optimasi dengan satu variabel bebas

OPTIMASI DENGAN SATU VARIABEL BEBASOPTIMASI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS

PENGERTIAN• Teori optimasi adalah

teori-teori yang berhubungan dengan nilai maksimum dan nilai minimum.

• Kaidah yang digunakan:bila f(x)” > 0 (minimum)bila f(x)” < 0 (maksimum)

CONTOH :• Fungsi Y = X2 – 10X + 5,

tentukan kondisi maksimum atau minimum?

Jawab:Harga ektrim dy/dx = 2X-10, bila dy/dx = 0maka X = 5, dan Y = 0Keadaan fungsidy2/dx2 = 2 (minimum)

APLIKASI EKONOMI• Bila fungsi permintaan sepeda

gunung adalah P = 50-2Qa. Tunjukkan apa fungsi tsb mak/minimum, berapa nilai penjualan sepeda tsb?b. Gambarkan keaadan tsbdgn kurva?jawaba. TR = P.Q ----- 50Q-2Q2

dTR/dQ = 50 - 4Q -- dTR2 /dQ2

= -4 (maksimum)nilai Q adalah 12,5, maka TR = 312,5 juta

• b. Gambar

CONTOH :2. Bila fungsi produksi suatu

perusahaan yang menggunakan input produksi Q digambarkan oleh fungsi TP = 1/3Q3 - 5Q2 + 16Q + 40a. Tentukan apakah produksi tsb mak/min, dan berapa nilai produksi TP dan input Qb. gambarkan grafiknyajawab:dTP/dQ = Q2 – 10Q + 16 - dTP2 /dQ2 = 2Q -10 makaQ1 = 2 ; Q2 = 8 --- bila Q = 2 maka dTP2 /dQ2 = -6 (maks)

bila Q = 8 maka dTP2 /dQ2 = 6 (min)TP (2) maka 54,67TP (8) maka 18,67

GAMBAR :

CONTOH :

3. Fungsi permintaan mobil di Lahat P = 50 -2Q, TC = 40 + 20Qa. Hitunglah nilai penjualan mobil, dan output tsb pada posisi keuntunganb. Tunjukkan apakah pada saat keuntungan mak/minc. Gambarkan grafiknyaJawab:a. TR = 50Q-2Q2 ---- Π = -2Q2

+ 30Q – 40d Π /dQ = 30-4Qb-- d Π2

/dQ2 = -4 (mak)bila d Π /dQ =0 - Q = 7,5

maka Π = 72,5b. TRmak = 312,5 dan Q = 12,5

Π = 22,50jadi TRmak ≠TR profit mak atau Pmak < P

profit mak

GAMBAR :

LATIHAN DI RUMAH :

1. Bila diketahui biaya total adalah 100.000Q-400Q2+Q3

a. tunjukkan biaya rata-rata dan biaya marginal

b. tunjukkan apakah biaya rata-rata bersifat mak/min, berpa output dan biaya rata-rata tsb?

c. Gambarkan

2. Bila fungsi permintaan pasar adalah 150-4Q, biaya marginal sebesar 30, dan biaya rerata sebesar 30

a. tentukan harga dan kuantitas keseimbangan

b. berapa keuntungan maksimum produsen

c. Gambarkan grafiknya?

PENGARUH PAJAK PADA MONOPOLI

Pajak yang dikenakan sebesar t unit AC sebesar t & TC sebesar tx. Harga & jumlah keseimbangan baru yang dicapai dengan maksimisasi profit, menggunakan fungsi biaya: TC = Q + tx, sehingga:

Π = TR – TC = TR – (Q + tx) = TR – Q – tx

Π = (P.Q) - (Q + tx)

Untuk mencapai laba maks, dibutuhkan:

dTR/dQ = dTC/dQ dan d2TR/d2Q < d2TC/d2Q

Jika t yang dikenakan pajak penjualan yang didasarkan pada harga yang ditetapkan pada konsumen yaitu t = r.p, di mana r biasanya dalam bentuk persentase. Sehingga persamaan profit dapat dinyatakan sebagai berikut: misal p adalah harga sebelum pajak dan p1 harga sesudah ada pajak sehingga p1 = p(1 + r), sehingga:

Π = TR –TC = (P.x) – TC = (P1.Q)/(1 + r) - TC

CONTOH SOAL 1. Bila diket: P = 10 – 3Q dan AC = 3, terhadapbarang ini dikenakan pajak sebesar satu per

unit.Hitung Q dan P yang menghasilkan profitmaksimum?

Fungsi D : P = 10 – 3Q dan AC = 3 + 1 = 4, maka:

TR = P.Q = (10 – 3Q)Q = 10Q – 3Q2

TC = AC.Q = 4Q,

sehinga:

Π = TR – TC = (10Q – 3Q2) – 4Q = 10Q –3Q2 – 4Q = 6Q – 3Q2 dΠ /dQ = 6 – 6Q = 0 6Q = 6 dan Q = 1

d2Π /d2Q = – 6 < 0 maksimum

Π maks akan dicapai pada saat Q = 1 dan besarnya Π = 6(1) – 3(1)2 = 3 Saat Q = 1, maka P = 10 – 3Q = 10 – 3(1) = 7

2. Jika terhadap barang dikenakan pajak sebesar

t per unit, maka tentukanlah besarnya pajak

yang memberikan penerimaan pemerintah yang

maksimal?

Bila pajak sebesar t, maka AC = 3 + t dan

TC = AC.Q = (3 + t).Q

TC = (3 + t)Q dan TR = 10Q – 3Q2

sehingga:

Π = TR – TC = 10Q – 3Q2 – ((3 + t).Q) = 10Q – 3Q2 – (3Q + tQ)

Π = 7Q – 3Q2 – tQ = (7 – t)Q – 3Q2 dΠ/dQ = (7 – t)- 6Q =

0

Karena: TC = (3 + t)Q dan TR = 10Q – 3Q2 , sehingga: Π = TR – TC = 10Q – 3Q2 – ((3 + t).Q) = 10Q – 3Q2 – (3Q + tQ) Π = 7Q – 3Q2 – tQ = (7 – t)Q – 3Q2 dΠ/dQ = (7 – t) - 6Q = 0 (7 – t) = 6Q Q = (7 – t)/6

d2Π/d2Q = -6 < 0 maksimum

Jadi, profit akan maksimum pada saat Q =(7 – t)/6 dan P = 10 - 3Q

P = 10 – 3((7 - t)/6) = 60 – (21 - 3t)/6 = (60 – 21+3t)/6 = (39 + 3t)/6 = (13 + t)/2

Πmax = (7 – t)Q – 3Q2 = (7 – t).(7 – t)/6 – 3((7 – t)/6)2 = (7 – t)2/6 –3(7 – t)2/36

= (7 – t)2/6 –3(7 – t)2/36 = (7 – t)2/6 – (7 – t)2/12

= (2(7 – t)2 – (7 – t)2)/12 = (7 – t)2/12

T = t.Q = t.(7 – t)/6 = (7t – t2)/6 dT/dt = (7 – 2t)/6 = 0, sehingga: (7 – 2t) = 6 . (0) 7 – 2t = 0 7 = 2t ; t = 7/2 d2T/d2t = -2/6 = -1/3 < 0 maks

Dengan t = 7/2, Q = (7 – t)/6 = (7 – (7/2))/6 = ((14 –7)/2)/6 = (7/2)/6 = 7/12

P = (13 + t)/2 = (13 + (7/2))/2 = ((26 + 7)/2)/2 = (33/2)/2 = 33/4

T = t.Q = (7t – t2)/6 = (7.(7/2) – (7/2)2)/6 = (49/2 – 49/4)/6 = ((98 – 49)/4)/6 = 49/24