pemodelan matematika dan analisis …digilib.unila.ac.id/55203/3/skripsi tanpa bab...
Post on 25-Apr-2019
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN PADAPENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN PENGARUH
VAKSINASI
(Skripsi)
Oleh
Farida
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG
2018
ABSTRAK
PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN PADAPENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN PENGARUH
VAKSINASI
Oleh
Farida
Penelitian ini membahas analisis model matematika pada penyebaran penyakitcampak. Pada model ini digunakan sistem persamaan diferensial dengan peubahSusceptible, Infected, Recovered (SIR). Sebagai upaya pencegahan penyebaranpenyakit campak, vaksinasi akan ditambahkan ke dalam model tersebut. Modelyang diamati terdiri atas dua kasus berdasarkan titik kesetimbangannya denganmenggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Kemudian, diberikan simulasi untuk setiapkasus yang menggambarkan perilaku dan kestabilan di sekitar titikkesetimbangan.
Kata kunci : model SIR, campak, vaksinasi, sistem persamaan diferensial,kestabilan Routh-Hurwitz.
ABSTRACT
MATHEMATICAL MODELING AND STABILITY ANALYSIS ON THESPREAD OF MEASLES WITH THE INFLUENCE OF VACCINATION
By
Farida
This research discusses the analysis of mathematical models on the spread ofmeasles. In this model a system of differential equations is used with theSusceptible, Infected, Recovered (SIR) variable. In an effort to prevent the spreadof measles, vaccination will be added to the model. The model observed consistedof two cases based on equilibrium points using the Routh-Hurwitz criteria. Then,given a simulation for each case that describes the behavior and stability aroundthe equilibrium point.
Keywords: SIR model, measles, vaccination, system of differential equations,stability of Routh-Hurwitz.
PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN PADAPENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN PENGARUH
VAKSINASI
Oleh
FARIDA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai GelarSarjana Sains
Pada
Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2018
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Gunung Sugih Besar, pada tanggal 23 Juli 1997, sebagai
anak pertama dari tiga bersaudara, putri dari bapak Daud David dan ibu Endri
Astuti, serta kakak dari Junaidi dan Widya Sari.
Jenjang pendidikan diawali dari TK Aisyiyah Pugung Raharjo diselesaikan pada
tahun 2003. Kemudian, penulis melanjutkan pendidikan sekolah dasar di SD
Negeri 2 Pugung Raharjo diselesaikan pada tahun 2009. Sekolah menengah
pertama di SMP Negeri 1 Sekampung Udik diselesaikan pada tahun 2012, dan
sekolah menengah atas di SMA Negeri 1 Sekampung Udik diselesaikan pada
tahun 2015. Tahun 2015, penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan
Matematika FMIPA Unila melalui jalur SNMPTN (Seleksi Nasional Masuk
Perguruan Tinggi Negeri).
Pada tahun 2018, penulis melakukan Praktek Kerja Lapangan selama 40 hari di
PT. Kereta Api Indonesia (Persero) Divisi Regional IV Tanjung Karang.
Selanjutnya sebagai bentuk pengabdian kepada masyarakat, penulis telah
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32 hari di Tiyuh Karta Sari,
Kecamatan Tulang Bawang Udik, Kabupaten Tulang Bawang Barat.
Dengan megucapkan Alhamdulillah.
Puji dan syukur kepada Allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya
sebuah karya sederhana yang penuh perjuangan telah terselesaikan
ku persembahkan Skripsi ini untuk:
Kedua orang tuaku tercinta :Bapak Daud David & Ibu Endri Astuti
SertaAdik-adikku tercinta :Junaidi & Widya Sari
Terima kasih atas cinta dan kasih sayang yang telah diberikan.
Terima kasih atas doa, dukungan, dan semangat yang telah diberikan.
Terima kasih atas kesabaran yang telah diberikan.
Percayalah ini adalah sebuah titik awal perjuangan baktiku untuk kalian,
Karena kalianlah motivasi terbesar di hidupku.
KATA INSPIRASI
“Sesungguhnya hanya orang-orang yang bersabarlah Yang dicukupkan pahalamereka tanpa batas”.
(QS. Az-Zumar :10)
“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya”.
(QS. Al-Baqarah : 286)
”Barang siapa yang menempuh jalan untuk mencari suatu ilmu. Niscaya Allahmemudahkannya ke jalan menuju surga”.
(HR. Tirmidzi)
"Barang siapa menyusahkan (orang lain), niscaya Allah Menyusahkanurusannya kelak di hari Kiamat."
(HR. Bukhari)
“La Tahzan, Innallaha ma’ana”
(QS. At-Taubah : 40)
“Berdoa dan Berusaha”
(Farida)
SANWACANA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas ridho dan
hidayahNya, sehingga penulis memperoleh kesempatan untuk menyelesaikan
skripsi ini. Skripsi dengan judul “Pemodelan Matematika dan Analisis Kestabilan
pada Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi” adalah salah satu
syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sedalam-dalamnya
kepada:
1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing I yang telah dengan
sabar dan tulus membimbing, menyemangati, dan memotivasi penulis.
Semoga bapak selalu diberikan kesehatan.
2. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, kritik, dan saran yang membangun.
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Pembahas atas
kesediannya untuk menguji, dan dengan sabar memberikan kritik dan saran.
4. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Pembimbing Akademik atas bimbingan
dan pembelajarannya dalam menjalani perkuliahan.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA, Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas
Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung.
7. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung.
8. Teristimewa untuk kedua orang tuaku dan keluarga, bapak Daud David dan
Ibu Endri Astuti, terima kasih atas semangat, didikan, ajaran, kasih dan
sayang yang terus diberikan tanpa henti.
9. Rizal Adi Saputra yang selalu menjadi penyemangat dan pendengar setia
keluh kesah penulis.
10. Sahabat-sahabat tercinta, Yola, Putri, Asih, Ani dan Wardhani yang selalu
membantu dan menemani penulis dalam suka maupun duka.
11. Willma, Lita, Irmawati, Pipin, Muthia, Eka, Aulia, Yulia, Rini, Rina, Aura,
Luthfi, Moni, Siti, Friska, Agnes, Zola, Inda, Tia, Firman, Fatur, Dea, Erida,
Lutfi, Sari, Jhelin, Ajeng, Yunda Hizkia, Yunda Fara, Yunda Andan, dan
Yunda Novi, yang selalu membantu dan memberi nasihat kepada penulis.
12. Teman-teman Jurusan Matematika Angkatan 2015.
Akhir kata, semoga Allah senantiasa melimpahkan karunia-Nya dan membalas
kebaikan pada pihak-pihak yang membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini.
Bandar Lampung, 17 Desember 2018Penulis
Farida
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR TABEL
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ....................................................... 11.2 Tujuan Penelitian ........................................................................ 31.3 Manfaat Penelitian ...................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pemodelan Matematika ............................................................... 42.2 Model Epidemi SIR..................................................................... 62.3 Persamaan Diferensial................................................................. 72.4 Persamaan Diferensial Biasa....................................................... 72.5 Persamaan Diferensial Biasa Linier ............................................ 82.6 Persamaan Diferensia lBiasa Nonlinier ...................................... 82.7 Sistem Persamaan Diferensial..................................................... 92.8 Titik Kesetimbangan ................................................................... 92.9 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan ................................... 112.10 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz ............................................. 132.11 Metode Numerik ......................................................................... 142.12 Bilangan Reproduksi Dasar......................................................... 15
III. METODOOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tepat Penelitian ........................................................163.2 Metode Penelitian........................................................................16
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Campak .......................................................................................174.2 Asumsi-asumsi Model Mateatika SIR pada Penyebaran
Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi ..........................18
4.3 Model Matematika Penyebaran Penyakit Campak denganPengaru Vaksinasi .......................................................................19
4.4 Titik Kesetimbangan dari Model Matematika PenyebaranPenyakit Campak dengan Pengaruh Vaknasi.............................. 22
4.5 Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar ( ) .............................. 254.6 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan dari Model
Matematika Penyebaran Penyakit Campak dengan PengaruhVaksinasi ..................................................................................... 27
4.7 Simulasi Numerik........................................................................ 34
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan ................................................................................. 415.2 Saran............................................................................................ 42
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 4.1 Skema kompartemen populasi model SIR dengah PengaruhVaksinasi.................................................................................. 20
Gambar 4.2 Simulasi titik kesetimbangan bebas penyakit < 1.............. 36Gambar 4.3 Simulasi titik kesetimbangan bebas penyakit > 1.............. 37Gambar 4.4 Simulasi titik kesetimbangan endemik < 1 ........................ 38Gambar 4.5 Simulasi titik kesetimbangan endemik > 1 ........................ 39
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 41. Nilai Simulasi Parameter ............................................................. 35
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Kondisi umum kesehatan dipengaruhi oleh berbagai faktor yaitu lingkungan,
perilaku, dan pelayanan kesehatan. Dari faktor inilah muncul masalah kesehatan,
yaitu penyakit. Salah satunya ialah campak. Campak adalah infeksi virus yang
ditandai dengan munculnya ruam yaitu bintik-bintik merah di seluruh tubuh dan
sifatnya sangat menular. Campak merupakan penyakit menular yang sering
menyerang anak-anak. Tapi pada dasarnya semua orang bisa terinfeksi virus ini,
terutama yang belum pernah terkena campak atau yang belum mendapat vaksinasi
campak. Gejala campak mulai muncul sekitar satu hingga dua minggu setelah
virus masuk ke dalam tubuh, ditandai dengan gejala seperti demam, mata merah,
batuk flu, nyeri tenggorokan dan timbul bercak putih pada mulut dan tenggorokan
sebelum akhirnya timbul ruam pada tubuh.
Bagi penderita campak, virus campak ada di dalam percikan cairan yang
dikeluarkan saat mereka bersin dan batuk. Virus campak bisa bertahan di
permukaan selama beberapa jam dan bisa bertahan menempel pada benda-benda
lain. Virus campak akan menyebar, saat menghirup percikan cairan ini atau
menyentuh benda yang sudah terkontaminasi virus ini siapapun dapat tertular.
2
Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan khususnya di bidang matematika turut
memberikan peranan dalam memodelkan dan menganalisis suatu permasalahan.
Dengan menggunakan model matematika dapat menghasilkan suatu formulasi
masalah yang dihadapi. Model matematika adalah suatu usaha dalam
menguraikan beberapa bagian yang berhubungan dengan dunia nyata ke dalam
bentuk matematika. Penyebaran penyakit campak yang terjadi pada suatu populasi
dapat dimodelkan ke dalam bentuk matematis. Model matematika yang sering
digunakan untuk menganalisa penyebaran suatu penyakit adalah model SIR
(Susceptible Infected Recovered). Model epidemik membagi populasi menjadi
populasi Susceptible (individu yang rentan terinfeksi penyakit), populasi infected
(individu yang terinfeksi penyakit), dan populasi recovered (individu yang
sembuh dari penyakit).
Penelitian ini menggunakan metode dengan mengkaji secara deskriptif melalui
studi literatur untuk mempelajari hal-hal yang berkaitan model SIR. Vaksinasi
merupakan pemberian vaksin ke dalam tubuh seseorang untuk memberikan
kekebalan terhadap penyakit tersebut. Model yang akan terbentuk merupakan
suatu persamaan diferensial. Persamaan tersebut akan digunakan untuk mencari
titik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada model SIR pada penyebaran
penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi serta mengetahui simulasi numerik
dengan menggunakan program Matlab R2013b karena dapat menyelesaikan
masalah nonlinier dan menghasilkan pendekatan yang mendekati solusi
sebenarnya.
3
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini untuk mendapakan pemodelan dan menganalisis
kestabilannya serta simulasi numerik pada penyebaran penyakit campak dengan
pengaruh vaksinasi.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah untuk mengetahui model
matematika dan analisis kestabilannya serta simulasi numerik penyebaran
penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi dan menambah pengetahuan tentang
pemodelan penyebaran penyakit campak.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pemodelan Matematika
Model adalah suatu konsep atau objek yang digunakan untuk menggambarkan
suatu kenyataan untuk mendapatkan suatu bentuk yang dipahami. Model
matematika adalah suatu bentuk yang bagian-bagiannya mendapatkan konsep
matematika, seperti variabel, konstanta, fungsi, persamaan, pertidaksamaan, dan
sebagainya (Meyer,1985).
Pemodelan matematika merupakan proses dalam menurunkan model matematika
dari suatu fenomena berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini
merupakan langkah awal yang tak terpisahkan dalam menerapkan matematika
untuk mempelajari fenomena-fenomena alam, ekonomi, sosial maupun fenomena-
fenomena lainnya. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk
mempelajari suatu fenomena meliputi 3 langkah, yaitu:
1. Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah. Langkah ini
untuk menerjemahkan data maupun informasi yang diperoleh tentang suatu
fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Data maupun
informasi tentang suatu fenomena dapat diperoleh melalui eksperimen di
laboratorium, pengamatan di industri ataupun dalam kehidupan sehari-hari.
5
Dalam model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih
terukur (kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan
matematika maupun ekspresi matematika. Namun demikian karena asumsi-
asumsi yang digunakan dalam prosesnya, model matematika juga mempunyai
kelemahan-kelemahan dibandingkan dengan fenomena sebenarnya, yaitu
keterbatasan dalam generalisasi interpretasinya.
2. Pencarian solusi/kesimpulan matematika. Setelah model matematika
diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan menggunakan metode-
metode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum terdapat metode
matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan yang dihadapi.
Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan untuk
menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering
dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.
3. Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.
Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka maupun
grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak menjelaskan
permasalahan awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi penting untuk
mengerti arti dan implikasi solusi tersebut terhadap fenomena awal dari mana
masalahnya berasal (Cahyono, 2013).
6
2.2 Model Epidemi SIR
Model matematis epidemiologi SIR (Susceptible, Infected, Recovered) pertama
kali diperkenalkan oleh Kermack dan Mc Kendrick pada tahun 1927. Model
tersebut terdiri dari tiga kategori yaitu: susceptible (S) atau individu yang rentan
terserang penyakit, infected (I) atau individu yang terinfeksi dan dapat
menyebarkan penyakit tersebut kepada individu yang rentan dan recovered (R)
atau individu yang diasumsikan telah sembuh atau kekebalan tubuhnya telah
kembali normal sehingga kebal terhadap penyakit (Murray, 2002).
Model epidemi SIR diasumsikan sebagai berikut.
= −= −= ⎭⎪⎬⎪⎫ (2.1)
Dimana : = jumlah individu yang rentan dalam populasi pada waktu t
= jumlah individu yang terinfeksi dalam populasi pada waktu t
= jumlah individu yang sembuh dalam populasi pada waktu t
= laju kesembuhan dari infected menjadi recovered
= laju penularan penyakit dari susceptible menjadi infected
Model epidemiologi pada umumnya berfokus pada dinamika dari transisi atau
perpindahan karakter antara individu dengan individu, populasi dengan populasi,
komunitas dengan komunitas, daerah dengan daerah, bahkan negara dengan
negara (Fred and Carlos, 2000).
7
2.3 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang di
spesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya, dan diketahui
jumlah serta fungsinya (Birkhoff., dkk, 1978).
Contoh:
1. + = 02. + =3. + + = 0
2.4 Persamaan Diferensial Biasa
Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dinamakan persamaan
diferensial biasa (Munzir, 2009).
Contoh:
1.( ) = , ( ), ( )
2. = + sin( )3. + 5 = 64. = (1 − tan ) + cos
8
2.5 Persamaan Diferensial Biasa Linier
Suatu persamaan diferensial biasa , , , … , ( ) = 0 dikatakan linier jika F
merupakan suatu fungsi linier dari peubah , , … , . Secara umum persamaan
diferensial biasa linier ditulis sebagai ( ) ( ) + ( ) ( ) +…+ ( ) =( ), jadi linear disini adalah linear terhadap variabel tak bebas dan derivatif-
derivatifnya (Munzir, 2009).
Contoh :
1. + + 2 = 02. +2 + 4 − 6 = 23. + 4 − = cos2.6 Persamaan Diferensial Biasa Nonlinier
Suatu persamaan diferensial yang tidak memiliki bentuk ( ) ( ) +( ) ( ) + ………+ ( ) = ( ) dinamakan persamaan non linier.
Sebuah contoh persamaan diferensial non linier adalah
+ cos = 0yang merupakan persamaan diferensial non linier, karena F tak berbentuk
polinom dalam , , (Munzir, 2009).
9
2.7 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah persamaan
diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n merupakan
bilangan bulat positif lebih besar sama dengan dua. Antara persamaan diferensial
yang satu dengan yang lain saling berkaitan dan konsisten. Bentuk umum dari
suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut:
= ( , , , … , )= ( , , , … , )⋮= ( , , , … , ) ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ (2.2)
Dengan , , … , adalah variabel bebas dan t adalah variabel terikat, sehingga= ( ), = ( ), … , = ( ), dimana merupakan sebuah derivatif
fungsi terhadap t, dan adalah fungsi yang tergantung pada variabel, , … , dan t (Neuhauser, 2004).
2.8 Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan adalah sebuah keadaan dari suatu sistem yang tidak berubah
terhadap waktu. Jika sistem dinamika diuraikan dalam sebuah persamaan
differensial, maka titik kesetimbangan dapat diperoleh dengan mengambil turunan
pertama yang sama dengan nol.
10
Definisi 2.8.1 (Haberman, 1997) Titik ̅ ∈ disebut titik kesetimbangan
(equilibrium point) dari ̇ = ( ) jika memenuhi ( ̅) = 0, dimana
( ) = ( , , … , )( , , … , )⋮( , , … , )Misalkan diberikan suatu sistem persamaan differensial yang terbentuk
= ( , )= ( , ) (2.3)Sebuah titik ( , ) dapat dikatakan sebagai titik kesetimbangan dari sistem (2.3),
apabila dipenuhi syarat ( , ) = 0 dan ( , ) = 0. Karena turunan suatu
konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan ( ) = dan( ) = merupakan penyelesaian keseimbangan dari sistem (2.3) (Campbell
and Haberman, 2008).
Teorema 1 (Olsder et al., 2011) diberikan teorema mengenai kestabilan suatu
sistem nonlinier yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian.
1. Apabila semua bagian real nilai eigen matriks Jacobian dari suatu sistem
persamaan diferensial bernilai negatif, maka titik kesetimbangan dari sistem
tersebut stabil.
2. Jika terdapat satu nilai eigen matriks Jacobian dari sistem persamaan
diferensial bernilai positif, maka titik kesetimbangan dari sistem tersebut
tidak stabil.
11
2.9 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Kestabilan titik kesetimbangan merupakan kestabilan dari sistem linier atau
kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan pada titik kesetimbangan
ditentukan oleh tanda bagian real dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar
titik kesetimbangan.
Definisi 2. Jika J adalah matriks yang berukuran × maka vektor tak nol
dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi:= (2.4)Untuk suatu skalar yang memenuhi disebut nilai karakteristik matriks dan
dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .
Matriks Jacobi dinyatakan sebagai berikut :
= ( ̅) =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋯…⋮ ⋮ ⋱ ⋮⋯ ⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎤
Untuk mencari nilai karakteristik matriks yang berukuran × , maka dapat
dituliskan kembali persamaan = atau ekuivalen dengan ( − ) = 0,mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | − | = 0. Jika matriks= dan = 1 00 1 , maka dapat ditulis − − atau −( + ) + ( − ) = 0 (Derouich dan Boutayeb, 2008).
12
Tinjau sistem persamaan differensial non liear orde n, sebagai berikut= + ( , , … , ) (2.5)Dimana = 1, 2, … ,Langkah awal penyelesaian persamaan (2.5) yakni dengan mencari titik
kesetimbangan. Misalkan titik kesetimbangan yang diperoleh adalah( ̅ , ̅ , … , ̅ ), maka langkah selanjutnya mencari matriks Jacobinya.
Misalkan ( , , … , ) = + ( , , … , ), maka matriks Jacobinya
adalah
= ⎝⎜⎛ ⋯⋮ ⋱ ⋮⋯ ⎠⎟
⎞Selanjutnya subtitusi titik kesetimbangan pada matriks berikut,̇ = ( ̅ , ̅ ,…, ̅ )
(Anton, 1995).
Penentuan kestabilan titik kesetimbangan didapat dengan melihat nilai-nilai
eigennya, yaitu dengan = 1, 2, . . . , yang diperoleh dari:( − ) = 0Secara umum kestabilan suatu titik kesetimbangan mempunyai 2 prilaku, yaitu:
1. Stabil, jika
a. ( ) < 0 untuk setiap , atau
b. Terdapat ( ) = 0 untuk sebarang , dan ( ) < 0 untuk setiap≠ .
2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu sehingga ( ) > 0 (Tu,
1994).
13
2.10 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz merupakan suatu kriteria yang digunakan untuk
memperlihatkan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-
akarnya secara langsung. Jika suatu persamaan polinomial adalah persamaan
karakteristik, maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari
suatu sistem. Adapun prosedur dalam kriteria Routh-Hurwitz adalah :
1. Persamaan polinom orde ke- ditulis dalam bentuk − ++ … + + = 0,2. Jika terdapat koefisien bernilai 0 atau negatif, maka terdapat satu akar atau
akar-akar imajiner atau memiliki bagian real positif yang berarti sistem
tersebut tidak stabil.
3. Jika seluruh koefisien bernilai positif, maka dapat dibentuk suatu matriks
yang sering disebut array Routh sebagai berikut
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤ =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡⋮ℎ ⋮00
⋯⋯⋯⋯⋱……0⋮00 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(2.6)
Koefisien , ,… , dan , ,… , dapat ditentukan dengan formula-
formula berikut.= − ,
= − ,
= − ,
14
= − ,
= − ,
= − .
4. Jumlah akar yang tidak stabil dapat terlihat pada banyaknya perubahan tanda
dikolom pertama matriks (2.6).
5. Syarat perlu agar sistem dikatakan stabil adalah apabila koefisien dari
persamaan karakteristik bernilai positif, sedangkan syarat cukupnya adalah
apabila suku dari kolom pertama matriks (2.6) bernilai positif (Derouich dan
Boutayeb, 2008).
2.11 Metode Numerik
Metode numerik disebut juga sebagai alternatif dari metode analitik. Disebut
demikian karena sering kali persoalan matematika sulit diselesaikan atau bahkan
tidak dapat diselesaikan secara analitik. Solusi yang dihasilkan dari penyebaran
secara numerik merupakan solusi hampiran atau pendekatan yang mendekati
solusi eksak atau solusi sebenarnya. Hasil penyelesaian yang didapatkan dari
metode numerik dan metode analitik memiliki selisih, dimana selisih tersebut
dinamakan kesalahan (error) (Triatmodjo, 2002).
15
2.12 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar yang dinotasikan dengan merupakan parameter
yang dapat digunakan untuk melihat seberapa besar potensi penyebaran penyakit
dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar mempunyai nilai batas 1 (satu)
sehingga jika nilai kurang dari satu ( < 1), maka satu individu yang
terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu individu rentan sehingga penyakit
kemungkinan akan hilang dari populasi. Sebaliknya, jika lebih dari satu( > 1), maka individu yang terinfeksi penyakit akan menginfeksi lebih dari
satu individu yang rentan sehingga individu yang terinfeksi di dalam populasi
menyebar.
Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode Next Generation
Matrix. Dalam epidemiologi, Next Generation Matrix adalah metode yang
digunakan untuk mendapatkan angka reproduksi dasar, untuk model
kompartemen penyebaran penyakit. Matriks ini merupakan matriks yang
dikontruksi dari sub-sub populasi yang menyebabkan infeksi. Selanjutnya disusun
matriks dan dengan merupakan matriks dari laju individu baru terinfeksi
penyakit dan merupakan matriks laju perkembangan, kematian, atau
kesembuhan. Kemudian perhitungan bilangan reproduksi dasar ( ) berdasarkan
linearisasi dan di titik kesetimbangan bebas penyakit. Selanjutnya
didefinisikan F dan V adalah hasil masing-masing linearisasi dari dan .Sehingga diperoleh Next Generation Matrix yaitu = . Bilangan
reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari Next Generation Matrix
(Derouich dan Boutayeb, 2008).
16
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di Jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Adapun tahapan-tahapan dalam penelitian ini adalah:
1. Menentukan parameter laju perubahan individu pada subpopulasi SIR.
2. Mencari model matematika SIR untuk penyebaran penyakit campak dengan
pengaruh vaksinasi.
3. Menentukan titik kesetimbangan dari model penyebaran penyakit campak
dengan pengaruh vaksinasi.
4. Menganalisis kestabilan dari model penyebaran penyakit campak dengan
pengaruh vaksinasi.
5. Melakukan simulasi numerik dengan menggunakan Matlab R2013b untuk
melihat dinamika penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi.
6. Menginterpretasikan hasil dari solusi dinamik tersebut.
41
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan penelitian yang telah dilakukan maka dapat
disimpulkan bahwa :
1. Model matematika SIR pada penyebaran penyakit campak dengan pengaruh
vaksinasi yaitu :
= − − −= − − −= − −Karena populasi (susceptible) dan (infected) akan menuju (recovered)
dan jumlah populasi tidak konstan karena perbedaan antara jumlah kelahiran
dan kematian, sehingga pada populasi (recovered) dapat diganti dengan
jumlah populasi ( ), dengan demikian diperoleh sistem persamaan sebagai
berikut.
= − − −= − − −= − −
42
2. Diperoleh dua titik kestabilan dari model matematika pada penyebaran
penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi yaitu :
a. Titik kestabilan bebas penyakit yaitu ∗( ∗, ∗, ∗) = , 0, dengan
menggunakan kriteria Routh-Hurwitz titik kesetimbangan stabil.
b. Titik kestabilan endemik penyakit yaitu
∗( ∗, ∗, ∗) = , ( − 1) , ( )( )dengan
menggunakan kriteria Routh-Hurwitz titik kesetimbangan stabil.
5.2 Saran
Penulis menyarankan untuk penelitian selanjutnya dengan menambah asumsi
yang belum disebutkan pada penelitian ini, contohnya faktor imigran dan emigran.
1
DAFTAR PUSTAKA
A’maludin, H., Faruk, A., dan Cahyono, E. S. Analisis Kestabilan ModelEpidemik SIR untuk Penyakit Tuberkolosis, hlm. 207-213. ProsidingSEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang.
Anton H., 1995. Aljabar Linear Elementer Edisi ke 5, Terjemahan Pantur Silabandan I nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.
Awaluddin, M., Affandi, P., dan Faisal. 2018. Model Epidemiologi SIR denganVaksinasi dan Pengobatan. Jurnal Matriks. 1:61-70.
Birkhoff, G., dkk. 1978. Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons,New York.
Cahyono. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Bandung.
Campbell, S, L., and Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equationswith Dynamical System. Princeton University Press, New Jersey.
Derouich, M. and Boutayeb, A. 2008. An Avian Mathematical Model. AppliedMathematical Science. 36(2): 1749-1760.
Fred B., and Carlos Chavez C., 2000. Mathematical Models in Population Biologyand Epidemiology. Spinger-Vancouver, Canada.
Haberman R. 1997. Mathematical Models An Introduction to AppliedMathematics. Prentice-Hall, Inc.,1987.
Meyer, W.J. 1985. Concep of Mathematical Modeling. Mgraw-Hill BookCompany, New York.
2
Munzir, M. 2009. Persamaan Diferensial. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Murray, J. D. 2002. Mathematical Biologi An Introduction. Third edition.Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg.
Neuhauser, C. 2004. Calculus for Biology and Medicine. Pearson Education,New Jersey.
Olsder, G. J., et al. 2011. Mathematical System Theory. 4 Edition. VVSD,Netherland.
Triatmodjo. 2002. Metode Numerik. Beta Offset, Yogyakarta.
Tu, PNV., 1994. Dynamical System An Introduction with Applications inEconomics and Biology. Springer Verlag, New York.
top related