PENGUJIAN HIPOTESIS PADA

REGRESI KUANTIL

SKRIPSI

NURWAHIDA ASTARI

H 121 13 009

PROGRAM STUDI STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

MEI 2017

i

PENGUJIAN HIPOTESIS PADA

REGRESI KUANTIL

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Program Studi Statistika Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar

NURWAHIDA ASTARI

H 121 13 009

PROGRAM STUDI STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

MEI 2017

ii

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh

bahwa skripsi yang saya buat dengan judul:

Pengujian Hipotesis pada Regresi Kuantil

adalah benar hasil karya saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah

dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 23 Mei 2017

NURWAHIDA ASTARI

NIM. H 121 13 009

iii

PENGUJIAN HIPOTESIS PADA

REGRESI KUANTIL

Disetujui Oleh:

iv

Pada Tanggal: 23 Mei 2017

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh :

Nama : Nurwahida Astari

NIM : H 121 13 009

Program Studi : STATISTIKA

Judul Skripsi : Pengujian Hipotesis pada Regresi Kuantil

Telah berhasil dipertahankan dihadapan dewan penguji dan diterima sebagai

bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Hasanuddin.

DEWAN PENGUJI

1. Ketua : Sri Astuti Thamrin, S.Si., M.Stats. Ph.D

2. Sekretaris : Drs. M. Saleh AF. M.Si (......................................)

3. Anggota : Andi Galsan Mahie, S.Si., M.Si (......................................)

4. Anggota : Dr. Amran, S.Si., M.Si (......................................)

5. Anggota : Andi Kresna Jaya, S.Si., M.Si (......................................)

Ditetapkan di : Makassar

Tanggal : 23 Mei 2017

v

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam, shalawat serta salam semoga

selalu dilimpahkan kepada Nabi yang paling dimuliakan, pemimpin orang-orang

bertakwa, Muhammad bin Abdullah dan kepada para keluarga serta sahabat beliau.

Alhamdulillah, berkat pertolongan Allah akhirnya skripsi dengan judul “Pengujian

Hipotesis pada Regresi Kuantil” yang disusun sebagai salah satu syarat akademik

untuk meraih gelar sarjana pada Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Penulis berharap skripsi ini bisa

memberikan tambahan pengetahuan bagi pembelajar statistika.

Penulisan skripsi ini tentunya tidak lepas dari bantuan berbagi pihak baik

moril maupun materil. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih

yang tak terhingga untuk Ayahanda dan Ibunda tercinta; Syafruddin T. dan

Nurhayati S. yang tak kenal lelah mendoakan dan memberikan semangat kepada

penulis selama ini. Terima kasih yang besar juga penulis ucapkan untuk adinda

Khusnul Athifa atas semangat dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis.

Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh keikhlasan

juga penulis ucapkan kepada :

1. Ibu Prof. Dr. Dwia Aries Tina Palubuhu, MA, selaku Rektor Universitas

Hasanuddin beserta seluruh jajarannya.

2. Bapak Dr. Eng. Amiruddin, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin.

3. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc, selaku Ketua Jurusan

Matematika, segenap dosen pengajar dan staf Jurusan Matematika yang telah

membekali ilmu dan kemudahan-kemudahan kepada penulis dalam berbagai

hal selama menjadi mahasiswa di Jurusan Matematika.

4. Ibu Dr. Erna Tri Herdiana, S.Si., M.Si, selaku Ketua Program Studi

Statistika, dosen-dosen pengajar yang telah membekali ilmu selama proses

perkuliahan, serta seluruh staf pegawai Departemen Matematika yang telah

membantu proses administrasi selama penulis menyelesaikan tugas akhir.

vi

5. Bapak Dr. Amran, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing utama dan Bapak

Andi Kresna Jaya, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing pertama yang telah

bersedia meluangkan begitu banyak waktunya dan senantiasa memberikan

masukan dalam penulisan skripsi ini.

6. Ibu Sri Astuti Thamrin, S.Si., M.Stats. Ph.D. selaku Ketua Tim Penguji dan

Bapak Drs. M. Saleh AF. M.Si. selaku Sekretaris Tim Penguji. Terima kasih

telah memberikan kritikan yang membangun dalam penyempurnaan

penyusunan tugas akhir ini serta waktu yang telah diberikan kepada penulis.

7. Bapak Andi Galsan Mahie, S.Si., M.Si. selaku Penasehat Akademik sekaligus

sebagai Anggota Tim Penguji dalam penulisan tugas akhir ini. Terima kasih

atas segala masukan yang diberikan kepada penulis selama menjalani

pendidikan di Departemen Matematika.

8. Sahabat terkasih dan tercinta Adhelia, Ainun, Jumraeni, Raehana, Riska,

yang telah sabar memberikan motivasi, semangat, kasih sayang, dan menemani

penulis selama beberapa tahun terakhir di kampus.

9. Kakak-kakak sebapak Kak Dian dan Kak Wana. Kakak seperjuangan Kak

Piah, Kak Ugi, Kak Cia, Kak Ira, Kak Hanifa selalu membantu, memberi

dukungan, serta ilmu yang diterapkan dalam tugas akhir ini.

10. Teman-teman STATISTIKA 2013 dan BINOMIAL 2013 yang selalu

memberikan semangat, pelajaran, dan pengalaman berharga yang tidak bisa

didapatkan di tempat lain.

11. Seluruh teman-teman KKN UNHAS GELOMBANG 93 Kec. Sabbangparu,

terkhusus kepada teman seposko Desa Worongnge : Kak Adi, Kak Rifal, Kak

Uni, Ochan, Achan, Yopie, Rani, dan Dian yang telah menjadi teman hidup

sekaligus keluarga selama kurang lebih dua bulan.

Serta kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu,

terima kasih untuk semuanya. Semoga apa yang telah dituliskan penulis pada

skripsi ini dapat bermanfaat bagi sesama.

Makassar, 23 Mei 2017

Penulis

vii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di

bawah ini:

Nama : Nurwahida Astari

NIM : H 121 13 009

Program Studi : Statistika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis karya : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Hasanuddin Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive

Royalty-Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul:

“Pengujian Hipotesis pada Regresi Kuantil”

Beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka

pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola

dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan mempublikasikan tugas

akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan

sebagai pemilik Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Makassar pada tanggal, 23 Mei 2017

Yang menyatakan,

Nurwahida Astari

viii

ABSTRAK

Umumnya, pengujian hipotesis pada analisis regresi didasarkan pada asumsi error

berdistribusi normal dengan 𝜇 = 0 dan variansi 𝜎2 . Namun, asumsi error

berdistribusi normal tidak dipenuhi pada kelompok data dengan bentuk distribusi

tidak simetris. Salah satu metode analisis untuk data yang berdistribusi tidak

simetris adalah regresi kuantil. Pengujian hipotesis pada regresi kuantil menjadi

suatu masalah penting yang perlu diatasi. Tugas akhir ini membahas tentang

pengujian hipotesis pada regresi kuantil menggunakan uji Wald. Estimasi

parameter menggunakan metode interior point dengan algoritma Frisch-Newton.

Ditunjukkan bahwa distribusi asimtotik estimator berdistribusi normal (0,𝑊0) .

Dari distribusi asimtotik tersebut diperoleh fungsi sparsity. Rumusan fungsi

sparsity digunakan untuk mengkonstruksi statistik uji Wald yang berdistribusi chi-

square dengan derajat bebas 𝑛. Aplikasi pengujian hipotesis pada regresi kuantil

menggunakan kuantil atas menunjukkan bahwa Sea Surface Temperature (SST)

Niño 3.4 memberikan pengaruh yang signifikan terhadap curah hujan di Kota

Makassar pada kuantil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, dan 0.95.

Kata Kunci: Regresi Kuantil, Interior Point, Asimtotik Distribusi Normal, Fungsi

Sparsity, Uji Wald, Curah Hujan, SST Niño 3.4,.

ix

ABSTRACT

Generally, hypothesis testing on regression analysis is based on the assumption of

normal distributed error with mean 𝜇 = 0 and variance 𝜎2 . However, the

assumption of a normal distributed error is not appropriate in the data set with an

asymmetric distribution form. One method of analysis for asymmetric distributed

data is quantile regression. Hypothesis testing on quantile regression is an important

issue that needs to be solved. This paper derived hypothesis testing on quantile

regression using Wald test. Estimation of parameters using interior point method

couple with Frisch-Newton algorithm. It is shown that the asymptotic distribution

of the estimator is normally distributed (0,𝑊0). The asymptotic distribution of

estimator contained the sparsity function. The formula of sparsity function is used

to construct Wald-square statistical statistics that are chi-square distributed with n

degree of freedom. The application of hypothesis testing on quantile regression

using upper quantile showed that the Sea Surface Temperature (SST) of Niño 3.4

haves significant effect to rainfall in Makassar City on quantile 0.75, 0.80, 0.85,

0.90, and 0.95.

Keywords: Quantile Regression, Interior Point, Inference Asymptotic

Normality, Sparsity Function, Wald Test, Rainfall, SST Niño 3.4.

x

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL

PENGUJIAN HIPOTESIS PADA REGRESI KUANTIL ...................................... i

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN....................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

KATA PENGANTAR ............................................................................................ v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ................................................. vii

ABSTRAK ........................................................................................................... viii

ABSTRACT ........................................................................................................... ix

DAFTAR ISI ........................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ................................................................................................. xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang .........................................................................................1

1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................3

1.3 Batasan Masalah ......................................................................................3

1.4 Tujuan Penelitian .....................................................................................3

1.5 Manfaat Penulisan ...................................................................................4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................. 5

2.1 Regresi Linier ..........................................................................................5

2.2 Regresi Kuantil ........................................................................................6

2.3 Metode Interior Point ..............................................................................9

2.4 Pengujian Hipotesis .................................................................................9

2.5 Teorema Slutsky ....................................................................................11

2.6 Distribusi Chi Square ............................................................................11

2.7 Curah hujan dan SST Niño 3.4 ..............................................................11

BAB III METODE PENELITIAN........................................................................ 14

3.1 Jenis dan Sumber Data ..........................................................................14

3.2 Identifikasi Variabel ..............................................................................14

3.3 Metode Analisis Kerja ...........................................................................14

xi

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 16

4.1 Regresi Kuantil ......................................................................................16

4.2 Estimasi Parameter Regresi Kuantil ......................................................17

4.3 Pengujian Hipotesis ...............................................................................24

4.3.1 Rumusan Hipotesis .................................................................. 24

4.3.2 Inferensi Asimtotik pada Regresi Kuantil ............................... 24

4.3.3 Menentukan Nilai Statistik Uji ............................................... 25

4.3.4 Kriteria Penerimaan dan Penolakan 𝐻0 ................................... 27

4.4 Aplikasi Pengujian Hipotesis Regresi Kuantil ......................................28

4.4.1 Pemusatan Data........................................................................ 28

4.4.2 Regresi Kuantil ........................................................................ 29

4.4.3 Rumusan Hipotesis .................................................................. 30

4.4.4 Estimasi Regresi Kuantil ......................................................... 30

4.4.5 Menentukan Nilai Statistik Uji ................................................ 34

4.4.6 Penerimaan dan Penolakan 𝐻0 ................................................. 41

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 43

5.1 Kesimpulan ............................................................................................43

5.2 Saran .....................................................................................................43

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 44

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2. 1 Tipe kesalahan ketika membuat kesimpulan mengenai hipotesis ......... 9

Tabel 4. 1 Pemusatan data curah hujan dan SST Niño 3.4 periode Januari 1983 –

September 2015 ................................................................................... 28

Tabel 4. 2 Hasil estimasi parameter regresi kuantil ............................................. 31

Tabel 4. 3 Selang kepercayaan terhadap estimasi parameter ............................... 33

Tabel 4. 4 Nilai bandwidth berdasarkan data menggunakan program RStudio. .. 34

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Wilayah pengamatan SST............................................................... 13

Gambar 4. 1 Fungsi Kerugian pada Regresi Kuantil ........................................... 19

Gambar 4. 2 Histogram data curah hujan ............................................................ 28

Gambar 4. 3 Histogram data SST Niño 3.4 ......................................................... 29

Gambar 4. 4 Fungsi Distribusi Empiris 𝐹𝑦 ......................................................... 29

Gambar 4. 5 Fungsi Distribusi Empiris 𝑄𝑌𝜏 ....................................................... 30

Gambar 4. 6 Plot estimasi parameter regresi kuanti pada kuantil atas ................ 34

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran I. Data Curah Hujan Bulanan di Kota Makassar Periode Januari 1983–

September 2015 ........................................................................... 47

Lampiran II. Data Sea Surface Temperature (SST) Niño 3.4 di Samudra

Pasifik Periode Januari 1983 – September 2015 ......................... 48

Lampiran III. Syntaks Program RStudio ............................................................ 49

Lampiran IV. Tabel Chi-Square ......................................................................... 50

Universitas Hasanuddin

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis regresi dalam ilmu statistika merupakan salah satu metode statistik

yang digunakan untuk melihat apakah ada hubungan yakni sebab dan akibat antara

dua atau lebih variabel. Variabel dibagi menjadi dua jenis yaitu variabel terikat dan

variable bebas. Variabel terikat merupakan variabel yang dipengaruhi, akibat dari

adanya variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang mempengaruhi

atau sebab perubahan timbulnya variabel terikat. Variabel terikat sering dinotasikan

sebagai variabel 𝑌 karena dapat dilukiskan dalam suatu grafik sebagai ordinat dan

variabel bebas dinotasikan sebagai variabel 𝑋 sebagai absis.

Salah satu metode estimasi yang sering digunakan adalah metode Ordinary

Least Square (OLS). Penaksiran parameter dalam OLS, dilakukan dengan

meminimumkan jumlah kuadrat error. Beberapa asumsi yang diperlukan antara

lain data berdistribusi normal, tidak terdapat multikolinearitas dalam variabel

bebas, tidak ada autokorelasi pada error, dan homoskedastisitas. Apabila ada salah

satu dari asumsi tersebut tidak terpenuhi, hasil dari estimasi parameter yang

diperoleh tidak memenuhi sifat Best Liniear Unbiased Estimator (BLUE). Analisis

regresi menggunakan metode OLS berdasarkan pada fungsi mean.

Data dengan bentuk distribusi mean menjadi kurang tepat digunakan

sebagai estimasi pada nilai tengah data. Pendekatan metode OLS yang berdasarkan

nilai mean menjadi kurang tepat digunakan untuk menganalisis data yang berbentuk

tidak simetris. Perkembangan metode estimasi parameter model pada data

berdistribusi tidak simetris dimulai dengan metode Least Absolute Deviation (LAD)

dan dikenal sebagai regresi kuantil median. Metode LAD merupakan

pengembangan dari metode OLS yang mengganti nilai mean menjadi median. Nilai

estimasi parameter menggunakan metode LAD dapat diperoleh dengan

meminimumkan jumlah nilai mutlak error. Selain regresi kuantil median dikenal

juga regresi kuantil.

Universitas Hasanuddin

2

Regresi kuantil adalah salah satu metode regresi dengan memisahkan atau

membagi data menjadi kuantil-kuantil tertentu dimana diduga terdapat perbedaan

nilai estimasi. Regresi kuantil pertama kali diperkenalkan oleh Koenker dan Basset

(1978). Dalam dua dekade terakhir ini banyak perkembangan dalam metode analisis

regresi untuk mengatasi data yang mengandung pencilan dan homoskedastisitas.

Koenker dan Bassett (1978) menyatakan bahwa analisis regresi kuantil sangat

berguna ketika kondisi dari distribusi data adalah heterogen, bentuknya tidak

standar, seperti distribusi asimetris.

Rahmawati dkk (2011) meneliti regresi kuantil mengenai studi kasus pada

data suhu harian, kesimpulan dari hasil penelitian tersebut adalah analisis regresi

kuantil sangat berguna untuk data yang tidak simetris, tidak homogen ataupun tidak

beraturan, penyelesaian parameter tidak dilakukan secara analitik, tetapi

diselesaikan secara empirik, dan nilai estimasi parameter dengan regresi kuantil

memberikan hasil yang berbeda dengan analisis regresi menggunakan metode OLS.

Navianti (2014) membahas mengenai regresi kuantil untuk pemodelan tingkat

pengangguran terbuka di Indonesia, kesimpulan yang diperoleh adalah kajian

terapan pada kasus pengangguran di Indonesia menunjukkan bahwa hasil taksiran

interval dari regresi kuantil lebih baik dan fleksibel. Berdasarkan penelitian tersebut

Rahmawati dkk (2011) hanya berfokus pada estimasi parameter regresi kuantil dan

Navianti (2014) berfokus pada selang kepercayaan pada regresi kuantil.

Regresi kuantil sangat berguna untuk data dengan distribusi tidak simetris,

dalam bidang meteorologi dapat diterapkan pada data curah hujan, temperatur, dan

perubahan iklim. Data curah hujan merupakan data musiman, sehingga pada waktu

tertentu (Desember, Januari, Februari) terjadi hujan lebat. Kejadian Hujan lebat

dapat dimodelkan dengan menggunakan analisis regresi kuantil bagian atas,

khususnya untuk nilai ekstrem. Kombinasi dari setiap nilai kuantil dapat

menjelaskan pola keseluruhan data sehingga bermanfaat untuk menganalisa bagian

tertentu dari sebaran bersyarat.

Analisis regresi memiliki beberapa tahapan dalam menentukan model,

diantaranya yaitu estimasi parameter, sifat-sifat penaksir, pengujian hipotesis, dan

pengujian kecocokan model. Pengujian hipotesis merupakan hal yang penting

Universitas Hasanuddin

3

dalam tahapan analisis regresi. Pengujian hipotesis pada analisis regresi didasarkan

pada asumsi error berdistribusi normal dengan 𝜇 = 0 dan variansi 𝜎2 dengan data

yang berdistribusi simetris. Asumsi error tersebut umumnya tidak dipenuhi pada

data kuantil atas yang berdistribusi tidak simetris. Berdasarkan asumsi tersebut

penulis tertarik untuk membahas “Pengujian Hipotesis pada Regresi Kuantil”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka dapat disusun rumusan masalah sebagai

berikut:

a. Bagaimana statistik uji pada pengujian hipotesis regresi kuantil ?

b. Bagaimana model analisis data curah hujan menggunakan pendekatan

regresi kuantil?

1.3 Batasan Masalah

Pembahasan pada tugas akhir ini, dibatasi pada beberapa hal berikut :

a. Statistik uji yang digunakan dalam pengujian hipotesis regresi kuantil

mengacu pada statistik uji Wald.

b. Estimasi parameter dilakukan pada kuantil atas menggunakan metode

interior point dan nilai bandwidth yang digunakan merupakan aturan dari

Hall dan Sheather (1988).

c. Studi kasus yang dilakukan mengenai data curah hujan dibatasi di wilayah

Kota Makassar dengan mempertimbangkan variabel independen Sea

Surface Temperature (SST) Niño 3.4.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

a. Mengkaji statistik uji yang digunakan pada pengujian hipotesis regresi

kuantil.

Universitas Hasanuddin

4

b. Mendapatkan model analisis data curah hujan menggunakan pendekatan

regresi kuantil.

1.5 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat penulisan dari penelitian tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

a. Memberikan wawasan tentang statistik uji pada pengujian hipotesis regresi

kuantil.

b. Menambah pemahaman mengenai penerapan model regresi kuantil

khususnya pada data curah hujan di Kota Makassar.