a1db21/html5/thumbnails/34.jpg)
Powerpoint TemplatesPage 34
175-
5-17
75-1
18
1A
175-
5-17
75-1
AAdj
181836
2.1.31.3.23.2.11.1.13.3.32.2.2
13213
21321
32132
A
213
321
132
Aa
dariinversTentukan3.
1