pendekatan regresi untuk analisis variansi · 2017-12-17 · 4. pengujian hipotesis ... kesimpulan...
Post on 08-Mar-2019
243 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
DWI NOVIATI
NIM : 993114020
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Cita-cita adalah semangat hidup
karena hidup tanpa cita-cita bagaikan menghitung bintang di langit
Dan seandainya pohon-pohon di bumi menjadi pena, dan laut
menjadi tinta, ditambahkan kepadanya tujuh laut lagi sesudah keringnya,
niscaya tidak akan babis-habisnya dituliskan kalimat Allah.
Sesungguhnya Allah Maha Perkasa Lagi Maha Bijaksana.
( Surat luqman, ayat 27 )
Kupersembahkan karya ini untuk :
Tuhan Y.M.E Ayah ( Alm ) dan Ibu sebagai tanda cinta dan wujud baktiku
Almamater tercinta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesugguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam kutipan dan
daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, ……………………...
Penulis
Dwi Noviati
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
ABSTRAK
Pengujian hipotesis dua nilai rata-rata dilakukan dengan menggunakan uji z dan uji t. Namun bila terdapat tiga atau lebih nilai rata-rata maka pengujian dilakukan dengan menggunakan metode Analisis Variansi (ANOVA). ANOVA adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman. Model umum ANOVA klasifikasi satu arah adalah ijiijy εαμ ++= . ANOVA dapat diselesaikan dengan pendekatan regresi, yaitu membawa model ANOVA kedalam model regresi dengan menggunakan variabel boneka. Pengunaan variabel boneka bertujuan untuk merubah data yang bersifat kualitatif menjadi kuantitatif, karena dalam ANOVA ada perbedaan sifat variabel. Variabel tak bebas bersifat kuantitatif dan variabel bebas bersifat kualitatif. Sedangkan dalam regresi antara variabel bebas dan variabel tak bebas, keduanya bersifat kuantitatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
ABSTRACT
The hypothesis testing of two mean values is done by using the z-tests and t-tests. But if there are three or more mean values then the testing is done by using Analysis of Variance (ANOVA). ANOVA is a method to descript the total variance of the data into some components coming from many sources of variance. The common model of one way classification ANOVA is
ijiijy εαμ ++= . ANOVA can be done by regression approach. Which is bringing the ANOVA model into the regression model by using dummy variables. The aim of using dummy variable is change the qualitative variable into quantitative, unlike in ANOVA, the independent variable and the dependent variable, both are quantitative.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
rahmat, kasih, dan karuniaNya, sehingga penyusunan skripsi yang berjudul
“Pendekatan Regresi Untuk Analisis Variansi” dapat diselesaikan..
Dalam menulis skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis
hadapi. Namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya dapat
terselesaikan. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terimakasih yang sebesar-
besarnnya kepada :
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc sebagai dosen pembimbing skripsi
yang telah meluangkan waktunya dengan kesabarannya membantu dan
membimbing penulis sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan.
2. Romo Dr. Frans. Susilo, SJ. selaku dosen pembimbing akademik.
3. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Matematika
FMIPA USD Yogyakarta.
4. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si dan ibu Enny Murwaningtyas,
S.Si, M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih atas kritik, saran, dan
masukkan serta bimbingan selama menyelesaikan revisi.
5. Ibu Dra Maria Agustiani, M.Si. (Alm) yang telah memberi dorongan dan
semangat selama perkulihan.
6. Ibu dan bapak dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang sangat
berguna bagi penulis.
7. Ibu Suwarni dan mas Tukijo atas pelayanan administrasi yang diberikan
selama penulis menjalani kuliah dan dalam penulisan skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
8. Ayah (Alm) dan ibu tercinta, terimakasih atas kasih sayang, doa,
dukungan moral dan material yang diberikan selama ini.
9. Terimakasih untuk adik-adikku lina, Erna, Bayu, ika, dini dan jepri yang
memberiku semangat yang tiada henti-hentinya selama ini.
10. Sahabat-sahabat terbaikku : Ria, vivin, Chres, Vera, terimakasih atas doa,
dukungan, dan tidak bosan-bosannya memberiku semangat.
11. Teman-teman seperjuanganku angkatan “99 : Apri, Nana, Desi, Yoslin,
Eny, Yuda, Wondo, Antok, Hebby, Nia, Thomas, Delisa, Sigit, Mike,
Andri, Alie, Catur, Ice, Wiwid, Johan, Naga, Nadi, Tanto, Yuli, Karlo,
terimakasih atas kebersamaannya selama ini.
12. Semua angkatan “98, “00 dan “01. Buat Ajeng, very, makasih atas doa dan
dukungannya selama ini.
13. Teman-teman kostku : Iin, Ita, Silvi, Tiyas, Valen, elly, Diah, Nety,
terimakasih atas persahabatan yang indah selama ini.
14. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah
membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Meskipun
demikian, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat dan menjadi referensi
bagi pembaca.
Yogyakarta, ………………
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………… ii
HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………… iii
HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………… iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………… v
ABSTRAK ………………………………………………………………… vi
ABSTRACT ………………………………………………………………… vii
KATA PENGANTAR ……………………………………………………… viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. x
DAFTAR TABEL …………………………………………………………... xiii
DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………... xiv
BAB I PENDAHULUAN …………………………………………….. 1
A. Latar Belakang Masalah …………………………………… 1
B. Perumusan Masalah ………………………………………... 2
C. Pembatasan Masalah ……………………………………… 3
D. Tujuan Penulisan …………………………………………… 3
E. Manfaat Penulisan ………………………………………… 3
F. Metode Penulisan ………………………………………… 3
G. Sistematika Penulisan ……………………………………… 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
BAB II LANDASAN TEORI ………………………………………...... 5
A. Analisis Variansi …………………………………………… 5
1. Distribusi F …………………………………………… 6
2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah ………………… 10
3. Analisis Variansi Kasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi … 18
4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi 28
5. Contoh Analisis Variansi ………………………………… 41
B. Analisis Regresi …………………………………………….. 44
1. Regresi linier Sederhana ………………………………… 44
2. Metode Kuadrat Terkecil ……………………………….. 46
3. Regresi Berganda ………………………………………… 51
4. Pengujian Hipotesis ……………………………………… 55
C. Matriks Tak Singular………………………………………… 56
BAB III PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI… 59
A. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Satu Arah …………… 60
B. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah tanpa
Interaksi ……………………………………………………. 65
C. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah dengan
Interaksi …………………………………………………… 70
BAB IV APLIKASI PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS
VARIANSI … ………………………………………………….. 75
A. Tingkat Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan 75
B. Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam ………… 80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
BAB V KESIMPULAN ………………………………………………… 87
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………… 88
LAMPIRAN ………………………………………………………………… 89
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Klasifikasi Satu Arah dengan k Sempel Pengamatan …………... 10
Tabel 2.2 Analisis Variansi Satu Arah …………………………………… 17
Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan Per Sel ……….. 18
Tabel 2.4 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi …………………… 27
Tabel 2.5 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan Per Sel…… 28
Tabel 2.6 Analisis Variansi Dua Arah dengan Interaksi…………………… 39
Tabel 2.7 Hasil Perbandingan Tiga Varietas Kentang dengan Empat Lokasi 41
Tabel 2.8 Anlisis Variansi dari data tabel 2.7 …………………………… 43
Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk Regresi linier Sederhana ……………… 50
Tabel 2.10 Analisis Variansi untuk Regresi Berganda …………………… 55
Tabel 4.1 Tingkat Sisa Kerusakan otak selama Proses Penyembuhan …… 75
Tabel 4.2 Analisis Variansi dari data tabel 4.1 …………………………… 79
Tabel 4.3 Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam …………… 80
Tabel 4.4 Analisis Variansi dari data tabel 4.3 …………………………… 86
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 ………………………………………………………………… 89
Lampiran 2 ………………………………………………………………… 93
Lampiran 3 ………………………………………………………………… 101
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran atau pemencaran nilai.
Variansi dapat menggambarkan tingkat atau taraf keberagaman antar nilai.
Variansi bersama dengan rata-rata banyak digunakan untuk menentukan
kesimpulan mengenai populasi, melalui pendugaan dan pengujian hipotesis
parameter. Variansi dari sekumpulan data menggambarkan derajat perbedaan atau
variasi nilai yang ada dalam kelompok yang diperoleh dengan menghitung rata-
rata dari kumpulan data tersebut.
Pengujian kesamaan rata-rata dari dua populasi dengan menggunakan
sampel bebas, adalah dengan menggunakan uji z dan uji t. Uji z digunakan untuk
menguji hipotesis mengenai rata-rata dari populasi normal, dengan sampel lebih
dari 30 serta variansi populasi diketahui. Uji t digunakan untuk menguji hipotesis
mengenai rata-rata dari dua populasi dengan sampel kurang dari 30 dan variansi
populasi tidak diketahui. Pengujian hipotesis dengan uji z dan uji t hanya terbatas
pada dua populasi saja. Jika lebih dari dua populasi maka menjadi tidak efisien
karena:
1. Harus melalui pengujian tiap-tiap pasang sebanyak dua kombinasi k
populasi )(2 kC .
2. α akan semakin meningkat karena pengujian harus dilakukan tiap-tiap
pasang populasi yang mungkin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Sekarang bagaimana menguji atau membandingkan dua atau lebih rata-rata
populasi secara bersamaan atau simultan. Untuk melakukan pengujian secara
simultan tersebut digunakan metode lain yang disebut analisis variansi (ANOVA).
Uji Statistik dalam analisis variansi menggunakan distribusi F.
Namun analisis variansi dapat juga diselesaikan melalui pendekatan
regresi. Analisis variansi dan analisis regresi digunakan untuk menyatakan
hubungan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas. Dalam analisis regresi
variabel tak bebas dan variabel bebas bersifat kuantitatif. Sedangkan dalam
analisis variansi, variabel tak bebas bersifat kuantitatif, tetapi variabel bebasnya
bersifat kualitatif. Variabel kualitaif adalah variabel yang tidak memungkinkan
dilakukannya pengukuran numerik. Pengamatannya berupa memasukkan suatu
kriteria kedalam satu dari beberapa kategori yang saling terpisah. Pengamatan –
pengamatan tersebut tidak dapat diurutkan secara berarti ataupun diukur, hanya
diklasifikasikan. Agar dapat dilakukan perhitungan maka variabel yang sifatnya
kualitatif diubah lebih dahulu kebentuk yang bersifat kuantitatif. Analisis variansi
dengan variabel bebas bersifat kualitatif, dapat diselesaikan melalui pendekatan
regresi yang variabel bebasnya bersifat kuantitatif, dengan menambahkan variabel
boneka (Dummy variable).
B. Perumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :
1. Bagaimana menyusun model ANOVA dengan menggunakan model regresi?
2. Bagaimana menerapkan model regresi untuk ANOVA pada analisis data?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
C. Pembatasan Masalah
Pada skripsi ini akan dibahas bentuk-bentuk analisis variansi dengan efek
tetap saja. Asumsi-asumsi yang mendasari analisis regresi tidak diuji karena pada
penulisan skripsi ini hanya menggunakan metodenya saja. Sedangkan mengenai
matriks tak singular, teorema yang mendukung tidak dibuktikan.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulis menyusun skripsi ini adalah untuk:
1. Menyusun model regresi melalui data yang berasal dari analisis variansi.
2. Melakukan pengujian hipotesis rata-rata dengan menggunakan pendekatan
regresi.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan ini adalah untuk memperdalam analisis variansi dan
analisis regresi, serta mengetahui bahwa ANOVA dapat diselesaikan dengan
menggunakan analisis regresi.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka,
yaitu dengan mengumpulkan bahan dan mempelajari bahan atau buku-buku yang
berkaitan langsung dengan topik tulisan yang dibicarakan, sehingga penulis dapat
memahami lebih lanjut tentang topik tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam pembahasan mengenai pendekatan regresi
untuk analisis variansi adalah sebagai berikut:
Bab I pendahuluan memberi gambaran umum mengenai isi skripsi
meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan
penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.
Bab II membahas tentang landasan teori meliputi distribusi F , bentuk-
bentuk analisis variansi, analisis regresi dan matriks tak singular.
Bab III membahas tentang pendekatan regresi untuk analisis variansi
dengan masing-masing bentuk klasifikasinya serta pengujian hipotesis.
Bab IV berisi tentang aplikasi pendekatan regresi untuk analisis variansi
dengan menggunakan data.
Bab V berisi tentang kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Analisis Variansi
Analisis variansi (ANOVA) adalah suatu metode untuk menguraikan
keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai
sumber keragaman. Dasar pengujian yang digunakan didasarkan pada distribusi F.
Distribusi F digunakan untuk menguji :
1. Apakah dua sempel berasal dari populasi dengan variansi yang sama.
2. Membandingkan dua atau lebih rata-rata populasi secara simultan.
Dalam ANOVA memerlukan syarat-syarat berikut:
1. Populasi-populasi yang diteliti memiliki distribusi normal.
2. Populasi-populasi tersebut memiliki standar deviasi yang sama atau
variansi yang sama.
3. Sampel yang diambil dari populasi tersebut bersifat bebas dan sampel
yang diambil secara acak.
Dalam ANOVA akan dibandingkan keragaman yang ada di antara kelompok dan
keragaman yang ada di dalam kelompok itu sendiri. Apabila keragaman di antara
kelompok lebih besar dari pada keragaman di dalam kelompok, maka populasi-
populasi tersebut mempunyai rata-rata yang berbeda.
Selanjutnya dibahas terlebih dahulu distribusi F yang merupakan landasan
pengujian variansi, kemudian dilanjutkan dengan model analisis variansi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
1. Distribusi F
Distribusi F didefinisikan sebagai distribusi dari perbandingan dua
variabel random Chi-square yang saling bebas, masing-masing dibagi dengan
derajat bebasnya. Statistik F dapat ditulis sebagai
2
1
rVrUF = .
U dan V menyatakan variabel random bebas, masing-masing berdistribusi Chi-
square, dengan derajat bebas 1r dan 2r .
Teorema 2.1
Misalkan dua variabel random Chi-square yang saling independent u dan v yang
mempunyai derajat bebas 1r dan 2r .
2
1
rVrU
F =
Variabel random F dikatakan memiliki distribusi F dengan derajat bebas 1r dan
2r bila fungsi densitasnya :
( )( )
( ) ( )( )
selainnya,
w,
rwr
wrr
rrrr
wg rr
)r(r
0
0
122
2
2
2
1
22
21
22121
1 21
1
1
=
∞<<
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ΓΓ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
Γ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
−
Bukti:
Fungsi densitas gabungan ),( vuh dari u dan v adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
( ) ( )selainnya
vuvuvurr
vuhrr
rr
,0
0,0,2
)(exp222
1),( 2)2(
2)2(
2)(21
21
21
=
∞<<∞<<⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
ΓΓ=
−−
+
Didefinisikan variabel random baru 2
1
rVrUW = . Akan ditunjukkan fungsi densitas
)(1 wg dari W . Persamaan2
1
rvruw = . Andaikan zv = .
Didefinisikan sebuah transformasi satu-satu yang memetakan himpunan
{ } { }∞<<∞<<=∞<<∞<<= zwzwBpadavuvuA 0,0:),(0,0:),(
karena 2
1
rvruw = dan vz = . Gantikan v dengan z akan menjadi
2
1
rzruw = maka zw
rru2
1= sehingga dwrzrdu
2
1=
sehingga didapat nilai mutlak dari transformasi jacobian adalah .)( 21 zrrJ =
Fungsi densitas gabungan ),( zwg dari variabel random VZdanW = adalah
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
=−
−
+2
1
2
12)2(2
)2(
2
12)(
21
12
exp222
1),(2
1
21 rzr
rwrzz
rzwr
rrzwg
rr
rr
dengan Bzw ∈),( dan 0 untuk yang lainnya. Fungsi densitas marjinal )(1 wg dari
w adalah
∫∞
∞−
= dz)z,w(g)w(g1
( ) ( ) ( ) dzrzr
rwrzexpz
rzwr
rr
)r()r(
/rr ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
=−
−∞
+∫2
1
2
1222
2
2
1
02
21
12222
1 21
21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
=−−−
−∞
+∫2
122
22
222
2
2
1
02
21
2111
212221
rzr)z()w()z(
rr
rr
)r()r()r()r(
/rr
dzrwrzexp
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 1
2 2
1
( ) ( ) ( ) )z()z()z()w(rzr
rr
rr
)r()r()r()r(
/rr2
22
22
2
2
12
2
2
1
02
21
2111
212221 −−−
−∞
+ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
= ∫
dzrwrzexp ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 1
2 2
1
( ) ( ) ( ) dzrwrzexp)z()w(
rr
rr
)rr()r(r
/rr⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
=−+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞
+∫ 12222
1
2
122
222
2
1
02
21
2111
21
( )
( ) ( )dz
rwrzexpz
rr
)w(rr )rr(
)rr(
rr
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
ΓΓ
= ∫∞ −+
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
12
222 2
1
0
22
221
22
22121
21
11
Jika variabel integrasinya diubah dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 1
2 2
1
rwrzy , dapat diperlihatkan
bahwa ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 1
2 2
1
rwrzy maka
1
1
1 12−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
rwryz
sehingga dyrwrdz
1
2
1 12−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
masukkan kedalam persamaan berikut
( )
( ) ( )( ) dy
rwrzz
rr
wrrwgrr
rr
rr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
ΓΓ= ∫
∞ −+
+
−
12
exp222
)()(2
1
0
2)2(
2)(
21
2)2(
2211
21
21
11
maka persamaannya akan menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
( )
( ) ( )dy
rwrzz
rr
wrrwgrr
rr
rr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
ΓΓ= ∫
∞ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+
−
12
exp)(222
)()(2
1
0
22
2)(
21
2)2(
2211
21
21
11
= ( )
( ) ( ) 2)(
21
2)2(
22121
11
222
)(rr
rr
rr
wrr+
−
ΓΓ∫∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
0
22
1
2
1
21
12
rr
rwry
( ) dyrwryexp
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−1
2
1 12
( )
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ= ∫
22
1
2
1
0
22
22
221
22
221
21
2121
21
11
12222
rrrrrr
)rr(
)r(r
rwry
rr
)w(rr
( ) dyrwryexp
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−1
2
1 12
( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+
− 1
2
12
21
2
122
221
22
221 1212222
21
21
21
11
rwr
rwr
rr
wrrrr
rr
)rr(
)r(r
( )dyyexpyrr
−∫∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
0
2221
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
1
2
12
2
112
221
22
221 121122222
2121
21
11 −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ=
rwr
rwr
rwr
rr
wrrrr
rr
)rr(
)r(r
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−+Γ 1
2221 rr
( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
Γ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−−
21
2221
2
2
1
21
2)2(
221
2111
rrrwr
rrwrr
rrrr
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
( )
( ) ( )( )
selainnya
w
rwr
wrr
rrrr
rr
rr
,0
0,
122
2
2
2
1
2)2(
21
22121
21
1
1
=
∞<<
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ΓΓ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
Γ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah
Misalkan terdapat k populasi. Dari masing-masing populasi diambil
sampel berukuran n . Populasi tersebut menyebar normal dengan rata-rata
kμμμ ,...,, 21 dan variansi sama 2σ . Akan dilakukan pengujian hipotesis :
kH μμμ === ...: 210 .
1H : jiji ≠≠∃ ,μμ .
Misal ijy adalah pengamatan ke j dari populasi ke i dan berikut susunan
datanya.
Tabel 2.1 klasifikasi satu arah dengan k sempel pengamatan
Populasi
1 2 … i … k
11y
12y
Μ
ny1
21y
22y
Μ
ny2
…
…
…
1iy
2iy
Μ
iny
…
…
…
1ky
2ky
Μ
kny
Total .1T .2T … .iT … .kT ..T
Rata-rata .y1 .y2 … .iy … .ky ..y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Dimana
.iT = Total semua pengamatan sampel dari populasi ke i .
..T = Total semua nk pengamatan.
.iy = Rata-rata semua pengamatan sampel dari populasi ke i .
..y = Rata-rata semua nk pengamatan.
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ijiijy εμ += (2.1)
Bila ijε adalah simpangan pengamatan ke j dalam sampel ke i dari rata-rata
populasi ke i . Bentuk lain dari persamaan ini diperoleh dengan substitusi
ii αμμ += , sedangkan μ adalah rata-rata semua iμ artinya
k
k
ii∑
== 1μ
μ
maka persamaan (2.1) menjadi
ijiijy εαμ ++= (2.2)
dengan ketentuan
( ) 011
=−=∑∑==
k
ii
k
ii μμα
dengan iα sebagai pengaruh populasi ke i .
Dari persamaan (2.2) tersusun atas tiga hal yaitu iαμ, dan ijε . Dengan demikian
persoalannya bagaimana memperoleh nilai iαμ, dan ijε . Salah satu cara yang
digunakan adalah metode kuadrat terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Jadi menduga iαμ, dan ijε dengan membuat jumlah kuadrat sisa atau galat
sekecil mungkin. Jumlah kuadrat galat ditulis dengan ( )JKG .
( ) ∑∑= =
=k
i
n
jijJKG
1 1
2ε
( )∑∑= =
−−=k
i
n
jiijy
1 1
2αμ (2.3)
Penduga bagi μ adalah μ maka
( )( )
01 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂
=∂
∂∑∑= =
μ
αμ
μ
k
i
n
jiijy
JKG
( ) 021 1
=−−− ∑∑= =
k
i
n
jiij ˆy αμ
01 1 1 1 1 1
=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
jiij ˆy αμ
∑∑ ∑∑= = = =
=−−k
i
n
j
k
i
n
jij ˆy
1 1 1 1
00μ
∑∑ ∑∑= = = =
=k
i
n
j
k
i
n
jijyˆ
1 1 1 1
μ
kn
yˆ
k
i
n
jij∑∑
= == 1 1μ
..yˆ =μ (2.3a)
Penduga bagi iα adalah iα maka
( )( )
01 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂
=∂
∂∑∑= =
i
k
i
n
jiij
i
yJKG
α
αμ
α
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
( ) 021 1
=−−− ∑∑= =
k
i
n
jiij ˆˆy αμ
01 1 1 1 1 1
=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
jiij ˆˆy αμ
∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
−=k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
jiji ˆyˆ
1 1 1 1 1 1μα
karena ..yˆ =μ maka
∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
−=k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
j..iji yyˆ
1 1 1 1 1 1α
∑=
−=n
j...ii yknyˆkn
1α
kn
yknyˆ
n
j...i
i
∑=
−= 1α
kn
yknnyˆ ...ii
−=α
...i
i ykyˆ −=α
...ii yyˆ −=α (2.3b)
Apabila ijε adalah galat, penduganya adalah ije , akan diperoleh dengan
memasukkan parameter iαμ ˆ,ˆ pada persamaan (2.2) sehingga didapat
( )...i..ijij yyyye −−−=
.iijij yye −= (2.3c)
Parameter yang didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.2) menjadi
( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−+=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Dengan sedikit merubah susunannya menjadi
( ) ( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−=−
Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan diperoleh bentuk berikut
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( )∑∑
∑∑∑∑
∑∑
∑∑ ∑∑
= =
= == =
= =
= = = =
−+
−−+−=
−+−−+−=
−+−=−
k
i
n
jiij
k
i
n
jiiji
k
i
n
ji
k
i
n
jiijiijii
k
i
n
j
k
i
n
jiijiij
yy
yyyyyy
yyyyyyyy
yyyyyy
1 1
2.
1 1....
1 1
2...
1 1
2.....
2...
1 1 1 1
2....
2..
2
2
Penjumlahan yang ditengah sama dengan nol, karena
( ) .i
n
jij
n
j.iij ynyyy −=− ∑∑
== 11
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑
∑ =
= n
yny
n
jijn
jij
1
1
0=
Penjumlahan yang pertama tidak mempunyai j sebagai subkrip, maka dapat
dituliskan sebagai
( ) ( )∑∑ ∑= = =
−=−k
i
n
j
k
i...i...i yynyy
1 1 1
22
sehingga menjadi
( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ∑= == = =
−+−=−k
i
n
j.iij
k
i
n
j
k
i...i..ij yyyynyy
1 1
2
1 1 1
22 (2.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total, ditulis dengan ( )JKT . Ruas kanan suku
pertama disebut jumlah kuadrat antar kelompok, ditulis ( )JKK . Suku kedua
disebut jumlah kuadrat dalam kelompok, ditulis ( )JKG .
Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
JKGJKKJKT +=
Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus berikut
( )
( )
∑ ∑ ∑∑∑∑
∑∑
∑∑
= = = ===
= =
= =
+−=
+−=
−=
k
i
k
i
k
i
n
j
n
jij
n
jij
k
i
n
jijij
k
i
n
jij
yyyy
yyyy
yyJKT
1 1 1 1
2..
1..
1
2
1 1
2....
2
1 1
2..
2
2
dengan ∑∑= =
=k
i
n
jij.. yy
1 1 dan
kny
y .... =
∑∑= =
+−=k
i......
n
jij yknyykny
1
2
1
2 2
∑∑= =
+−=k
i....
n
jij yknykny
1
22
1
2 2
∑∑= =
−=k
i..
n
jij ykny
1
2
1
2
∑∑= =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
k
i
..n
jij kn
ykny
1
2
1
2
∑∑= =
−=k
i
..n
jij kn
yy
1
2
1
2 (2.4a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
( )∑=
−=k
i...i yynJKK
1
2
( )∑=
+−=k
i.....i.i yyyyn
1
22 2
∑∑∑===
+−=k
i
k
ii
k
ii ynyynyn
1
2..
1...
1
2. 2
dengan ..
k
i.i yky =∑
=1 dan
n
yy
n
jij
.i
∑== 1
∑∑
=
= +−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=k
i......
n
jij
yknykynn
yn
1
2
2
1 2
22
1..
k
i
.i yknny
n −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
kny
knn
y..
k
i.i
kny
n
y..
k
i.i 2
1
2
−=∑= (2.4b)
JKKJKTJKG −= (2.4c)
Jumlah jumlah kuadrat tersebut diatas dapat dituliskan kedalam tabel anova untuk
memudahkan analisis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Tabel 2.2 analisis variansi satu arah
Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah hitungF
Kelompok JKK 1−k ( )121 −= kJKKs 2
221 ssf =
Galat JKG ( )1−nk ( )122 −= nkJKGs
Total JKT 1−nk
Langkah-langkah pengujian Hipotesis
1. Rumusan hipotesis
kH μμμ === ...: 210 .
1H : jiji ≠≠∃ ,μμ .
2. Tentukan α .
3. Wilayah kritis.
0H ditolak bila ( )[ ]1,1 −−< nkkff hitung α .
4. Perhitungan.
5. Tabel analisis variansi.
6. Kesimpulan.
Telah diketahui bahwa setiap pengamatan ditulis sebagai berikut
ijiijy εμ +=
dan diketahui pula bahwa
ii αμμ += atau ii αμμ =−
Untuk menguji rata-rata dalam suatu populasi yang terdiri dari beberapa
kelompok, maka diuji juga rata-rata kelompok apakah sama atau tidak Maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
kedua hipotesis kH μμμ === ...: 210 dan 0...: 210 ==== kH ααα adalah
sama. Jadi pada dasarnya menguji kesamaan rata-rata antara kelompok adalah
sama dengan menguji pengaruh perlakuan.
3. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi
Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan
menyusun data tersebut dalam r baris dan c kolom, seperti pada tabel berikut.
Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan per Sel
Kolom
Baris 1 2 … j … c Total Rata-rata
1 11y 12y … jy1 … cy1 .1T .y1
2 21y 22y … jy2 … cy2 .2T .y2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
i 1iy 2iy … jiy … icy .iT .iy
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
r 1ry 2ry … jry … rcy .rT .ry
Total 1.T 2.T … jT. … cT. ..T
Rata-rata 1.y 2.y … j.y … c.y ..y
Dimana
.iT = Total semua pengamatan dalam baris ke i .
jT. = Total semua pengamatan dalam kolom ke j .
..T = Total semua rc pengamatan
.iy = Rata-rata semua pengamatan dalam baris i .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Rata-rata populasi pada baris ke i adalah
c
c
jij
i
∑== 1
.
μμ
Rata-rata populasi bagi kolom ke j adalah
r
r
iij
j
∑== 1
.
μμ
Rata-rata rc populasi adalah
rc
r c
ij∑∑=
μμ
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ijijijy εμ += (2.5)
Dimana ijε adalah simpangan nilai pengamatan ijy dari rata-rata populasi ijμ .
Bila iα adalah pengaruh baris ke i dan jβ adalah pengaruh kolom ke j maka
diperoleh
jiij βαμμ ++=
Sehingga persamaan diatas menjadi
ijjiijy εβαμ +++= (2.6)
Kemudian disyaratkan
∑ ∑= =
==r
i
c
jji
1 100 βα
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Nilai ,,, ji βαμ dapat diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Nilai tersebut
didapatkan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, dan ditulis ( )JKG .
∑∑= =
=r
i
c
jijJKG
1 1
2ε
( )∑∑= =
−−−=r
i
c
jjiijy
1 1
2βαμ (2.7)
Penduga nilai μ adalah μ maka
( )( )
01 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−∂
=∂
∂∑∑= =
μ
βαμ
μ
r
i
c
jjiijy
JKG
( ) 021 1
=−−−− ∑∑= =
r
i
c
jjiij ˆy βαμ
01 1 1 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjiij ˆy βαμ
0001 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑= = = =
r
i
c
j
r
i
c
jij ˆy μ
01 1
=−∑∑= =
μrcyr
i
c
jij
rc
yˆ
r
i
c
jij∑∑
= == 1 1μ
..yˆ =μ (2.7a)
Penduga nilai iα adalah iα maka
( )( )
01 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−∂
=∂
∂∑∑= =
i
r
i
c
jjiij
i
yJKG
α
βαμ
α
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
( ) 021 1
=−−−− ∑∑= =
r
i
c
jjiij ˆˆy βαμ
01 1 1 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjiij ˆˆy βαμ
001 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jiij ˆˆy αμ
01 1 1 1 1 1
=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jiij ˆˆy αμ
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
jij
r
i
c
ji ˆyˆ
1 1 1 11 1μα
karena ..yˆ =μ maka
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
j..ij
r
i
c
ji yyˆ
1 1 1 11 1α
∑=
−=c
i...ii yrcyˆrc
1α
rc
yrcyˆ
..
c
i.i
i
−=∑=1α
rcyrcycˆ ...i
i−
=α
...i
i yryˆ −=α
...ii yyˆ −=α (2.7b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Penduga nilai β adalah jβ maka
( )( )
01 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−∂
=∂
∂∑∑= =
j
r
i
c
jjiij
j
yJKG
β
βαμ
β
( ) 021 1
=−−−− ∑∑= =
r
i
c
jjiij
ˆˆˆy βαμ
01 1 1 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjiij
ˆˆˆy βαμ
001 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjij
ˆˆy βμ
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
jij
r
i
c
jj ˆyˆ
1 1 1 11 1μβ
karena ...ii yyˆ −=α maka
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
j..ij
r
i
c
jj yyˆ
1 1 1 11 1β
..
r
ij.j yrcyˆrc −= ∑
=1
β
rc
yrcyˆ
..
r
ij.
j
−=∑=1β
rc
yrcyrˆ ..j.j
−=β
..j.
j yc
yˆ −=β
..j.j yyˆ −=β (2.7c)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Apabila ijε adalah galat, diduga dengan ije , akan diperoleh melalui substitusi
penduga ji ,, βαμ kedalam persamaan (2.6) sehingga didapat
( ) ( )..j....i..ijij yyyyyye −−−−−=
..j..iijij yyyye +−−= (2.7d)
Parameter yang telah didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.6) menjadi
( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−+=
Dengan sedikit merubah susunannya akan menjadi
( ) ( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−=−
Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlakan diperoleh persamaan berikut
( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∑∑= = = =
+−−+−+−=−r
i
c
j
r
i
c
j..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy
1 1 1 1
2222
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )....1 1
...
....1 1
...
...1 1
...
1 1
2....
1 1 1 1
2...
2...
2
2
2
yyyyyy
yyyyyy
yyyy
yyyyyyyy
jiij
r
i
c
jj
jiij
r
i
c
ji
j
r
i
c
ji
r
i
c
jjiij
r
i
c
j
r
i
c
jji
+−−−+
+−−−+
−−+
+−−+−+−=
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
= == = = =
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑∑∑= = = == =
+−−+−+−=−r
i
c
j
r
i
c
j..j..iij..j....i
r
i
c
j..ij yyyyyyryycyy
1 1 1 1
222
1 1
2
……………………………………………………………………… (2.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Ruas kiri disebut jumlah kuadat total ( )JKT , sedang ruas kanan suku pertama
disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah kuadrat
karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .
Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
JKGJKKJKBJKT ++=
Untuk memudahkan perhitungan maka dilakukan penyederhanaan rumus sebagai
berikut
( )∑∑= =
−=r
i
c
j..ij yyJKT
1 1
2
( )∑∑= =
+−=r
i
c
j....ijij yyyy
1 1
22 2
∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
+−=r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j..ij..ij yyyy
1 1 1 1 1 1
22 2
dengan ∑∑= =
=r
i
c
jijy..y
1 1
dan rcy
y .... =
∑∑= =
+−=r
i......
c
jij yrcyrcyy
1
2
1
2 2
∑∑= =
+−=r
i....
c
jij yrcyrcy
1
22
1
2 2
∑∑= =
−=r
i..
c
jij yrcy
1
2
1
2
2
1 1
2∑∑= =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
r
i
..c
jij rc
yrcy
∑∑= =
−=r
i
..c
jij rc
yy
1
2
1
2 (2.8a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
( )∑=
−=r
i...i yycJKB
1
2
( )∑=
+−=r
i.....i.i yyyyc
1
22 2
∑ ∑∑= ==
+−=r
i
r
i...i..
r
i.i ycyycyc
1 1
2
1
2 2
dengan ..
r
i.i yry =∑
=1
dan c
yy
c
jij
.i
∑== 1
2
2
1
1 2 ..,,..
r
i
c
jij
yrcyrycc
yc +−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ∑∑
=
=
222
1
2 ....
r
i
.i yrcyrccy
c +−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
=
21
2
..
r
i.i
yrcc
y−=
∑=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcy
rcc
y..
r
i.i
rcy
c
y..
r
i.i 2
1
2
−=∑= (2.8b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
( )∑=
−=c
j..j. yyrJKK
1
2
( )∑=
+−=c
j....j.j. yyyyr
1
22 2
∑ ∑∑= ==
+−=c
j
c
i..j...
c
jj. yryyryr
1 1
2
1
2 2
dengan ..
c
jj. ycy =∑
=1
dan r
yy
r
iij
j.
∑== 1
2
2
1
1 2 ..,,..
r
j
r
iij
yrcycyrr
yr +−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ∑∑
=
=
22
2
2
2 ....
r
i
j. yrcyrcr
yr +−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
=
21
2
..
c
ij.
yrcc
y−=
∑=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcy
rcr
y..
c
ij.
rcy
r
y..
c
jj. 2
1
2
−=∑= (2.8c)
JKKJKBJKTJKT −−= (2.8d)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Jumlah-jumlah kuadrat tersebut dapat diringkas dalam tabel anova untuk
memudahkan analisis.
Tabel 2.3 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi
Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah
hitungF
Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 2
3211 ssf =
Kolom JKK 1−c ( )122 −= cJKKs 2
3222 ssf =
Galat JKG ( )( )11 −− cr ( )( )1123 −−= crJKGs
Total JKT 1−rc
Langkah-langkah pengujian hipotesis
1. Rumusan hipotesis.
a. 0...: 210 ====′ rH ααα .
1H ′ : 0≠∃ iα .
b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .
1H ′′ : 0≠∃ jβ .
2. Tentukan α .
3. Wilayah kritis
a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α .
b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α .
4. Perhitungan.
5. Tabel analisis variansi.
6. Kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi
Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan per Sel
Kolom
Baris 1 2 … c
Total
Rata-rata
111y 121y … 11cy
112y 122y … 21cy
1 . . . ..1T ..y1
. . .
ny11 ny12 … cny1
211y 221y … 12cy
212y 222y … 22cy
2 . . . ..2T ..y2
. . .
ny21 ny22 … cny2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
11ry 21ry … 1rcy
12ry 22ry … 2rcy
. . .
r . . . ..rT ..ry
. . .
nry 1 nry 2 … rcny
Total .1.T .2.T … ..cT ...T
Rata-rata ..y 1 ..y 2 … .c.y ...y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Dimana :
.ijT = Total pengamatan dalam sel ke ij .
..iT = Total pengamatan dalam baris ke i .
.. jT = Total pengamatan dalam kolom ke j .
...T = Total semua rcn pengamatan.
.ijy = Rata-rata pengamatan dalam sel ke ij .
..iy = Rata-rata pengamatan dalam baris ke i .
.j.y = Rata-rata pengamatan dalam kolom ke j .
...y = Rata-rata semua rcn pengamatan.
Rata-rata umum pengamatan adalah
rcn
yy
r
i
c
j
n
kijk
...
∑∑∑= = == 1 1 1
Rata-rata baris ke i adalah
cn
yy
c
j
n
kijk
..i
∑∑= == 1 1
Rata-rata kolom ke j adalah
nr
yy
r
i
n
kijk
.j.
∑∑= == 1 1
Rata-rata sel ke ij adalah
n
yy
n
kijk
.ij
∑== 1
Setiap pengamatan dalam sel ijky dapat dituliskan dalam bentuk
ijkijijky εμ += (2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Dimana ijkε merupakan simpangan nilai ijky yang teramati pada sel ke ij dari
rata-rata populasi ijμ . Misalkan ( )ijαβ melambangkan pengaruh interaksi baris ke
i dan kolom ke j , maka iα adalah pengaruh baris ke i , dan jβ adalah
pengaruh kolom ke j serta μ adalah rata-rata umum.
Sehingga persamaannya menjadi
( )ijjiij αββαμμ +++=
maka persamaan (2.9) menjadi
( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++= (2.10)
dan kemudian dikenakan syarat
01
=∑=
r
iiα 0
1
=∑=
c
jjβ ( ) 0
1=∑
=
r
iijαβ ( ) 0
1
=∑=
c
jijαβ
Nilai dari μ , )(,, αββα diperoleh melalui pendugaan dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil, sehingga jumlah kuadrat semua simpangan itu minimum.
Jumlah kuadrat semua simpangan disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .
∑∑∑= = =
=r
i
c
j
n
kijkJKG
1 1 1
2ε
( )( )∑∑∑= = =
−−−−=r
i
c
j
n
kijjiijky
1 1 1
2αββαμ (2.11)
Penduga untuk nilai μ adalah μ maka
( )( )( )
01 1 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂
∂∑∑∑= = =
μ
αββαμ
μ
r
i
c
j
n
kijjiijky
JKG
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk ˆy αββαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆy αββαμ
00001 1 11 1 1
=−−−−∑∑∑∑∑∑= = == = =
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆy μ
01 1 1
=−∑∑∑= = =
μrcnyr
i
c
j
n
kijk
rcn
yˆ
r
i
c
j
n
kijk∑∑∑
= = == 1 1 1μ
...yˆ =μ (2.11a)
Penduga untuk nilai iα adalah iα maka
( )( )( )
01 1 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂
∂∑∑∑= = =
i
r
i
c
j
n
kijjiijk
i
yJKG
α
αββαμ
α
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk ˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
= = == == = == = == = =
c
j
n
k
r
iij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αββαμ
0001 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αμ
01 1 11 1 11 1 1
=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
karena ...yˆ =μ maka
∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
−=r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
ki yy
1 1 1...
1 1 11 1 1α
...
c
j
n
k..ii yrcnyˆrcn −= ∑∑
= =1 1α
rcn
yrcnyˆ
c
j...
n
k..i
i
∑∑= =
−= 1 1α
rcnyrcnycnˆ .....i
i−
=α
.....i
i yr
yˆ −=α
.....i yyˆ −=α (2.11b)
Penduga untuk nilai jβ adalah jβ maka
( )( )( )
01 1 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂
∂∑∑∑= = =
j
r
i
c
j
n
kijjiijk
j
yJKG
β
αββαμ
β
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk
ˆˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
= = == == = == = == = =
r
i
n
k
c
jij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆˆy αββαμ
0001 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆy βμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
01 11 1 11 1 1
=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆy βμ
karena ...yˆ =μ maka
∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
−=r
i
c
j
n
k...
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
kj yyˆ
1 1 11 1 11 1 1β
...
r
i
n
k.j.j yrcnyˆrcn −= ∑∑
= =1 1
β
rcn
yrcnyˆ
r
i...
n
k.j.
j
∑∑= =
−= 1 1β
rcn
yrcnynrˆ ....j.j
−=β
....j.
j yc
yˆ −=β
....j.j yyˆ −=β (2.11c)
Penduga untuk nilai ( )ijαβ adalah ( )ijβα ˆˆ maka
( )( )
( )( )( ) 01 1 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂∂
∑∑∑= = =
ij
r
i
c
j
n
kijjiijk
ij
yJKG
αβ
αββαμ
αβ
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk
ˆˆˆˆˆy βαβαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆˆˆˆy βαβαμ
karena
...yˆ =μ .....ii yyˆ −=α ....j.j yyˆ −=β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
maka
( ) ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = = = = = = = == = == = =
−−−=r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kji
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
kij
ˆˆˆyˆˆ1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1
βαμβα
( ) ( ) ( )....j......i...
r
i
c
j
n
kijkij yyrcnyyrcnyrcnyˆˆrcn −−−−−= ∑∑∑
= = =1 1 1βα
( ) ....j......i...
n
kijkij yrcnyrcnyrcnyrcnyrcnynrˆˆrcn +−+−−= ∑
=1
βα
( )rcn
yrcnyrcnyrcnynrˆˆ
....j...i
K
kijk
ij
+−−=
∑=1βα
( ) ....j...i.ijij yyyyˆˆ +−−=βα (2.11d)
Bila ijkε merupakan galat dan penduga bagi ijkε adalah ijke sehingga akan
diperoleh nilai dugaan bagi ijke yaitu
( )ijjiijkijkˆˆˆˆˆye βαβαμ −−−−=
( ) ( ) ( )....j...i.ij....j......i...ijkijk yyyyyyyyyye +−−−−−−−−=
.ijijkijk yye −= (2.11e)
Sehingga bila parameter ini dimasukkan dalam persamaan (2.10) akan diperoleh
bentuk
( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−+=
Dengan sedikit merubah susunannya akan diperoleh persamaan berikut
( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyy)yy( −++−−+−+−=−
Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan maka diperoleh persamaan
berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]21 1 11 1 1
2.ijijk....j...i.ij....j.
r
i
c
j
n
j.....i
r
i
c
j
n
k...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−=− ∑∑∑∑∑∑
= = == = =
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = == = =
= = == = =
−+−−+
−−+
+−−−+
−−+
+−−−+
−−+
−++−−+
−+−=
r
i
c
j
n
kijijkjiij
ijijk
r
i
c
j
n
kj
jiij
r
i
c
j
n
kj
ijijk
r
i
c
j
n
ki
jiij
r
i
c
j
n
ki
j
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
k
n
jijijk
r
i
c
j
n
kjiij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
yyyyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
1 1 1.........
.1 1 1
.....
........1 1 1
.....
.1 1 1
.....
........1 1 1
.....
.....1 1 1
.....
1 1 1
2.
1 1 1
2........
1 1 1
2.....
1 1 1
2.....
2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
= = == =
=== = =
−++−−+
−+−=−
r
i
c
j
n
k.ijijk
r
i
c
j....j...i.ij
c
j....j.
r
i.....i
r
i
c
j
n
k...ijk
yyyyyyn
yynryycnyy
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
…..………………………………………………………………... (2.12)
Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total ( )JKT , sedangkan ruas kanan adalah suku
pertama disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah
kuadrat karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat karena baris
dan kolom ( )( )BKJK . Suku terakhir disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .
Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
( ) JKGBKJKJKKJKBJKT +++=
Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus-rumus jumlah
kuadrat sebagai berikut
( )
( )
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = == = == = =
= = =
= = =
+−=
+−=
−=
r
i
c
j
n
k...
r
i
c
j
n
k...ijk
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
k......ijkijk
r
i
c
j
n
k...ijk
yyyy
yyyy
yyJKT
1 1 1
2
1 1 11 1 1
2
1 1 1
22
1 1 1
2
2
2
dengan ∑∑∑= = =
=r
i
c
j
n
kijk... yy
1 1 1 dan
rcny
y ...... =
2
1 1 1
2
1 1 1
22
2
1 1 1
2
2
1 1 1
2
2
1 1 1
2
2
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
+−=
+−=
+−=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
rcnyrcny
yrcny
yrcnyrcny
yrcnyyrcny
yrcnyyy
...r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
k...ijk
......
r
i
c
j
n
kijk
.........
r
i
c
j
n
kijk
.........
r
i
c
j
n
kijk
rcnyy ...
r
i
c
j
n
kijk
2
1 1 1
2 −= ∑∑∑= = =
(2.12a)
( )∑=
−=r
i.....i yycnJKB
1
2
( )∑=
+−=r
i........i..i yyyycn
1
22 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
∑∑∑===
+−=r
i...
r
i...i...
r
i..i ycnycnyycn
1
2
11
2 2
dengan ∑=
=r
i.....i yry
1 dan
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∑∑= =
cn
yy
c
j
n
kijk
..i1 1
∑∑∑
=
= = +−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=r
i.........
c
j
n
kijk
yrcnyrcnycn
ycn
1
2
2
1 1 2
2
1
2
...
r
i
..i yrcncny
cn −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcny
rcncn
y...
r
i..i
rcny
cn
y...
r
i..i 2
1
2
−=∑= (2.12b)
( )∑=
−=c
j....j. yynrJKK
1
2
( )∑=
+−=c
jjj yyyynr
1...
2........
2.. 2
∑∑∑===
+−=c
j......
c
j.j.
c
j.j. ynryynrynr
1
2
11
2 2
dengan ...
c
j.j. ycy =∑
=1 dan
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∑∑= =
nr
yy
r
i
n
kijk
.j.1 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
2
1
2
1 1 2 .........
c
j
r
i
n
kijk
yrcnyyrcnnr
xrn +−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ∑∑∑
=
= =
2
1
2
...
c
j
.j. yrcnnr
ynr −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcny
rcnnr
y...
c
j.j.
rcny
nr
y...
c
j.j. 2
1
2
−=∑= (2.12c)
( ) ( )∑∑= =
+−−=r
i
c
j....j...i.ij yyyynBKJK
1 1
2
[]22
2
1 1
2
....j.........i.ij.......j..j...i.j..ij.j.
.....i.j...i..i
r
i
n
j.ij..i....ij.j..ij..i.ij.ij
yyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyn
+−−+−++−
−++−+−−= ∑∑= =
[]2
22
1 1
2
22
2222
.......j......i
.j...i....ij.j...i.j..ij..i.ij
r
i
c
j.ij
yyyyy
yyyyyyyyyyyn
+−−
++++−−= ∑∑= =
⎥⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
= =
2
22
1 1
2
2
222
22
rny
rcny
nry
rcny
cny
nry
cny
rcny
ny
nry
cny
nry
ny
cny
ny
ny
n
.......j.
.....i.j...i....ij
.j...i.j..ij..i.ijr
i
c
j
.ij
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
2
1 11 1
1 11 1
1 1
2
1 1
2
1 1
1 1 1 1
2
1 1
2
22
2
22
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑ ∑∑∑∑
= == =
= == =
= == == =
= = = == =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
r
i
c
j
......r
i
c
j
.j.
...r
i
c
j
..i.j.r
i
c
j
..i
r
i
c
j
....ijr
i
c
j
.j.r
i
c
j
..i
r
i
c
j
r
i
c
j
.j..ij..i.ijr
i
c
j
.ij
rcny
nrcny
nry
n
rcny
cny
nnr
ycny
n
rcny
ny
ncny
ncny
n
nry
ny
ncny
ny
nn
yn
rcny
rcny
rcny
rcny
rcny
nr
y
cn
y
nr
y
cn
y
n
y
...............
c
j.j.
r
i..i
c
j.j.
r
i..i
r
i
c
j.ij
22222
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
2222
22
+−−++
++−−=∑∑∑∑∑∑===== =
rcny
nr
y
cn
y
n
y...
c
j.j.
r
i..i
r
i
c
j.ij 2
1
2
1
2
2 1
2
+−−=∑∑∑∑=== = (2.12d)
( )BKJKJKKJKBJKTJKG −−−= (2.12e)
Jumlah-jumlah kuadrat tersebut diatas dapat diringkas dalam tabel anova untuk
memudahkan analisis
Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi
Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F hitung
Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 2
4211 ssf =
Kolom JKK 1−c ( )12
2 −= cJKKs 24
221 ssf =
Interaksi ( )BKJK ( )( )11 −− cr ( ) ( )( )112
3 −−= crBKJKs 24
231 ssf =
Galat JKG ( )1−nrc ( )12
4 −= nrcJKGs
Total JKT 1−rcn
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Langkah-langkah pengujian hipotesis
1. Rumusan hipotesis
a. 0...: 210 ====′ rH ααα .
1H ′ : 0≠∃ iα .
b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .
1H ′′ : 0≠∃ jβ .
c. ( ) ( ) ( ) 0...: 12110 ====′′′ rcH αβαβαβ .
:1H ′′′ ( ) 0≠∃ ijαβ .
2. Tentukan α .
3. Wilayah kritis
a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α
b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α
c. 0H ditolak bila ( )( ) ( )[ ]1113 −−−> nrc,crff α
4. Perhitungan.
5. Tabel analisis variansi.
6. Kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
5. Contoh Analisis variansi
Tiga varitas kentang hendak dibandingkan hasilnya. Percobaan hendak
dilaksanakan dengan menggunakan 9 petak yang seragam di masing-masing 4
lokasi yang berbeda. Dari setiap lokasi setiap varitas dicobakan pada 3 petak yang
ditentukan secara acak. Hasilnya dalam kwintal per petak adalah sebagai berikut.
Tabel 2.7 Hasil perbandingan tiga varietas kentang dengan empat lokasi
Varitas Kentang
Lokasi A B C
1 15 20 22
19 24 17
12 18 14
2 17 24 26
10 18 19
13 22 21
3 9 12 10
12 15 5
6 10 8
4 14 21 19
8 16 15
11 14 12
Gunakan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa:
a. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 3 varitas kentang yang berbeda.
b. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 4 lokasi yang berbeda.
c. Tidak intraksi antara lokasi dan varitas kentang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Penyelesaian:
Model analisis variansi adalah
( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++=
1. Rumusan hipotesis
a. 0H ′ : 04321 ==== αααα .
1H ′ : 0≠∃ iα .
b. 0H ′′ : 0321 === βββ .
1H ′′ : 0≠∃ jβ
c. 0H ′′′ : ( ) ( ) ( ) 0... 431211 ==== αβαβαβ .
1H ′′′ : ( ) 0≠∃ ijαβ .
2. 05,0=α
3. Wilayah kritis
a. 0H ditolak bila ( ) 01,324,305,0 => ff
b. 0H ditolak bila ( ) 40.324,205,0 => ff
c. 0H ditolak bila ( ) 51,224,605,0 => ff
4. Perhitungan
A B C total
1 46 62 53 161
2 40 64 66 170
3 27 37 23 87
4 33 51 46 130
total 146 214 188 548
36)548(1215198
510211926141722141621101512221824182420
118146129131017121915
22222
2222222222
2222222222
222222222222
−++++
++++++++++
++++++++++
+++++++++++=JKT
23,100078,83419342 =−=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
22,48678,83418810
36548
913087170161 22222
=−=
−+++
=JKB
22,19678,83418538
36548
12188214146 2222
=−=
−++
=JKK
( )
45,7878,38418538818067,9084
78,8341853888103
46233
66535137646233274046
22
2222222222
=+−−=
+−−+
+
+++++++++=BKJK
33,25745,7822,19622,46823,1000 =−−−=JKG
5. tabel anova Tabel 2.8 Analisis Variansi dari data 2.7
Sumber Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah hitungF
Baris 3 468,22 156,07 14,56
Kolom 2 196,22 98,11 9,15
Interaksi 6 78,45 13,08 1,22
Galat 24 257,33 10,72
Total 35 1000,23
6. Kesimpulan
a. 0H ditolak karena 01,356,14 >
berarti ada pengaruh pada hasil 3 varitas kentang.
b. 0H ditolak karena 40,315,9 >
berarti ada pengaruh pada hasil 4 lokasi.
c. 0H diterima karena 51,222,1 <
berarti tidak ada interaksi antara lokasi dengan varietas kentang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
B. Analisis Regresi
Istilah regresi diperkenalkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911) seorang
ahli antropolog dari Inggris, mengenai sifat-sifat keturunan dalam biologi. Galton
mengungkapkan bahwa , ayah-ayah yang jangkung akan mempunyai anak laki-
laki yang jangkung pula, tetapi secara rata-rata tidaklah sejangkung ayah-ayah
mereka. Begitu pula ayah-ayah yang pendek akan mempunyai anak laki-laki yang
pendek juga, tetapi secara rata-rata tidaklah sependek ayah-ayah mereka, namun
selalu lebih mediaker (lebih mendekati rata-rata). Dengan demikian ada
kecenderungan bahwa secara rata-rata sifat-sifat beberapa kelompok tertentu pada
generasi selanjutnya akan bergerak kearah rata-rata populasi (tidak tepat sama
dengan generasi sebelumnya).
Regresi merupakan tempat kedudukan rata-rata populasi nilai suatu
variabel, misalnya nilai Y , untuk berbagai nilai atau selang nilai variabel yang
lain misalnya X , tempat kedudukan ini dapat berupa garis lurus atau kurva
tertentu lainnya yang disebut garis regresi Y pada X .
1. Model Regresi Linier Sederhana
Misal terdapat hubungan antara y dan x benar-benar linier maka
hubungan itu dapat ditulis sebagai
iii xy εββ ++= 10 ( 2.13)
dimana
iy = adalah variabel tak bebas atau variabel dependent
ix = adalah variabel bebas atau variabel independent
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
10 , ββ = adalah koefisien regresi
ε = adalah penyimpangan atau galat
Setiap pengamatan iy merupakan sampel random dari suatu populasi normal
dengan nilai rata-rata ix10 ββ + dan simpangan baku σ .
Asumsi dasar regresi linier :
1. Keaditifan artinya pengaruh komponen-komponen ruas kanan persamaan
(2.13) adalah saling menambah (linier).
2. Kehomogenan variansi artinya variansi antar pengamatan sama.
3. Kenormalan artinya pengamatan berasal dari populasi yang menyebar
normal.
Anggapan pertama sangat penting untuk memudahkan dalam penafsiran data.
Kehomogenan variansi diperlukan untuk menghasilkan penduga tak bias variansi
minimum melalui metode kuadrat terkecil. Anggapan kenormalan diperlukan
dalam inferensia statistika. Dengan kenormalan maka tata cara pengujian yang
baku dapat dilakukan dan tabel-tabel distribusi yang telah tersedia dapat
digunakan.
Apabila model linier telah dianggap tepat untuk menerangkan hubungan
antara Y dengan X maka langkah selanjutnya adalah pendugaan parameter 0β
dan 1β . Pendugaan kedua parameter ini dapat dibayangkan sebagai upaya untuk
memilih garis regresi “terbaik” pada diagram pencar, yaitu yang membuat jumlah
kuadrat penyimpangan terhadap pengamatan sekecil-kecilnya. Metode ini disebut
metode Kuadrat Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
2. Metode Kuadrat Terkecil
Misalkan niyx ii ,...,2,1),,( = data sampel dan akan ditentukan koefisien
regresi 0β dan 1β sedemikian hingga meminimumkan
( ) ( )∑∑∑===
−−=−==n
iii
n
iii
n
ii xyyyS
1
210
2
11
2 ˆ ββε (2.14)
Jumlah kuadrat galat minimum diperoleh dengan menurunkan secara parsial
terhadap 0β dan 1β yaitu 00
=∂∂βS dan 0
1
=∂∂βS
Turunkan terhadap 0β , maka diperoleh
( )0
0
1
210
0
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂=
∂∂ ∑
=
β
ββ
β
n
iii xy
S
( )∑−
=−−−n
iii xbby
110 02
021 1 1
10 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−− ∑ ∑ ∑
= = =
n
i
n
i
n
iii xbby
01 1
10 =−−∑ ∑= =
n
i
n
iii xbnby
∑ ∑= =
=+n
i
n
iii yxbnb
1 110 (2.15)
Turunkan terhadap 1β , maka diperoleh
( )0
1
1
210
1
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂=
∂∂ ∑
=
β
ββ
β
n
iii xy
S
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
( ) 02 10 =−−−∑ iii xxbby
021 1 1
210 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−− ∑ ∑ ∑
= = =
n
i
n
i
n
iiiii xbxbyx
∑ ∑∑= ==
=−−n
i
n
i
n
ixbxbxy
1 11
10 0
∑∑∑===
=+n
iii
n
ii
n
ii yxxbxb
11
21
10 (2.16)
Bila dinyatakan dalam n
xx
n
ii∑
== 1 dan n
yy
n
ii∑
== 1 maka persamaan (2.15) dan
(2.16) akan diperoleh
xbyn
xb
n
yb
n
ii
n
ii
11
11
0 −=−=∑∑== (2.17)
∑ ∑∑= ==
=−−n
i
n
ii
n
iiii xbxbxy
1 1
21
10 0
( ) 0211 =−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− ∑∑∑∑∑ ii
iiii xbx
nx
bny
xy
0211 =−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−∑ ∑∑ ∑∑ ∑
iiiii
ii xbn
xxb
nxy
xy
0211 =−+− ∑∑ ∑∑ ∑∑ i
iiiiii xb
nxx
bn
xyxy
( ) ( )
02
21 =
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−− ∑∑∑ ∑∑ nx
xbn
xyxy i
iii
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
( ) ( )
( )nx
x
nx
yxyb
ii
iiii
2
2
1
∑∑
∑∑∑
−
−= (2.18)
Penduga persamaan regresi dapat ditulis
( )xxbyxbxbyxbby iiii −+=+−=+= 11110ˆ (2.19)
Sekarang perhatikan kesamaan berikut:
( ) ( ) ( )iiii yyyyyy ˆˆ −+−=−
Ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan dijumlahkan akan diperoleh
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )( )∑ ∑ ∑
∑ ∑
= = =
= =
−−+−+−=
−+−=−
n
i
n
i
n
iiiiii
n
i
n
iiiii
yyyyyyyy
yyyyyy
1 1 1
22
1 1
22
ˆˆ2ˆˆ
ˆˆ (2.20)
Perkalian silang yang terakhir pada persamaan (2.20) adalah
( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −−−=−− iiiiiiii yyyyyyyyyy ˆˆˆˆˆ
Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol menurut persamaan (2.15) adalah
( ) ( ) 0ˆ 10 =−−=−∑ ∑ iiii xbbyyy
Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena
( ) ( )( )( ) ( )
( )00
ˆˆ
ˆˆˆ
101
10
10
=
−−+=
−+−=
−+=−
∑∑ ∑
∑ ∑
iii
iiiii
iiiiii
xxbbyb
xyybyyb
yyxbbyyy
Jadi persamaan (2.10) dapat ditulis kembali sebagai
( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=− 222 ˆˆ iiii yyyyyy (2.21)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Persamaan (2.21) merupakan persamaan dasar dalam analisis regresi dan analisis
variansi. Ruas kiri disebut Jumlah Kuadrat Total (JKT) menyatakan jumlah
penyimpangan Y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas kanan disebut
Jumlah Kuadrat Regresi (JKR), merupakan variansi respons disekitar nilai rata-
ratanya. Bagian kedua ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Galat (JKG), bagian ini
mengukur galat dari variansi total (JKT) yang tidak dapat diterangkan oleh X
atau bagian yang sifatnya acak. Jadi persamaan (2.21) dapat ditulis sebagai
JKT=JKR+JKG
Jika pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar
dibandingkan dengan JKG. Bila JKR membesar maka JKG mengecil, dan
sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Untuk menentukan apakah pengaruh suatu
variabel bebas X besar atau kecil terhadap variabel respon Y diperlukan
pembanding baku. Pembanding tersebut tidak dipengaruhi oleh baik buruknya
model yang digunakan. Pembanding baku tersebut adalah penduga tak bias dari
2σ , variansi ε . Umumnya 2σ tidak diketahui, jadi harus diduga dari sampel.
Penduga 2σ yang tidak bias dapat diperoleh dari jumlah kuadrat galat yaitu
(JKG)/(n-2) disebut Rata-rata Kuadrat Galat. Rata-rata kuadrat galat hanya akan
menduga tanpa bias bila model yang digunakan tepat. Bila model yang digunakan
keliru maka akan menduga dengan bias. Jadi penggunaan rata-rata kuadrat galat
sebagai penduga selalu dengan anggapan bahwa modelnya telah tepat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk regresi Linier Sederhana
Sumber Jumlah Kuadrat db Rata-rata kuadrat F
Regresi ( )∑ −= 2ˆ yyJKR i 1 RKR=JKR/1 RKGRKRF =
Galat ( )∑ −= 2ˆ ii yyJKG
n-2 RKG=JKG/(n-2)
Total ( )∑ −= 2yyJKT i n-1
Pada kolom keempat memberikan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat bebas
untuk regresi dan galat. Tidak dituliskan jumlahnya pada baris total karena hal itu
tidak berlaku bagi JKT. Dalam praktek akan menghitung rasio RKR/RKG. Bila
rasio lebih besar dari 1 secara berarti (significant) maka disimpulkan bahwa
0≠β . Bila rasio sama dengan 1 maka kesimpulannya 0=β yaitu X tidak
mempengaruhi respon Y . Dalam prakteknya kendati 0=β tidak mengharapkan
RKR/RKG tepat sama dengan 1 disebabkan fluktuasi sampel sehingga rata-rata
RKR/RKG akan berfluktuasi disekitar 1. Untuk menentukan apakah rasio ini
sama atau lebih besar 1 digunakan bantuan tabel t atau tabel F. Rasio RKR/RKG
mempunyai distribusi F dengan derajat bebas 1 dan n-2. Yang pertama derajat
bebas pembilang dan yang kedua derajat bebas penyebut. Dengan demikian dapat
didefinisikan statistik uji
( )( ) ( )∑∑
−−
−==
2/ˆ1/ˆ
2
2
nyy
yyRKGRKRF
ii
i (2.22)
Nilai F sering pula disebut F hitung, kemudian dibandingkan F tabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
3. Model Regresi Berganda
Dengan bertambah banyaknya variabel bebas yang disertakan dalam suatu
model regresi berganda, notasi yang dipergunakan dalam menganalisis model ini
akan menjadi bertambah kompleks. Oleh karena itu untuk memudahkan penulisan
dan pemeriksaan sifat regresi berganda, pendekatan yang digunakan adalah
dengan menggunakan notasi matriks.
Definisi:
Suatu model yang menghubungkan variabel tak bebas Y pada suatu himpunan
varibel bebas { }kx,...,x,x 21 yaitu
εββββ +++++= kk x...xxy 22110 (2.23)
disebut statistik linier.
Data yang diperoleh untuk menduga model berasal dari n individu dengan nilai
pengamatan sebagai berikut:
Nilai Pengamatan
Pengamatan y 1x 2x … kx
1 1y 11x 12x … kx1
2 2y 21x 22x … kx2
Μ Μ Μ Μ Μ
n ny 1nx 2nx … nkx
Keseluruhan pengamatan diatas masing-masing memenuhi model (2.23) dan
memberikan bentuk persamaan berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
1112211101 ... εββββ +++++= kk xxxy
2222221102 ... εββββ +++++= kk xxxy (2.24)
…………………………………………
nnkknnn xxxy εββββ +++++= ...22110
Secara umun persamaan regresi berganda dapat diringkas menjadi
ikikiii x...xxy εββββ +++++= 22110 (2.25)
Persamaan (2.25) dapat ditulis lebih sederhana dengan notasi matriks menjadi
εXβY += (2.26)
atau
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ny
yy
Μ2
1
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nknn
k
k
xxx
xxxxxx
ΛΜΜΜΜ
ΛΛ
21
22221
11211
1
11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
kβ
ββ
Μ1
0
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nε
εε
Μ2
1
Pendugaan nilai parameter β dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat
terkecil, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat simpangan antara nilai-
nilai pengamatan niYi ,.....,1, = terhadap nilai-nilai harapannya,
( ) niYE i ,.....,1, = . Dengan ( )YEYe −= maka jumlah kuadrat simpangan adalah
∑=
=n
i 1ee'e2
( )( ) ( )( )YEYYEY −′−=
( ) ( )XbYXbY −′−=
( )( )XbYX'b'Y' −−=
XbX'b'YX'b'-XbY'YY' +−=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
XbX'b'YX'b'YX'b'YY' +−−=
karena YX'b' adalah skalar maka
XbX'b'YX'2b'YY' +−=
Penentuan nilai-nilai dugaan b dari parameter-parameter yang meminimumkan
ee' dengan mencari turunan parsial pertama ee' , terhadap setiap unsur dari β ,
dan menyamakan dengan nol, kemudian menyelesaikan persamaan yang
diperoleh.
( ) 0=∂
∂bee'
( ) 0=∂
+−∂b
XbX'b'YX'2b'YY'
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+
∂∂
−∂
∂b
XbX'b'b
YbX'2bYY'
Proses penurunan terhadap b dapat dilihat pada lampiran 2.
00 =+− X2bX'Y2X'
Xb2X'Y2X' =
XbX'YX' =
( ) ( )YX'XX'b 1−= (2.27)
* Pendugaan terhadap 2σ
Dengan notasi βXY ˆˆ = untuk menyatakan vektor nilai dugaan Y, maka dugaan
simpangan itu disebut sebagai Galat. Jumlah kuadrat galat (JKG) adalah
( )∑=
−=n
1i
2YY ˆJKG
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
( ) ( )YYYY ˆˆ −′
−=
( )( )YY'YY' ˆˆ −−=
( ) ( )XbYXbY' −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′−=
( )( )XbYX'b'Y' −−=
( )( ) ( )( )( )YX'XX'XYX'YX'XX'Y' 11 −− −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−=
( )( ) ( )( )YX'XX'XYX'XX'XY'Y' 11 −− −−=
( )( ) ( )( )YX'XX'XIX'XX'XIY' 11 −− −−=
( )( ) ( ) ( )( )YX'XX'XX'XX'XX'XX'2XIY' 111 −−− +−=
( ) ( )( )YX'XX'XX'XX'2XIY' 11 −− +−=
( )( )YX'XX'XIY' 1−−=
( ) YX'XX'XY'YY' 1−−=
YX'b'YY' −=
Akan ditunjukkan bahwa 11
2
−−=
−−=
knJKG
kne'es adalah penduga tak bias
untuk 2σ . Karena ( ) ( )JKGEknkn
e'eJKGE1
11 −−=
−−= dengan menemukan
( )JKGE maka akan terlihat bahwa ( ) 22 σ=sE
Diketahui ( ) XbYE = dan Var-Cov ( )Y = I2σ sehingga
( ) ( ) AXbXbIAtrAYYE ''' 2 += σ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
diperoleh
( ) ( )( )( )Y'XX'XXI'YEJKGE 1−−=
( )( ){ } ( )( )XbXXXXIXbIXXXXItr '''''' 121 −− −+−= σ
( )( ) 021 +−= − IXX'XXIr σ
( )( ) 2σXrn −= dimana ( ) 1+= kXr
( )( ) 21 σ+−= kn
disimpukan bahwa penduga 2σ adalah
( )( )1
ˆ 2
+−=
knJKGEσ ( ) 1
'''1 −−
−=
+−=
knYXbYY
knJKG
Untuk selanjutnya 2σ dinotasikan dengan 2s
4. Pengujian Hipotesis
Untuk tujuan pengujian ini karena kita ingin mengetaui kesamaan dari penduga
keseluruhan, maka dilakukan dengan metode analisis variansi.
0...: 210 ==== kH βββ
0:1 ≠∃ jH β
Tabel 2.10 Analisis Variansi untuk Regresi Berganda
Sumber
Variansi
db Jumlah
Kuadrat
Kuadrat
Tengah
hitungF
Regresi k JKR KTR ( )KTGKTRf :=
Galat 1−− kn JKG KTG
Total 1−n JKT
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Dimana:
2YnJKR −= YX'b' JKRJKTJKG −= 2YnJKT −= YY'
kYnKTR
2−=
YX'b' 1−−
−=
knJKRJKTKTG faktor koreksi = 2Yn
Statistik ini digunakan untuk menguji hipotesis dan pengujiannya disebut uji F.
Jika ( )1−−< kn,kFFhitung α 0H diterima yang berarti bahwa 021 === ...ββ
( )1−−> kn,kFFhitung α 0H ditolak berarti paling tidak ada satu yang tidak sama.
C. Matriks Tak Singular
Definisi tak Singular :
Jika A adalah matriks bujur sangkar, dan jika terdapat matriks B yang berukuran
sama sedemikian rupa sehingga IBAAB == , maka A disebut dapat dibalik
(invertible) atau matriks tak singular, dan B disebut sebagai invers dari A . Jika
matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular.
Definisi Basis :
Jika V adalah suatu ruang vektor sebarang dan { }rvvvS ,...,, 21= adalah suatu
himpunan vektor-vektor pada V , maka S disebut basis untuk V jika dua syarat
berikut berlaku :
a. S bebas linier.
b. S merentang V .
Definisi Bebas Linier :
Jika { }rvvvS ,...,, 21= adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka
persamaan vektor
0...2211 =+++ rr vkvkvk
Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
0,...,0,0 21 === rkkk
Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpuan bebas linier
(linierly independent). Jika terdapat solusi-solusi lain maka S disebut sebagai
himpunan tidak bebas linier (linierly dependent).
Definisi Merentang :
Jika { }rvvvS ,...,, 21= adalah himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor
V , maka subruang W dari V yang terdiri dari semua kombinasi linier vektor-
vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang (space spnned) oleh
rvvv ,...,, 21 dan vektor-vektor rvvv ,...,, 21 merentang (span) W . Untuk
menyatakan bahwa W adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada
himpunan { }rvvvS ,...,, 21= ditulis dengan
W = rentang ( )S atau = rentang
Definisi Kombinasi Linier :
Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linier (linier combination) dari vektor-
vektor rvvv ,...,, 21 jika dapat dinyatakan dalam bentuk
rr vkvkvkw +++= ...2211
di mana rkkk .....,,, 21 adalah skalar.
Definisi Dimensi :
Dimensi dari ruang vector V yang berdimensi berhingga, dinotasikan dengan
( )Vdim , didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis untukV .
Selain itu mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol.
Definisi Rank :
Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut
rank dari A dan dinyatakan sebagai Arank ; Dimensi ruang nol dari A disebut
sebagai nulitas (nullity) dari A dan dinyatakan sebagai nulitas(A).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Teorema 2.2
Jika A adalah matriks nn× , maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu
sama lain.
a. A matriks tak singular.
b. 0=Ax hanya mempunyai pemecahan trivial.
c. A ekivalen baris dengan nI .
d. bAx = konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran 1×n .
e. ( ) 0det ≠A
f. A mempunyai rank n
g. Vektor-vektor baris A bebas linier.
h. Vektor-vektor kolom A bebas linier.
Akibat 1:
Matriks A adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang mempunyai
invers, maka ( ) 0det ≠A , sehingga matriks tersebut mempunyai ( ) nArank = .
Karena A mempunyai rank n, maka ruang baris dari A berdimensi n, sehingga
vektor-vektor baris A bebas linier.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
BAB III
PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI
Dalam mendapatkan suatu penyelesaian ( ) YXXXb 1 ′′= − , bagi persamaan
normal ( ) YXbXX ′=′ , maka disyaratkan matriks XX′ bersifat tidak singular.
Berdasarkan akibat 1, berarti persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan-
persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya sama dengan banyaknya
parameter yang harus diduga. Tetapi kalau datanya berasal dari suatu percobaan
yang terancang perlu berhati-hati dan memeriksa bahwa semua persamaan itu
bebas, atau tidak. Kalau ternyata tidak bebas perlu mengambil langkah-langkah
yang diperlukan untuk memperoleh nilai dugaan.
Suatu metode yang digunakan untuk menganalisis data dari percobaan
yang terancang adalah metode analisis variansi (Analysis of Variance). Sebagian
peneliti belum menyadari bahwa setiap masalah analisis variansi dengan pengaruh
tetap (fixed-effects) atau model I, dapat diselesaikan melalui regresi secara umum
kalau modelnya diidentifikasi secara benar dan kalau langkah-langkah
pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas. Bukan
suatu keharusan bahwa masalah analisis variansi dengan pengaruh tetap
diselesaikan melalui pendekatan regresi, tetapi hanya menunjukkan bahwa
melalui pendekatan regresi analisis variansi dapat diselesaikan, kalau langkah-
langkah yang benar telah diambil dalam menangani masalah tersebut. Salah satu
alasan yang mendasari adalah bahwa model analisis variansi mempunyai model,
dan hanya model tersebutlah yang menjadi dasar pembuatan tabel analisis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
variansi. Dengan mengetahui bahwa analisis variansi dan analisis regresi setara
keduanya memerlukan model dalam memperoleh tabel analisis variansi.
Suatu ciri model analisis variansi adalah model analisis ini
terparameterisasikan secara berlebih, artinya model ini mengandung lebih banyak
parameter daripada yang dibutuhkan untuk mempresentasikan pengaruh-pengaruh
yang diinginkan. Parameterisasi berlebihan biasanya dikompensasi dengan
membuat kendala terhadap parameter-parameternya. Pendekatan regresi terhadap
analisis variansi mengharuskan pembuatan variabel boneka. Dengan memberi
nilai 1 atau 0 apabila pengamatan masuk dalam kategori atau tidak. Aturan yang
berlaku adalah bila suatu variabel kualitatif mempunyai m kategori, maka
banyaknya variabel boneka yang dibutuhkan adalah 1−m .
A. Pendekatan Regresi terhadap Klasifikasi Satu Arah
Model analisis variansi untuk klasifikasi satu arah adalah
ijiijy εαμ ++= k,...,,i 21= n,...,,j 21= (3.1)
Dimana :
ijy = pengamatan ke j dalam populasi ke i.
μ = rata-rata total.
α = rata-rata kelompok ke i.
ε = galat.
sehingga persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk regresi menjadi
εβ += XY
εααμ ++++= kk x...xx 110 (3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
kxxxx Λ210
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
kn
k
k
n
n
y
yy
y
yy
y
yy
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
=
1001
10011001
0101
01010101
0011
00110011
ΛΜΜΜΜ
ΛΛ
ΜΜΜΜ
ΛΜΜΜΜ
ΛΛ
ΛΜΜΜΜ
ΛΛ
X
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kα
ααμ
Μ2
1
β
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
kn
k
k
n
n
ε
εε
ε
εε
ε
εε
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
ε
Jika diperhatikan matriks X maka terlihat bahwa jumlah elemen kolom kedua
sampai dengan elemen kolom ke k adalah kolom pertama, jadi kolom-kolom
matriks ini tidak bebas satu sama lain. Karena itu XX′ singular sehingga
persamaan normalnya tidak memberikan jawaban yang tunggal untuk parameter
yang ingin diduga. Agar persamaan normal mempunyai jawab yang tunggal maka
kendala tambahan perlu dimasukkan. Kendala yang memberikan jawaban seperti
itu adalah
0...2211 =+++ kknnn ααα (3.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
maka persamaan normalnya menurut metode kuadrat terkecil adalah
( ) YXbXX ′=′
dapat ditulis sebagai
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
.
.22
.11
..
2
1
0
22
11
21
...00
0...00...0
...
kkkk
k
yn
ynynyn
b
bbb
nn
nnnn
nnnn
ΜΜΜΜΜΜ
dan
.0
.222202
.111101
..22110 ...
kkkkk
kk
ynbnbn
ynbnbnynbnbn
ynbnbnbnnb
=+
=+=+=++++
ΜΜ (3.4)
Persamaan (3.4) dapat disederhanakan
Baris pertama akibat persamaan (3.3) menjadi
..0 ynnb = atau ..0 yb = (3.5)
masukkan ..0 yb = pada baris ke 2, 3, dan seterusnya maka diperoleh
...
...22
...11
yyb
yybyyb
kk −=
−=−=
Μ (3.6)
Penduga iβ adalah ib yaitu rata-rata kolom ke i dikurangi rata-rata keseluruhan.
Untuk membuat tabel analisis variansi harus dicari dulu .ˆ iy Dari persamaan (3.1)
dan (3.6) diperoleh
........ˆ iiiij yyyybyy =−+=+= (3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
2...
11 1
2...
1 1
2.. )()ˆˆ()ˆ( yynyyyyJKR i
k
i
k
i
n
ji
k
i
n
jij −=−=−= ∑∑∑∑∑
== =− =
(3.8)
Secara umum bila ada r kelompok maka dapat mengambil 1−r variabel boneka
menjadi
⎩⎨⎧
=
⎩⎨⎧
=
lainkelompokmasukbila0,rkelompokmasukpengamatanbila1,
lainkelompok masuk bila0,2kelompokmasukpengamatanbila1,
2
rx
.
.
.
x
k20 x..xx
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kn
k
k
n
n
y
yy
y
yyy
yy
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
101
101101
011
011011001
001001
...
...
...
..
...
...
...
...
...
ΜΜ
ΜΜΜ
ΜΜΜ
ΜΜΜ
X
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ka
aa
Μ2
0
b
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kn
k
k
n
n
ε
εε
ε
εεε
εε
ε
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
kk
k
n...n
...nn
...nnn...nnn
00
0000
33
22
32
ΜΜΜΜXX
Sehingga inversnya adalah
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
−−−
=′ −
k
kk
3
31
2
21
1
1
nnn
...111
1
1...n
nn11
1...1n
nn1
1...111
n1
ΜΜΜ
XX
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
∑
∑
∑
∑∑
=
=
=
= =
n
jkj
n
jj
n
jj
k
i
n
jij
y
y
y
y
1
13
12
1 1
Μ
YX ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=′′=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −
.1.
.1.3
.1.2
.1
2
1
0
yy
yyyy
y
a
aaa
kkϖ
ΜΜYXXXb 1
Bila pengaruh kelompok dinyatakan dalam kbbb ...,,, 21 maka
.......1.1
...2...1.1.2122
...1..01
)()(
)()(
yyyyyybab
yyyyyybabyyyab
kkkkk −=−+−=+=
−=−+−=+=−=−=
Μ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
B. Pendekatan Regresi terhadap Klasifikasi Dua Arah tanpa Interaksi
Model Anova untuk klasifikasi dua arah adalah
ijjiijy εβαμ +++= (3.9)
bila ditulis dalam lambang matriks menjadi
εβ += XY
εβααμ ++++++= ccrr x...x...xx 110 (3.10)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
rc
r
r
c
c
y
yy
y
yy
y
yy
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
=
1001001
01010010011001
1000101
01001010010101
100
010001
001
001001
1
11
ΛΛΜΜΜΜΜΜΜ
ΛΛΛΛ
ΛΛΜΜΜΜΜΜΜ
ΛΛΛΛ
4 84 76
ΜΜΜ
4 84 76
ΜΜΜΜ
...............................................
...
...
...
...
...
...cr
X
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
c
r
β
βα
αμ
Μ
Μ
1
1
β
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
rc
r
r
c
c
ε
εε
ε
εε
ε
εε
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
ε
Untuk kolom-kolom matriks X tidak bebas satu sama lain sehingga matriks XX′
singular. Maka persamaan normal ( ) YXbXX ′=′ tidak memberikan jawaban
yang tunggal. Untuk mendapatkan jawaban yang tunggal perlu ditambahkan
kendala
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
01
=∑=
r
iiα 0
1=∑
=
c
jjβ (3.11)
Dengan persamaan (3.11) persamaan normalnya mempunyai jawab yang tunggal.
Misal ,ˆa,ˆb ii αμ ==0 dan jjˆb β= masing-masing adalah penduga βαμ ,,
sehingga persamaan normalnya menjadi
∑ ∑ ∑∑= = = =
=++r
i
c
j
r
i
c
jijji ybracbrc
1 1 1 10
∑ ∑= =
=++c
j
c
jjj ybcacb
1 1110
∑∑==
=++c
jj
c
jj ybcacb
12
120
Μ (3.12)
∑∑==
=++c
jrj
c
jjr ybcacb
110
∑ ∑= =
=++r
i
r
iii yrbarb
1 1110
Μ
∑∑==
=++r
iic
r
iji yrbarb
110
Persamaan (3.12) dapat disederhanakan menjadi
Baris pertama akibat kendala (3.11) menjadi
..
r
i
c
jij
yrc
yb ==
∑∑= =1 1
0
Baris kedua akibat kendala ∑=
=c
jjb
10 menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
...
c
jj
yyc
cbya −=
−=∑=
11
01
1
Baris ke i menjadi
..ir yya −= 1
karena ∑=
=r
iia
10 , baris ke 1+r sampai baris terakhir persamaan (3.12) menjadi
....
i
yybyr
rbyb −=−=
−=∑
101
01
1
Μ
..c.j yyb −=
Jadi jawab persamaan normal (3.12) adalah
..yˆb == μ0
...iii yyˆa −==α
..j.jj yyˆb −== β (3.13)
Penduga ijy diperoleh dengan mengganti semua parameter dalam persamaan
Anova dua arah dengan persamaan (3.13) akan diperoleh
ji..ij bayy ++= (3.14)
( )∑∑= =
−=r
i
c
j..ij yyJKR
1 1
2
( )∑∑= =
+=r
i
c
jji ba
1 1
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
( ) ( ){ }∑∑= =
−+−=r
i
c
j..j....i yyyy
1 1
2
( ) ( )( ) ( )∑∑∑∑∑∑= == == =
−+−−+−=r
i
c
j..j...j.
r
i
c
j...i
r
i
c
j...i yyyyyyyy
1 1
2
1 11 1
2 2
karena ( )( ) 021 1
=−−∑∑= =
..j.
r
i
c
j...i yyyy maka
( ) ( )∑∑==
−+−=c
j..j.
r
i...i yyryycJKR
1
2
1
2 (3.15)
Secara umum bila ada r baris dan c kolom maka banyaknya variabel boneka
adalah ( )1−r untuk baris dan ( )1−c untuk kolom.
Bentuk variabel boneka dari masing-masing faktor adalah
1. Faktor Baris
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−
lainyang0barismasukpengamatanbila1
1barismasukpengamatanbila1
lainyang0,barimasukpengamatanbila1,
1barismasukpengamatanbila1,
1
1
,r,r,
x
.
.
.
rsx
r
2. Faktor Kolom
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−
lainyang0kolommasukpengamatanbila1
1kolommasukpengamatanbila1
lainyang0kolommasukpengamatanbila1
1kolommasukpengamatanbila1
1
1
,c,c,
x
.
.
.,
c,,
x
c
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
rc
r
r
c
c
y
yy
y
yy
y
yy
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
=
−−
10
0100
10
1010
1
11
10
0100
01
0101
1
11
11
0100
00
0000
1
11
11
...
...
...
...
...
...
.................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...cr
ΜΜΜΜΜ
ΜΜΜΜΜ
484 76
ΜΜ
484 76
ΜΜΜ
----------------
X
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
c
r
β
βα
αμ
Μ
Μ
1
1
β
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
rc
r
r
c
c
ε
εε
ε
εε
ε
εε
Μ
Μ
Μ
Μ
2
1
2
22
21
1
12
11
ε
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
C. Pendekatan Regresi terhadap Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi
Model Anova klasifikasi dua arah dengan interaksi adalah
( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++= (3.16)
r,...,,i 21= c,...,,j 21= n,...,,k 21=
Bila ditulis dalam matriks menjadi
εβ += XY
( ) εαββααμ ++++++++= rcrcccrr x...x...x...xx 110 (3.17)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
rcn
r
r
cn
cn
y
yy
y
yy
y
yy
Μ
Μ
Μ
Μ
21
11
2
221
211
1
121
111
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=
1...00
0...000...00
1...00
0...100...01
1...00
1...001...00
1
11
.......................................................................
0...00
0...000...00
1...00
0...100...01
0...10
0...100...10
1
11
0...00
0...100...01
1...00
0...100...01
0...01
0...010...01
1
11
ΜΜΜΜΜΜΜΜΜΜ
ΜΜΜΜΜΜΜΜΜΜ
4 84 76
ΜΜΜ
4 84 76
ΜΜΜ
4 84 76
ΜΜΜΜ
rccr
X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
( )
( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
rc
c
r
αβ
αββ
βα
αμ
β
Μ
Μ
Μ
11
1
1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
rcn
rr
cn
cn
ε
εε
ε
εε
ε
εε
ε
Μ
Μ
Μ
Μ
2111
1
221121
1
121111
Agar didapatkan penyelesaian normal yang tunggal diperlukan kendala
∑=
=r
ii
10α ∑
−
=c
jj
10β ( )∑
=
=r
iij
10αβ ( )∑
=
c
jij
1αβ (3.18)
Untuk mendapatkan penduga bagi parameter dalam persamaan (3.16) dengan
menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu meminimumkan jumlah kuadrat
galat. Misal penduganya adalah μb =0 , ii ˆa α= , jjˆb β= dan ( )ijij
ˆˆg βα= masing-
masing penduga untuk βαμ ,, dan ( )αβ .
Dengan kendala (3.18) maka diperoleh
...yˆb == μ0
.....iii yyˆa −==α
....j.jj yyˆb −== β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
( ) ....j...i.ijij.ij yyyyˆˆg +−−== βα
Dengan demikian penduga ijky adalah
( ) ( ) ( ) .ij....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyyy =+−−+−+−+=
( )
( )
( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = == = == = =
= = =
= = =
+−−+−+−=
−=
−=
r
j
c
j
n
k....j...i.ij
r
i
c
j
n
k....j.
r
i
c
j
n
k.....i
r
i
c
j
n
j....ij
r
i
c
j
n
k...ijk
yyyyyyyy
yy
yyJKR
1 1 11 1 11 1 1
1 1 1
1 1 1
2
Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑= ==== = =
+−−+−+−=−r
i
c
j....j...i.ij
c
j....j.
r
i.....i
r
i
c
j
n
k....ij yyyynyynryycnyy
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
……………………………………………………………………… (3.19)
Untuk merubah persamaan (3.16) kedalam bentuk regresi dibutuhkan variabel
boneka karena variabel bebasnya bersifat kualitatif. Nilai dari variabel boneka
adalah 1,0 dan -1. banyaknya variabel boneka adalah ( )1−r untuk faktor baris
dan ( )1−c untuk faktor kolom. Jadi dalam model regresi akan terdapat ( )1−r
parameter iα dan ( )1−c parameter jβ . Sedangkan untuk interaksinya banyaknya
variabel boneka sebanyak ( )1−r dikali dengan ( )1−c .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Bentuk variabel boneka dari masing-masing faktor adalah
1. Faktor Baris
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−
lainyang0barismasukpengamatanbila1
1barismasukpengamatanbila1
lainyang0barimasukpengamatanbila1,
1barismasukpengamatanbila1,
1
1
,r,r,
x
.
.
.,
rsx
r
2. Faktor Kolom
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−
lainyang0kolommasukpengamatanbila1
1kolommasukpengamatanbila1
lainyang0kolommasukpengamatanbila1
1kolommasukpengamatanbila1
1
1
,c,c,
x
.
.
.,
c,,
x
c
3. Faktor Interaksi
Untuk interaksi adalah hasil kali suku-suku faktor baris dan faktor
kolom. Jadi suku ji xx adalah interaksi antara faktor baris amatan ke- i
dengan faktor kolom amatan ke- j dan dilambangkan ( )ijαβ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
rcn
r
r
cn
cn
y
yy
y
yy
y
yy
Μ
Μ
Μ
Μ
21
11
2
221
211
1
121
111
Y
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−
=
1...00
0...000...00
1...00
0...100...01
1...00
1...001...00
1
11
.......................................................................
0...00
0...000...00
1...00
0...100...01
0...10
0...100...10
1
11
11
0...00
0...100...01
1
1...00
0...100...01
1
0...01
0...010...01
1
11
ΜΜΜΜΜΜΜΜΜΜ
ΜΜΜΜΜΜΜΜΜΜ
4 84 76
ΜΜΜ
4 84 76
ΜΜΜ
4 84 76
ΜΜΜΜ
crcr
X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
BAB IV
APLIKASI PENDEKATAN REGRESI
UNTUK ANALISIS VARIANSI
A. Tingka Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan
Dalam contoh berikut ini data diambil dari Hays, (1973). Dalam penelitian
kerusakan otak yaitu radang otak (encephalitic), dan radang selaput otak
(meningitic) masing-masing dari 36 subjek diberikan deretan tes, masing-masing
menyediakan suatu gabungan nilai. Nilai gabungan terendah rupanya
menggambarkan suatu tingkat sisa kerusakan otak. Subyek dibagi dalam 3 grup
menurut tipe infeksi, dan 3 grup menurut waktu sejak memperlihatkan
kesembuhan fisik dari penyakit. Datanya adalah sebagai berikut :
Tabel 4.1 Tingkat Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan
Masa penyembuhan
Jenis Penyakit 1-2 th 3-5 th 7-10 th
76 73 69 53 59 43 encephalitic
75 62 72 55 41 57
81 89 82 70 68 50 meningitic
83 75 91 74 75 47
75 84 85 79 98 100 Control operatif
65 63 76 87 82 79
Sehingga ingin diketahui apakah ada perbedaan dalam penampilan antara
penderita encephalitic, meningitic, dan control operatif serta apakah ada interaksi
antara tipe penyakit dengan waktu sejak kesembuhan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Model analisis variansi bagi percobaan ini adalah
( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++=
dimana
ijky = Sisa kerusakan otak selama penyembuhan pada kerusakan otak ke i
dan lama waktu yang diperlukan ke j.
μ = rata-rata total sisa kerusakan otak
iα = pengaruh kerusakan otak ke i (3 parameter).
jβ = pengaruh waktu penyembuhan ke j (3 parameter ).
( )ijαβ = pengaruh kerusakan otak ke i dan waktu penyembuhan ke j
( 9 parameter ).
ijkε = galat acak.
Dengan demikian banyaknya parameter menjadi
( ) ( ) ( )( ) rccrcr =−−+−+−+ 11111 atau 1+2+2+4 = 9
Persamaan regresinya dapat ditulis sebagai berikut
( ) ( ) ( )( ) εαβ
αβαβαβββααμ++
+++++++=
822
721612511423122110
xxxxxxxxxy
ix adalah variabel boneka,
Dengan bentuk variabel boneka masing-masing adalah
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
selainnya.0,.control operatif kategorimasuk otak kerusakan bila1,
c.enephaliti kategorimasuk otak kerusakan bila,1
1x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
selainnya.0,control.operatifkategorimasukotakkerusakanbila1,
.meningitic kategorimasuk otak kerusakan bila,1
2x
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
selainnya.0, th.10-7 selaman penyembuha diperlukan yang waktu bila1,
th.2-1 selaman penyembuha diperlukan yangwaktu bila,1
3x
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
selainnya.0, th.10-7 selaman penyembuha diperlukan yang waktu bila1,
th.5-3 selaman penyembuha diperlukan yangwaktu bila,1
4x
315 xxx = 416 xxx = 327 xxx = 428 xxx =
8X7X6X5X4X3X2X1X0X
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎡
=
75898381574341595553726962737576
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎡
−−−−−−−−−−−−−−−−
=
010001101010001101010001101010001101001111011001111011001111011001111011001010011001010011001010011001010011000101011000101011000101011000101011
X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎥
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎢
=
79100829887797685638465754750756874709182
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎥
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎢
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
=
111111111111111111111111111111111111101010111101010111101010111101010111
010101111010101111010101111010101111110011101110011101110011101110011101
100010101100010101100010101100010101
X
Kemudian dicari nilai nilai dugaan parameter dari persamaan regresi diatas
dengan langkah-langkah sebagai berikut:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1688400000816480000084168000004881600000000024120000000122400000000024120000000122400000000036
XX'
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−−−−−
−−−
−−
−
−
1111,00556,00556,00278,0000000556,01111,00278,00556,0000000556,00278,01111,00556,000000
0278,00556,00556,01111,00000000000556,00278,000000000278,00556,00000000000556,00278,000000000278,00556,00000000000278,0
1XX'
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
10916081
15894
10288238
2593
YX' ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
== −
1111.31944,53889,1
1944,73889,20556,37222,1
7778,100278,72
YX'XX'b 1
JKR= 19190=YX'b'
Koreksi= 1867702 =Yn
JKT= 194203=YY'
Tabel 4.2 Analisis Variansi dari data 4.1
F tabel=2,27 lebih kecil dari F hitung maka 0H ditolak berarti paling tidak ada
satu β yang tidak sama dengan nol, maka ada perbedaan rata-rata perlakuan
diantara jenis kerusakan otak dan selama masa penyembuhan.
db JK KT F
Regresi 9 5144,2 571,5802 6,4874
Galat 26 2290,8 88,1058
Total 35 7435,0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
B. Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam.
Data yang digunakan sebagai contoh diambil dari Bethea, at all (1985)
yaitu data mengenai perkembangan embrio ayam. Dalam penelitian ini diberikan
efek bromodeoxyuridine-5 (A) dan cytochlasin B (B) pada perkembangan
aktifitas khusus sukrasi normal dalam embrio ayam di pelajari. Tiga puluh telur
yang di fertilisasi terpilih untuk pembelajaran. Sepuluh telur dibiarkan tidak di
injeksi selama inkubasi (N). Sepuluh telur lebih dahulu di injeksi dengan
bromrodioxyurudine-5 (A) pada hari ke-10 masa inkubasi, dan sepuluh telur lebih
dahulu di injeksi dengan cytochlasin B (B) pada hari ke-10 masa inkubasi. Embrio
dopindahkan saat umur embrio 13 hari sampai 17 hari, dan pembuatan jaringan
duodenal (usus12jari) dianalisa untuk aktifitas invertasi khusus. Data
menggambarkan gram glukosa yang dilepaskan/mg protein/jam yang dihasilkan.
Sehingga ingin diketahui efek mengenai umur, efek perlakuan atau ada inteaksi.
Table 4.3 Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam
Umur embrio dalam hari
Perlakuan 13 14 15 16 17
N 56,3 60,5 64,3 86,1 97,5
55,4 61,2 63,9 86,0 98,0
A 51,2 54,4 62,3 78,7 95,5
50,8 55,6 61,7 78,3 96,5
B 55,4 61,5 62,0 72,8 81,9
64,8 60,5 63,0 71,2 80,1
Penyelesaian :
Model ANOVA data diatas adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++=
Dimana :
ijky = hasil perkembangan pembentukan embrio telur ayam pada perlakuan
ke i dan hari ke j
μ = rata-rata total hasil perkembangan pembentukan embrio telur ayam
iα = pengaruh perlakuan injeksi ke i ( 3 parameter ).
jβ = pengaruh umur perkembangan ke j ( 5 parameter ).
( )ijαβ = pengaruh interaksi antara perlakuan injeksi ke I dan umur
perkembangam ke j (15 parameter)
ijkε = galat acak.
Bentuk persamaan regresinya adalah
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) εαβ
αβαβαβαβαβαβαβββββααμ
++
+++++++++++++=
1424
13231222112110149
8127116453423122110
13
x
xxxxxxxxxxxxxxy
ix adalah variabel boneka dengan bentuk masing-masing adalah
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
selainnya.0,n.cytochlasidengan injeksidiberikan telur Bila1,
injeksi.ditidak dibiarkan telur Bila1,
1x
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
selainnya.0,n.cytochlasidengan injeksidiberikan telur Bila1,
5.-uridinebromodeoxy injeksidiberikan telur Bila1,
2x
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
Selainnya.0,hari. 17umur mencapai ayam embrioSaat1,
.hari 13umur mencapai ayam embrioSaat 1,
3x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
Selainnya.0,hari. 17umur mencapai ayam embrioSaat1,
.hari 14umur mencapai ayam embrioSaat 1,
4x
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
Selainnya.0,hari. 17umur mencapai ayam embrioSaat1,
.hari 15umur mencapai ayam embrioSaat 1,
5x
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
Selainnya.0,hari. 17umur mencapai ayam embrioSaat1,
.hari 16umur mencapai ayam embrioSaat 1,
6x
317 xxx = 418 xxx = 519 xxx = 6110 xxx =
3211 xxx = 4212 xxx = 5213 xxx = 6214 xxx =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
14X13X12X11X10X9X8X7X6X5X4X3X2X1X0X
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1,809,812,718,720,630,625,605,618,644,555,965,953,787,787,613,626,554,548,502,510,985,970,861,869,633,642,615,604,553,56
Y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
111111111111111111111111111111100010001000111100010001000111
010001000100111010001000100111001000100010111001000100010111000100010001111000100010001111111100001111101111100001111101
100000001000101100000001000101010000000100101010000000100101001000000010101001000000010101000100000001101000100000001101000011111111011000011111111011000010001000011000010001000011000001000100011000001000100011000000100010011000000100010011000000010001011000000010001011
X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
844442220000000484424220000000448422420000000444822240000000422284440000000242248440000000224244840000000224444480000000000000001266600000000000612660000000000066126000000000006661200000000000000020100000000000000102000000000000000030
XX'
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−
=
173142
2,484,53,308,33
424,763,1728,1956,215
8,1156
4,2087
YX'
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−
2667.00667.00667.00667.01333.00333.00333.00333.000000000667.02667.00667.00667.00333.01333.00333.00333.000000000667.00667.02667.00667.00333.00333.01333.00333.000000000667.00667.00667.02667.00333.00333.00333.01333.000000001333.00333.00333.00333.02667.00667.00667.00667.00000000
0333.01333.00333.00333.00667.02667.00667.00667.000000000333.00333.01333.00333.00667.00667.02667.00667.000000000333.00333.00333.01333.00667.00667.00667.02667.00000000000000001333.00333.00333.00333.0000000000000333.01333.00333.00333.0000000000000333.00333.01333.00333.0000000000000333.00333.00333.010333.00000000000000000667.00333.000000000000000333.00667.00000000000000000333.0
1XX'
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−−−
== −
73,02133,0
87,235786,31067,244,114,3
27,97133,6
63,1093,13
08,134,358,69
YX'XX'b 1
JKR= 151450=YX'b'
Koreksi= 1452402 =Yn
JKT= 151500=YY'
Tabel 4.4 Analisis Variansi dari data 4.3
F tabel=2,46 lebih kecil dari F hitung maka 0H ditolak berarti paling tidak ada
satu β yang tidak sama dengan nol maka ada perbedaan rata-rata perlakuan
diantara injeksi dan umur embrio telur ayam.
db JK KT F
Regresi 15 6204,6 413,6379 114,67
Galat 14 50,5 3,6071
Total 29 6255,1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
KESIMPULAN
Pengujian hipotesis dengan dua nilai rata-rata dilakukan dengan
menggunakan uji z dan uji t. Jika terdapat lebih dari tiga nilai rata-rata maka
dilakukan dengan menggunakan metode ANOVA. Analisis variansi dapat
diselesaikan dengan pendekatan regresi yaitu dengan membuat variabel boneka.
Penggunaan variabel boneka diperlukan untuk mengubah data yang bersifat
kualitatif, menjadi data yang bersifat kuantitatif. Dalam ANOVA variabel tak
bebas bersifat kuantitatif, sedangkan variabel bebas bersifat kualitatif, sehingga
perlu mengubah data tersebut dalam bentuk kuantitaif. Aturan yang berlaku
adalah bila suatu variabel kualitatif mempunyai m kategori, maka banyaknya
variabel boneka yang dibutuhkan adalah 1−m . Penetapan nilai 1, 0, dan -1 bukan
merupakan suatu hal yang mutlak. Melalui pendekatan regresi maka pengujian
hipotesis mengenai perbedaan pengaruh antar perlakuan, serta pengaruh interaksi
masih dapat dilakukan sebagimana dalam analisis variansi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. dan Rorres, C. (2004). Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi. Jakarta: Erlangga.
Anton, H. (1988). Aljabar Linier Elementer edisi kelima. Jakarta: Erlangga.
Bethea, R.M , Duran, B.S dan Bollion, T.L (1985). Statistical Methods For Enginers and Scientists. New York: Marcel Dekker INC.
Draper, N.R. dan Smith, H. (1992). Analisis Regresi Terapan. Jakarta: Gramedia
Pustaka Utama. Hays, W.L (1973). Statistics For The Social Sciences. Sydne : Holt Rinehart and
Winston. Hogg, R.V dan Craig, A.T. (1995) Introduction to Mathematical Statistics fifth
edition. New Jersey: Prentice Hall Inc. Supranto, J. (1984) . Ekonometrik edisi dua. Jakarta : Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia. Sembiring, R.K (1995). Analisis Regresi.Bandung:ITB. Torrie, J.H. dan Steel, R.G.D. (1991). Prinsip dan Prosedur Statistika Suatu
Pendekatan Biometrik.Jakarata :Gramedia Pustaka Utama. Walpole, R.E dan Myers, R.H (1986). Ilmu Peluang dan Satistika untuk Insinyur
dan ilmuan.Bandung :ITB. Walpole, R.E (1995) Pengantar Statistika Jakarta : Gramedia Pustaka Utama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran 1 Listing Program Matlab untuk tabel 4.1
>> Y = [56.3; 55.4; 60.5; 61.2; 64.3; 63.9; 86.1; 86.0; 97.5; 98.0; 51.2; 50.8; 54.4;
55.6; 62.3; 61.7; 78.7; 78.3; 95.5; 96.5; 55.4; 64.8; 61.5; 60.5; 62.0;
63.0; 72.8; 71.2; 81.9; 80.1]
>> X = [1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0; 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0
0 0; 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0; 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0; 1 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0; 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0; 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1; 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1; 1 0 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1; 1 0 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1
-1 -1; 1 -1 -1 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0; 1 -1 -1 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0; 1 -1
-1 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0; 1 -1 -1 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0; 1 -1 -1 0 0 1 0
0 0 -1 0 0 0 -1 0; 1 -1 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0; 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0
0 0 -1; 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1; 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1; 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1]
>> T = transpose(X)*X
>> I = inv(T)
>> A = transpose(X)*Y
>> B = I*A
>> JKT = transpose(Y)*Y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
>> JKR = transpose(B)*A
>> JKG = JKT-JKR
>> n = 30
>>Y_rata = (1/n)*(56.3+55.4+60.5+61.2+64.3+63.9+86.1+86.0+97.5+98.0+51.2
+50.8+54.4+55.6+62.3+61.7+78.7+78.3+95.5+96.5+55.4+64.8
+61.5+60.5+62.0+63.0+72.8+71.2+81.9+80.1)
>> K = n*(Y_rata*Y_rata)
>> db_reg = 15
>> JKR_koreksi = JKR-K
>> db_galat = 14
>> JKG_koreks i= JKT-JKR
>> JKT_koreks i= JKT-K
>> KTR = JKR_koreksi/db_reg
>> KTG = JKG_koreksi/db_galat
>> F = KTR/KTG
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Listing Program Matlab untuk tabel 4.2
>> Y = [76; 75; 73; 62; 69; 72; 53; 55; 59; 41; 43; 57; 81; 83; 89; 75; 82; 91; 70;
74; 68; 75; 50; 47; 75; 65; 84; 63; 85; 76; 79; 87; 98; 82; 100; 79]
>> X = [1 1 0 1 0 1 0 0 0; 1 1 0 1 0 1 0 0 0; 1 1 0 1 0 1 0 0 0;1 1 0 1 0 1 0 0 0; 1 1
0 0 1 0 1 0 0; 1 1 0 0 1 0 1 0 0;1 1 0 0 1 0 1 0 0; 1 1 0 0 1 0 1 0 0; 1 1 0 -1
-1 -1 -1 0 0;1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 0
0;1 0 1 1 0 0 0 1 0; 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 1 0 1 1 0 0 0 1 0;1 0 1 1 0 0 0 1 0; 1 0
1 0 1 0 0 0 1; 1 0 1 0 1 0 0 0 1;1 0 1 0 1 0 0 0 1; 1 0 1 0 1 0 0 0 1; 1 0 1 -1 -
1 0 0 -1 -1;1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1; 1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1; 1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1;1
-1 -1 1 0 -1 0 -1 0; 1 -1 -1 0 -1 0 -1 0; 1 -1 -1 1 0 -1 0 -1 0; 1 -1 -1 1 0 -1 0
-1 0; 1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1; 1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1;1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1; 1 -1 -1
0 1 0 -1 0 -1; 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1;1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1; 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1;
1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1]
>> T = transpose(X)*X
>> I = inv(T)
>> A = transpose(X)*Y
>> B = I*A
>> JKT = transpose(Y)*Y
>> JKR = transpose(B)*A
>> JKG = JKT-JKR
>> n = 36
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
>>Y_mean=(1/n)*(76+75+73+62+69+72+53+55+59+41+43+57+81+83+89+75+
82+91+70+74+68+75+50+47+75+65+84+63+85+76+79+8
7+98+82+100+79)
>> K = n*(Y_mean*Y_mean)
>> JKR_terko = JKR-K
>> JKG_terko = JKT-JKR
>> JKT_terko = JKT-K
>> db_reg = 9
>> db_galat = 26
>> KTR = JKR_terko/db_reg
>> KTG = JKG_terko/db_galat
>> F = KTR/KTG
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran 2
Misalkan [ ]nyyyy Λ,,,Y 321=′
Maka [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
n
y
yyy
yyyyΜ
Λ 3
2
1
321 ,,,YY'
[ ]nn yyyyyyyy ++++= Λ332211
[ ]223
22
21 ... nyyyy ++++=
Sehingga ( ) ( ) 022
322
21 =
∂++++∂
=∂
∂bb
YY' nyyyy Λ
Perhatikan bahwa
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnkkkk
n
n
k
y
yyy
xxxx
xxxxxxxx
bbbbΜ
ΛΜΜΜΜ
ΛΛΛ
Λ 3
2
1
321
2322212
1312111
210
1111
,,,YX'b'
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++++++
++++
=
nnkkkk
nn
nn
n
k
yxyxyxyx
yxyxyxyxyxyxyxyx
yyyy
bbbb
ΛΜ
ΛΛ
Λ
Λ
32221
2332222112
1331221111
321
210 ,,,
( ) ( )( )
( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++++++++
+++++++++=
nnkkkkk
nn
nnn
yxyxyxyxbyxyxyxyxb
yxyxyxyxbyyyyb
.........
......
332211
23322221122
133122111113210
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan demikian
( )
( ) ( )( )
( )0
332211
23322221122
133122111113210
0
.........
......
byxyxyxyxb
yxyxyxyxbyxyxyxyxbyyyyb
bnnkkkkk
nn
nnn
∂
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++++++
++++++++++∂
=∂
∂ YX'b'
nyyyy ++++= ...321
( )
( ) ( )( )
( )1
332211
23322221122
133122111113210
1
.........
......
byxyxyxyxb
yxyxyxyxbyxyxyxyxbyyyyb
bnnkkkkk
nn
nnn
∂
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++++++
++++++++++∂
=∂
∂ YX'b'
11331221111 ... yxyxyxyx n++++=
Μ
( )
( ) ( )( )
( )k
nnkkkkk
nn
nnn
k byxyxyxyxb
yxyxyxyxbyxyxyxyxbyyyyb
b ∂
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++++++
++++++++++∂
=∂
∂ .........
......
332211
23322221122
133122111113210
YX'b'
nnkkkk yxyxyxyx ++++= ...332211
Jadi,
( ) ( ) ( ) ( )kbbb
YX'b'YX'b'YX'b'b
YX'b' ∂++
∂+
∂∂
=∂
∂ ...10
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++++++++
+++++++++=
)...(...)...(
)...()...(
332211
2332222112
11331221111321
nnkkkk
nn
nn
yxyxyxyxyxyxyxyx
yxyxyxyxyyyy
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnkkkk
n
n
y
yyy
xxxx
xxxxxxxx
ΜΛ
ΜΜΜΜΛΛΛ
3
2
1
321
2322212
1312111
1111
= YX'
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Perhatikan bahwa
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
knknn
k
k
k
nkkkk
n
n
k
b
bbb
xxx
xxxxxxxxx
xxxx
xxxxxxxx
bbbbΜ
ΛΜΜΜΜ
ΛΛΛ
ΛΜΜΜΜ
ΛΛΛ
Λ 2
1
0
21
33231
22221
11211
321
2322212
1312111
210
1
1111111
,,,XbX'b'
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++++++++++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++++
++++++++=
knknn
kk
kk
kk
nkknnkk
kkkk
bxbxbxb
bxbxbxbbxbxbxbbxbxbxb
xbxbxbbxbxbxbbxbxbxbbxbxbxbb
...
...
...
...
........,...,...,...
22110
32321310
22221210
12121110
2211033223110
2222211011221110
Μ
( )( )( )( )( )( )
( )( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++++++++++++++++
++++++++++++++++++
=
knknnnkknn
kkkk
kkkk
kkkk
bxbxbxbxbxbxbbbxbxbxbxbxbxbbbxbxbxbxbxbxbb
bxbxbxbxbxbxbb
.....................
......
2211022110
3232131033223110
2222121022222110
1212111011221110
Perkalian ruas kanan bagian pertama, yakni
( )( )[ ]kkkk bxbxbxbxbxbxbb 1212111011221110 ...... ++++++++=
( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++++++++++++++++
=kkkkkk
kkkk
bxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbb
12121110112121110122
12121110111121211100
...............
( )( )( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
++++
++++++
+++++
+++++
21
22121111101
1122212
221111220122
1111212111211
21111
102120111020
...
......
...0
...
kkkkkkkk
kk
kk
kk
xbbxxbbxxbbxb
bxxbxbbxxbbxb
bxxbbxxbxbbxb
bxbbxbbxbb
…………1
Perkalian ruas kanan bagian kedua
( )( )[ ]kkkk bxbxbxbxbxbxbb 2222121022222110 ...... ++++++++=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++++++++++++++++
=kkkkkk
kkkk
bxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbb
22221210222221210222
22221210211222212100
...............
( )( )( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++++
++++
+++++
+++++
=
22
22222121202
2222222
221212220222
2211222211221
210211
202220121020
......
...
...
...
kkkkkkkk
kk
kk
kk
xbbxxbbxxbbxb
bxxbxbbxxbbxb
bxxbbxxbxbbxb
bxbbxbbxbb
…………2
Perkalian ruas kanan bagian ketiga
( )( )[ ]kkkk bxbxbxbxbxbxbb 3232131033223110 ...... ++++++++=
( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++++++++++++++++
=kkkkkk
kkkk
bxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbb
32321310332321310322
32321310311323213100
...............
( )( )( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++++
+++++
+++++
=
23
22323131303
3322232
221313220322
3311232311231
210311
302320131020
...
......
...
...
kkkkkkkk
kk
kk
kk
xbbxxbbxxbbxb
bxxbxbbxxbbxb
bxxbbxxbxbbxb
bxbbxbbxbb
……………3
ΜΜ
Perkalian ruas kanan bagian terakhir, yakni
( )( )[ ]knknnnkknn bxbxbxbxbxbxbb ++++++++= ...... 2211022110
( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++++++++++++++++
=knknnnkkknknnn
knknnnknknn
bxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbb.........
......
221102211022
2211011221100
( )( )( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++++
+++++
+++++
=
2222110
2222
221122022
11221121
21011
022011020
...
......
...
...
nkknnkknnkknkk
knknnnnn
knknnnnn
knknn
xbbxxbbxxbbxb
bxxbxbbxxbbxb
bxxbbxxbxbbxb
bxbbxbbxbb
…………4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kemudian persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap 0b , hasilnya adalah
( ) kkkk xbxbxbbxbxbxb 112211112121110 ......2 ++++++++=
kk bxbxbxb 12121110 2...222 ++++= ……………………1a
( ) kkkk xbxbxbbxbxbxb 222221122221210 ......2 ++++++++=
kk bxbxbxb 22221210 2...222 ++++= ……………………2a
( ) kkkk xbxbxbbxbxbxb 332231132321310 ......2 ++++++++=
kkbxbxbxb 32321310 2...222 ++++= ……………………3a
Μ
( ) nkknnknknn xbxbxbbxbxbxb ++++++++= ......2 221122110
knknn bxbxbxb 2...222 22110 ++++= ……………………4a
Sehingga hasil keseluruhan yang diturunkan terhadap 0b adalah
( ) ( ) ( )
( ) ( )knknnkk
kkk
bxbxbxbbxbxbxb
xbxbxbbxbxbxbb
2...222...2...222
2...2222...222
2211032321310
22221210121211100
++++++++++
++++++++++=∂
∂ XbX'b'
Selanjutnya persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap 1b , hasilnya adalah
( ) kkkk bxxbxxbxxbxxbxbxbx 11121112111212111211011011 ......2 ++++++++=
kk bxxbxxbxbx 111212111211011 2...222 ++++= …………….……1b
( ) kkkk bxxbxxbxxbxxbxbxbx 21222122221222211221021021 ......2 ++++++++=
kk bxxbxxbxbx 221222211221021 2...222 ++++= ……………………2b
( ) kkkk bxxbxxbxxbxxbxbxbx 31323132331232311231031031 ......2 ++++++++=
kk bxxbxxbxbx 331232311231031 2...222 ++++= ……………………3b
Μ
( ) knnknnknknnnnnn bxxbxxbxxbxxbxbxbx 121212211210101 ......2 ++++++++=
knknnnnn bxxbxxbxbx 122112101 2...222 ++++= ……………………4b
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Sehingga hasil keseluruhan yang diturunkan terhadap 1b adalah
( ) ( )( )( )( )knknnnnn
kk
kk
kk
bxxbxxbxbx
bxxbxxbxbx
bxxbxxbxbx
bxxbxxbxbxb
122112101
331232311231031
221222211221021
111212111211011
1
2...222
...2...222
2...222
2...222
++++
++++++
+++++
+++++=∂
∂ XbX'b'
Selanjutnya persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap 2b hasilnya adalah
( ) kkkk bxxbxxbxbxxbxbxxbx 12111222121111201211211012 ......2 ++++++++=
kk bxxbxbxxbx 112221211211012 2...222 ++++= ……………………1c
( ) kkkk bxxbxxbxbxxbxbxxbx 22222222221212202212221022 ......2 ++++++++=
kk bxxbxbxxbx 222222212221022 2...222 ++++= ……………………2c
( ) kkkk bxxbxxbxbxxbxbxxbx 32333222321313203213231032 ......2 ++++++++=
kkbxxbxbxxbx 332223213231032 2...222 ++++= ……………………3c
Μ
( ) knnknknnnnnnnn bxxbxxbxbxxbxbxxbx 222221120212102 ......2 ++++++++=
knknnnnn bxxbxbxxbx 222212102 2...222 ++++= ……………………4c
Sehingga hasil keseluruhan yang diturunkan terhadap 2b adalah
( ) ( )( )( )( )knknnnnn
kk
kk
kk
bxxbxbxxbx
bxxbxbxxbx
bxxbxbxxbx
bxxbxbxxbxb
222212102
332223213231032
222222212221022
112221211211012
2
2...222
...2...222
2...222
2...222
++++
++++++
+++++
+++++=∂
∂ XbX'b'
ΜΜΜ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Selanjutnya persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap kb hasilnya adalah
( )kkkkkkkk bxbxxbxxbxbxxbxxbx 2121211111012112111101 2...... ++++++++=
kkkkk bxbxxbxxbx 21212111111 2...222 ++++= ……………………1d
( )kkkkkkkk bxbxxbxxbxbxxbxxbx 2222221212022222122102 2...... ++++++++=
kkkkk bxbxxbxxbx 22222212122 2...222 ++++= ……………………2d
( )kkkkkkkk bxbxxbxxbxbxxbxxbx 2323231313032332133103 2...... ++++++++=
kkkkk bxbxxbxxbx 23232313133 2...222 ++++= ……………………3d
ΜΜ
( )knknnknnknknknnknnk bxbxxbxxbxbxxbxxbx 22211022110 2...... ++++++++=
knknnknnknk bxbxxbxxbx 22211 2...222 ++++= ……………………4d
Sehingga hasil keseluruhan yang diturunkan terhadap kb adalah
( ) ( )( )( )( )knknknnknnk
kkkkk
kkkkk
kkkkkk
bxbxxbxxbx
bxbxxbxxbx
bxbxxbxxbx
bxbxxbxxbxb
222110
232332133103
222222122102
212112111101
2...222
...2...222
2...222
2...222
++++
++++++
+++++
+++++=∂
∂ XbX'b'
Jadi,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kbbbb
XbX'b'XbX'b'XbX'b'XbX'b'b
XbX'b' ∂++
∂+
∂+
∂∂
=∂
∂ ...210
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++++++++
++++++++++
+++++++++++
++++++++++++++++
+++++++++++++++
+++++++++++
+++++++++
=∂
∂
knknnnk
kkk
kkkkkk
knknnn
kk
kkkk
knknnn
kk
kkk
knknn
kk
kkkk
bxbxbxbxbxbxbxbx
bxbxbxbxbxbxbxbx
bxbxbxbxbxbxbxbx
bxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxx
bxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxx
bxbxbxbbxbxbxb
bxbxbxbbxbxbxb
.........
..........................
.........
............
.........
.........
......
2
22110
323213103
222212102121211101
221102
3232131032
22221210221212111012
221101
3232131031
2222121021121211111
22110
32321310
2222121012121110
bXbX'b'
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++++++++++
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
knknn
kk
kk
kk
nkkkk
n
n
bxbxbxb
bxbxbxbbxbxbxbbxbxbxb
xxxx
xxxxxxxx
...
...
...
...1111
2
22110
32321310
22221210
12121110
321
2322212
1312111
ΛΜΜΜΜ
ΛΛΛ
Xb2X'=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
knknn
k
k
k
nkkkk
n
n
b
bbb
xxx
xxxxxxxxx
xxxx
xxxxxxxx
ΜΛ
ΜΜΜΜΛΛΛ
ΛΜΜΜΜ
ΛΛΛ
2
1
0
21
33231
22221
11211
321
2322212
1312111
1
1111111
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
top related