pengantarvektor 111205224542-phpapp02
Post on 16-Apr-2017
416 Views
Preview:
TRANSCRIPT
st. legiyo - sma tn 2004
Pengantar- Lambang Vektor - Notasi Besar Vektor- Notasi Vektor - Vektor Negatif
Melukis Penjumlahan dan Selisih Vektor (Metoda Jajaran dan Poligon)Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan (Rms Cosinus dan Sinus)Menguraikan Sebuah Vektor Mjd. Dua Vektor yang Saling Tegak LurusMenentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Metoda AnalitisPerkalian Vektor
Perkalian Vektor dengan SkalarPerkalian Vektor dengan Vektor
•Perkalian Titik (Dot Product)•Perkalian Silang (Cross Product)
Vektor SatuanPengertian Vektor SatuanOperasi dengan Vektor Satuan
•Penjumlahan dan Selisih•Perkalian Titik•Perkalian Silang
Vektor Posisi
Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak
v1
Perahu bergerak dengan kecepatan v2 terhadap air, sedang air bergerak dengan kecepatan v1 terhadap bumi. Maka kecepatan perahu terhadap bumi, yaitu vR merupakan resultan dari v1 dan v2
v2
v1
vR
Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak. Perahu diarahkan serong ke kiri.
v1
Air sungai bergerak ke kanan, perahu diarahkan serong ke kiri. Dengan arah dan kecepatan yang tepat, perahu dapat sampai ke seberang dengan panjang lintasan minimum.
v2
v1
vR
v1
v1
Perhatikan: Kayu yang terapung di atas air (kecepatan v1), burung yang terbang di atas air (kec. v2), dan perahu yang kecepatannya vR (resultan v1 dan v2) sampai di tempat tujuan pada saat yang bersamaan (tAB = tBC = tAC)
v2
v1
vR
A
B
D
C
st. legiyo - sma tn 2004
PENGANTAR
• Lambang Vektor• Notasi Vektor• Notasi Besar Vektor• Vektor Negatif
st. legiyo - sma tn 2004
Lambang Vektor
• Anak panah :– Panjang anak panah besar vektor– Arah anak panah arah vektor
st. legiyo - sma tn 2004
Notasi Vektor
A atau A atau A
st. legiyo - sma tn 2004
Notasi Besar Vektor
|A| atau |A| atau A
st. legiyo - sma tn 2004
Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda Jajaran
AB
C
A
B C = A + B
st. legiyo - sma tn 2004
Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda Poligon
AB
C
A
B C = A + B
st. legiyo - sma tn 2004
Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Jajaran
A B
D
-B
A
-B D = A - B = A + (-B)
st. legiyo - sma tn 2004
Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Poligon
A B
D
-B
A
-B
D = A - B = A + (-B)
st. legiyo - sma tn 2004
SOAL LATIHAN
01.Diketahui sebuah vektor perpindahan yang besarnya 5 km dan arahnya ke tenggara digambarkan sebagai anak panah yang panjangnya 2 cm dan membentuk sudut 450 terhadap garis horisontal. Lukiskan vektor perpindahan :a. 7,5 km ke tenggara c. 10 km ke barat lautb. 2,5 km ke selatan
02.Jika vektor A berupa anak panah yang panjangnya 3 cm berarah horisontal kekanan, lukis vektor-vektor:a. 2 A b. ½ A c. – 1½ A
st. legiyo - sma tn 2004
03. Diketahui vektor-vektor berikut ini
a. Lukis dengan metoda jajaran:i) A + C iii) B + Cii) A – B iv) A - D
b. Lukis dengan metoda poligon (segi banyak)i) A + C iii) B + C + Dii) A – B iv) A + B - C + D
04. Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 15 N dan 20 N. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor, jika kedua vektor mengapit sudut sebesar:a. 900 d. 1200
b. 300 e. 1800
c. 00 f. 2250
05. Dua buah vektor sama besar. Ternyata besar resultan kedua vektor sama dengan besar salah satu vektor tersebut. Berapa sudut yang diapit kedua vektor itu? Berapa sudut arah vektor resultan terhadap salah salah satu vektor tersebut?
A BC D
st. legiyo - sma tn 2004
x2 = x2 + x2 + 2*x*x*cos Ax2 = 2 x2 + 2 x2 cos Ax2 - 2 x2 = 2 x2 cos A- x2 = 2 x2 cos Acos A = - x2 / 2 x2 = -1/2A = 1200
5a. Mencari sudut apit kedua vektor Misal : sudut apit kedua vektor adalah A
F1 = F2 = x R = x F1
F2
RA
st. legiyo - sma tn 2004
F1 R----- = -------sin B sin A
x x----- = -------sin B ½ 3
x sin B = x ½ 3
sin B = ½ 3
B = 600
5b. Mencari sudut vektor resultan R dengan F2 Misal : sudut resultan R dengan F2 adalah A
F1
F2
R
B
A
x x----- = -------sin B sin 1200
st. legiyo - sma tn 2004
Besar dan Arah Vektor Resultan
Rumus Cosinus
α cos 2AB2B2AC
Rumus SinusA
B C1
2
C=A+B sinαC
sinαB
sinαA
21
st. legiyo - sma tn 2004
TABEL FUNGSI TRIGONOMETRI
sin cos tan
00 0 1 0
300 ½ ½3 1/33
370 3/5 ½3 3/4
450 ½2 ½2 1
530 4/5 3/54/3
600 ½3 ½ 3
900 1 0
A+
I
S+
II
III
T+
IV
C+
sin (1800 - ) = sin cos (1800 - ) = - cos sin (1800+ ) = sin cos (1800 + ) = - cos
contohsin 1200 = sin (1800 – 600 ) = sin 600cos 1200 = cos (1800 – 600) = -cos 600
sin 2100 = sin (1800 + 300 ) = -sin 300 cos 2100 = cos (1800 + 300) = -cos 300
st. legiyo - sma tn 2004
Menguraikan Vektor
Vektor v dengan arah terhadap sumbu x diuraikan menjadi dua vektor komponen, yaitu vx
dan vy
Besar masing-masing vektor komponen :
Vx = V cos
Vy = V sin
vx
vyv
x
y
st. legiyo - sma tn 2004
Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Metoda Analitis
Vektor v1 dan v2 masing-masing membentuk sudut 1 dan 2 terhadap sumbu x.
Kedua vektor hendak kita gabungkan dan dicari besar dan arah resultan keduanya
1
v1
x
yv2
2
st. legiyo - sma tn 2004
Langkah I
Masing-masing vektor diuraikan menjadi dua vektor saling tegak lurus, sehingga diperoleh
v1x v1y
v2x v2y
Besar masing-masing vektor komponen :
V1x = V1 cos 1 V2x = V2 cos 2
V1y = V1 sin 1 V2y = V2 sin 2
1
v1x
v1y v1
x
yv2 v2y
v2x
2
st. legiyo - sma tn 2004
1v1x
v1y v1
x
y
v2 v2y
v2x
2
vx
vy
Langkah II
Vektor-vektor sesumbu saling digabungkan, sehingga diperoleh
vx
vy
dimanavx = v1x + v2x
vy = v1y + v2y
st. legiyo - sma tn 2004
Langkah III
1v1x
v1y v1
x
y
v2 v2y
v2x
2
vx
vyR
xΣvyΣv1tanθ
2yΣv2
xΣvR
Langkah III aMenentukan BESAR resultan vektor dengan rumus Phytagoras:
Langkah III bMenentukan ARAH vektor resultan dengan rumus tangen:
st. legiyo - sma tn 2004
1
v1x
v1
x
y
v2 v2y
v2x
2
vx
vyR
v1y
xΣvyΣv1tanθ
2yΣv2
xΣvR
vx = V1x + V2x
vy = V1y + V2y
No v sin cos v sin V cos 1 ... ... ... ... ... ...2 ... ... ... ... ... ...
Jumlah komponen vektor-vektor sesumbu ... ...
Untuk praktisnya, dalam mengerjakan soal dapat menggunakan tabulasi seperti berikut
st. legiyo - sma tn 2004
PERKALIAN PADA VEKTOR
• Perkalian Skalar dengan Vektor• Perkalian Vektor dengan Vektor
– Perkalian Titik (Dot Product) Dua buah Vektor
– Perkalian Silang (Cross Product) Dua buah Vektor
st. legiyo - sma tn 2004
Perkalian Skalar dengan Vektor
Hasil kali besaran skalar dengan besaran vektor adalah besaran vektor
Besar vektor hasil sama dengan hasil kali nilai besaran skalar dengan nilai besaran vektornya.
Arah vektor hasil sama dengan arah besaran vektornya.
Contoh:Vektor gaya F yang besarnya 5 Newton dilukiskan sebagai anak panah ke kanan sepanjang 2 cm. Maka vektor gaya F’ = 2 F berupa anak panah ke kanan dengan panjang 4 cm
FF’ = 2 x F
st. legiyo - sma tn 2004
Perkalian Titik (Dot Product) Dua Vektor
Hasil kali titik dua besaran vektor adalah besaran skalarBesar hasil kali titik tersebut sama dengan hasil kali nilai kedua
vektor dikalikan cosinus sudut yang diapit kedua vektor tersebut.
A
B
Jika hasil kali titik vektor A dengan vektor B adalah C,
C = A • B
maka C adalah besaran skalar yang nilainya
C = A B cos
st. legiyo - sma tn 2004
Seorang anak menarik mobil mainan dengan gaya sebesar 15 Newton. Tali penarik mobil mainan membentuk sudut 300 terhadap tanah. Berapa usaha yang dilakukan anak tersebut, jika mobil mainan itu berpindah sejauh 30 m?
Contoh:
s
F
W = F • s= F s cos = 15 x 30 x ½3= 2253 joule
st. legiyo - sma tn 2004
D
Perkalian Silang (Cross Product) Dua VektorHasil kali silang dua besaran vektor adalah besaran vektor
C
A
B
A
B
Arah vektor hasil mengikuti aturan putaran sekrup.
C = A x B D = B x A
Besar vektor hasil sama dengan hasil kali nilai kedua vektor dikalikan sinus sudut yang diapit kedua vektor tersebut.
C = D = A B sin
Meskipun besar vektor C = besar vektor D, tetapi kedua vektor tidak sama, melainkan berlawanan arah.
C = - DJadi pada operasi cross product ini tidak berlaku hukum komutatif.
A x B ≠ B x A
st. legiyo - sma tn 2004
Contoh:Di dalam medan magnet B (besarnya 0,25 tesla) yang arahnya ke atas, sebuah proton bergerak dengan kecepatan v (besarnya 4x106 m/s) ke selatan . Tentukan besar dan lukis arah gaya Lorentz yang dialami proton tersebut. (muatan proton 1,6x10-19 coulomb)
vB
Selatan
Barat
Atas
F = q ( v x B )
Besar gaya Lorentz F:F = q v B sin
= 1,6x10-19 x 4x106 x 0,25 x 1= 1,6x10-13 newton
Arah gaya Lorentz F:Ke Barat
Selatan
Barat
Atas
v
B
F
v
B
st. legiyo - sma tn 2004
Vektor SatuanVektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan.Vektor satuan yang searah sumbu x disebut i Vektor satuan yang searah sumbu y disebut j Vektor satuan yang searah sumbu z disebut k
x
y
z
i
j
k
st. legiyo - sma tn 2004
Vektor SatuanSetiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan.
Misal kita memiliki vektor :
v = 3 i + 4 jVektor tersebut memiliki - komponen pada sumbu x sebesar 3 satuan
vx = v cos = 3 satuan
- komponen pada sumbu y sebesar 4 satuan vy = v sin = 4 satuan
Sehingga besar vektor v tersebutv = vx
2 + vy2 = 5 satuan
Dan arah vektor terhadap sumbu x sebesar = tan-1(vy / vx)
x
y
vx
vy
v
st. legiyo - sma tn 2004
Vektor Satuan
Secara umum dapat dituliskan:
v = vx i + vy j
vx = v cos = komponen vektor pd sumbu x
vy = v sin = komponen vektor pd sumbu y
Besar vektorv = vx
2 + vy2
Arah vektor terhadap sumbu x = tan-1(vy / vx)
x
y
vx
vy
v
st. legiyo - sma tn 2004
Vektor Satuan
Dalam bentuk tiga dimensi:
v = vx i + vy j + vz k
vx = komponen vektor pd sumbu x
vy = komponen vektor pd sumbu y
vz = komponen vektor pd sumbu z
Besar vektorv = vx
2 + vy2 + vz
2
x
y
z
vx
vy
Vz
v
st. legiyo - sma tn 2004
Operasi Penjumlahan pada Vektor Satuan
Diketahui dua buah vektorA = Ax i + Ay j B = Bx i + By j
Jika C adalah resultan vektor A dengan vektor B, makaC = A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j
2yByA2
xBxAC
Besar vektor C adalah
xBxAyByA1tanα
Arah vektor C adalah
st. legiyo - sma tn 2004
ContohDiketahui dua buah vektor P dan Q, dimana P = 5 i + j dan Q = -2 i + 4 j. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor tersebut.
R = P + QR = (5 - 2) i + (1 + 4) j = 3 i + 5 j
Besar vektor R adalahR = (32 + 52) = 34 satuan
Arah vektor R adalah
= tan-1(5/3)
Jawab
P
Q
x
y
R
st. legiyo - sma tn 2004
Perkalian Vektor Satuan
Perkalian Titik (menghasilkan skalar)i • i = 1x1xcos 00 = 1 i • j = 1x1xcos 900
= 0j • j = 1x1xcos 00 = 1 j • i = 1x1xcos 900
= 0k•k = 1x1xcos 00 = 1 i •k = 1x1xcos 900
= 0dst
x+-ij
y -z+
x -
y+z -
ki
-k
-j
Perkalian Silang (menghasilkan vektor satuan)i x i = 0 i x j = k j x i = -kj x j = 0 j x k = i k x j = -ikxk = 0 k x i = j i x k = -j
st. legiyo - sma tn 2004
Perkalian Titik Dua Vektor
Diketahui dua buah vektorA = Ax i + Ay j B = Bx i + By j
Perkalian titik dua buah vektor menghasilkan skalar.
Jika C adalah hasil kali titik vektor A dengan vektor B, makaC = A • B = (Ax i + Ay j) • (Bx i + By j) = (Ax i • Bx i) + (Ax i • Byj) + (Ay j • Bxi) + (Ay j • Byj)
= (Ax Bx) + 0 + 0 + (Ay By)
C = (Ax Bx) + (Ay By)
st. legiyo - sma tn 2004
ContohDiketahui dua buah vektor P dan Q, dimana P = 5 i + j dan Q = -2 i + 4 j. Tentukan: a) hasil kali titik kedua vektor, b) sudut antara
kedua vektor tersebut
P.Q = PxQx + PyQy
= (5.(-2))+(1.4) = -6 ...........................(1)
Jawab
P.Q = P.Q.cos P = (52 + 12) = 26Q = (-2)2 + 42) = 20
P.Q = (26) (20).cos = (520) cos ........... (2)
Dari (1) dan (2), diperoleh-6 = (520).cos cos = -6/(520)
= cos-1 -5/(26)
st. legiyo - sma tn 2004
Perkalian Silang Dua VektorDiketahui dua buah vektor
A = Ax i + Ay j B = Bx i + By j
Perkalian Silang dua buah vektor menghasilkan vektor.
C = A x B = (Ax i + Ay j) x (Bx i + By j) = (Ax i x Bx i) + (Ax i x Byj) + (Ay j x Bxi) + (Ay j x Byj) = 0 + (Ax By) k + (Bx Ay) -k + 0
C = {(Ax By) - (Ay Bx)} k
Besar C adalah
C = (Ax By) - (Ay Bx)
Arah vektor C sejajar vektor satuan k atau sumbu z
st. legiyo - sma tn 2004
ContohDiketahui dua buah vektor P dan Q, dimana P = 5 i + j dan Q = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah hasil kali silang kedua vektor itu
PxQ = (PxQy – PyQx) k
= {(5.4)-(1.(-2)} k = 22 k
Jawab
Jadi vektor hasilnya sebesar 22 satuan dengan arah ke sumbu z positif
st. legiyo - sma tn 2004
Vektor PosisiVektor Posisi adalah vektor untuk menyatakan posisi sebuah titik di
dalam ruang.
Sebuah titik P berada di dalam ruang dengan koordinat (x,y,z)
Vektor Posisi titik P tersebut dituliskan:
r = x i + y j + z kx+
z+
y+
z x
y
r•P
st. legiyo - sma tn 2004
Vektor Posisi
x+
z+
y+
z1x1
y1
•Pr1
y2
x2
z2
r2
Jika sebuah titik berpindah dari posisir1 = x1 i + y1 j + z1 k
menujur2 = x2 i + y2 j + z2 k
Maka vektor perpindahan titik tersebut:r = r2 - r1 = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k
r
st. legiyo - sma tn 2004
ContohSebuah partikel berada pada titik A dengan vektor posisi rA = 5 i + j. Kemudian partikel tersebut bergerak ke titik B yang vektor posisinya rB = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah perpindahan partikel tersebut
r = rB - rA = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j= (-2 - 5)i + (4 - 1)j= -7 i + 3 j
JawabBesar perpindahan partikel
r = (-7)2 + 32 = 58 satuanArah perpindahan (terhadap sumbu x)
= tan-1(3 / -7)
top related