persamaan ellips

ELIPSTempat kedudukan titik-titik yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang

tetap

Titik tertentu itu dinamakan fokus atau titik api dari elips

F1 F2A1 A2

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Misal titik tersebut titik P, maka :

PF1 + PF2 = 2a

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya A2, maka :

A2F1 + A2F2 = 2a

(a + c) + (a – c) = 2a

2a = 2a

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya B1, maka :

222

22

22

2222

2111

22

2

2

acb

acb

acb

acbcb

aFBFB

PERSAMAAN ELIPS

12

2

2

2

by

ax

Pusat O (0,0)

SUMBU SIMETRI Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2

disebut sumbu utama atau sumbu transversal Ruas garis A1A2 disebut sumbu panjang atau sumbu

mayor Sumbu simetri yang melalui titik tengah F1 dan F2

yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan atau sumbu konjugasi

Ruas garis B1B2 disebut sumbu pendek atau sumbu minor

Menentukan eksentrisitas, direktris dan lactus rectum

Definisi elips :

Perbandingan kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tetap harganya antara 0 dan 1

F1A1 F2 A2

B1

O

b

B2

ca

x = -k x = k

Q P

Ambil titik tertentu : A2

)1(....)(

222

2

22

caaekecaeak

FAPeAPAFAe

Ambil titik tertentu : A1

)2(....)(

211

1

21

cakeaecaeka

FAPeAPAFAe

F1A1 F2 A2

B1

O

b

B2

ca

x = -k x = k

Q P

Subsitusi (1) dan (2)

direktrisperseak

keakea

aekecaaekeca

.

22

Subsitusi (1) dan (2)

taseksentrisiace

aecaec

aekecaaekeca

22

Contoh :

Tentukan persamaan elips dengan pusat (1,2) dan eksentrisitas 4/5 sedangkan direktrisnya 4x = 25

F1A1

L1

L1’

F2 A2

L2(c, -y)

L2’(c, y)

B1

O

b

B2

ca

Menentukan latus rectum

Definisi:Garis yang melalui F1 dan F2 tegak

lurus sb. Utama memotong elips di L1 dan L’1

L1L1’ = L2L2’ = latus rectum

aby

aby

bbyacabyabcbayabaaybc

by

ac

by

ax

elipsL

2

2

42

2222

22222

222222

222222

2

2

2

2

2

2

2

2

1

)(

1

1

ab

ab

ab

FLFLLL

makaabcL

danabcL

diperoleh

2

22

212111

2

1

2

1

2

''

,,'

,

:

Panjang lactus rectum

ANALOG DENGAN PERSAMAAN ELIPS PUSAT

12

2

2

2

by

ax

,

eahk

ace ,

GARIS SINGGUNG

Misal garis )1(.........cmxyg

)2(...........12

2

2

2

by

ax

)(4

02)(

)(

222222

222222222

222222

cbmabaDbacamcxaxbma

bacmxaxb

Pers. Elips

maka :

g

O x

y

g

O x

y

g

O x

y

D = 0

D > 0

D < 0

Persamaan garis singgung bergradien p

121

21

byy

axx

TITIK DAN GARIS POLAR

Misal sebuah titik P(x1, Y2) diluar suatu elips . Dari titik P ditarik dua buah garis singgung, maka garis hubung p antara

kedua titik singgungnya disebut garis polarnya P terhadap elips dan P sebagai

titik polar dari garis p tersebut.

xO

y

P (x1, y1)

Q (x2, y2)

R (x3, y3)

Titik Polar

Garis Polar

Akan dibuktikan:

121

21

byy

axx

merupakan persamaan garis polar titik P(x1, y1) yang terletak diluar elips terhadap elips tersebut

Bagaimana jika titik polar P terletak di dalam elips?

xO

y

P

Titik Polar

Garis Polar

A

B

Latihan (Hal 20 – 23)

No. 4 No. 7 No. 26