metnum6-integrasi numerik baru

INTEGRASI NUMERIK

Nana Ramadijanti

INTEGRASI NUMERIK Di dalam kalkulus, terdapat dua hal

penting yaitu integral dan turunan(derivative)

Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIK Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal :

dxex

x x5.02

0

23

sin5.01

)1cos(2

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaadxbax

Cbaadxbax

Ca

edxe

Cn

axdxax

axax

nn

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

INTEGRASI NUMERIK Perhitungan integral adalah

perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai

fungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

ii

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

x0 x1 xnxn-1x

f(x)

0

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

Dasar Pengintegralan Dasar Pengintegralan NumerikNumerik

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dxxfdxxfIb

a n

b

a )()(

Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

nn

1n1n10n xaxaxaaxf

)(

Dasar Pengintegralan Dasar Pengintegralan NumerikNumerik

fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat

fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi

Polinomial dapat didasarkan pada data

INTEGRASI NUMERIK Luas daerah yang

diarsir L dapat dihitung dengan :

L =

b

a

dxxf

Metode Integral Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann

Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]

Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi).ix

Metode Integral Reimann Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan

dituliskan :

Dimana Didapat

i

n

ii

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxf

LLLLL

0

3221100

210

...

..

n

ii

b

a

xfhdxxf0

hxxxx n ...210

Contoh Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan

sumbu x untuk range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

1

0

2dxxL =

Contoh Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

Secara kalkulus :

Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052

385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

i

ixfhL

.....3333,0|3

1 10

31

0

2 xdxxL

Algoritma Metode Integral Reimann:

Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas

ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung

N

iixfhL

0

)(.

Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus (linier)

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0ii

b

a

xfxf2

h

xfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

L(x)

Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2

h

xfxf2

hxfxf

2

hxfxf

2

h

dxxfdxxfdxxfdxxfn

1n

2

1

1

0

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h x4

n

abh

Metode Integrasi Trapezoida

iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

.2

1

.2

1

1

1

1

0

iiLL

nn

n

iii fffff

hffhL

1210

1

01 2...22

22

1

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida

Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan

batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi

parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0ii

b

a

xfxf4xf3

h

xfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

1 xx

0 xx

1 xx

h

dxd

h

xx

2

abh

2

ba x bx ax let

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx xf

xxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

21202

10

12101

200

2010

21

,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()(

))((

))(()(

)()(

)()()()(

)( 212

0 xf2

1xf1xf

2

1L

Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3

)()(

)()()()(

)( 212

0 xf2

1xf1xf

2

1L

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

21

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2

)()1)(

)1(2

)()()(

ξξhxf

ξξhxf

ξξhxf

dξξξh

xfdξξ(hxf

dξξξh

xfdξLhdxxfb

a

)()()()( 210

b

axfxf4xf

3

hdxxf

Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Aturan Komposisi SimpsonSimpson

x0 x2x

f(x)

x4h h xn-2h xn

n

abh

…...

hx3x1 xn-1

Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson,

luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

atau dapat dituliskan dengan:

nnnn ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

L 11243322110 23

23

...23

23

23

23

n

genapii

ganjilii ffff

hL

0 24

3

N = 0 – n

L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

02

20002

2002 !2

)()(

!2

)()()( f

h

hxxf

h

xfxf

h

hxxxf

h

xxfxp

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

02

00

02

00

02

2

2

3

0

2

0

200

22

2

2

3

0

2

0

2

0

02

200

2

0

2

2

0

322

3

422

4

4

6

8

2

42

|462

!2

)(

)(

fh

fhxhfL

fhh

fhxhfL

fh

h

h

hf

h

hxhfL

fh

x

h

xf

h

xxfL

dxfh

hxxf

h

xfL

xdxpdxxfL

hxx

h

hh

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Mengingat

Maka selanjutnya

010 fff

)4(3

33

4

3

33

2

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffh

L

fh

fh

fh

L

fh

fh

fh

hfhfxhfL

fffh

ffhxhfL

01201120102 2)()( ffffffffff

Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik

)()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0ii

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

)())()((

))()(()(

))()((

))()((

)())()((

))()(()(

))()((

))()(()(

3231303

2102

321202

310

1312101

3200

302010

321

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxx

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxL

)()()()( 3210

b

a

b

a

xfxf3xf3xf8

h33

abh ;L(x)dxf(x)dx

Error Pemenggalan

3

abh ;f

6480

abfh

80

3E 4

545

t

)(

)()( )()(

Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8

Metode Integrasi Gauss

Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

H sama Luas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.

Metode Integrasi Gauss Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan

selang [-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih

nilai tersebut sehingga error integrasinya min

2

)1()1()1()1(2

)(1

1

h

ffffh

dxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

Metode Integrasi Gauss Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah

ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

0

32

0

21

1

1

3322

311

1

1

2222

211

1

1

2211

1

1

21

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

3

1

3

1

1

21

21

xx

cc

Metode Integrasi Gauss

Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik

)3

1()

3

1()(

1

1

ffdxxf

Transformasi

Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u) dx du

b

a

i dxxfL )(

1

1

)( duugLi

Transformasi

duab

dx

uabbax

aububax

aabux

abuax

u

ab

ax

2

2

)()(2

2))(1(2

))(1(222

1

a bx

-1 1u

Transformasi

duuabba

fabduug

1

1

1

1 2

)()()(

2

1)(

1

1

)( duugLi

)()()(2

1)( 2

121 abuabfabug

Analisa Dibandingkan dengan metode Newton-

Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi

1

1

)( duug

Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel :

Tentukan fungsi g(u) dengan:

Hitung

)(2

1

2

1abuabx

)()()(2

1)( 2

121 abuabfabug

3

1

3

1ggL

Contoh Soal

Metode Gauss Legendre 3 Titik

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

Dengan cara yang sama didapat

)()()()( 332211

1

1

xfcxfcxfcdxxfI

543

2

)(;)(;)(

)(;)(;1)(

xxfxxfxxf

xxfxxfxf

53;0;53

9

5;

9

8;

9

5

321

321

xxx

ccc

Metode Gauss Legendre 3 Titik

5

3

9

50

9

8

5

3

9

5)(

1

1

gggduug

Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

Metode Gauss n-Titik

Beberapa Penerapan Integrasi Numerik

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 105

6

3

15

9

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5.7322

15

1160

iiyyy

hL

5.7316

0

i

iyhL

74243 160

genapii

ganjilii yyyy

hL

Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Luas benda putar:

Volume benda putar:

b

ap dxxfL )(2

b

ap dxxfV 2)(

Contoh :

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali. Bagian I:

Bagian II:

4 cm

6

cm

7 cm

12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

satuan dalam cm

56)7)(4(2 IL

196)7)(4( 2 IV

288)12(122 IIL

345612122 2 IIV

Contoh : Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan

pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

10822

2)(4

150

iiIVII yyy

hLL

5.118722

4

1

225

20

iiIVII yyy

hVV

IVII LL IVII VV

Contoh : Luas permukaan dari botol adalah:

Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah:

Volume = 18924.78 cm3

4.1758

560

10828810856

IVIIIIII LLLLL

6024

5.118734565.1187196

IVIIIIII VVVVV