metode eliminasi gauss jordan

Yan Batara Putra S.Si M.Si

Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik yang pada metode Eliminasi Gauss diubah menjadi matrik segitiga, pada metode Eliminasi Gauss Jordan diubah menjadi matrik diagonal.

a11 a12 a13 ... a1n b1

0 a22 a23 ... a2n b2

0 0 a33 ... a3n b3

... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ann bn

é

ë

êêêêêêê

ù

û

úúúúúúú

1 0 0 0 0 b1

0 1 0 0 0 b2

0 0 1 0 0 b3

... ... ... ... ... ...0 0 0 0 1 bn

é

ë

êêêêêêê

ù

û

úúúúúúú

Matrik segitiga Matrik diagonal

Langkah2 Metode Eliminasi Gauss Jordan 1. Buat matrik augmented 2. Buat matrik diagonal

3. Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilaid1,d2,d3,…,dn dan atau:

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

nd

d

d

d

1...000

..................

0...100

0...010

0...001

3

2

1

nn dxdxdxdx ,....,,, 332211

Selesaikan persamaan linier simultan:

Dengan cara eliminasi biasa :

x1 + x2 = 3 * 2 2x1 + 2x2 = 6 substitusi2x1 + 4x2 = 8 * 1 2x1 + 4x2 = 8 x1 + x2

= 3-2x2 = -2 x1 + 1

= 3x2 = 1 x1 = 2

842

3

21

21

xx

xx

Selesaikan persamaan linier simultan:

Dengan cara eliminasi Gauss :Augmented Matrik

Matrik Segitiga dari baris terakhir :1 1 3 B2-2B1 1 1 3 2x2 = 22 4 8 2–2(1)=0 0 2 2 x2 = 1

4–2(1)=2 substitusi, dari baris 1 :

8-2(3)=2 x1 + x2 = 3x1 + 1 = 3x1 = 2

842

3

21

21

xx

xx

Selesaikan persamaan linier simultan:

Dengan cara eliminasi Gauss :Augmented Matrik

Matrik Segitiga 1 1 3 B2-2B1 1 1 3 B2/2 1 1 3 2/2

=12 4 8 2–2(1)=0 0 2 2 0 1 1 2/2

=14–2(1)=2 matrik diagonal8-2(3)=2 B1-B2 1 0 2 1-

1=0 0 1 1 3-

1=2 jadi x1 = 2 dan x2 = 1

842

3

21

21

xx

xx

úúú

û

ù

êêê

ë

é

0563

17720

9211

B2-2B1

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

Augmented matrik

1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

é

ë

êêê

ù

û

úúú

2-2(1)=04-2(1)=2-3-2(2)=-71-2(9)=-17

úúú

û

ù

êêê

ë

é

0563

17720

9211

B3-3B1

3-3(1)=06-3(1)=3-5-3(2)=-110-3(9)=-27

1 1 2 90 2 7 170 3 11 27

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1 1 2 90 2 7 170 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

2B3-3B2

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

2(0)-3(0)=02(3)-3(2)=02(-11)-3(-7)=-12(-27)-3(-17)=-3

1 1 2 90 2 7 170 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

B3 * -1

1 1 2 90 2 7 170 3 11 27

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1 1 2 90 2 7 170 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

B2/2

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

B1 – B2

1 1 2 90 2 7 170 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1 1 2 90 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1 1 2 90 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1 0 11/ 2 35 / 20 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1-0=11-1=02-(-7/2)=11/29-(-17/2)=35/2

B1- 11/2 (B3)

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

B2 + 7/2 (B3)

1 0 11/ 2 35 / 20 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1- 11/2 (0) =10- 11/2 (0) = 011/2 – 11/2 (1)=035/2- 11/2 (3)=1

1 0 0 10 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1 0 0 10 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

0+ 7/2 (0) =01+ 7/2 (0) =1-7/2 + 7/2 (1)=0-17/2+ 7/2 (3)=4/2

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

é

ë

êêê

ù

û

úúú

Matrik Diagonal

Jadi :x = 1, y = 2 dan z = 3

Coba dimasukkan ke soal :1 + 2 + 2(3) = 92(1) + 4(2) - 3(3) = 13(1) + 6(2) – 5(3) = 0