modul / buku siswa matematika kelas x · pdf filemenemukan sifat-sifat bilangan berpangkat...
Post on 14-Feb-2018
443 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MODUL / BUKU SISWA
MATEMATIKA
KELAS X
Oleh:
Maya Kurniawati,S.Pd
SMA NEGERI 1 SUMBER
BAB 1
BENTUK PANGKAT (EKSPONEN), AKAR DAN LOGARITMA
Standar Kompetensi:
1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar:
1.1. Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.
1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan
logaritma.
A. Bilangan Berpangkat (Eksponen)
Kalian tentu masih ingat materi di kelas IX tentang perkalian berulang.
Uji Materi Prasyarat
Ingat!!
4222 2 644444 3
9333 2 ....................2 4
Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Hitunglah:
a) 51 = …
b) 32 = …
2. Jika ,2p 3q , dan 1r , hitunglah:
a) rp22
b) qrp2
3. Sederhanakan:
a) 40
b) 256 4. Hitunglah:
a) 71072
b) 71072 5. Hitunglah:
a) 125log3
b) 64log2
Jika anda telah berhasil menyelesaikan latihan diatas dengan baik, maka anda akan
lebih mudah memahami materi selanjutnya.
1. Pangkat Bulat Positif
a. Pengertian Pangkat Bulat Positif
Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka na (dibaca "a pangkat n") adalah hasil
kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum
dinyatakan dalam bentuk
dengan:
a = bilangan pokok (basis)
n = pangkat atau eksponen na = bilangan berpangkat
Contoh Soal
Tentukan nilai pemangkatan berikut.
a. 43 3 3 3 3 81 d. 5
1 1 1 1 1 1 1
b. 3
2 2 2 2 8
3 3 3 3 27
e.
34 4w w w w
c. 3 34 4 4 4 64w w w w w
b. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Untuk menemukan sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif, lakukanlah kegiatan berikut:
LEMBAR KEGIATAN SISWA
Menemukan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Lakukan kegiatan berikut secara berpasangan, untuk menyelidiki sifat perkalian, pembagian,
pangkat perkalian, pangkat bentuk pecahan, dan pangkat bilangan berpangkat. Kemudian
kemukakan hasilnya di depan kelas.
1. Bagaimana sifat perkalian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah 35 aa
Tulis 5a dan 3a sebagai perkalian berulang!
......................5 a dan ..................3 a
aaaaaaa ......35
aaaaaa ...35 … (1)
Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (1). Kemudian, tulislah ruas kanan
dalam bentuk na . Jadi, .....35 aaa
Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a
sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.
aaaaaaa nm ......
= ............. aaaaa
Jadi, ......... aaa nm
2. Bagaiman sifat pembagian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah ,3
7
a
adengan
0a
aaaaan ...
Sebanyak n faktor
….. faktor ... faktor
(….+….) faktor
….. faktor ... faktor
Tulis 5a dan 3a sebagai perkalian berulang!
aaa
aaaaaa
aa
aaa
a
a
....
...
...3
7
…. (2)
Sederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dalam ruas kanan persamaan
(2), hitung banyak faktor a yang tersisa dalam bentuk na
Jadi, ................
3
7
aaa
a
Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, lakukanlah perkalian berikut dengan
a sebarang bilangan real, 0a dan m, n bilangan bulat dengan nm .
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
a
an
m
...
.......
...
... …. (2)
.................. aaaa
Jadi, nmaa
an
m
,..........
3. Bagaiman sifat pemangkatan perkalian? Untuk mengetahuinya, hitunglah 5ab .
Tulis 5ab sebagai perkalian berulang.
abababab ....5
Kumpulkan faktor a dan factor b dalam ruas kanan secara tersendiri
bbbaaaab ......5
….(3)
Hitung masing-masing banyak faktor a dan banyak faktor b dalam ruas kanan persamaan (3).
Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk na dan nb
.............5baab
Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a
sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.
babababan
...
................. babbbaaa
Jadi, .......... baban
4. Bagaimana sifat pemangkatan bentuk pecahan? Untuk mengetahuinya, hitunglah 5
b
a, untuk
.0b
…..faktor
…..faktor
…..faktor …..faktor …..faktor
…..faktor
…..faktor …..faktor
…..faktor …..faktor …..faktor
(…. - ….) faktor
…..faktor …..faktor
…..faktor
Tulis 5
b
asebagai perkalian berulang.
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
...
5
…..(4)
Hitung masing-masing banyak factor a pada pembilang dan banyak faktor b pada penyebut
dalam persamaan (4). Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk na dan nb .
.....
.....5
b
a
b
a
Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan perkalian berikut dengan a
sebarang bilangan real, 0b , dan n bilangan bulat.
.....
.....
...
......
b
a
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
b
an
Jadi, .....
.....
b
a
b
an
, 0b .
5. Bagaimana sifat pemangkatan bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah .52a
Tulis 52a sebagai perkalian berulang
22252 ... aaaa
aa ... ….(5)
Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (5). Kemudian, tulislah dalam
bentuk na . Jadi, .....52 .aa .
Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a
sebarang bilangan real dan m, n bilangan bulat.
mmmnm aaaa ...
aaaaaa ............
................. aaaa
Jadi, ........... aanm
Contoh Soal;
Tentukan operasi dari bilangan berikut.
a. 243 xx c. 3232 qp
…..faktor
…..faktor
…..faktor
…..faktor
.......... faktor
…..faktor
…..faktor …..faktor …..faktor
…..faktor
…..faktor
…..faktor
b. 0,3
4
5
xx
xx d. 0,
332
y
b
a
Penyelesaian:
a. 6242424 3333 xxxxxx sifat 1
b. 246
4
6
4
51
4
51
4
5
333333
xxx
x
x
x
x
xx
x
xx
sifat 1 dan 2
c. 32333323 22 qpqp sifat 3
693233 88 qpqp sifat 5
b
a
b
a
b
a
b
a 63233232 27333
sifat 4, sifat 3, dan sifat 5
2. Pangkat Bulat Nol
LEMBAR KEGIATAN SISWA
Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol
Lakukan tugas berikut secara perorangan. Kemudian, presentasikan di depan kelas.
Perhatikan sifat nm
n
m
aa
a untuk 0a . Sifat tersebut berlaku untuk nm . Jika diambil nm ,
apa yang Anda peroleh? Substitusikan nm pada kedua ruas persamaan tersebut (ganti m dengan
n). Misalnya kita ganti 3 nm , sehingga:
............
3
3 a
a
a ...(1)
Tulis 3a sebagai perkalian berulang
............
...............
...............
a …(2)
Sederhanakan kedua ruas. ........... a …(3)
Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 diatas untuk nilai m dan n lainnya dengan nm .
Perhatikan persamaan (3) yang Anda peroleh.
Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?
Jadi, ............a
Atau untuk menemukan nilai dari 0a bisa diperoleh dengan menemukan pola pangkat dari contoh
berikut. Isilah titik-titik berikut kemudian perhatikan pola pangkatnya:
162 4
82 3
.....2 2
.....2 1
.....2 0
Pada ruas kiri kebawah, pangkatnya ……………………………, dan pada ruas kanan kebawah
hasilnya selalu dibagi …..
Dari pola tersebut , 2� = ⋯
Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?
dibagi …..
dibagi …..
dibagi …..
dibagi …..
Jika a bilangan real, 0a , dan n = 0, maka 10 a
Nah, bagaimana jika 0a ? Maka berapa nilai 00 ?
Dari sifat pembagian bilangan berpangkat yang sudah kita pelajari sebelumnya bahwa nm
n
m
aa
a .
Jika 0a dan nm, kita ganti sebarang bilangan misalnya 3 nm maka kita peroleh:
............
3
3
00
0 ...(1)
Tulis 30 sebagai perkalian berulang
............0...............
...............
…(2)
Sederhanakan kedua ruas. Ingat bahwa iterdefinistak0
0.
3. Pangkat Bulat Negatif
Anda telah memahami definisi bilangan berpangkat bulat positif dan nol. Bagaimana dengan definisi
bilangan berpangkat bulat negatit? Untuk memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut.
LEBAR KEGIATAN SISWA
Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol
Lakukan kegiatan ini secara perseorangan. Kemudian, presentasikan hasilnya di depan kelas.
1. Perhatikan sifat pembagian bilangan berpangkat nm
n
m
aa
a untuk 0a dan nm .
2. Sifat pada langkah 1 hanya berlaku untuk nm . Jika ditetapkan bilangan m dan n dengan nm ,
misalnya 5m dan 7n maka sifat pada Langkah 1 memberikan:
................
7
5
aaa
a …(1)
3. Sekarang, hitunglah 7
5
a
a dengan menyatakan 5a dan 7a dalam perkalian berulang a.
aaa
aaa
a
a
...
...7
5
Sederhanakan factor yang sama pada pembilang dan penyebut di ruas kanan dan tulis hasilnya.
.....7
5 1
aa
a sifat …(2)
4. Ruas kiri persamaan (1) dan (2) adalah sama sehingga Anda dapat menyamakan ruas kanannya
dan diperoleh .....
..... 1
aa …(3)
5. Ulangi langkah 2 sampai dengan langkah 4 untuk nilai m dan n lainnya dengan nm . Perhatikan
persamaan (3) yang Anda peroleh.
Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat negatif?
Jika a bilangan real, 0a , dan n bilangan bulat positif, maka n
n
aa
1
ataun
na
a
1
…..faktor
…..faktor
......0.........................
Contoh Soal
Nyatakan bilangan berpangkat bulat negative berikut ke bilangan berpangkat bulat positif. Kemudian,
tentukan hasil pemangkatannya.
a. 52
b.
34
1
Penyelesaian:
a. 32
1
32
1
22222
12
5
b. 6444444
1 3
3
Uji Kompetensi 1.1
Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda!
1. Tulislah dalam notasi bilangan berpangkat
a. pp 555 b. aaa 222
2. Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat
a. 33b
b. 33 yx
c. 42q
3. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.
a. 0,0,452 yxxy d. 0,0,
325 baba
b. 0,2
3
8
yy
y e. yxyxxy 33 42
c. 0,0,2
4
28
qpqp
qp
4. Hitunglah nilainya, jika 5x dan 3y
a. 223 x c. 1 yx
b. b
a 2
d. 224 qp
5. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.
a. 2321
3422
2
3
rqp
rqp b.
31
2321
4
2
cb
cba
6. Nyatakan dalam pecahan sederhana
a. 11
22
ba
ba b.
1
11
1
yx
x
Soal aplikasi
7. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan persamaan
3
1
21
11R
RRR
Tentukan R jika 75,01R , 50,02R dan 60,03R
8. Energy diam E sebuah proton dengan massa diam m dinyatakan dengan persamaan Einstein 2cmE , dengan c = kecepatan cahaya. Tentukan E jika kgm 27107,1 dan
ikmc det/100,3 8 . Nyatakan jawaban Anda dalam notasi ilmiah.
9. Satu atomic mass unit (amu) sama dengan kg271066,1 . Berapakah massa 15.000.000 atom
karbon (dalam kg) jika massa 1 atom karbon sama dengan 12,0 amu?
10. Massa bumi kira-kira kg241098,5 dan volumenya kira-kira 3211008,1 m . Gunakan notasi ilmiah
untuk menghitung massa jenis rata-rata bumi.
11.
1222
12
1
xyx
xyyy
12. Jika 1rqp , hitunglah nilai dari
111 1
1
1
1
1
1
prrqqp
13. Jika 2a dan 3b maka nilai dari
11
11
1
ab
adalah …
B. Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
1. Konsep Bilangan Irasional
Sebelum kita mendiskusikan apa itu bilangan irasional, perlu diingat kembali definisi dari bilangan
rasional. Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang ataupun pecahan
biasa (q
pdengan Rqp , dan 0q ) disebut bilangan rasional. Sedangkan bilangan irasional
adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang atau pecahan
biasa.
Contoh bilangan rasional:
a. ...171717,099
17
b. ...000,39
c. 4
d. ...66666,19
15
Contoh bilangan irasional:
a. ...414213,12
b. ...6457,27
c. ...718281,2e
d. ...141592,3
Buktikan bahwa 2 bukan bilangan rasional
Bukti:
Misalkan q
p2 …(1)
========= GOOD LUCK =========
Dimana p dan q tidak mempunyai factor yang sama kecuali 1. Dengan mengkuadratkan kedua
ruas pada persamaan (1) diperoleh:
2
2
2q
p atau
22 2qp …(2)
Karena 22 2qp maka
2p bilangan genap dan p juga genap.
Andaikan rp 2 , dimana r bilangan bulat dan disubtitusikan ke persamaan (2) maka:
22 24 qr
222 qr …(3)
Karena 22 2 rq maka q bilangan genap
Jika p dan q bilangan genap maka memiliki factor perkalian yang sama yaitu 2. Hal ini
bertentangan dengan pemisalan, jadi 2 bukan bilangan rasional.
Nyatakan pecahan decimal 3,242424… dalam q
p; p dan q bilangan bulat
Jawab:
Misalkan ...242424,3x kalikan 100 pada kedua ruas
...2424,324100 x _
32199 x
Maka .99
321x atau
33
107
2. Bentuk Akar
a. Pemahaman Definisi Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Contoh:
1) ...414213,12 ( 2 merupakan bil rasional, namun 1,414213… bilangan irasional)
2) ...6457,27 ( 7 merupakan bil rasional, namun 2,6457… bilangan irasional)
3) 9 bukan bentuk akar sebab 39 (bil rasional)
4) 25,0 bukan bentuk akar sebab 5,025,0 (bil rasional)
Bentuk umum bentuk akar ditulis:
n a
dengan: n a disebut bentuk akar (radikal)
disebut lambing bentuk akar
n disebut indeks (pangkat akar)
a disebut radikan (bilangan dibawah tanda akar) dengan a bilangan riil positif untuk n
bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.
b. Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional
Definisi Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional Untuk mempelajari definisi sifat-sifat pecahan pelajarilah uraian berikut. Misalkan:
a22
22
22 a
a222 a21 22
a21
2
1a
Jadi, 2
1
22
Uraian tersebut menggambarkan definisi bilangan berpangkat pecahan sebagai berikut.
Jika 0a , m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli), maka
n mn
m
aa atau n
mn m aa
Catatan: a boleh diganti negative jika n bilangan ganjil, sebagai contoh:
111 3 33
2232 5 55
Akan tetapi untuk n bilangan genap diperoleh
112 tak terdefinisi untuk bilangan real
Sifat-sifat Bilangan Pangkat Pecahan Sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku bagi bilangan berpangkat pecahan.
1) nmnm aaa
2) nmnm aaa
3) nmnm aa
4) mmmbaba
5) m
mm
b
a
b
a
, untuk 0b
6) 10 a , untuk 0a
7) m
m
aa
1 , untuk 0a
8) nn aa 1
, untuk Ra , 2n , dan n bilangan asli
9) n mmnn
m
aaa , untuk Ran , m bilangan bulat, 2n , dan n bilangan asli
Contoh
Tentukan nilai dari:
a) 3
1
27 d) 3
2
2
11
825
b) 3
4
3
2
aa e) 4
1
2
12
164
c) 3
2
64
f) 2
1333 321
Penyelesaian:
a) 33327 13
133
1
b) 23
6
3
4
3
2
3
4
3
2
aaaaa
c) 16
1
2
12264
4
43
263
2
d) 50041252525825 233
232
323
2
2
11
e) 342322222164 154
142
524
1
2
12
f) 332212781321321321 2 32 32 32
3
2
3
2
3
2
1333
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut.
1) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat rasional:
a) 3 2ab c) 3x
b) 64xy d) 4 6816 yx
2) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk akar:
a) 3
2
5
c) 4
1
43
2
ba
b) 3
1
22 qp d) 2
12 8
x
3) Tentukan hasil operasi dari:
a)
2
5
2
13
1
3
2
425
10827
b) 2
5
4
3
3
1
3
2781125
4) Jika x = 25 dan y = 64, tentukan nilai dari
2
1
3
1
3 22
3
xy
yx
5) Tentukan bentuk sederhana dari:
a) 5 3 4416
b) 444 04,0625
1255
5
1
c. Jenis-Jenis Bentuk Akar
Bentuk akar terdiri atas 2 jenis:
1) Akar senama
Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.
Contoh:
a) 5,3,2 mempunyai indeks 2
b) 333 11,10,5 mempunyai indeks 3
2) Akar sejenis
Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama.
Contoh: 333 25,22,2 mempunyai indeks 3, radikannya 2
d. Sifat-Sifat Bentuk Akar
1) 0;2 aaa
2) 0; ababa dan 0b
3) 0; ab
a
b
a dan 0b
4)
ganjilnjikaa
genapnjikaaa
nn
,
,
5) nnn abba
6) nn
n
b
a
b
a
7) mnm n aa
Contoh:
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakan bentuk akar berikut.
1) 54 4) 25
2
2) 72 5) 3 128
3) 81
Penyelesaian:
1) 63696954
2) 2623623672
3) 999981 2
4) 5
2
25
2
25
2
5) 33333 24264264128
e. Menyederhanakan Bentuk Akar
Syarat-syarat yang harus dipenuhi agar bentuk akar dikatakan paling sederhana .
1) Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu, contohnya
0, xx bentuk paling sederhana
5x dan 2x bukan bentuk sederhana
2) Tidak ada bentuk akar pada penyebut, contohnya
x
1 bukan bentuk sederhana
x
x bentuk sederhana
3) Tidak mengandung pecahan, contohnya
2
5 bukan bentuk sederhana
2
10 bentuk sederhana
Contoh:
Sederhanakan bentuk akar berikut!
a) 12 c) ;539
x dengan 053 x
b) ;48 134 yx dengan 0y
Penyelesaian:
a) 32343412
b) 1124134 31648 yyxyx
yyxyyx 34316 62124 karena 262124 416 yxyx
c) 189535353 xxx
5353535348
xxxx karena 2485353 xx
f. Operasi Aljabar Bentuk Akar
1) Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Ingat kembali !! Operasi aljabar dan sSuku-suku sejenis di kelas VIII
Contoh:
aaaa 52323
bbbb 34747
ba 35 tidak dapat dijumlahkan
Begitu pula pada penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, variable pada bentuk akar dapat
dijumlahkan atau dikurangkan jika sejenis.
Jika Rqp , dan 0a , maka
aqpaqap
aqpaqap
Misal:
2352 tidak dapat dijumlahkan
56512755257
2) Perkalian Bentuk Akar
Berdasarkan sifat bentuk akar baba maka,
Untuk Rqp , dan 0a dan 0b , berlaku:
abpqbqap
Misal
61532533523
5451651680108108
3) Pembagian Bentuk Akar
Untuk Rba , dan 0a dan 0b , berlaku: b
a
b
a
Misal
36
18
6
18
24222242242825
40
3
6
53
406
Contoh:
Selesaikan operasi aljabar berikut
a) 833225 b) 5325334
Penyelesaian:
a) 24321625833225
2232425
262425
232645
b) 53253532345325334
55332535343234
553356534338
5315615438
152915156424
g. Merasionalkan Penyebut
1) Merasionalkan Penyebut ;b
a0b
Untuk merasionalkan penyebut dalam pecahan b
a, pecahan tersebut harus anda kalikan
dengan b
b. Dengan demikian, proses merasionalkan penyebut dalam pecahan
b
a adalah
b
a= b
b
a
b
b
b
a
b
a
Contoh
Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya
a) 10
6 b) 0;
35
4x
x
Penyelesaian:
a) 105
310
10
6
10
106
10
10
10
6
10
6
b) xxx
x
x
x
xx3
15
4
35
34
3
3
35
4
35
4
Tugas
1) Sederhanakan perkalian berikut
a) 22 xx c) yxyx
b) 55 xx d) yxyx
2) Pola apakah yang anda temukan dari hasil pada langkah 1 diatas? Dengan melihat pola
tsb, dapatkah anda menyederhanakan bentuk berikut?
a) .... baba c) baba
b) .... baba d) baba
3) Rasionalkan penyebut dari 7
2
x dengan melakukan perkalian berikut:
....7
7
7
2
x
x
x
4) Rasionalkan penyebut dari pecahan 5
2
x
5) Dari hasil pada langkah 3 dan langkah 4, jelaskan bagaimana merasionalkan penyebut
yang melibatkan bentuk akar berikut:
ba
c
ba
c
ba
c
ba
c
;;;
2) Merasionalkan Penyebut bentuk ba
c
atau
ba
c
Dari tugas diatas, dengan menggunakan sifat perkalian 22 bababa atau
22 bababa selalu menghasilkan bilangan rasional. Bentuk ba merupakan
kawan dari ba begitu juga sebaliknya.
babababa 222 dan
babababa 22
Berdasarkan dua hal diatas maka untuk merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa
jumlah atau selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang maupun
penyebut dari pecahan tersebut dengan pasangan bentuk sekawannya seperti yang telah
dikerjakan pada tugas 1.3 langkah 5:
ba
bac
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
222
ba
bac
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
222
ba
bac
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
22
ba
bac
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
22
Contoh
1) Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya
a) 64
10
b)
105
6
2) Jika 32
32
p dan
32
32
q , hitunglah operasi berikut
a) qp b) qp c) qp d) q
p
Penyelesaian:
1) a) Pasangan sekawan dari 64 adalah 64 , sehingga untuk merasionalkan
penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan 64
64
64
64
64
10
64
10
10
6410
616
6410
64
641022
64
b) Pasangan sekawan dari 1015 adalah 1015 , sehingga untuk
merasionalkan penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan 1015
1015
.
1015
1015
1015
6
1015
6
1015
6090
1015
1015622
5
154109
1015
154109
155
210
5
3
5
152103
2) a) 32
32
32
32
qp
3232
32323232
22
22
32
3232
b)
34
33443344
qp
141
14
c)
3232
32323232
32
32
32
32
qp
34
33443344
32
323222
22
381
38
1
347347
d) 132
32
32
32
qp
e) 32
32
32
32
32
32
32
32
q
p
347
347
3344
3344
32
322
2
347
347
347
347
356971
35697
4849
4835649
347
34722
2
h. Menyederhanakan Bentuk ba 2 dengan 02 ba
Bentuk ba 2 dapat diubah menjadi bentuk lain yang sederhana misalnya qp atau
qp . Untuk lebih jelasnya pelajari contoh berikut.
Contoh
Sederhanakan bentuk akar berikut
a) 826 b) 245
Penyelesaian:
a) Misalkan, 826 x dengan 0x . Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
8262 x
2242424224
22
2242422424
22 24 x sehingga 24 x karena 222 2 bababa
Jadi, 2224826
b) Misalkan, 245 x dengan 0x . Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
2452 x
645
23223625
222 2232322323 x
223 sehingga 23 x
Jadi, 23625245
Tugas
Lakukan tugas ini dengan teman sebangku. Kemukakan hasilnya di depan kelas
1) Perhatikan hasil penyederhanaan bentuk akar ba 2 dengan 02 ba yang
anda peroleh pada contoh diatas:
24826 …(*)
23625 …(**)
2) Perhatikan kesamaan (*). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut dengan
tanda operasi ,,, agar diperoleh pernyataan yang benar?
4 ….. 2 = 6
4 ….. 2 = 8
Sekarang perhatikan kesamaan (**). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut
dengan tanda operasi ,,, agar diperoleh pernyataan yang benar?
3 ….. 2 = 5
3 ….. 2 = 6
Dengan mengamati kesamaan (*) dan kesamaan (**) dengan saksama dan hasil pada
langkah 2. Dapatkah anda menyatakan rumus untuk menyederhanakan bentuk
ba 2 ke dalam bentuk jumlah atau selisih dari dua bentuk akar?
Kesimpulan:
Untuk 02 ba , berlaku qpba 2 ; dengan 0 qp jika dan
hanya jika aqp dan bqp
Latihan
1. Sederhanakanlah
a) 2102426 c) 12520282
b) 80202 d) 22223
2. Sederhanakan bentuk berikut
a) 632465 c) 22532253
b) 2632 d) 22372
3. Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut
a) 23
4 c)
22
33
b) 73
73
d)
623
24
4. Sederhanakan bentuk berikut
a) 54215
b) 31020
5. Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRSdengan panjang
32
2 cm dan lebar
325
2 cm. Tentukan:
a) keliling persegi panjang tersebut
b) luas persegi panjang tersebut
i. Persamaan Pangkat Sederhana
Persamaan yang berbentuk ba x disebut persamaan pangkat. Misalnya 273 x , 5
552 x
dan 123 42 xx
1) Bentuk cxf aa )( ; c konstanta dan ,1,0 aa maka cxf )(
Contoh
Tentukan nilai x jika:
a) 273 x c) 5
552 x
b) 1282 1 x
Penyelesaian:
a) 273 x 333 x
Jadi, 3x
b) 1282 1 x 71 22 x
71 x
Jadi, 6x
c) 5
552 x
12
12 55
x
12
12 x
2
12 x
Jadi, 4
1x
2) Bentuk )()( xgxf aa ; ,1,0 aa maka )()( xgxf
Contoh
Tentukan nilai x yang memenuhi:
a) 123 42 xx b) 425 93 xx
Penyelesaian:
a) 123 42 xx
1223 22
xx
243 xx
Jadi, 2x
b) 425 93 xx
4225 33
xx
8225 xx
63 x
Jadi, 2x
3) Bentuk )()( xfxf ba ; ,1,,0, baba maka 0)( xf
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi
a) 22 23 xx
b) 22
52 xxxx
Penyelesaian:
a) 22 23 xx maka 0)( xf sehingga 02 x
Jadi, 2x
b) 22
52 xxxx maka 02 xx sehingga 01 xx
Jadi, 0x atau 1x
Latihan
Kerjakanlah soal-soal berikut
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut
a) 25623 x c) 1,0001,0 x
b) 28 x d) 16
14
22
x
2. Tentukan nilai x yang memenuhi
a) 52
23
3
19
x
x
b) 3 53 84 xx
C. LOGARITMA
1. Logaritma sebagai Invers dari Pangkat
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya
1624 , 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2
oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4.
Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut
sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:
416log162 24
Secara umum:
Jika nax maka nxa log dan sebaliknya jika nxa log maka nax .
Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
na axnx log
dengan: a = bilangan pokok atau basis, a> 0; a≠ 1;
x = numerus(yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
n= hasil logaritma.
( xa log dibaca"logaritma x dengan basis a")
Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat
dinyatakan dalam bentuk logaritma.
Contoh:
1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat atau sebaliknya
a) 29log3 c) 49
17 2
b) p232log2 d) 1623 a
2. Tentukan nilai dari:
a) 32log2 c) 64
1log2
1
b) 125log5
Penyelesaian:
1. a) 9329log 23
b) 322232log 22 pp
c) 249
1log
49
17 72
d) aa 316log162 23
2. a) Misalkan x32log2
322 x
522 x
Jadi, 5x
b) Misalkan p125log5
1255 p
355 p
Jadi, 3p
c) Misalkan m64
1log2
1
64
1
2
1
m
6
2
1
2
1
m
Jadi, 6m
2. Sifat-Sifat Logaritma
Untuk menemukan sifat-sifat logaritma lakukan kegiatan berikut secara berpasangan dan kemukakan
hasilnya di depan kelas.
Sifat 1
Misalkan:
map log maka .....a
nbp log maka .....b
Kalikan a dan b sehingga diperoleh ............... pppba …(*)
Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma
..........log bap …(**)
Substitusikan kembali map log dan nbp log ke persamaan (**)
.....log.....loglog ppp ba …(***)
Jika a dan b bilangan real positif 0p dan 1p , berlaku
baba ppp logloglog
Contoh:
Jika p3log4 , q5log4 , dan r8log4 , hitunglah:
a) 64log15log 44
b) 120log4
Penyelesaian:
a) 88log53log64log15log 4444
8log8log5log3log 4444
rrqp
rqp 2
b) 8log5log3log853log120log 44444
rqp
Sifat 2
Misalkan:
map log maka .....a
nbp log maka .....b
Bagilah a dan b sehingga diperoleh
.........
.....
..... p
p
p
b
a …(*)
Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma
..........log
b
ap …(**)
Substitusikan kembali map log dan nbp log ke persamaan (**)
.....log.....loglog ppp
b
a
…(***)
Jika a dan b bilangan real positif 0p dan 1p , berlaku
bab
a ppp logloglog
Contoh:
a) Jika log 2 = 0,3010, hitunglh log 5
b) Sederhanakan dan hitung log 21 – log 210
Penyelesaian:
a) 6990,03010,012log10log2
10log5log
b) 11010log1log10
1log
210
21log210log21log
Sifat 3
Misalkan:
map log maka .....a …(*)
Kedua ruas dalam (*) dipangkatkan n , sehingga diperoleh
.......... ppann …(**)
Tulis persamaan (**) dalam bentuk logaritma
.....log np a …(***)
Substitusikan kembali map log ke persamaan (***)
Jika a dan b bilangan real positif 0p dan 1p , berlaku
ana pnp loglog
Jika pa maka npnp log
Contoh:
Nyatakan dahulu sebagai logaritma tunggal dan hitunglah
a) 2log2
112log 55
b) 2
5log25log
Penyelesaian:
a) 25log25log22
112log2log
2
112log 255555
b) 110log
2
5
25log
2
5log25log
Sifat 4
Misalkan:
yap log maka .....a …(*)
Kedua ruas dalam (*) diambil logaritmanya dengan bilangan pokok baru (misalnya q) , sehingga
diperoleh
.....loglog qq a
.....log.....log qq a
.....
logay
q
…(**)
Substitusikan kembali yap log ke persamaan (**) sehingga diperoleh
.....
loglog
aa
qp …(***)
Jika 0a , 0p , 1p , 0q , dan 1q berlaku
p
aa
q
qp
log
loglog
Jika diambil aq maka diperoleh
pa
a
p
log
1log
Contoh
Jika p5log3 , tunjukkan bahwa:
a) p
13log5
b) p4
15log9
Penyelesaian:
a) p
1
5log
3log3log
3
35
b) 5log2
15log5log 92
1
99
pp
4
1
22
1
3log
5log
2
1
9log
5log
2
123
3
3
3
Sifat 5
Dengan menuliskan p
aap
log
loglog dan
a
baa
log
loglog akan diperoleh sifat sebagai berikut:
Jika ba, , dan 0p , 1a , 1p berlaku
bba pap logloglog
Contoh:
Kerjakan soal-soal berikut
a) Hitunglah 16log5log 52
b) Sederhanakan dcb cba logloglog
Penyelesaian:
a) 42log16log16log5log 42252
b) ddcdcb acacba loglogloglogloglog
Sifat 6
Dengan menuliskan p
aa
mmp n
log
loglog (Sifat 4a) dan sifat 3a buktikan bahwa
an
ma pmp n
loglog …(*)
Jika diambil nm buktikan pula aa pnp n
loglog
Contoh
Hitunglah
a) 16log8
b) Jika a5log3 , hitung 27log25
Penyelesaian
a) 428 2log16log3
2log3
4 2
3
41
3
4
b) a
a1
5log
13log5log
3
53
aa 2
31
2
33log
2
33log27log 53525 2
Sifat 7
Perhatikan uraian berikut
Misalkan an p log , maka npa
Karena an p log , maka an p
ppa log
Jika p dan a bilangan real positif 1p maka ap ap
log
Contoh
Sederhanakan
a) 2log10 x
b) blog9
27
Penyelesaian
a) 2102 loglog 1010 xx
2x
b) bb
blog
2
13
log
2
1log
999
32727
bb log
4
32
log
2
399
33
43
log9
9 b
4 34
3
bb
Latihan
Kerjakanlah soal-soal berikut
1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.
a) 2
1
77 c) qp 53
b) 4
122 q d) 84 1 x
2. Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk pangkat
a) 532
1log2 c) 4log 22 a
b) qp 12log5 d) 24log4 3 r
3. Tentukan nilai x dari logaritma berikut.
a) 362log2 x
b) 2log 23 x
c) 2222log 25 xx
4. Sederhanakan bentuk logaritma berikut
a) 4log3log 1212 c) 36
25log
6
5log7log 3
1
3
1
2
1
3
1
b) 4log5log16log 333 d) 2
1log3log125log
243
1log 168133
5. Sederhanakan bentuk logaritma berikut
a) 5log3log4log 925
b) 2
1log
3log2log2log
3
5
43
3
5169
6. Jika 1log5a ; 01,0log10b ; 2,0log5c ; dan 8log2
1
d . Tentukan nilai dari d
cba2
!
7. Jika 412log2 x ; 3125,0log y ; 2log2 z . Tentukan nilai zyx !
8. Jika x2log dan y3log , tentukan nilai dari 24log5 !
9. Jika a3log5 dan b4log3 , tentukan nilai dari 75log12 !
10. Jika a3log2 , tentukan nilai dari
4
1log
12log4log
3
273 .
Evaluasi
1. Bentuk sederhana dari 417
643
84
7
zyx
zyx = …
a. 3
1010
12y
zx d.
4
23
12x
zy
b. 34
2
12 yx
z e.
23
10
12 zy
x
c. 2
510
12z
yx
2. Bentuk sederhana dari 632
27
6
24
cba
cba = …
a. 53
54
ba
c d.
5
74
a
bc
b. 55
4
ca
b e.
ba
c3
74
c. ca
b3
4
3. Bentuk sederhana dari
1
575
35
3
27
ba
ba adalah
…
a. (3 ab)2 d. 2)(
3
ab
b. 3 (ab)2 e. 2)(
9
ab
c. 9 (ab)2
4. Bentuk sederhana dari 254
423
)5(
)5(
ba
ba adalah …
a. 56 a4 b–18 d. 56 ab–1
b. 56 a4 b2 e. 56 a9 b–1
c. 52 a4 b2
5. Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 – 5 . Nilai
dari a2 – b2 = …
a. –3 b. –1
c. 2 5
d. 4 5
e. 8 5
6. Bentuk sederhana dari 335
325
= …
a. 22
15520 d.
22
15520
b. 22
15523 e.
22
15523
c. 22
15520
7. Bentuk sederhana dari 263
233
= …
a. )6313(23
1
b. )6313(23
1
c. )611(23
1
d. )6311(23
1
e. )6313(23
1
8. Bentuk sederhana dari
a. )53(
)32)(32(4
= …
b. –(3 – 5 )
c. –4
1(3 – 5 )
d. 4
1 (3 – 5 )
e. (3 – 5 )
f. (3 + 5 )
9. 62
)53)(53(6
=…
a. 24 + 12 6
b. –24 + 12 6
c. 24 – 12 6
d. –24 – 6
e. –24 – 12 6
10. Hasil dari 32712 adalah …
a. 6
b. 4 3
c. 5 3
d. 6 3
e. 12 3
11. Bentuk sederhana dari
24332758 adalah …
a. 2 2 + 14 3
b. –2 2 – 4 3
c. –2 2 + 4 3
d. –2 2 + 4 3
e. 2 2 – 4 3
12. Bentuk sederhana dari 323423
= …
a. – 6 – 6
b. 6 – 6
c. – 6 + 6
d. 24 – 6
e. 18 + 6
13. Bentuk sederhana dari 73
24
adalah …
a. 18 – 24 7
b. 18 – 6 7
c. 12 + 4 7
d. 18 + 6 7
e. 36 + 12 7
14. Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36. Nilai dari
321
31
cba = …
a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 e. 18
15. Nilai dari 2323
3
2log18log
6log
= …
a. 81 d. 2
b. 21 e. 8
c. 1
16. Nilai dari 18log2log
4log3log9log33
3227
= …
a. 3
14 d. 6
14
b. 6
14 e. 3
14
c. 6
10
17. Jika 7log 2 = a dan 2log3 = b, maka 6log 14 = …
a. ba
a
d.
1
1
a
b
b. 1
1
b
a e.
)1(
1
ab
b
c. )1(
1
ba
a
18. Jika diketahui 3log 5 = m dan 7log 5 = n, maka 35log 15 = …
a. n
m
1
1 d.
)1(
1
nm
mn
b. m
n
1
1 e.
1
1
m
mn
d. m
nm
1
)1(
19. Nilai dari qrp
pqr 1log
1log
1log
35 = …
a. 15 b. 5 c. –3
d. 151
e. 5
20. Diketahui 2log5 = x dan 2log3 = y. Nilai
43
300log2 = …
a. 23
43
32 yx
b. 223
23 yx
c. 2x + y + 2
d. 23
432 yx
e. 2223 yx
top related