materi ke - 6eko.staff.uns.ac.id/files/2013/02/materi-ke-6-2015.pdf · 2017-06-17 · persamaan...

Materi ke - 6

Penggunaan Integral Tak Tentu

30 Maret 2015

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial dan Penggunaannya

Persamaan diferensial mengaitkansuatu fungsi dengan turunannya(diferensial )

Contoh

2

'

22'''

2'2

xyyy

y

xyxy

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial dan Penggunaannya

Dengan proses integral tak tentu persamaan diferensial

Solusi umum keluarga kurva yg memenuhi persamaan

Solusi khusus satu kurva yg memenuhi syarat tertentu

Cxyxy 2' solusi mempunyai2

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Metoda Pemisahan Peubah

Digunakan untuk persamaan diferensialyang dapat ditulis dalam bentuk

CxQxP

dyyqxQdxxpxP

Cdyyqdxxp

dyyqdxxpyyqxp

)()(adalah solusinya Maka

)()(dan)()( Jika

)()(

tak tentuintegraldengan diperoleh Solusi

0)()(atau 0)()( '

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Metoda Pemisahan Peubah

'.adalah

),( kurva pada singgung garisGradien

1 Jawab

ordinatdan absisan perbanding titik disetiap

singgung garisgradien diketahui jika (2,-1)titik

melalui yang kurvapersamaan Tentukan

1Contoh

y

kyxf

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Metoda Pemisahan Peubah

2)1(,'

adalah lnyadiferensia

persamaan maka , (2,-1) titik melalui yang kurva

dan (y)ordinat dan (x) absisan perbanding

dengan sama ) y' ( singgung garisgradien karena

yy

xy

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Metoda Pemisahan Peubah

3adalah solusinya Maka

3sehingga14maka2)1( Karena

2

1

2

1

tak tentuintegraldengan diperoleh Solusi

pemisahan metodadengan Selesaikan

22

2222

xy

CCy

CxyCxy

xdxydyxdxydyy

x

dx

dy

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Metoda Pemisahan Peubah

1212ln

)12(

dy

)12(

dy)12(

dx

dy

2 Jawab

2'

persamaan memenuhi yang x fungsiy Tentukan

2Contoh

cxyxdxy

xdxy

yx

xyxy

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Metoda Pemisahan Peubah

2

2

21

2

2

1

0,12

0,1212

33

22

x

x

xcx

Cey

cecy

cecyey

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

• Seorang penerjun , terjun dari ketinggiantertentu dan parasut terbuka pada saat t=0 , pada saat itu kecepatannya v(0)=10 m/det. Berat penerjun 712 N.

• Jika hambatan udara sebanding dengankuadrat kecepatannya dengan konstantaperbandingan b = 30 N / (m2/det2) dang=9,8 m/det2 , tentukan fungsi kecepatanpenerjun setiap saat ?

• Apakah kecepatan bertambah untuk t yang semakin besar ?

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

STOP

Untuk menyelesaikan masalah diatas kita HARUS mengerti sistem tersebut

( dalam hal ini FISIKA )

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

Berdasarkan hukum Newton yang kedua F=ma diperoleh

10)0(,

ldiferensia persdiperoleh sini Dari

10)0(,

2

2

vvm

bg

dt

dv

vdt

dvmbvmg

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

m

kbpCe

kv

kv

ctm

kb

kv

kvct

m

b

kv

kv

k

dtm

b

kv

dvdt

m

b

kv

dv

b

mgkkv

m

b

dt

dv

b

mgv

m

b

dt

dv

pt 2,

2lnln

2

1

,

21

2222

2222

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

m

kbp

b

mgk

Ce

Cektv

kvCekv

pt

pt

pt

2dan dimana

1

1)(

saat setiappenerjun kec fungsi Sehingga

2

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

0,345Cdiperoleh

m/det 10)dengan v(0 dari

m/det87,430

712 maka

)/det(m / N 30bdan N 712mg WDari 22

ptCekv

kv

b

mgk

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

t

t

e

etv

m

kbp

kkg

02,4

02,4

22

345,01

345,0178,4)(

saat setiappenerjun kecepatan Jadi

det/02,42

maka

)/det(m / N 30bdan

m/det 87,4,7,27m Dari

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Penggunaan Persamaan Diferensial

m/det 4,87 mendekatiyaitu

konstanhampir kecbesar semakin untuk t Artinya

87,4)(,untuk

?bertambah kecbesar semakin apakah t Selidiki

tvt

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

)()('

diperoleh Maka

P(x),

faktor dng ruasnyakalikan ,kan menyelesaiUntuk

)()('

umumbentuk mempunyai

Satu Tingkat Linier lDiferensiaPersamaan

)()()(

)(

xqeyxpeye

p(x)dx e

xqyxpy

xPxPxP

xP

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

dxxp

xPxPxP

xPxPxPxP

e(f.i)Cdxx(f.i)qyif

xqyxpy

(f.i)edxxqeye

dxxqeyedxqeyedx

d

)(

)()()(

)()()()(

,)(.

adalah)()(' dari umum Solusi

1 Teorema

IntegrasiFaktor ,)(

ruas keduan Integralka

)()(

ditulisdapat diatasBentuk

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

22222

2

2

1

2

1)

(f.i) IntegrasiFaktor

1 Teoreman menggunakaDengan

4 Jawab

2' UmumSolusiTentukan

4Contoh

2)(

xxxxx

xdxxdxxp

CeyCeyedxxeye

eee

xxyy

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

)y-

y

)y-

xx

)y-

y

)y-

xdx

yxdx

)y-y)x(dx

)y-

y)dyx()dxy-

2(2(

2'

2(2(

2

dy

2dy

2(02dy

2(

bentuk dlm Tulis

5 Jawab

022( UmumSolusiTentukan

5Contoh

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

2

23

232

22

2)2ln(2

2

)2(3

1

ditulisdapat atau 3

1)2(

2(.)2()2(

)2( (f.i) IntegrasiFaktor 2

y

Cyyx

Cyyxy

dy)y-

yyxy

yee ydy

y

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

Perhatikan gambar dibawah ( Persoalan Rangkaian Listrik )

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

E(t)

L

R

S

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

Rangkaian Listrik terdiri dari daya E(t)=100sin40t volt , R=10 Ohm , L=0.5 Henry dan Saklar ( S ). Jika S ditutup I(0)=0 , tentukan arus listrik pada setiap T

Sekali lagi …. Kita Harus memahami sistem sebelum meng-aplikasikan persamaan diferensial

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

0)0(,40sin20020'

atau0)0(,40sin100105.0

)(Kirchoff Hukum

5.0 arusperubahan laju dengan

lurus berbandinginduktor sepanjang Besar

10 Ohm hukumn Berdasarka

ItII

ItIdt

dI

EEtE

dt

dIE

dt

dILEI

E

IERIE

LR

LL

L

RR

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id

t

t

t

t

tttdt

etII

etI

ettI

CI

CettI

CtdteIeeeif

20

120

20

20

20202020

4)11.140(sin52saatsetiapFungsi

11.155

1cos,4)40(sin52

atau4)40cos240(sin2

khusus solusi Maka40)0(Syarat

)40cos240(sin2

40sin200...

Inspirasi Hari Ini

Ancaman TERBESAR bagi KEBERHASILAN bukan pada CITA-CITA yang setinggi

langit hingga tak mampu mencapainya secara penuh ;

Namun berasal dari pematokan cita-cita yang terlalu DATAR hingga mudah

mencapainya

Industrial Engineering – UNS eko@uns.ac.id