materi 1-4

STATISTIKA :Kegiatan untuk :• mengumpulkan data• menyajikan data • menganalisis data dengan metode tertentu• menginterpretasikan hasil analisis

KEGUNAAN

?

STATISTIKA DESKRIPTIF :Berkenaan dengan pengumpulan, pengolahan, dan penyajian sebagianatau seluruh data (pengamatan) tanpa pengambilan kesimpulan

STATISTIKA INFERENSI :Setelah data dikumpulkan, maka dilakukan berbagai metode statistik untukmenganalisis data, dan kemudian dilakukan interpretasi serta diambil kesimpulan.Statistika inferensi akan menghasilkan generalisasi (jika sampel representatif)

Melalui fase

dan fase

1. Konsep Statistika

2. Statistika & Metode Ilmiah

METODE ILMIAH :Adalah salah satu cara mencari kebenaran yang bila ditinjau dari segi penerapannya, resiko untuk keliru paling kecil.

LANGKAH-LANGKAH DALAM METODE ILMIAH :1. Merumuskan masalah2. Melakukan studi literatur3. Membuat dugaan-dugaan, pertanyaan-pertanyaan atau hipotesis

4. Mengumpulkan dan mengolah data, menguji hipotesis, atau menjawab pertanyaan

5. Mengambil kesimpulan

PERAN STATISTIKA

INSTRUMEN

SAMPEL

VARIABEL

SIFAT DATA

METODE ANALISIS

3. Data

DATA terbagi atas DATA KUALITATIF dan DATA KUANTITATIF

DATA KUALITATIF :Data yang dinyatakan dalam bentuk bukan angka.Contoh : jenis pekerjaan, status marital, tingkat kepuasan kerja

DATA KUANTITATIF :Data yang dinyatakan dalam bentuk angkaContoh : lama bekerja, jumlah gaji, usia, hasil ulangan

DATA

JENISDATA

NOMINALORDINAL

INTERVALRASIO

KUALITATIF KUANTITATIF

4. Data

DATA NOMINAL :Data berskala nominal adalah data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi.CIRI : posisi data setara

tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)CONTOH : jenis kelamin, jenis pekerjaan

DATA ORDINAL :Data berskala ordinal adalah data yang dipeoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi, tetapi di antara data tersebut terdapat hubunganCIRI : posisi data tidak setara

tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)CONTOH : kepuasan kerja, motivasi

DATA INTERVAL :Data berskala interval adalah data yang diperoleh dengan cara pengukuran, di mana jarak antara dua titik skala sudah diketahui.CIRI : Tidak ada kategorisasi

bisa dilakukan operasi matematikaCONTOH : temperatur yang diukur berdasarkan 0C dan 0F, sistem kalender

DATA RASIO :Data berskala rasio adalah data yang diperoleh dengan cara pengukuran, di mana jarak antara dua titik skala sudah diketahui dan mempunyai titik 0 absolut.CIRI : tidak ada kategorisasi

bisa dilakukan operasi matematikaCONTOH : gaji, skor ujian, jumlah buku

5. Pengolahan Data

PROSEDUR PENGOLAHAN DATA :

A. PARAMETER : Berdasarkan parameter yang ada statistik dibagi menjadi

• Statistik PARAMETRIK : berhubungan dengan inferensi statistik yang membahas parameter-parameter populasi; jenis data interval atau rasio; distribusi data normal atau mendekati normal.

• Statistik NONPARAMETRIK : inferensi statistik tidak membahas parameter-parameter populasi; jenis data nominal atau ordinal; distribusi data tidak diketahui atau tidak normal

B. JUMLAH VARIABEL : berdasarkan jumlah variabel dibagi menjadi

• Analisis UNIVARIAT : hanya ada 1 pengukuran (variabel) untuk n sampel atau beberapa variabel tetapi masing-masing variabel dianalisis sendiri-sendiri. Contoh : korelasi motivasi dengan pencapaian akademik.

• Analisis MULTIVARIAT : dua atau lebih pengukuran (variabel) untuk n sampel di mana analisis antar variabel dilakukan bersamaan. Contoh : pengaruh motivasi terhadap pencapaian akademik yang dipengaruhi oleh faktor latar belakang pendidikan orang tua, faktor sosial ekonomi, faktor sekolah.

6. Pengolahan Data

MULAI

JumlahVariabel

?

AnalisisUnivariat

AnalisisMultivariat

JenisData ?

StatistikParametrik

StatistikNon Parametrik

SATU DUA / LEBIH

INTERVAL

RASIO

NOMINAL

ORDINAL

7. Penyajian Data

TABELTabel 1.1 Bidang Pekerjaan berdasarkan Latar Belakang Pendidikan

Count

1 8 6 15

1 7 8

4 3 5 12

2 14 11 27

3 4 6 13

10 30 35 75

administ rasi

personalia

produks i

marketing

keuangan

bidang

pekerjaan

Jumlah

SMU Akademi Sarjana

pendidikan

Jumlah

GRAFIK administrasi

personalia

produksi

marketing

keuangan

bidang pekerjaan

Pies show counts

8. Membuat Tabel

TABEL : memberikan informasi secara rinci. Terdiri atas kolom dan baris

TABEL

KOLOM

Kolom pertama : LABEL

Kolom kedua …. n : Frekuensi atau label

BARIS Berisikan data berdasarkan kolom

Asal Wilayah

Pendapat tentang sertifikasi

JumlahSangat perlu

Perlu Tidak tahu

Tidak perlu

Sangat tdk

perlu

Jawa Barat

Jawa Tengah

Jawa Timur

NTT

Papua

Jumlah

Tabel Tabulasi Silang

9. Membuat Grafik

GRAFIK : memberikan informasi dengan benar dan cepat, tetapi tidak rinci.

Syarat :1. Pemilihan sumbu (sumbu tegak dan sumbu datar), kecuali grafik lingkaran2. Penetapan skala (skala biasa, skala logaritma, skala lain)3. Ukuran grafik (tidak terlalu besar, tinggi, pendek)

Sum

bu tegak

1

2

3

4

1 2 3 4

Sumbu datar

0

Titikpangkal

Jenis Grafik :

• Grafik Batang (Bar)

• Grafik Garis (line)

• Grafik Lingkaran (Pie)

• Grafik Interaksi (Interactive)

bidang pekerjaan

keuanganmarketingproduksipersonaliaadministrasi

Co

un

t

30

20

10

0

bidang pekerjaan

keuanganmarketingproduksipersonaliaadministrasi

Jum

lah

30

20

10

0

keuangan

marketing

produksi

personalia

administrasi

prestasi kerja

sangat baikbaikcukup baikjeleksangat jelek

Me

an

ga

ji p

erb

ula

n

800000

700000

600000

500000

400000

300000

Jenis kelamin

laki-laki

w anita

10. Jenis Grafik

Grafik Batang (Bar) Grafik Garis (line)

Grafik lingkaran (pie) Grafik Interaksi (interactive)

11. Frekuensi

FREKUENSI : banyaknya data untuk satu kelompok/klasifikasi

KELOMPOK FREKUENSI

Kelompok ke-1 f1

Kelompok ke-2 f2

Kelompok ke-3 f3

Kelompok ke-i fi

Kelompok ke-k fk

kn = Σ fi

i=1

Pendidikan Frekuensi

S1 62

S2 19

S3 9

90

kn = Σ fi = f1 + f2 + f3 +….. + fi + …… + fk

i=1

DISTRIBUSI FREKUENSI : mengelompokkan data interval/rasio dan menghitung banyaknya data dalam satu kelompok/klasifikasi

12. Distribusi Frekuensi

Membuat distribusi frekuensi :1. Mencari sebaran (range) yakni selisih antara data paling besar

dengan data paling kecil) 35 – 20 = 152. Menentukan banyak kelas dengan rumus k = 1 + 3,3 log n

71. Menentukan panjang kelas dengan rumus

p = sebaran / banyak kelas 15/7 = 2

KELOMPOK USIA FREKUENSI

20 – 21 11

22 – 23 17

24 – 25 14

26 – 27 12

28 – 29 7

30 – 31 18

32 - 33 5

34 - 35 1

USIA FREKUENSI

20 5

21 6

22 13

23 4

24 7

25 7

26 7

27 5

28 3

29 4

30 15

31 3

33 5

35 1

11. Frekuensi

FREKUENSI : banyaknya data untuk satu kelompok/klasifikasi

KELOMPOK FREKUENSI

Kelompok ke-1 f1

Kelompok ke-2 f2

Kelompok ke-3 f3

Kelompok ke-i fi

Kelompok ke-k fk

kn = Σ fi

i=1

Pendidikan Frekuensi

S1 62

S2 19

S3 9

90

kn = Σ fi = f1 + f2 + f3 +….. + fi + …… + fk

i=1

DISTRIBUSI FREKUENSI : mengelompokkan data interval/rasio dan menghitungbanyaknya data dalam satu kelompok/klasifikasi

12. Distribusi Frekuensi

Membuat distribusi frekuensi :1. Mencari sebaran (range) yakni selisih antara data paling besar

dengan data paling kecil) 35 – 20 = 152. Menentukan banyak kelas dengan rumus k = 1 + 3,3 log n 7

3. Menentukan panjang kelas dengan rumusp = sebaran / banyak kelas 15/7 = 2

KELOMPOK USIA FREKUENSI

20 – 21 11

22 – 23 17

24 – 25 14

26 – 27 12

28 – 29 7

30 – 31 18

32 - 33 5

34 - 35 1

USIA FREKUENSI

20 5

21 6

22 13

23 4

24 7

25 7

26 7

27 5

28 3

29 4

30 15

31 3

33 5

35 1

13. Ukuran Tendensi Sentral

RATA-RATA : suatu bilangan yang bertindak mewakili sekumpulan bilanganRATA-RATA HITUNG (RERATA) : jumlah bilangan dibagi banyaknya

X1 + X2 + X3 + … + Xn

n

nΣ Xii =1

n

X =

Bila terdapat sekumpulan bilangan di mana masing-masing bilangannya memiliki frekuensi,maka rata-rata hitung menjadi :

X1 f1 + X2 f2 + X3 f3 + … + Xkfkf1 + f2 + f3 + … + fk

X =

k

Σ Xifii =1

k

Σ fii =1Cara menghitung :

Bilangan (Xi) Frekuensi (fi) Xi fi

70 3 210

63 5 315

85 2 170

Jumlah 10 695

Maka : X =69510

= 69.5

14. Median

MEDIAN : nilai tengah dari sekumpulan data setelah diurutkan yang fungsinya membantumemperjelas kedudukan suatu data.

Contoh : diketahui rata-rata hitung nilai ulangan dari sejumlah siswa adalah 6.55. Pertanyaannya adalah apakah siswa yang memperoleh nilai 7termasuk istimewa, baik, atau biasa-biasa saja ?

Jika nilai ulangan tersebut adalah : 10 10 8 7 7 6 5 5 5 5 4,maka rata-rata hitung = 6.55, median = 6Kesimpulan : nilai 7 termasuk kategori baik sebab berada di atas rata-rata hitung

dan median (kelompok 50% atas)

Jika nilai ulangan tersebut adalah : 8 8 8 8 8 8 7 5 5 4 3, maka rata-rata hitung = 6.55, median = 8Kesimpulan : nilai 7 termasuk kategori kurang sebab berada di bawah median

(kelompok 50% bawah)

Jika sekumpulan data banyak bilangannya genap (tidak mempunyai bilangan tengah)Maka mediannya adalah rerata dari dua bilangan yang ditengahnya.Contoh : 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 maka median (5+6) : 2 = 5.5

15. Modus

MODUS : bilangan yang paling banyak muncul dari sekumpulan bilangan, yang fungsinya untuk melihat kecenderungan dari sekumpulan bilangan tersebut.

Contoh : nilai ulangan 10 10 8 7 7 6 5 5 5 5 4 Maka : s = 6 ; k = 3 ; p =2

rata-rata hitung = 6.55 ; median = 6modus = 5 ; kelas modus = 5 - 7

Nilai Frekuensi

10 2

8 1

7 2

6 1

5 4

4 1

Jumlah 11

Nilai Frekuensi

8 – 10 3

5 – 7 7

2 – 4 1

Jumlah 11

Mo X Me

+-

Kurva positif apabila rata-rata hitung > modus / medianKurva negatif apabila rata-rata hitung < modus / median

16. Ukuran Penyebaran

Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil. Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.

A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10

Contoh :X = 55r = 100 – 10 = 90

UKURAN YANG MENYATAKAN HOMOGENITAS / HETEROGENITAS :1. RENTANG (Range)2. DEVIASI RATA-RATA (Average Deviation)3. VARIANS (Variance)4. DEVIASI STANDAR (Standard Deviation)

Rata-rata

17. Deviasi rata-rata Deviasi Rata-rata : penyebaran Berdasarkan harga mutlak simpanganbilangan-bilangan terhadap rata-ratanya.

Nilai X X - X |X – X|

100 45 45

90 35 35

80 25 25

70 15 15

60 5 5

50 -5 5

40 -15 15

30 -25 25

20 -35 35

10 -45 45

Jumlah 0 250

Nilai X X - X |X – X|

100 45 45

100 45 45

100 45 45

90 35 35

80 25 25

30 -25 25

20 -35 35

10 -45 45

10 -45 45

10 -45 45

Jumlah 0 390

Kelompok A Kelompok B

DR = 250 = 25 10

DR = 390 = 3910

Makin besar simpangan,makin besar nilai deviasi rata-rata

DR =nΣi=1

|Xi – X|n

Rata-rata

Rata-rata

18. Varians & Deviasi Standar

Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data

s2 =nΣi=1

(Xi – X)2

n-1

Deviasi Standar : penyebaranberdasarkan akar dari varians ;menunjukkan keragaman kelompok data

s =√nΣi=1

(Xi – X)2

n-1

Nilai X X -X (X–X)2

100 45 2025

90 35 1225

80 25 625

70 15 225

60 5 25

50 -5 25

40 -15 225

30 -25 625

20 -35 1225

10 -45 2025

Jumlah 8250

Nilai X X -X (X –X)2

100 45 2025

100 45 2025

100 45 2025

90 35 1225

80 25 625

30 -25 625

20 -35 1225

10 -45 2025

10 -45 2025

10 -45 2025

Jumlah 15850

Kelompok A Kelompok B

s = √8250

9 = 30.28 s = √15850

9 = 41.97

Kesimpulan :Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97

Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A

A behavioral science RM handout (after Dr. E. Lea Witta Dept. of Educational Research, Technology, and Leadership, University of Central Florida

19. Normalitas, Hipotesis, Pengujian

Distribusi Normal : kurva berbentuk bel, simetris, simetris terhadap sumbu yang melalui nilai rata-rata

+s +2s +3s -s +2s+3s

68%

95%

99%

• Lakukan uji normalitas• Rasio Skewness & Kurtosis berada –2 sampai +2

Rasio =

• Jika tidak berdistribusi normal, lakukan uji normalitas non parametrik (Wilcoxon, Mann-White, Tau Kendall)

Skewness = kemiringan

Kurtosis = keruncingan

nilai

Standard error

Review Page!

Pengaruh Nilai Statistik Dalam Pengambilan Keputusan Personal

BERITA HARIAN NASIONALSepanjang tahun ini telah terjadi 20 kecelakaan pesawat dalam 100

hari terakhir.

Bila 5 hari yang lalu telah terjadi

kecelakaan pesawat, sedangkan anda akan

pergi dari Banda aceh ke Jakarta. Apakah

anda akan naik pesawat?

Berarti 5 hari sekali terjadi kecelakaan pesawat.

STK - Probabilitas

0 < P(A) < 1, P() = 0, dan P(S) = 1

Peluang : pengukuran numerik kemungkinan suatu kejadian terjadi

P E L U A N G

0 10,5

Percobaan (Eksperimen)

•Lempar koin

•Lempar dadu

•Kelahiran

STK - Probabilitas

Percobaan

•Gambar, Angka

•1,2,3,4,5,6

•Laki-laki, Perempuan

Keluaran

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.

Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanyadisebut titik sampel.

Kejadian adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadipada suatu percobaan statistik.

Kejadian dilambangkan dengan A dan anggota-anggotanyadisebut juga titik sampel.

STK - Probabilitas

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN (lanjutan)

Ruang sampel S Himpunan semesta S

Kejadian A Himpunan bagian A

Titik sampel Anggota himpunan

STK - Probabilitas

A

S

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

(lanjutan)

Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S

yang terjadi dalam n cara maka probabilitas kejadian A

adalah :

dimana :

n(A) = banyak anggota A

n(S) = banyak anggota S

n

m

Sn

An AP

STK - Probabilitas

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

(lanjutan)

STK - Probabilitas

Keluaran Percobaan

• Percobaan multi langkah (n1)(n2)...(nk)

• Kombinasi

• Permutasi

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

(lanjutan)Contoh :

Pada pelemparan 2 buah uang logam :

a. Tentukan ruang sampel!

b. Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari 2 uang

logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A!

Jawab :

a. Ruang sampelnya :

b. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga probabilitas

kejadian A adalah :

Uang logam 2

g a

Uang

Logam 1

g (g,g) (g,a)

a (a,g) (a,a)

2

1

4

2

Sn

An AP

STK - Probabilitas

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

(lanjutan)

Latihan :

Pada pelemparan dua buah dadu :

a. Tentukan ruang sampelnya!

b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, tentukan P(A)!

c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)!

d. Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)!

STK - Probabilitas

PERMUTASI

Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-

anggota suatu himpunan dengan mengambil

seluruh atau sebagian anggota himpunan dan

memberi arti pada urutan anggota dari

masing-masing susunan tersebut.

Permutasi ditulis dengan P.

PERMUTASI (lanjutan)

Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak

r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :

Contoh :

Bila n=4 dan r=2, maka

!r-n

n! Prn

12

2!

4.3.2!

2!

4!

!2-4

4! P24

STK - Probabilitas

KOMBINASI

Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.

Kombinasi ditulis dengan C.

STK - Probabilitas

KOMBINASI (lanjutan)

Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak

r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :

Contoh :

Bila n=4 dan r=2, maka

STK - Probabilitas

!r-nr!

n! C n

rrn

6 1.2.2!

4.3.2!

2!2!

4!

!2-42!

4! C 4

224

KOMBINASI (lanjutan)

Contoh :

Dalam suatu kelompok terdiri dari 4 orang ahli mesin dan 3 orang ahli elektronika. Buatlah juri yang terdiri dari 2 orang ahlielektronika dan 1 orang ahli mesin!

Jawab :

Banyaknya jenis juri yang dapat dibentuk adalah

4 x 12 = 48 jenis juri.

12 2!

4.3.2!

2!1!

3!

!2-32!

3! C

4 3!

4.3!

1!3!

4!

!1-41!

4! C

3

223

4

114

STK - Probabilitas

LATIHAN

1. Aturan dari sebuah lotre adalah mengambil secara acak 6 bilangan bulat dari 47 bilangan bulat. Berapa banyak kemungkinan keluaran yang mungkin?

2. Dua item dari 5 item diambil secara acak untuk diteliti. Ada berapa cara mengambil 2 dari 5 item tersebut?

3. Jika 2 item diambil satu terlebih dahulu dan diperiksa, baru setelah itu diambil yang kedua. Berapa kemungkinan cara mengambil 2 dari 5 item tersebut?

STK - Probabilitas

10 !2-52!

5! C 5

225

20

3!

5!

!2-5

5! P25 AB BA AC CA AD DA AE EA BC CB BD DB BE EB

CD DC CE EC DE dan ED

AB AC AD AE BC BD BE CD CE dan DE

3.

2.

KONSEP PROBABILITAS Banyaknya kejadian yang sulit diketahui dengan pasti.

Akan tetapi kejadian tersebut dapat kita ketahui akan terjadi

dengan melihat fakta-fakta yang ada.

Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan untukmengukur derajat kepastian atau keyakinan yang disebutdengan Probabilitas atau Peluang dan dilambangkandengan P.

STK - Probabilitas

PERUMUSAN PROBABILITAS

Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara

yang mungkin terjadi dimana masing-masing n cara

tersebut mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang

sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E adalah :

n

m EP

STK - Probabilitas

PERUMUSAN PROBABILITAS (lanjutan)

Contoh :

Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah

kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge

yang lengkap!

Jawab:

Jumlah seluruh kartu = 52

Jumlah kartu hati = 13

Misal E adalah kejadian munculnya kartu hati, maka :

52

13

n

m EP

STK - Probabilitas

SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A

• Bila 0<P(A)<1, maka n(A) akan selalu lebih sedikit dari

n(S)

• Bila A = 0, himpunan kosong maka A tidak terjadi pada S

dan n(A)=0 sehingga P(A) = 0

• Bila A = S, maka n(A)=n(S)=n sehingga P(A) = 1

STK - Probabilitas

PERUMUSAN PROBABILITAS

KEJADIAN MAJEMUK

Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :

Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B, maka

probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:

BAn-n(B) n(A) BAn

BAP-P(B) P(A) BAP

STK - Probabilitas

BA

S S

AB

PERUMUSAN PROBABILITAS

KEJADIAN MAJEMUK (lanjutan)

Untuk 3 kejadian maka :

Maka Probabilitas majemuknya adalah :

CBAPCBP-CAP-BAP-CPBPAP CBAP

STK - Probabilitas

BA

S

C

PERUMUSAN PROBABILITAS

KEJADIAN MAJEMUK (lanjutan)

Contoh 1 :

Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang

lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B

adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka hitunglah

Jawab :

BAP

13

4

52

16

52

1

52

13

52

4

BAPBPAP BAP Maka

wajik)As(kartu 52

1 BAP ,

52

13 BP ,

52

4 AP

STK - Probabilitas

PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK

(lanjutan)Contoh 2 :

Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia

lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu

mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata

kuliah tersebut?

Jawab :

Misal A = kejadian lulus Kalkulus B = kejadian lulus Statistika

45

14

5

4

9

4

3

2

BAPBPAPBAP

BAPBPAPBAP

5

4BAP ,

9

4BP ,

3

2AP

STK - Probabilitas

DUA KEJADIAN SALING LEPAS

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku

maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas.

Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.

Dengan demikian probabilitas adalah :

0BA

BA

STK - Probabilitas

BA

S

BPAPBAP

DUA KEJADIAN SALING LEPAS (lanjutan)

Contoh :

Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya

muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!

Jawab :

Misal A = kejadian munculnya jumlah 7

B = kejadian munculnya jumlah 11

Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh :

A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5),(1,6),(3,4)}

B = {(6,5),(5,6)}

Maka yang berarti A dan B saling lepas.

P(A) = 4/36 , P(B)=2/36 sehingga

6

1

36

6

36

2

36

4BPAPBAP

0BAP

STK - Probabilitas

DUA KEJADIAN

SALING KOMPLEMENTER

Bila maka Ac atau A’ adalah himpunan S yang bukan

anggota A.

Dengan demikian

dan

Rumus probabilitasnya :

SA

0A'A

STK - Probabilitas

S

AA’

SA'A

AP1A'P

DUA KEJADIAN

SALING KOMPLEMENTER

Latihan

Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5

bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukan

probabilitas terpilihnya:

a. Bola merah

b. Bola putih

c. Bola biru

d. Tidak merah

e. Merah atau putih

STK - Probabilitas

DUA KEJADIAN

SALING BEBAS

Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling

bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan

sebaliknya kejadian B juga tidak mempengaruhi kejadian A.

Rumus :

BP.APBAP

STK - Probabilitas

DUA KEJADIAN SALING BEBAS

(lanjutan)Contoh :

Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X<=3 dadu I dan kejadianmunculnya muka Y>=5 dadu II saling bebas?

Jawab :

A= kejadian munculnya muka X<=3 dadu I

B= kejadian munculnya muka Y>=5 dadu II

Dari ruang sampel diperoleh :

A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}

B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),

(4,6),(5,6),(6,6)}

Maka diperoleh

P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3

Tetapi juga berlaku

maka A dan B saling bebas.

(3,6)}(2,6),,(3,5)(1,6)(2,5),{(1,5), BA

B.PAP3

1.

2

1

6

1BAP

STK - Probabilitas

6

1

36

6 BAP

PROBABILITAS BERSYARAT

Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu

terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B dan ditulis A/B.

Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah terjadi

disebut probabilitas bersyarat P(A/B).

Rumusnya :

0BP , BP

BAPA/BP

STK - Probabilitas

PROBABILITAS BERSYARAT

(lanjutan)

Contoh :

Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jeniskelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :

Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukanpromosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :

a. Laki-laki b. wanita

Bekerja Menganggur Jumlah

Laki-laki

Wanita

460

140

40

260

500

400

Jumlah 600 300 900

STK - Probabilitas

PROBABILITAS BERSYARAT

(lanjutan)

Jawab :

A=kejadian terpilihnya sarjana telah bekerja

B=kejadian bahwa dia laki-laki

a.

b. Cari sendiri!

30

23

600

460

AP

BAPA/BP

900

600AP maka 600An

900

460BAP maka 460BAn

STK - Probabilitas

PROBABILITAS BERSYARAT

Untuk Kejadian Saling Bebas

Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S yang

saling bebas dengan P(A)=0 dan P(B)=0 maka berlaku :

Bila

Untuk kejadian A,B, dan C maka :

BPB/APdan APA/BP

BP.A/BPBAP

maka , BP

BAPA/BP

STK - Probabilitas

CP.B/CP.CA/BPCBAP

PROBABILITAS BERSYARAT

Untuk Kejadian Saling Bebas

Contoh :

Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3 kali) pada kartu bridge yang lengkap. Setiap mengambil kartu, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu tersebut. Hal ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 3 kartu As!

STK - Probabilitas

PROBABILITAS BERSYARAT

Untuk Kejadian Saling Bebas

Jawab :

S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52

A = terpilih kartu As pada pengambilan pertama

B/A = terpilih kartu As pada pengambilan kedua dengansyarat pada pengambilan pertama terpilih kartu As

C/ = terpilih kartu As pada pengambilan ketigadengan syarat pada pengambilan pertama dan keduaterpilih kartu As

BA

STK - Probabilitas

PROBABILITAS BERSYARAT

Untuk Kejadian Saling Bebas

Pengambilan 1 : n(A)=4 dan n(S)=52

Pengambilan 2 : n(B/A)=3 dan n(S)=51

Pengambilan 3 : n(C/ ) =2 dan n(S)=50

Maka :

BA

525.5

1

52

4.

51

3.

50

2

AP.B/AP.BC/APCBAP

STK - Probabilitas

DISTRIBUSI DISKRIT

VARIABEL ACAK

VARIABEL ACAK :

suatu fungsi yang nilainya berupa bilangannyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalamruang sampel.

Variabel acak ada 2, yaitu :

1. Variabel Random Diskrit/ Cacah

digunakan untuk data cacahan

2. Variabel Random Kontinu

digunakan untuk data ukur

• Contoh :

pada percobaan pelemparan mata uang.

Misal banyaknya muncul gambar

dinyatakan x, maka x = variabel acak

Ruang Sampel :

• Diskrit :

– ruang sampel yang mengandung titik sampel

sebanyak bilangan cacah

• Kontinu :

– mengandung titik sampel sebanyak titik pada

sebuah garis

DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

• Adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan

semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit dan

nilai peluangnya

x P(x)

0

1

2

¼

2/4

¼

Contoh :

1) Tentukan rumus distribusi peluang

banyaknya sisi gambar bila sebuah uang

logam dilempar 3 kali. Buatlah tabelnya ?

Eksperimen :

pelemparan 1 mata uang 3x, Banyaknya titik

sampel = 23 = 8

S ={AAA, AAG, AGG, GGG, AGA, GAG,

GAA, GGA}

Banyaknya muncul sisi gambar adalah

Jadi fungsi peluang adalah :

Untuk x = 0,1,2,3

Tabel distribusi peluang :

x

3

8

3

)(

x

f x

2) Sebuah dadu dilemparkan 2x

Misalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua

lemparan itu, maka

x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Tabel distribusi probabilitas x :

a) P(x>8) = P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+ P(x=12)

= =

b) P(4<x<7) = P(x=5) + P(x=6)

= =

3) Eksperimen : 8 bit (1 byte) dibangkitkan secara acak.

Variabel random y = banyak bit 1 dalam byte

y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

y = 0 n = c(8,0) = 1

y = 1 n = c(8,1) = 8

y = 2 n = c(8,2) = 28

y = 3 n = c(8,3) = 56

y = 4 n = c(8,4) = 70

y = 5 n = c(8,5) = 56

y = 6 n = c(8,6) = 28

y = 7 n = c(8,7) = 8

y = 8 n = c(8,8) = 1

n(S)=banyak cara membangkitkan 8 bit(0 & 1)

= = 256

Tabel distribusi probabilitas x :

4) Sebuah toko menjual obral 15 radio, diantara

radio tsb, terdapat 5 yang rusak. Jika seorang

calon pembeli melakukan tes tiga radio yang

dipilih secara random. Tuliskan distribusi

probabilitas x = banyaknya radio yang rusak

dalam sampel itu dan tabelnya

Proses Bernoulli

Distribusi Binomial

Distribusi Geometrik

Distribusi Hipergeometrik

Proses & Distribusi Poisson

Pendekatan untuk Distribusi Binomial

Distribusi Variabel Random Diskrit

Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

1. Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain.

2. Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses* dan gagal. Kedua hasil tersbut bersifat mutually exclusive dan exhaustive.

3.Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p.* Istilah sukses dan gagal adalah istilah statistik yang tidak memiliki implikasi positif atau

negatif.

Proses Bernoulli

Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL

Rumus distribusi probabilitas binomial:

rnr qprnr

nr

.

)!(!

!)(P

Dimana:P(r) : Nilai probabilitas binomial p : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaanr : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan n : Jumlah total percobaan q : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1-p

PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang 15 dan 13 buahditerima? Hitung probabilitas 10 buah diterima???

DISTRIBUSI POISSON

• Dikembangkan oleh Simon Poisson

• Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangatbermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namununtuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulitmendapatkan nilai binomialnya.

• Rumus:

P(X) = xe-/X!

Jawab:n = 120 X=5 p=0,1 =n.p =120 x 0,1 = 12

P(X) = 1252,71828-12/5! = 0,0127

Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabeldistribusi Poisson. Carilah Nilai = 12 dan nilai X = 5, maka akandidapat nilai 0,0127

Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen?