metode adams bashforth moulton

UAS PRAKTIKUM METODE NUMERIK

Adams Bashforth Moulton

Imam Jabar Shidiq 140810120002

Deisna Rahmaningtyas 140810120006

Harits Muhammad 140810120015

Edrick Yosafat 140810120025

PRODI TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN

NOVEMBER 2013

Daftar Isi

Judul

Daftar Isi

BAB I Pendahuluan.................................................................................................................3

1.1 Latar Belakang Masalah...........................................................................................3

1.2 Rumusan Masalah....................................................................................................4

1.3 Tujuan......................................................................................................................4

BAB II Pembahasan................................................................................................................5

BAB III Penutup

3.1 Kesimpulan………………………………………………………………………14

3.2 Saran……………………………………………………………………………..14

Daftar Pustaka……………………………………………………………………………...15

BAB I

2

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Persamaan differensial memiliki peranan yang sangat penting di alam, sebab banyak

fenomena alam yang dirumuskan dalam bentuk diferensial yaitu yang memuat beberapa

derivatif dari suatu fungsi yang belum diketahui. Persamaan diferensial yang tidak dapat

diselesaikan secara analitis dapat ditentukan dengan metode khusus agar mendekati solusi

sebenarnya. Salah satunya adalah dengan Metode Adams Bashforth Moulton.

Metode Adams Bashforth Moulton adalah proses mencari nilai fungsi y(x) pada titik x

tertentu dari persamaan differensial biasa orde satu melalui persamaan prediktor dan

korektor yang telah ditentukan. Metode ini merupakan salah satu dari metode Banyak

Langkah (Multistep method) yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai batas

pada persamaan diferensial biasa dengan cukup akurat. Dengan tujuan menggunakan

informasi dari beberapa titik sebelumnya yang peroleh melalui metode satu-langkah untuk

menghitung taksiran nilai yang lebih baik.

Akan tetapi kekurangan utama dari rumus banyak langkah adalah mereka tidak dapat

memulai sendiri. Jadi pada metode Adams Bashforth, kita harus mempunyai empat nilai

berturut-turut dari f (x,y) pada titik-titik yang berjarak sama sebelum rumus ini dapat

digunakan. Nilai awal ini harus diperoleh dengan suatu metode yang bebas.

Adapun langkah-langkah untuk mempermudah pengerjaan masalah dalam persamaan

diferensial yang diselesaikan dengan menggunakan Metode Adams Bashforth Moulton orde

4, antara lain:

1. Menuliskan persamaan differensial dengan syarat awal yang telah ditentukan.

2. Menentukan bentuk persamaan dari solusi sejatinya (solusi khusus) untuk mengetahui

besarnya galat yang dihasilkan.

3. Menyelesaikan persamaan differensial biasa dengan mencari nilai dan dan dari

metode satu-langkah.

4. Menentukan nilai pada titik melalui tahap prediktor.

5. Menentukan nilai pada titik melelui tahap korektor.

6. Menentukan galat pada tahap prediktor dan tahap korektornya.:

3

7. Proses tersebut akan berhenti pada langkah ke-n sesuai dengan nilai h yang

ditentukan.

1.2 Rumusan Masalah

Bagaimana langkah – langkah atau cara untuk menyelesaikan masalah persamaan

diferensial biasa menggunakan metode Adams Bashforth Moulton?

Bagaimana bentuk program metode Adams Bashforth Moulton dalam Scilab?

1.3 Tujuan

Memahami cara kerja penggunaan metode banyak langkah dalam menyelesaikan

masalah persamaan diferensial biasa yang tidak dapat diselesaikan secara analitis,

yaitu metodeAdams Bashforth Moulton.

Dapat mengimplementasikan metode Adams Bashforth Moulton ke dalam sebuah

program Scilab.

BAB II

4

Pembahasan

Metode Banyak Langkah (Multistep)

Formula banyak langkah yaitu:

y '=f (x , y )

∫x r

xr+1

y ' dx=∫xr

x r+1

f ( x , y ) dx

yr+1= yr+∫x r

x r+1

f (x , y ) dx

aproksimasi f ( x , y ) dengan polinom yang menginterpolasi f (x , y ) pada (n+1) titik, xr , xr−1 , …, xr−k

Metode Predictor-Corrector

Metode banyak langkah biasa f (x , y ) di interpolasi pada titik x1 , xr−1 , …,xr−k [tipe

terbuka]. Metode langkah ganda predictor-corrector f (x , y ) di interpolasi pada titik xr+1 , x1 , xr−1 , …, xr−k [tipe tertutup]

yr+1= yr+∫x r

x r+1

f (x , y )(x)¿dx ¿…(1.1)

∫x r

xr+1

f ( x , y )( x)¿dx¿diaproksimasi (dekati) oleh formula integral trapesium, maka diperoleh :

yr+1= yr+h2 [f ( xr , yr )+ f ( xr+1 , yr+1) ] …(1.2)

Predictor : menaksir y ( xr+1 ) dari yr , yr−1 , yr−2 ,…

Corrector : memperbaiki nilai y ( xr+1 ) dari predictor

Metode P-C antara lain adalah

1. Metode Adams-Bashforth-Moulton2. Metode Milne-Simpson3. Metode Hamming

Metode Adam-Bashford-Moulton

Tinjau PDB orde satu y ' (x )=f ( x , y ( x ) )

5

intergrasikan kedua ruas persamaan dari xrsampai xr+1

∫x r

xr+1

f ( x , y ( x ) )=¿∫x r

x r+1

y ' ( x ) dx ¿

¿ y (x )|x r

x r+1

¿ y ( xr+1 )− y ( xr )

¿ yr+1− yr

nyatakan yr+1 di ruas kiri persamaan dan suku lainnya di ruas kanan:

yr+1= yr+∫x r

x r+1

f ( x , y (x ))dx …(13)

Persamaan predictor-corrector metode Adam-Bashford-Moulton adalah:

predictor : yr+1= yr+h

24(−9 f r−3+37 f r−2−59 f r−1+55 f r ) …(14)

corrector : y¿r+1= yr+

h24

( f r−2−5 f r−1+19 f r+9 f ¿r−1 ) …(15)

galat perlangkah metode Adam-Bashford-Moulton adalah dalam ordeO(h5), yaitu:

predictor : E p=Y r+1− y¿r+1 ≈

251720

h5 y (5 ) ( t ) , xr−3<t <xr+1

corrector : Ep=Y r+1− yr+1 ≈−19720

h5 y (5 ) ( t ) , xr−3<t <xr+1

dan galat longgokannya adalah dalam orde O(h4). Oleh karena itu, metode Adam-Bashford-

Moulton di atas dinamakan juga metode Adam-Bashford-Moulton orde-4.

Keidealan Metode Predictor-Corrector

Metode predictor-corrector dikatakan ideal jika galat per langkah predictor mempunyai orde yang sama dengan galat perlangkah corrector:

Galat per langkah predictor :Y r+1− y¿r+1≈ Ar h p

Galat per langkah corrector :Y r+1− yr+1≈ αA r hp

dengan α adalah terapan yang diketahui. Metode Adams-Bashforth-Moulton, metode Milne-Simpson, dan metode Hamming adalah metode P-C yag ideal. Metode Heun adalah metode P-C yang tidak ideal, karena

6

Galat per langkah predictor : E p=Y r+1− yr+1≈12

yn(t )h2≈ A h2

Galat per langkah corrector : Ep=Y r+1− yr+1 ≈− 112

y ' ' '( t)h3≈ B h3

Jika sebuah metode P-C ideal, kita dapat memperoleh nilai yr+1yang lebih baik (improve) sebagai berikut:

yr+1− y¿r+1=A r hp …(2.1)

yr+1− yr+1=αAr hp …(2.2)

dengan yr+1 adalah taksiran yang lebih baik dari pada yr+1

rumus yr+1 dapat diperoleh dengan membagi persamaan (2.1) dan (2.2)

yr+1− y¿r+1

yr+1− yr+1

=A r hp

αAr hp

yr+1− y¿r+1

yr+1− yr+1

=1α

⇔ yr+1− yr+1=α yr+1−α y¿r+1

⇔ yr+1 (1−α )= yr+1−α y¿r+1

⇔ yr+1=yr+1−α y¿

r+1

(1−α )

⇔ yr+1=yr+1

(1−α )−

α y¿r+1

(1−α )

⇔ yr+1=(1−α ) yr+1+α yr+1

(1−α )−

α y¿r+1

(1−α )

⇔ yr+1=(1−α ) yr+1

(1−α )+

α yr+1

(1−α )−

α y¿r+1

(1−α )

⇔ yr+1= yr+1+α

1−α( yr+1− y¿

r+1 )…(.23)

Suku α

1−α( yr+1− y¿

r+1) pada persamaan (3) merupakan taksiran galat perlangkah

untuk menghitung yr+1 dan menyatakan faktor koreksi terhadap nilai yr+1. Jadi, untuk

mendapatkan taksiran nilai yr+1 yang lebih baik, tambahkan yr+1 dengan faktor koreksi tersebut.

7

Berikut ini diagram alir Metode Adam-Moulton :

Contoh Soal :

Gunakanlah metode Adams-Bashforth-Moulton untuk menyelesaikan persamaan y '= y−x ; dengan y (0)=2. Pada interval [0, 1] dengan h=0.1.

Disini f ( x , y )= y−x dengan x0=0 dan y0=2.

Metode : RUNGE-KUTTASoal:

 xn  h = 0.1 Solusi sebenarnya

Y ( x )=ex+x+1yn 

0 2 20.1 2.2051708 2.2051709

8

0.2 2.4214026 2.42140280.3 2.6498585 2.64985880.4 2.8918242 2.89182470.5 3.1487206 3.14872130.6 3.422118 3.42211880.7 3.7137516 3.71375270.8 4.0255396 4.02554090.9 4.3596014 4.35960311 4.7182797 4.7182836

Dengan menggunakan Tabel Runge-Kutta diatas, kita memperoleh tiga nilai awal tambahan yaitu y1=2,2051708, y2=2,4214026, y3=2,6498585. Jadi didapat,

y0' = y0−x0=2−0=2

y1' = y1−x1=2,2051708−0.1=2 ,1051708

y2' = y2−x2=2,4214026−0.2=2 ,2214026

y3' = y3−x3=2,6498585−0.3=2 , 3498585

Kemudian, menggunakan persamaan metode Adams-Bashforth-Moulton dimulai dengan n=3,

dan P yn+1' =f (xn+1 , Pyn+1). Karena f ( x , y )= y−x, maka P yn+1

' =Pyn+1−xn+1

n=3 : x4=0.4

(Prediktor) Py4= y3+h

24(55 y3

' −59 y2' +37 y1

' −9 y0' )

Py4=2,6498585+ 0.124

(55(2 , 3498585)−59(2 , 2214026)+37(2 ,1051708)−9(2))

¿2,8918201P y4

' =Py4−x4=2,8918201−0,4=2,4918201

(Korektor) y4= y3+h

24(9 Py4

' +19 y3' −5 y2

' + y1' )

y4=2,6498585+ 0.124

(9 (2,4918201)+19 (2 ,3498585)−5 (2 ,2214026)+2 , 1051708 )¿2,8918245y4

' = y4−x4=2,8918245−0,4=2,4918245

n=4 : x5=0.5

(Prediktor) Py5= y4+h

24(55 y4

' −59 y3' +37 y2

' −9 y1' )

Py5=2,8918245+ 0.124

(55 (2,4918245 )−59 (2, 3498585 )+37 (2 , 2214026 )−9(2 , 1051708))¿3,1487164

9

P y5' =Py5−x5=3,1487164−0,5=2,6487164

(Korektor) y5= y4+h

24(9 Py5

' +19 y4' −5 y3

' + y2' )

y5=2,8918245+ 0.124

(9 (2,6487164 )+19 (2,4918201 )−5 (2 , 3498585 )+2 , 2214026 )¿3,1487213y5

' = y5−x5=3,1487213−0,5=2 , 6487213

n=5 : x6=0.6

(Prediktor) Py6= y5+h

24(55 y5

' −59 y4' +37 y3

' −9 y2' )

Py6=3,1487213+ 0.124

¿

¿3,4221137P y6

' =Py6−x6=3,4221137−0,6=2,8221137

(Korektor) y6= y5+h

24(9 Py6

' +19 y5' −5 y4

' + y3' )

y6=3,1487213+0.124

(9 (2,8221137 )+19 (2,6487164 )−5 (2,4918201 )+2,3498585 )¿3,4221 191y6

' = y6−x6=3,4221191−0,6=2,8221191

Metode : METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTONSoal: y '= y−x ; y (0)=2.

 xn h = 0.1 Solusi sebenarnyaY ( x )=ex+x+1 Pyn yn

0  - 2 20.1  - 2.2051708 2.20517090.2  - 2.4214026 2.42140280.3  - 2.6498585 2.64985880.4 2.8918201 2.8918245 2.89182470.5 3.1487164 3.1487213 3.14872130.6 3.4221137 3.4221191 3.42211880.7 3.7137473 3.7137533 3.71375270.8 4.0255352 4.0255418 4.02554090.9 4.3595971 4.3596044 4.35960311 4.7182756 4.7182836 4.7182836

10

Berikut program Scilabnya => abm.sci

11

function f=f(x, y)

f=y-x;

endfunction

function [y]=abm()

x=input('masukan x yang ingin dicari = ')

n=input('masukan jumlah iterasi n = ')

x0=input('tentukan x0 = ')

y0=input('tentukan y0 = ')

y1=input('nilai awal tambahan y1 = ')

y2=input('nilai awal tambahan y2 = ')

y3=input('nilai awal tambahan y3 = ')

h=(x-x0)/n;

x=zeros(n,1)

y=zeros(n,1)

p=zeros(n+1,1)

yy=zeros(n+1,1) // y'=f(x,y)

yy(1)=y0

yy(2)=y1-(x0+h)

yy(3)=y2-(x0+2*h)

yy(4)=y3-(x0+3*h)

y(1)=y1

y(2)=y2

y(3)=y3

x(1)=x0+1*h

x(2)=x0+2*h

x(3)=x0+3*h

printf('x0 = %f\tPy0 = -\t\tykorektor0 = %f\n',x0,y0);

for k=1:3

printf('x%i = %f\tPy%i = -\t\tykorektor%i = %f\tasli = %f\n',k,x(k),k,k,y(k),exp(x(k))+x(k)+1);

end

Hasil running program :

12

for i=4:n

x(i)=x0+i*h

//Predictor

p(i)=y(i-1)+(h/24)*(55*yy(i)-59*yy(i-1)+37*yy(i-2)-9*yy(i-3))

pp=f(x(i),p(i))

//Corrector

y(i)=y(i-1)+(h/24)*(9*pp+19*yy(i)-5*yy(i-1)+yy(i-2))

yy(i+1)=f(x(i),y(i))

printf('x%i = %f\tPy%i = %f\tykorektor%i = %f\tasli = %f\n',i,x(i),i,p(i),i,y(i),exp(x(i))+x(i)+1);

end

endfunction

BAB III

Penutup

3.1 Kesimpulan

Dengan memakai metode Adams Bashforth Moulton,

3.2 Saran

13

Daftar Pustaka

14