penyelesaian masalah konduksi panas pada media...
Post on 15-May-2019
225 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
PENYELESAIAN MASALAH KONDUKSI PANAS PADA
MEDIA HETEROGEN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Krispianus Krisantus Tena Wou
133114033
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
SOLUTION OF HEAT CONDUCTION PROBLEM
IN HETEROGENEOUS MEDIUM USING A FINITE DIFFERENCE
METHOD
Final Project
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics
By :
Krispianus Krisantus Tena Wou
133114033
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu
menyertaiku, orang-orang yang sangat luar biasa, malaikat hidup, orang-orang
yang sangat saya cintai dan saya kasihi yaitu Bapak Yakobus Mateus Wou, Ibu
Clara Gana, Kakak Yoman Laja Wou, Kakak Ikho Maja Wou, saudara/i dari
keluarga besar kedua orang tua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
P
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena
atas berkat, rahmat dan anugerah-Nya penulis bisa mengerjakan dan
menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik. Tugas akhir ini dibuat dengan tujuan
memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program
Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk
membantu dalam proses pengerjaan tugas akhir ini. Oleh karena itu, pada
kesempatan yang mulia ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi sekaligus sebagai Dosen Pembimbing Tugas Akhir.
2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Akademik.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,
Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia
Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika
yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
5. Kedua orang tua, kakak, dan keluarga yang telah membantu dan
mendukung penulis selama proses pengerjaan tugas akhir.
6. Teman-teman Matematika 2013 yang tidak bisa saya sebutkan satu
persatu.
Semoga Tuhan membalas kebaikan semua pihak yang telah memberi
semangat, dukungan, bantuan dan doa kepada penulis. Penulis menyadari bahwa
masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas akhir ini. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan kritikan dan saran yang membangun demi penyempurnaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRAK
Ketika ada perbedaan suhu di dalam suatu media, maka akan terjadi
perpindahan panas yang melewati media tersebut, dari bagian yang bersuhu tinggi
ke bagian suhu yang lebih rendah.
Pada tugas akhir ini, akan dibahas mengenai proses perpindahan panas
dimana objek penelitiannya adalah penampang kawat logam heterogen yang pada
batas-batas dan titik-titik tertentu diketahui suhunya. Proses perpindahan panas
dapat diketahui melalui distribusi suhunya. Tujuan dari penulisan tugas akhir ini
adalah menghitung distribusi suhu pada penampang kawat logam heterogen satu
dimensi. Perhitungan distribusi suhu melibatkan persamaan diferensial parsial
(PDP). Salah satu teknik yang digunakan untuk menyelesaikan PDP adalah
metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan
operasi aritmatika biasa. Konduksi panas di penampang kawat logam diatur oleh
persamaan panas satu dimensi. Secara matematis, persamaan panas satu dimensi
termasuk PDP berjenis parabolik. Persamaan panas satu dimensi ini kemudian
diselesaikan dengan menggunakan pendekatan metode beda hingga skema
eksplisit. Untuk selanjutnya, perhitungan distribusi suhu dilakukan dengan
memasukan nilai-nilai dari syarat awal dan syarat batasnya. Diperoleh kesimpulan
bahwa banyaknya interval yang digunakan, berpengaruh pada perhitungan
numerik distribusi suhu pada penampang kawat logam. Semakin banyak interval
yang digunakan maka distribusi suhu yang dihasilkan akan semakin akurat.
Kemudian banyaknya interval juga berpengaruh pada proses dan hasil simulasi.
Semakin banyak interval yang digunakan maka kontur yang dihasilkan akan
semakin halus namun waktu yang dibutuhkan untuk simulasi akan menjadi lebih
lama.
Kata kunci: metode beda hingga, distribusi suhu, persamaan diferensial parsial,
perpindahan panas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
ABSTRACT
When a temperature difference exists in a medium, heat transfer occurs
across the medium from a high temperature section to a low temperature one.
In this final project, we will discuss about heat transfer process in a
heterogeneous metal wire cross section. The heat transfer process can be known
by its temperature distribution. The aim of this study is to calculate the
temperature distributio across the cross section of a one-dimensional
heterogeneous metal wire. Calculation of temperature distribution involves a
partial differential equation (PDE). The technique used to solve the PDE is
numerical method. Numerical methods are techniques used to solving
mathematical problems with ordinary arithmetic operations. Heat conduction in
cross section of heterogeneous metal wire obeys the one dimensional heat
equation. Furthermore, calculation is done by substitution of the values of the
initial conditions and boundary conditions. We obtain that the interval width
affects the numerical calculation of temperature distribution. If more intervals are
used, then the results of temperature distribution will be more accurate. The
interval width also affects the procces and simulation results. If more intervals are
used, then results of temperature contour will be smoother, but the time required
will be longer.
Keywords: finite difference method, temperature distribution, partial differential
equation, heat transfer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i
TITLE PAGE ..................................................................................................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi
PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............................................... vii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
ABSTRAK .............................................................................................................. x
ABSTRACT ............................................................................................................. xi
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A. Latar belakang ............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 3
C. Batasan masalah .......................................................................................... 3
D. Tujuan penulisan ......................................................................................... 3
E. Metode penulisan ........................................................................................ 4
F. Manfaat penulisan ....................................................................................... 4
G. Sistematika penulisan ................................................................................. 4
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL....................................................................... 6
A. Integral ........................................................................................................ 6
C. Deret Taylor ................................................................................................ 9
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial............................................................. 13
E. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua ................................ 15
F. Penurunan Numeris ................................................................................... 16
G. Menentukan Orde Galat............................................................................. 23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU
DIMENSI ........................................................................................................................ 25
A. Penurunan Persamaan Panas Satu Dimensi .............................................. 25
B. Pendekatan Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi 28
C. Skema Eksplisit untuk Persamaan Panas Satu Dimensi ............................ 31
BAB IV MODEL MASALAH KONDUKSI PANAS PADA MEDIA
HETEROGEN ....................................................................................................... 42
A. Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media
Heterogen .................................................................................................. 42
B. Solusi Numeris Metode Beda Hingga Masalah Konduksi Panas pada
Media Heterogen ....................................................................................... 52
BAB V PENUTUP ................................................................................................ 60
A. Kesimpulan ................................................................................................ 60
B. Saran .......................................................................................................... 61
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 62
LAMPIRAN .......................................................................................................... 63
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Konfigurasi Masalah Konduksi Panas pada Media Heterogen ........ 2
Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel .............................................................. 7
Gambar 2.2 Tiga pendekatan dalam perhitungan turunan numerik .................... 19
Gambar 3.1 Kawat homogen satu dimensi dengan energi panas yang mengalir
keluar dan masuk ............................................................................. 25
Gambar 3.2 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.1 dengan menggunakan
metode beda hingga pada saat .. .................................. 36
Gambar 3.3 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.1 saat ............. 37
Gambar 3.4 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.2 menggunakan metode beda
hingga pada saat ......................................................... 40
Gambar 3.5 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.2 menggunakan metode beda
pada saat ................................................................... 41
Gambar 4.1 Konduksi panas yang melalui dua lapis bahan yang memiliki
konduktivitas termal yang berbeda. ................................................. 42
Gambar 4.2 Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan
saat . ...................................... 53
Gambar 4.3 Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan
saat ........................................... 52
Gambar 4.4 Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan
saat . ................................................................. 53
Gambar 4.5 Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.2 dengan
saat . ...................................... 56
Gambar 4.6 Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.2 dengan
saat . .......................................... 57
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
Gambar 4.7 Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.2 dengan
saat . ................................................................. 58
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB 1
PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas latar belakang masalah, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan
sistematika penulisan.
A. Latar belakang
Perpindahan panas yang terjadi di alam merupakan persoalan yang
kompleks karena melibatkan banyak parameter. Sehingga penyelesaian persoalan
perpindahan panas di alam ini memerlukan asumsi-asumsi untuk
menyederhanakan permasalahan.
Perpindahan panas adalah ilmu yang menjelaskan perpindahan energi yang
terjadi karena adanya perbedaan suhu di antara benda atau material (Suparno,
2009). Proses perpindahan panas akan mengalir dari daerah yang suhunya tinggi
menuju daerah yang suhunya lebih rendah (Kreith dkk., 1997). Mekanisme
perpindahan panas sendiri, dapat terjadi secara konduksi, konveksi, dan radiasi.
Perpindahan panas secara konduksi atau hantaran adalah proses perpindahan dari
partikel-partikel yang lebih energik dari suatu zat ke partikel-partikel yang
berdekatan yang kurang energik sebagai akibat dari interaksi dari partikel-partikel
tersebut (Cengel & Turner, 2005), konveksi adalah bentuk perpindahan panas
yang terjadi antara permukaan zat padat yang bersuhu tinggi dengan zat cair atau
gas yang berdekatan yang bersuhu rendah, melalui gerakan atau aliran zat cair
atau gas tersebut, sedangkan perpindahan panas secara radiasi adalah proses
perpindahan dari suatu benda ke benda lain dalam bentuk gelombang
elektromagnetik (photon), yang diakibatkan oleh perubahan dalam konfigurasi
elektron dan atom atau molekul (Cengel & Turner, 2005).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Pada tugas akhir ini, akan dibahas mengenai proses perpindahan panas,
dimana objek penelitiannya adalah suatu penampang kawat logam heterogen yang
pada batas-batas dan titik-titik tertentu, diketahui suhunya.
Gambar 1.1. Konfigurasi masalah konduksi panas pada media heterogen.
Sebagai gambaran kasus, ditinjau suatu penampang kawat logam dengan panjang
yang dilekatkan dari dua bahan yang berbeda, seperti pada Gambar 1.1,
sedemikian sehingga adalah bagian kawat yang terbuat dari logam
besi dan adalah bagian kawat yang terbuat dari logam emas. Misalkan
adalah antarmuka (interface) yang memisahkan kedua bahan tersebut.
Tujuannya adalah mencari distribusi suhu penampang kawat logam heterogen
pada setiap posisi dan setiap waktu yaitu ( ) ( ). Konduksi panas di
kedua daerah tersebut masing-masing diatur oleh persamaan panas satu dimensi
(Tarwidi, 2013), yaitu
(1.1)
dan
(1.2)
= 0 =
𝐼𝑛 𝑒𝑟𝑓𝑎 𝑒
𝐴
=
diisolasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
dengan adalah kepadatan kawat, adalah konstanta panas spesifik besi,
adalah konstanta panas spesifik emas, adalah konstanta konduktivitas
termal besi, adalah konstanta konduktivitas termal emas, adalah variabel
bebas untuk domain ruang, adalah variabel bebas untuk waktu dan ( )
adalah fungsi yang bergantung pada dan
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, penulis mengadakan
penelitian terhadap masalah-masalah berikut:
1. Bagaimana memperoleh persamaan panas satu dimensi yang mengatur
konduksi panas pada penampang kawat logam heterogen?
2. Bagaimana menyelesaikan persamaan panas satu dimensi menggunakan
metode beda hingga?
C. Batasan masalah
Dalam tugas akhir ini, penulis akan membatasi penulisan agar lebih terarah
dan tidak menyimpang dari masalah yang akan dibahas yaitu:
1. Masalah konduksi panas yang dibahas adalah masalah konduksi panas pada
media heterogen satu dimensi yang memiliki konduktivitas termal yang
berbeda.
2. Konduksi panas yang melalui penampang kawat logam heterogen tersebut
diatur oleh persamaan panas satu dimensi.
3. Persamaan panas satu dimensi akan diselesaikan menggunakan metode beda
hingga skema eksplisit.
D. Tujuan penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini, terkait dengan masalah konduksi panas, adalah:
1. Menghitung distribusi suhu ( ) pada penampang kawat logam heterogen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Memperoleh solusi numeris dari persamaan panas satu dimensi di penampang
kawat logam heterogen tersebut.
3.
E. Metode penulisan
Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah
studi pustaka dari buku-buku dan jurnal-jurnal, serta praktik simulasi numeris
menggunakan perangkat lunak MATLAB.
F. Manfaat penulisan
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tugas akhir ini.
2. Pembaca mendapat gambaran tentang masalah konduksi panas pada media
heterogen yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari.
3. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain.
G. Sistematika penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Masalah
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Integral
B. Deret Taylor
C. Klasifikasi Persamaan Diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Orde Dua
E. Penurunan Numeris
F. Menentukan Orde Galat
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU
DIMENSI
A. Penurunan Persamaan Panas Satu Dimensi
B. Pendekatan Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi
BAB IV SIMULASI NUMERIS UNTUK MASALAH KONDUKSI PANAS
PADA MEDIA HETEROGEN.
A. Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media Heterogen
B. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada
Media Heterogen
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dasar teori ditulis dalam bab ini. Dasar teori tersebut meliputi integral,
deret Taylor, klasifikasi persamaan diferensial, klasifikasi persamaan diferensial
orde dua, penurunan numeris, dan menentukan orde galat.
A. Integral
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi Integral beserta
contohnya.
Definisi 2.1
Kita sebut suatu anti turunan dari 𝑓 pada selang 𝐼 jika ( ) 𝑓( )
untuk semua dalam 𝐼
Contoh 2.1
Carilah anti turunan umum dari 𝑓( ) pada interval ( )
Penyelesaian:
Fungsi ( ) bukanlah anti turunannya, karena turunannya adalah
Tetapi dengan menyarankan ( )
yang memenuhi ( )
karenanya, anti turunan umum adalah
Anti turunan dinotasikan dengan ∫ sebagaimana digunakan oleh
Leibniz sebagai menunjukan anti turunan terhadap Dengan mengikuti Leibniz,
kita seringkali akan memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan
(Purcell, 1981).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Contoh 2.2
Carilah anti turunan yang umum dari 𝑓( )
Penyelesaian:
∫
Perhatikan bahwa, untuk anti turunan suatu pangkat dari kita perbesar
pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yang baru.
1. Integral Tentu
Gambar 2.1. Ilustrasi fungsi satu variabel
Untuk menghitung luas di bawah kurva 𝑓( ) dapat dilakukan dengan
aproksimasi, yaitu dengan membagi interval ,𝑎 - oleh partisi * +
ke dalam 𝑛 subinterval yaitu , - , - , - Panjang subinterval
interval ke- ditulis dengan Selanjutnya dipilih sebarang dari
, - , - , - dengan 𝑛 Total luas di bawah kurva
dapat dihitung dengan 𝑓( ) 𝑓(
) 𝑓( ) ∑ 𝑓(
) yang
disebut jumlahan Riemann fungsi 𝑓 pada interval ,𝑎 - sebagai pendekatan luas
daerah di bawah kurva 𝑓( ) dan di atas sumbu .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Semakin banyak subinterval seragam yang digunakan artinya
maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan
luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, luas daerah ∑ 𝑓( )
Definisi 2.2
Misalkan 𝑓 suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup ,𝑎 - Jika
∑𝑓( )
ada, maka nilai limit tersebut dinamakan integral tentu 𝑓 dari 𝑎 ke , dan ditulis
sebagai ∫ 𝑓( )
Jadi,
∫ 𝑓( )
∑𝑓( )
2. Teorema Dasar Kalkulus
Pada konsep subbab mengenai teorema dasar kalkulus ini, hanya ditulis
mengenai teorema, tidak dibahas mengenai pembuktiannya.
Teorema 2.1 (Teorema Nilai Rata-Rata)
Jika suatu fungsi 𝑓 kontinu pada interval ,𝑎 - maka ada di antara 𝑎 dan
sehingga
𝑓( )( 𝑎) ∫ 𝑓( )
𝑓( )
( 𝑎)∫ 𝑓( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Teorema 2.2 (Teorema Dasar Kalkulus I)
Jika 𝑓 suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup ,𝑎 - maka fungsi yang
ditentukan oleh
( ) ∫ 𝑓( )
𝑎
dapat diturunkan pada ,𝑎 - dan merupakan suatu antiturunan 𝑓 artinya
( )
∫ 𝑓( ) 𝑓( )
,𝑎 -
Teorema 2.3 ( Teorema Dasar Kalkulus II)
Jika suatu fungsi 𝑓 yang kontinu pada selang tertutup ,𝑎 - dan suatu anti
turunan 𝑓 khusus, sehinggga ( ) 𝑓( ) maka
∫ 𝑓( ) (𝑎) ( )
Bukti dari ketiga teorema yang disebut di atas dapat dilihat pada buku karangan
Thomas (2010).
B. Deret Taylor
Pada subbab ini akan dibahas mengenai teorema sisa Taylor, kejadian
khusus dari teorema sisa Taylor yaitu teorema deret Taylor beserta contohnya.
Teorema 2.4 ( Teorema sisa Taylor)
Jika ,𝑎 - dan fungsi 𝑓 ,𝑎 - memenuhi syarat-syarat :
(i.) 𝑓 kontinu pada ,𝑎 - dan
(ii.) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓( )( ) ada untuk setiap ,𝑎 - maka untuk setiap
,𝑎 - ada titik yang terletak di antara dan sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓( )( )
𝑛 ( )
𝑓( )( )
(𝑛 ) ( )
( )
(2.1)
atau disingkat
𝑓( ) ( )
dengan
( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓( )( )
𝑛 ( )
𝑓( )( )
(𝑛 ) ( )
( )
( ) disebut polinomial Taylor dan disebut sisa, nilai koreksi atau kesalahan
Taylor. Bukti dari teorema di atas dapat dilihat di buku karangan Darmawijaya
(2011).
Bentuk lain dari teorema sisa Taylor di atas adalah sebagai berikut.
Teorema 2.5 ( Deret Taylor)
Jika ,𝑎 - dan fungsi 𝑓 ,𝑎 - memenuhi sifat-sifat:
i. fungsi 𝑓 kontinu pada ,𝑎 - dan
ii. 𝑓( )( ) ada, ,𝑎 - maka untuk nilai-nilai di sekitar
𝑓( ) dapat diperluas ke dalam deret Taylor:
𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
( )
𝑓( )( ) ,𝑎 -
Jika di misalkan maka 𝑓( ) dapat juga ditulis sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
𝑓( ) 𝑓( ) ( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓( )( )
,𝑎 -
Deret di dalam Teorema 2.5 tersebut dinamakan deret Taylor fungsi 𝑓 di sekitar
titik Deret Taylor fungsi 𝑓 di sekitar titik disebut deret Maclaurin,
yaitu
𝑓( ) 𝑓( ) ( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓( )( )
Contoh 2.3
1. Deretkan fungsi 𝑓( ) ( ) ke dalam deret Taylor di sekitar
Penyelesaian:
Kita harus menentukan turunan ( ) terlebih dahulu sebagai berikut
𝑓( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( ) ( )
dan oleh karena itu
( ) 𝑓( ) ( ) ( )
( )
( )
( ( ))
( )
( ( ))
Jika dimisalkan , maka,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2. Deretkan masing-masing fungsi ( ) ( ) dan
ke dalam deret
Maclaurin.
Penyelesaian:
a. Beberapa turunan ( ) sudah dihitung pada soal sebelumnya. Deret
Maclaurin dari ( ) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ( ))
( )
( ( ))
b. Untuk menentukan deret Maclaurin dari ( ) kita harus menentukan
turunan ( ) terlebih dahulu sebagai berikut:
𝑓( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( )
𝑓( ) ( )
maka diperoleh 𝑓( ) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓( )
sehingga deret Maclaurin dari ( ) adalah
( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓( )( )
( )
c. Untuk menentukan deret Maclaurin dari
kita harus menentukan
turunan
terlebih dahulu sebagai berikut:
𝑓( )
𝑓 ( )
( ) 𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( ) 𝑓( )( )
( )
sehingga deret Maclaurin dari 𝑓( )
adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
𝑓( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
( )
𝑓( )( )
( )
∑
C. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Pada subbab ini akan dibahas mengenai klasifikasi persamaan diferensial
yang meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan diferensial
biasa, persamaan diferensial parsial, dan orde persamaan diferensial.
Definisi 2.3
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan
dari satu atau lebih variabel tak bebas dengan satu atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.4
Contoh persamaan diferensial adalah sebagai berikut (LeVeque, 1995).
(
)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Definisi 2.4
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang melibatkan turunan
biasa dari satu atau lebih variabel takbebas dengan satu variabel bebas.
Contoh 2.5
Persamaan (2.2) dan persamaan (2.3) pada contoh 2.4 merupakan
persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (2.2), variabel adalah satu-
satunya variabel bebas dan adalah variabel takbebas. Dalam persamaan (2.3),
adalah variabel bebas, dengan adalah variabel takbebas.
Definisi 2.5
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang
melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel takbebas dengan lebih dari
satu variabel bebas.
Contoh 2.6
Persamaan (2.4) dan persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial parsial.
Dalam persamaan (2.4), variabel dan adalah variabel bebas dan adalah
variabel takbebas. Dalam persamaan (2.5), terdapat tiga variabel bebas yaitu
dan sedangkan adalah variabel takbebas.
Definisi 2.6
Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang
terlibat dalam suatu persamaan diferensial.
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa (2.2) adalah persamaan diferensial orde kedua,
karena tingkat tertinggi dari turunan yang terlibat pada persamaan tersebut adalah
dua. Persamaan (2.3) adalah persamaan diferensial biasa orde keempat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Persamaan (2.4) dan (2.5) adalah persamaan diferensial parsial orde pertama dan
kedua.
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua
Pada subbab ini akan dibahas menentukan jenis suatu persamaan
diferensial parsial orde dua.
Persamaan parsial diferensial parsial orde dua, linear, homogen, koefisien
konstan berbentuk
𝑎 𝑒 𝑓
dengan ( ) dan 𝑎 𝑒 𝑓 adalah konstanta. Tiga suku pertama bentuk
di atas disebut bagian utama persamaan diferensial parsial dan digunakan untuk
menentukan jenis persamaan diferensial parsial.
Dipandang bagian utama persamaan diferensial parsial
𝑎 𝑎
𝑎
(
)
(
𝑎
)
(
) .
𝑎
/
(
)
Matriks koefisien .𝑎
/ merupakan matriks simetri yang merupakan nilai eigen
berupa bilangan real,
𝑒 (.𝑎
/ .
/) 𝑒 .𝑎
/
(𝑎 )( )
(𝑎 ) 𝑎
(2.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Jika dan adalah nilai eigen dari matriks .𝑎
/ maka persamaan
karakteristiknya adalah
( )( ) ( )
(2.7)
Dari persamaan (2.6) dan (2.7) diperoleh
a. 𝑎 (𝐴)
b. 𝑎 (𝐴)
Persamaan diferensial parsial disebut parabolik jika 𝑎 yang
artinya dengan kata lain salah satu nilai eigennya bernilai Persamaan
diferensial parsial disebut eliptik apabila 𝑎 yang artinya dengan
kata lain kedua nilai eigennya positif atau kedua nilai eigennya negatif. Persamaan
diferensial parsial disebut hiperbolik jika 𝑎 yang artinya dengan
kata lain, salah satu nilai eigennya positif dan salah satu nilai eigennya negatif.
E. Penurunan Numeris
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penurunan numeris beserta
contohnya dan penjelasan mengenai tiga hampiran dalam menghitung turunan
numerik yaitu hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda
pusat.
Definisi 2.7
Turunan atau derivatif fungsi 𝑓( ) adalah fungsi 𝑓 yang didefinisikan
sebagai
𝑓 ( )
𝑓( ) 𝑓( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Jika 𝑓 ( ) ada, kita katakan
fungsi 𝑓 terdiferensial yang artinya mempunyai turunan di .
Seringkali fungsi 𝑓( ) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi kita hanya memiliki
beberapa titik data saja. Pada kasus tertentu, meskipun 𝑓( ) diketahui secara
eksplisit tetapi bentuknya rumit sehingga menentukan fungsi turunannya juga sulit
(Munir, 2008), misalnya pada fungsi-fungsi berikut ini:
a) 𝑓( ) √ ( ) ( )
( ) 𝑒
( )
b) 𝑓( ) 𝑒( ) ( )
Perhitungan nilai turunan pada kedua fungsi di atas dapat dikerjakan secara
numeris. Nilai turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran.
Tiga hampiran dalam menghitung turunan numerik
Misal diberikan nilai-nilai x di , , dan serta nilai fungsi untuk
nilai x tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah ( 𝑓 ) ( 𝑓 ) dan ( 𝑓 )
yang dalam hal ini dan Terdapat tiga hampiran
dalam menghitung 𝑓 ( ).
1. Hampiran beda maju
Dipandang fungsi 𝑓( ) Akan ditunjukkan 𝑓 ( ) dengan hampiran
beda maju.
𝑓 ( )
𝑓( ) 𝑓( )
𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓( )
𝑓 𝑓
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
2. Hampiran beda mundur
Dipandang fungsi 𝑓( ) Akan ditunjukkan 𝑓 ( ) dengan hampiran
beda mundur.
𝑓 ( )
𝑓( ) 𝑓( )
𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓( )
𝑓 𝑓
3. Hampiran beda pusat
Dipandang fungsi 𝑓( ) Akan ditunjukkan 𝑓 ( ) dengan hampiran
beda pusat
𝑓 ( )
𝑓( ) 𝑓( )
𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓( )
𝑓 𝑓
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Tiga pendekatan dalam perhitungan turunan numerik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Penurunan rumus turunan dengan deret Taylor
Misalkan diberikan titik-titik ( 𝑓 ) 𝑛 yang dalam hal ini
dan
𝑓 𝑓( )
1. Hampiran beda maju
Uraikan 𝑓( ) di sekitar
𝑓( ) 𝑓( ) ( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
Misalkan ( ) dan untuk menyederhanakan penulisan, 𝑓( )
dapat ditulis 𝑓 diperoleh
𝑓 𝑓 𝑓
𝑓
(2.7)
atau dapat ditulis
𝑓 𝑓 𝑓
𝑓
Kedua ruas dibagi sehingga diperoleh
𝑓
𝑓 𝑓
𝑓
Karena
𝑓
merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu
mempengaruhi 𝑓 sehingga dapat ditulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
𝑓
𝑓 𝑓
( )
yang dalam hal ini, ( )
𝑓 ( ) .
Untuk nilai-nilai 𝑓 di dan persamaan rumusnya menjadi
𝑓
𝑓 𝑓
( )
dalam hal ini ( )
𝑓 ( ) menyatakan penurunan numeris
secara beda maju yang mempunyai keakuratan ( ) yaitu keakuratan tingkat
satu.
2. Hampiran beda mundur
Uraikan 𝑓( ) di sekitar
𝑓( ) 𝑓( ) ( )
𝑓 ( )
( )
𝑓 ( )
Misalkan ( ) dan untuk menyederhanakan penulisan, 𝑓( )
dapat ditulis 𝑓 diperoleh
𝑓 𝑓 𝑓
𝑓
(2.8)
atau dapat ditulis
𝑓 𝑓 𝑓
𝑓
Kedua ruas dibagi sehingga diperoleh
𝑓
𝑓 𝑓
𝑓
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Karena
𝑓
merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu
mempengaruhi 𝑓 sehingga dapat ditulis
𝑓
𝑓 𝑓
( )
yang dalam hal ini, ( )
𝑓 ( )
untuk nilai-nilai 𝑓 di dan persamaan rumusnya menjadi:
𝑓
𝑓 𝑓
( )
dalam hal ini, ( )
𝑓 ( ) menyatakan penurunan numeris
secara beda mundur yang mempunyai keakuratan ( ) yaitu keakuratan
tingkat satu.
3. Hampiran beda pusat
Kurangkan persamaan 2.7 dan 2.8 :
𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
𝑓
(𝑓 𝑓
𝑓
)
dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan biasa, diperoleh
𝑓 𝑓 𝑓
𝑓
atau dapat ditulis
𝑓 𝑓 𝑓
𝑓
kedua ruas dibagi dengan sehingga diperoleh
𝑓
𝑓 𝑓
𝑓
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Karena
𝑓
merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu
mempengaruhi 𝑓 sehingga dapat ditulis
𝑓
𝑓 𝑓
( )
yang dalam hal ini, ( )
𝑓
( )
Untuk nilai-nilai 𝑓 di dan persamaan rumusnya menjadi:
𝑓
𝑓 𝑓
( )
Dalam hal ini, ( )
𝑓
( ) , menyatakan penurunan
numeris secara beda pusat yang mempunyai keakuratan ( ) yaitu keakuratan
tingkat dua. Perhatikan bahwa hampiran beda pusat lebih baik daripada dua
hampiran sebelumnya, sebab orde galatnya adalah ( )
F. Menentukan Orde Galat
Pada penurunan turunan numerik dengan deret Taylor, kita dapat langsung
memperoleh rumus galatnya. Tetapi dengan polinom interpolasi kita harus
mencari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.
Contoh 2.8
Tentukan rumus galat dan orde dari rumusan turunan numerik hampiran
beda pusat:
𝑓 ( ) 𝑓 𝑓
Nyatakan (galat) sebagai ruas kiri persamaan diperoleh
𝑓 ( ) 𝑓 𝑓
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Ekspansikan ruas kanan dengan deret Taylor di sekitar titik
𝑓 ( )
𝑓 𝑓
𝑓
*(𝑓 𝑓
𝑓
𝑓
)
(𝑓 𝑓
𝑓
𝑓
)+
𝑓
* 𝑓
𝑓
+
𝑓 𝑓
𝑓
𝑓
𝑓 ( )
( )
(2.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
BAB III
METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU DIMENSI
Dalam bab ini akan dibahas mengenai penurunan persamaan panas satu
dimensi dan pendekatan metode beda hingga untuk persamaan panas satu dimensi.
A. Penurunan Persamaan Panas Satu Dimensi
Persamaan panas disebut juga sebagai persamaan difusi. Persamaan panas
dapat diformulasikan dengan merumuskan persamaan aliran panas (Haberman,
2004). Misalkan kawat penampang 𝐴 berorientasi ke arah yaitu dari ke
yang diilustrasikan pada Gambar 3.1. jumlah energi panas per satuan
volume yang tidak diketahui variabelnya disebut kepadatan energi panas.
Gambar 3.1. Kawat homogen satu dimensi dengan energi panas yang mengalir
keluar dan masuk
Disini 𝐴 adalah luas penampang kawat, ( ) adalah besarnya energi panas (per
satuan luas penampang yang lewat di penampang kawat pada posisi dan waktu
Asumsikan bahwa pada setiap waktu suhu di dalam suatu penampang
kawat pada posisi selalu sama yaitu ( ) tetapi berbeda bila dibandingkan
suhu penampang kawat pada posisi lain. Tujuannya akan mencari distribusi suhu
penampang kawat pada setiap posisi dan setiap waktu yaitu ( ) ( )
+ = = 0
( , ) ( + , ) 𝐴
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Misalkan adalah konstanta panas spesifik yang menyatakan berapa
banyak energi panas yang dibutuhkan oleh satu unit massa suatu benda untuk
menaikkan suhu sebesar 1 derajat. Segmen kawat dari ke mempunyai
massa:
𝐴
Dengan adalah kepadatan kawat, massa kawat, adalah volume kawat.
Untuk menaikan suhu bagian kawat dari ke sebesar 1 derajat dibutuhkan
energi sebanyak
𝐴
Apabila diinginkan suhunya naik dari 0 ke ( ) maka energi yang dibutuhkan
sebanyak 𝐴 ( ) Jadi total energi yang dibutuhkan pada bagian
tersebut adalah
∑ 𝐴 ( )
atau
∫ 𝐴 (𝑟 ) 𝑟
Fluks panas
Fluks adalah laju perubahan energi panas yang melewati suatu
penampang. Perhitungan fluks dapat dilakukan dengan cara:
∫ 𝐴 (𝑟 ) 𝑟
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
∫ 𝐴 (𝑟 )
𝑟
( )
atau dengan cara
𝐴 ( ) 𝐴 ( ) 𝐴, ( ) ( )- ( )
Berdasarkan hukum Newton pendingin bahwa panas menjalar dari benda
bersuhu tinggi ke rendah dan banyak energi panas berbanding dengan perbedaan
suhu di antara dua titik, maka:
( ) ( )
(3.3)
Kemudian, substitusikan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.2), diperoleh
𝐴 [( ( )
) (
( )
)]
𝐴 * ( )
( )
+
𝐴 * ( )
( )
+
𝐴 ∫
( (𝑟 )
) 𝑟
(3.4)
Dari persamaan (3.1) dan (3.4) diperoleh
∫ 𝐴 (𝑟 )
𝑟 𝐴 ∫
( (𝑟 )
) 𝑟
𝐴∫ (
) 𝑟
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
atau
dengan
menyatakan koefisien difusi.
B. Pendekatan Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi
Metode beda hingga sangat sering dipakai untuk mencari solusi suatu
persamaan diferensial parsial (PDP). Hal ini disebabkan mudahnya mendekati
persamaan diferensial parsial dengan pendekatan deret Taylor-nya dan diperoleh
persamaan beda (maju, mundur, pusat).
Dipandang persamaan panas satu dimensi, yaitu:
( )
Matriks koefisien dari persamaan panas satu dimensi di atas adalah
𝐴 .
/
diperoleh
(𝐴) 𝑎
sehingga persamaan (3.5) merupakan persamaan diferensial parsial yang berjenis
parabolik. Persamaan (3.5) sering disebut sebagai persamaan panas satu dimensi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
karena hanya ada satu variabel ruang saja, dengan konstanta positif, adalah
variabel waktu, adalah variabel ruang dan ( ) adalah fungsi yang
bergantung pada dan .
Notasi ( )
merupakan turunan pertama variabel takbebas terhadap variabel
bebas dan ( )
merupakan turunan kedua variabel takbebas terhadap
variabel .
1. Keakuratan Skema Beda Maju
Dipandang deret Taylor ( ) di titik t yaitu
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
karena
( )
( ) merupakan bilangan yang sangat kecil
sehingga bisa diabaikan.
diperoleh
( ) ( ) ( )
( ) (3.6)
dengan ( )
( )
( )
Artinya rumus turunan beda maju mempunyai keakuratan ( ) yaitu
keakuratannya tingkat satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
2. Keakuratan Skema Beda Pusat
Dipandang deret Taylor ( ) dan ( ) di sekitar titik
yaitu
( ) ( ) ( )
( )
( )
(3.7)
( ) ( ) ( )
( )
( )
(3.8)
Persamaan (3.7) dan (3.8) dijumlahkan
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Karena
( ) merupakan bilangan yang sangat kecil, sehingga
bisa diabaikan, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (3.9)
dengan ( ) =
( )
Artinya rumus turunan beda pusat mempunyai keakuratan ( ) yaitu
keakuratannya tingkat dua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
C. Skema Eksplisit untuk Persamaan Panas Satu Dimensi
Dipandang persamaan panas satu dimensi, yaitu:
atau
( )
( )
dengan syarat awal
( ) 𝑓( )
dan syarat batas
( )
( )
Penampang kawat homogen satu dimensi (Gambar 3.1) dengan panjang
dibagi ke dalam interval yang sama,
Secara umum
(3.10)
dan
( )
Misalkan ( ) dan pendekatan numerik pada titik ( ( ))
dinotasikan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
( )
( ( )) (3.11)
Berdasarkan persamaan (3.6), skema pendekatan beda maju untuk turunan
pertama terhadap (waktu) adalah
( ( ))
( ( )) (
( ))
(3.12)
Berdasarkan persamaan (3.9), skema pendekatan beda pusat untuk turunan kedua
terhadap (posisi) adalah
( ( ))
( ( )) (
( )) ( ( ))
(3.13)
Sehinggga
( ( )) (
( ))
( ( )) (
( )) ( ( ))
(3.14)
Perhatikan bahwa menjadi dan menjadi
Jadi,
0
( )
( )1
0
( )
( )
( )1
Kedua ruas dikali diperoleh
0 ( )
( )
1
0
( )
( )
( )1
atau ditulis
( )
( )
0 ( )
( )
( )
1
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Kedua ruas dijumlahkan dengan ( )
diperoleh
( )
0 ( )
( )
( )
1 ( )
. ( )
/ . ( )
/ . ( )
/ ( )
atau
( )
. ( )
/ ( ) . ( )
/ . ( )
/ (3.15)
dimana dan
Untuk menyelesaiakan persamaan panas, dibutuhkan syarat tambahan yaitu syarat
awal dan syarat batas. Persamaan (3.11) memenuhi syarat-syarat awal yaitu:
( )
( ) 𝑓( ) 𝑓( )
dimana untuk
Demikian juga, persamaan (3.11) memenuhi syarat-syarat batas yaitu:
( )
( )
( )
( )
Contoh 3.1
Akan dihitung distribusi suhu ( ) pada penampang kawat homogen
dengan panjang 20 cm dan ujung-ujung kawat tersebut dipertahankan pada suhu
Konduksi panasnya di atur oleh persamaan panas satu dimensi, yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
dengan syarat batas
( ) ( )
dan syarat awal
( ) {
dengan
Hitunglah
a. ( )
( )
( )
( )
b. Dengan rumus ( )
yang anda peroleh hitunglah
( )
( )
( )
( )
Penyelesaian:
a. Pada saat
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
b. Pada saat
Diketahui
diperoleh
karena diketahui kondisi batas ( ) ( )
diperoleh:
( )
( )
untuk menghitung ( )
( )
( )
( )
gunakan persamaan
2.16.
diperoleh
( )
.
( )/ (
)
( )
(
( ))
( ) (
)
( )
( )
.
( )/ (
)
( )
(
( ))
( ) (
)
( )
( )
.
( )/ (
)
( )
(
( ))
( ) (
)
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
dengan cara yang sama diperoleh
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Gambar 3.2. Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.1 menggunakan
metode beda hingga dengan saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat homogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukan dalam
Gambar 3.2. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program berhenti
pada saat
Gambar 3.3. Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.1 menggunakan
metode beda hingga dengan saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat homogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukan dalam
Gambar 3.3. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program berhenti
pada saat Seiring dengan waktu, kurva suhu menuju 0 secara
seragam.
Contoh 3.2
Akan dihitung distribusi suhu ( ) pada penampang kawat logam
homogen dengan panjang 20 cm dan ujung-ujung kawat tersebut dipertahankan
pada suhu Konduksi panasnya di atur oleh persamaan panas satu dimensi,
yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
dengan syarat awal
( )
dan syarat batas
( ) ( )
dengan
Hitunglah
a) ( )
( )
( )
( )
b) Dengan rumus ( )
yang anda peroleh hitunglah ( )
( )
( )
( )
Penyelesaian:
a) Pada saat
( )
( ) ( )
( )
b) Pada saat
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Dengan cara yang sama diperoleh
( )
( )
( )
( )
( )
c) Pada saat
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
( )
Dengan cara yang sama diperoleh
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
( )
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 3.4. Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.2 menggunakan
metode beda hingga dengan saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat homogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukan dalam
Gambar 3.4. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program berhenti
pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Gambar 3.5. Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.2 menggunakan
metode beda dengan saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat homogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukan dalam
Gambar 3.5. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program berhenti
pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
BAB IV
MODEL MASALAH KONDUKSI PANAS
PADA MEDIA HETEROGEN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode beda hingga dan solusi
numerisnya untuk masalah konduksi panas pada media heterogen.
A. Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media
Heterogen
Gambar 4.1. Konduksi panas yang melalui dua lapis bahan yang memiliki
konduktivitas termal yang berbeda.
Ditinjau suatu penampang kawat logam dengan panjang yang dilekatkan
dari dua bahan yang berbeda, sedemikian sehingga adalah penampang
yang terbuat dari logam besi dan adalah penampang yang terbuat dari
logam emas. Misalkan adalah antarmuka (interface) yang memisahkan kedua
bahan tersebut. Tujuannya adalah mencari distribusi suhu penampang kawat pada
setiap posisi dan setiap waktu yaitu ( ) ( )
Konduksi panas di kedua daerah tersebut masing-masing diatur oleh persamaan
panas satu demensi, yaitu
= 0 =
𝐼𝑛 𝑒𝑟𝑓𝑎 𝑒
𝐴
𝐴
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
(4.1)
dan
(4.2)
dengan adalah variabel ruang, adalah variabel waktu, adalah suhu logam
besi pada posisi dan waktu adalah konduktivitas termal untuk besi,
adalah suhu logam emas pada posisi dan waktu adalah
konduktivitas termal untuk emas.
Skema Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media
Heterogen
Dengan menggunakan skema eksplisit, persamaan panas satu dimensi
untuk besi pada persamaan (4.1) dapat ditulis menjadi:
[
( ) ( )]
[
( ) ( )
( ) ]
Kedua ruas dikali diperoleh
[ ( )
( )]
[
( ) ( )
( ) ]
[ ( )
( )] [ ( )
( ) ( ) ]
dengan =
.
Kedua ruas dijumlahkan dengan ( ) diperoleh
[ ( )
( )] ( ) [
( ) ( )
( ) ] ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
( ) [
( ) ( )
( ) ] ( )
atau dapat ditulis
( ) (
( ) ) ( )( ( )) (
( ) ) (4.3)
Sedangkan persamaan panas satu dimensi untuk emas pada persamaan (4.2) dapat
ditulis menjadi:
[
( ) ( )]
[
( ) ( )
( ) ]
Kedua ruas dikali diperoleh
[ ( )
( )]
[
( ) ( )
( ) ]
[ ( )
( )] [ ( )
( ) ( ) ]
dengan
Kedua ruas dijumlahkan dengan ( ) diperoleh
[ ( )
( )]
( )
[ ( )
( ) ( ) ]
( )
( ) [
( ) ( )
( ) ]
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
atau dapat ditulis
( ) (
( ) ) ( )( ( ))
( ( ) )
(4.4)
Contoh 4.1
Pada contoh ini, akan dihitung proses perpindahan panas secara konduksi
dari penampang kawat logam heterogen berbahan besi dan emas dengan panjang
20 cm seperti yang ditunjuk pada Gambar 4.1. Konduksi panas di masing-masing
bahan tersebut diatur oleh persamaan panas satu dimensi di bawah ini:
{
( )
( )
Untuk menyelesaikan persamaan panas satu dimensi di atas, dibutuhkan syarat
tambahan yaitu:
syarat batas: ( ) ( )
syarat awal: ( ) 2
dengan, konduktivitas termal besi atau konduktivitas termal emas
atau (Cverna, 2002),
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Hitunglah
a) ( )
( )
( )
( )
b) Dengan rumus ( )
yang anda peroleh hitunglah ( )
( )
( )
( )
dan selanjutnya, hitunglah ( )
( )
( )
( )
Penyelesaian:
a) Pada saat
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
b) Pada saat dan
Untuk menghitung ( )
( )
( )
( )
dan ( )
( )
( )
( )
gunakan
persamaan ( )
i. Distribusi suhu penampang kawat pada saat posisi
( )
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
ii. Distribusi suhu penampang kawat pada saat pada saat posisi
( )
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Contoh 4.2
Pada contoh ini, akan dihitung proses perpindahan panas secara konduksi
dari penampang kawat logam heterogen berbahan besi dan emas dengan kondisi
awal suhunya adalah Konduksi panas di masing-masing bahan tersebut
diatur oleh persamaan panas satu dimensi di bawah ini:
{
( )
( )
Untuk menyelesaiakan persamaan panas satu dimensi di atas, dibutuhkan syarat
tambahan yaitu:
syarat batas: ( ) ( )
syarat awal: ( )
dengan, konduktivitas termal kawat besi atau konduktivitas termal
kawat emas atau
( )
( )
Hitunglah
a) ( )
( )
( )
( )
b) Dengan rumus ( )
yang anda peroleh hitunglah ( )
( )
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
dan selanjutnya, hitunglah ( )
( )
( )
( )
penyelesaian:
a) Pada saat
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
b) Pada saat
( )
( )
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
Pada saat
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
.
( )/
.
( )/
.
( )/
( )
( )
B. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Model Konduksi Panas pada
Media Heterogen
Hasil perhitungan proses perpindahan panas pada contoh 4.1, 4.2
disimulasikan menggunakan perangkat lunak MATLAB dengan
dan program berhenti saat Hasil
simulasinya ditunjukkan oleh Gambar 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 4.2. Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan
saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat heterogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam
Gambar 4.2. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program
dijalankan dengan dan berhenti pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Gambar 4.3. Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan
saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat heterogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam
Gambar 4.3. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program
dijalankan dengan dan berhenti pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gambar 4.4. Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan
saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat heterogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam
Gambar 4.4. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program
dijalankan dengan dan berhenti pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Gambar 4.5. Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.2 dengan
saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat heterogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam
Gambar 4.5. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program
dijalankan dengan dan berhenti pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 4.6. Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.2 dengan
saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat heterogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam
Gambar 4.6. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program
dijalankan dengan dan berhenti pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 4.7. Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.2 dengan
saat
Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat heterogen
dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam
Gambar 4.7. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program
dijalankan dengan dan berhenti pada saat
Secara numerik, hasil perhitungan distribusi suhu ( ) dipengaruhi oleh
banyak interval yang digunakan. Semakin banyak interval yang digunakan maka
distribusi suhu yang dihasilkan akan semakin akurat. Kemudian banyaknya
interval juga berpengaruh pada proses dan hasil simulasi. Semakin banyak interval
yang digunakan maka kontur yang dihasilkan akan semakin halus dan waktu yang
dibutuhkan untuk simulasi akan menjadi lebih lama. Hasil simulasi perhitungan
distribusi suhu ( ) dengan mengambil pada contoh 4.1
dan 4.2 saat dapat dilihat pada Gambar 4.2, 4.3, 4.5, 4.6.
Dari masing-masing Gambar (4.2, 4.3, 4.5, 4.6), terlihat bahwa hasil perhitungan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
distribusi suhu ( ) dengan kontur yang paling halus adalah saat .
Hal ini disebabkan karena diskritisasi interval yang digunakan paling banyak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Proses perpindahan panas dapat diketahui oleh distribusi suhunya.
Perhitungan distribusi suhu melibatkan persamaan diferensial parsial. Solusi suatu
persamaan diferensial dapat dicari dengan menggunakan metode beda hingga.
Dalam kasus ini, proses perpindahan panas terjadi pada suatu penampang kawat
logam heterogen satu dimensi dengan panjang berhingga yang pada batas-batas
dan titik-titik tertentu diketahui suhunya. Perhitungan distribusi suhu penampang
kawat logam dibagi ke dalam dua kasus. Kasus pertama adalah dihitung distribusi
suhu penampang kawat logam homogen, dimana konduksi panasnya diatur oleh
satu persamaan panas saja yang dibahas pada BAB III dan kasus kedua adalah
dihitung distribusi suhu penampang kawat logam heterogen dimana konduksi
panasnya diatur oleh dua persamaan panas yang dibahas pada BAB IV.
Lebih lanjut, perhitungan dilakukan dengan memasukan nilai dari titik-
titik yang diketahui untuk mendapatkan nilai dari titik-titik berikutnya karena
adanya syarat batas dan syarat awal. Dari hasil perhitungan distribusi suhu secara
manual maupun dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, Dari hasil
perhitungan distribusi suhu ( ) baik secara manual maupun disimulasikan
menggunakan perangkat lunak MATLAB, diperoleh kesimpulan bahwa
banyaknya interval yang digunakan, berpengaruh pada perhitungan numerik
distribusi suhu pada penampang kawat logam. Semakin banyak interval yang
digunakan maka distribusi suhu yang dihasilkan akan semakin akurat. Kemudian
banyaknya interval juga berpengaruh pada proses dan hasil simulasi. Semakin
banyak interval yang digunakan maka kontur yang dihasilkan akan semakin halus,
tetapi waktu yang dibutuhkan untuk simulasi akan menjadi lebih lama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
B. Saran
Penulisan tugas akhir ini masih jauh dari kekurangan. Pada tugas akhir ini
hanya dibahas mengenai penyelesaian masalah Konduksi Panas pada Media
Heterogen dengan menggunakan metode beda hingga. Penulis berharap di waktu
akan datang, ada yang melanjutkan penulisan ini dengan metode-metode lain yang
lebih akurat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
DAFTAR PUSTAKA
Cengel & Turner. (2005). Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences.
Boston: McGraw-Hill Higher Education.
Cverna, F. (2002). Thermal Porperties of Metals. USA: ASM International.
Darmawijaya, S. (2011). Barisan dan Deret. Yogyakarta: Falkultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada.
Haberman, R. (2004). Applied Partial Differential Equations with Fourier Series
and Boundary Value Problems. Fourth Edition. New Jersey: Pearson
Prentice Hall.
Kreith, F. & Manglik, R.M. & Bohn, M.S. (2011). Principles of Heat Transfer.
Seventh Edition. Stamford: Cengage Learning.
LeVeque, R.J. (1995). Finite Difference Methods for Ordinary and Partial
Differential Equations. Washington: University of Washington.
Morton, K.W. & Mayers, D.F. (2005). Numerical Solution of Partial Differential
Equations. Second Edition. New York: Cambridge University Press.
Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
O’Neil, P.V. (2008). Beginning Partial Differential Equations. USA: Wiley
Interscience.
Purcell, E J. (1981). Kalkulus dan Geometri Analitis edisi ketiga. Jakarta:
Erlangga.
Suparno, P. (2009). Pengantar Termofisika. Yogyakarta: Universitas Sanata
Dharma.
Tarwidi, D. dan Pudjaprasetya, S.R. (2013). Godunov Method for Stefan
Problems with Enthalpy Formulations. East Asian Journal on Applied
Mathematics, 3(2): 107-119.
Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson
Education.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
LAMPIRAN
Berikut ini merupakan analisis syarat kestabilan metode beda hingga
skema eksplisit (FTCS) dan code program MATLAB metode beda hingga yang
digunakan dalam simulasi numeris untuk persamaan panas satu dimensi.
A. Syarat Kestabilan Metode Beda Hingga Skema Eksplisit (FTCS) untuk
Persamaan Panas
Pada bagian ini, kita akan menganalisis skema eksplisit metode beda hingga
untuk persamaan panas yang diperoleh dengan menggunakan beda maju terhadap
waktu dan beda pusat terhadap ruang. Disini, 𝐼 Referensi yang dipakai
adalah (Haberman, 2004).
Analisis Stabilitas Fourier-von Neumann
Persamaan (3.15) dapat ditulis menjadi
( )
( )
0 ( )
( )
( )
1
dengan syarat awal
( )
( ) 𝑓( ) 𝑓( )
dan syarat batas
( )
( )
( )
( )
dimana
Misalkan
( )
𝑒 𝑒
disubstitusikan ke persamaan (3.15), diperoleh
𝑒 𝑒 [𝑒 ( ) 𝑒 𝑒 ( ) ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
[𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 ]
𝑒 ( ) [𝑒 (𝑒 𝑒 )]
kemudian kedua ruas dikalikan dengan
diperoleh
(𝑒 𝑒 )
Perhatikan bahwa
𝑒 ( ) 𝐼 ( )
𝑒 ( ) 𝐼 ( )
𝑒 𝑒 ( ) sehingga
( ( ) )
( ( ))
Solusi dari persamaan (3.15) dengan syarat-syarat batas ( )
dan ( )
adalah
( )
𝑛
dimana
[ (𝑛
)]
dengan
𝑛
Syarat kestabilan solusi
Solusi dikatakan stabil jika
| |
| [ (𝑛
)]|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
dengan menggunakan sifat nilai mutlak, diperoleh
[ (𝑛
)]
[ (𝑛
)]
[ (𝑛
)]
Perhatikan bahwa
(𝑛
)
sehingga
Jadi, syarat kestabilan solusi harus memenuhi pertidaksamaan
Sehingga jika diketahui, maka sebaiknya diambil sedemikian sehingga:
atau ditulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
B. Metode Beda Hingga Dengan
1. Contoh kasus dimana, ujung-ujung kawat logam homogen dipertahankan
pada suhu clc
clear dx=2; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.5*dx; % langka waktu k = 1; % konduktivitas termal s = k*dt/dx^2; % nilai awal u saat t=0 for i=1:n if x(i)<= 10 uB(i)=10*x(i); else x(i)> 10 uB(i)=-10*x(i)+200;
end end plot(x,uB) hold on ylim([0 100]) pause(0.1) %program akan berhenti setiap t detik tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt; for j = 1:Nt % hitung nilai u saat t=dt uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) = s*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %kondisi batas uB(n) = 0; %kondisi batas plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi') xlabel 'x' ylabel 't' hold on grid on ylim([0 100]) pause(0.1) t = j*dt end
2. Contoh kasus dimana, kawat logam homogen yang ujung-ujung kawatnya
dipertahankan pada suhu dengan kondisi suhu awalnya
clc clear
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
close all dx=0.25; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.025*dx; %langka waktu k = 1; %konduktivitas termal suatu bahan s = k*dt/dx^2;
% nilai awal u saat t=0
for i=1:n uB(i)= 100; end plot(x,uB) ylim([0 200]) pause(0.1)
tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt; for j = Nt = tFinal/dt;
% hitung nilai u saat t=dt
uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) =c* s*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %kondisi batas uB(n) = 0; %kondisi batas plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi') xlabel 'x' ylabel 't' hold on grid on ylim([0 200]) pause(0.1) t = j*dt end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
C. Metode Beda Hingga dengan
1. Contoh kasus dimana, kawat logam heterogen yang ujung-ujungnya
dipertahankan pada suhu clc clear close all dx=2; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.0005*dx; %langka waktu k1 = 80; %konduktivitas termal untuk kawat besi k2 = 300; %konduktivitas termal untuk kawat emas s1 = c1*dt/dx^2; s2 = c2*dt/dx^2;
% nilai awal u saat t=0
for i=1:n if x(i)<= 10 uB(i)=10*x(i); else uB(i)=-10*x(i)+200; end end plot(x,uB) hold on ylim([0 100]) %membuat ukuran sumbu x
pause(0.001) %program akan berhenti setiap t detik tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt;
for j = 1:Nt % h itung nilai u saat t=dt uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) = s1*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %syarat batas
plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi
(dx=2,dt=0.0005*dx)') xlabel 'x (posisi)'
ylabel 't (waktu)' hold on grid on ylim([0 100]) %membuat ukuran pada sumbu y pause(0.001) %program akan berhenti setiap t detik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
t = j*dt %waktu for i=6:n-1 uB(i) = s2*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(n) = 0; plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi
(dx=2,dt=0.0005*dx)') xlabel 'x (posisi)'
ylabel 't(waktu)' hold on grid on ylim([0 100]) %membuat ukuran pada sumbu y pause(0.001) %program akan berhenti setiap waktu t t = j*dt %waktu
end
2. Contoh kasus 2, kawat logam heterogen yang ujung-ujung kawatnya
dipertahankan pada suhu dengan kondisi suhu awalnya
clc clear dx=2; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.0005*dx; %langka waktu k1 = 80; %konduktivitas termal dari kawat besi k2 = 300; %konduktivitas termal dari kawat emas s1 = k1*dt/dx^2; s2 = k2*dt/dx^2;
% nilai awal u saat t=0 for i=1:n uB(i)=100; end plot(x,uB) hold on ylim([0 200]) pause(0.001) tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt;
for j = 1:Nt % hitung nilai u saat t=dt uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) = s1*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %syarat batas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi
(dx=2,dt=0.0005*dx' ) xlabel 'x (posisi)' ylabel 't (waktu)' hold on grid on ylim([0 200]) pause(0.001) t = j*dt
for i=6:n-1 uB(i) = s2*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(n) = 0; %syarat batas plot(x,uB) hold on grid on title ('grafik persamaan panas satu dimensi
(dx=2,dt=0.0005*dx)') xlabel 'x (posisi)' ylabel 't (waktu)' ylim([0 200]) %membuat ukuran untuk sumbu y pause(0.001) t = j*dt %waktu end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
top related