matematika teknik.pdf
Post on 26-Dec-2015
30 Views
Preview:
TRANSCRIPT
DERET FOURIER
Oleh :
Nama : 1. Neti Okmayanti (2007.121.460)
2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465)
3. Feri Febriansyha (2007.121.458)
Kelas : 6. L
Mata Kuliah : Matematika Lanjutan
Dosen Pengasuh : Fadli, S.Si
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
2010
1
DERET FOURIER
A. Fungsi Periodik
Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka
f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier:
f(x) = ∑∞
=
++1
0 )sincos(2 n
nn L
xnb
L
xna
a ππ
dimana an = ∫−
L
L
dxL
xnxf
L
πsin)(
1
n = 0, 1, 2, . . . . .
bn = dxL
xnxf
L
L
L∫
−
πsin)(
1
bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis
dalam bentuk :
an = dxL
xnxf
L
Lc
c∫
+2
cos)(1 π
n = 0, 1, 2, . . . . .
bn = dxL
xnxf
L
Lc
c∫
+2
sin)(1 π
B. Syarat Dirichlet
Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L)
a. Bernilai tunggal
b. Terbatas (bounded)
c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L
d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu
e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga
2
Maka deret Fourier konvergen ke :
1. f(x) di x dimana f(x) continu
2. { })0()0(2
1 −++ xfxf untuk x dimana f(x) tidak kontinu.
C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier
1. ∫ u dv = u v - ∫ v du atau
∫ =uv u v1 – u’ v2 + u’’ v3 - . . . . . dimana
u’ = turunan pertama
v1 = ∫ v dx dan seterusnya
Contoh :
1. ∫3x sin 2x dx = xx
xx
xx
x2sin
16
62cos
8
62sin
4
32cos
2
23
−
+
−−−
3x2 x2cos2
1−
6x - x2sin4
1
6 x2cos8
1
0 x2sin16
1
Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan,
kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan
tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.
Perderetkan f(x) =
3
0
20
02
<<<<−
x
x menurut deret Fourier:
3
(periode 4, L = 2)
Penyelesian :
a0 = ∫−
0
2
02
1 dx + ∫
2
0
32
1 dx = 03
2
1 2
0=x
a0 = ∫∫ +−
2
0
0
2 2cos3
2
1
2cos0
2
1dx
xndx
xn ππ
= ,02
sin2.3
212
0
=
xn
n
ππ
n = 1, 2, . . . . . (sin n 0=π )
bn = dxrn
dxrn
2sin3
2
1
2sin0
2
1 2
0
0
2
ππ∫∫ +
−
= ),cos1(3
2cos
2.321
2
0
ππ
ππ
nn
xn
n−=
− n = 1, 2, . . . . .
bn = 0 untuk n genap
jadi: f (x) = ...)2
7sin
7
1
2
5sin
5
1
2
3sin
3
1
2(sin
6
2
3 +++++ xxxx πππππ
3 Y
2 X -2
f (x) dapat ditulis sebagai berikut:
f (x) = ∑∞
=
−−
+1 2
)12(sin
)12(
16
2
3
n
xn
n
ππ
4
Perderetan f(x) =
2
1
πππ2
0
<<<<
x
x menurut deret Fourier.
(periode 2π, L = π)
Penyelesaian:
a0 = ] ]{ }ππ
ππ
π
ππ
ππππ2
0
2
0
2
0
21
21
11
)(1
xxdxdxdxxf +=+= ∫∫∫
= { } 321)24()(1 =+=−+ ππππ
an = ∫ ∫∫ +=π π
π
π
ππ
πππ
ππ 0
22
0
cos.21
cos.11
)(1
dxxn
dxxn
dxxf
= nxdxnxdx cos21
cos1 2
0∫∫ +π
π
π
ππ
= 0sin2
sin1
2
20
=
+
ππ
ππnx
nnx
n
bn = ∫ ∫ ∫+=π π π
π ππ
πππ
ππ
2
0 0
2
sin.21
sin.11
)(1
dxxn
dxxn
dxxf
= ∫ ∫+π
π 0
2π
π
dxnx 2.sin π
1dxnx sin .1
1
= π
π
π
ππ
2
0
cos2
cos1
−+
− nxn
nxn
2 Y
1
π 2π
X
5
= π
πππ
ππ n
nnn
nn
2cos
21cos
1 −++− ; (cos 0 = cos 2π)
= ),1(cos1 −ππ
nn
n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap
bn = π)12(
2
−n
D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x)
Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0
a0 = ∫∫ =−
ππ
π ππ 0
).(2
)(1
dxxfdxxf
an = dxnx cos).(2
dxnx cos)(1
xfxfππ
π
π
=∫−
Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x).
Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0
bn = dxnx sin ).(2
dx nx sin)(1
0
xfxf ∫∫ =−
ππ
π ππ
Contoh Soal :
1. Perderetkan f(x) = x2, -π ≤ x ≤ π (periode 2π)
Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0
a0 = ∫ ∫−
==π
π
ππ
πππ 00
32
3
2.
2)(
1xdxxdxxf
= )(3
2 3ππ
= 3
2 2π
6
an = ∫∫ =−
ππ
π ππ
πππ
π 0
2 cos.2
cos)(1
dxxn
xdxxn
xf
= 0
)sin2
cos2
sin(2
32
2 ππ
nxn
nxn
xnx
n
x −+
= )0cos2
0(2
2++
n
nπππ
= n
n)1(
42
−
2. Perderetkan f(x) = x, 0 < x < 2
Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus
Penyelesaian: (disini yang dicari hanya bn)
bn = ∫L
dxL
xnxf
L 0
sin)(2 π
= ]∫−−−=
2
0
2022 2
sin4
2cos
2
2sin
2
2 xn
n
xn
n
xdx
xnx
ππ
ππ
π
= ππ
nn
cos4−
x2 cos nx
2x -n
1sin nx
2 2
1
n
− cos nx
0 sin13n
− nx
Jadi f(x) = x2= ∑∞
=
−+1
2
2
cos)1(
43 n
n
nxn
π
Atau = ....4
4cos
3
3cos
2
2cos
1
cos(4
3 2222
3
+−+−− xxxxπ
x2 sin2
xnπ
1 2
cos2 xn
n
ππ
−
0 2
sin4
22
xn
n
ππ
−
Jadi f(x) = ∑∞
=
−1 2
sincos4
n
xnn
n
πππ
Atau = −−+−2
4sin
4
1
2
3sin
3
1
2
2sin
2
1
2(sin
4
4 xxxx ππππ
7
E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan
Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya
memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus,
fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L).
Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga
cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L)
Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya bn, demikian juga pada cosinus ½
jangkaun yang divari hanya a0 dan an.
Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus)
bn = ∫L
dxL
xnxf
L 0
,sin)(2 π
a0 dan an = 0
untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus)
a0 = ∫L
dxxfL 0
)(2
an = ∫L
dxL
xnxf
L 0
,cos)(2 π
bn = 0
Contoh Soal
Perderetkan f(x) = ex untuk 0 < x < π, dalam deret sinus.
Penyelesaian :
bn = ∫L
dxL
xnxf
L 0
sin)(2 π
= )dxnx sin en
1nxsin e
n
1nx cose
n
1(
n
2dxnx sin e
2 π
0
x
2
2
0
x
2
xx∫∫ −+−=
π
= π
π0
2
22
2
sin1
cos1
1
2
+−
+nxe
nnxe
nn
n x
8
=
−+
ππ
π nen
ncos1(
1
22
2. Perderetkan f(x) =
−1
1
axa
ax
<<
<<
2
20
dalam cosinus.
( periode 2a)
Penyelesaian :
a0 = [ ] [ ] 01122
).1(2
.12
2/2/
0
2/
2/
0
=−=−+=−+ ∫∫aa
aa
a
a
xa
xa
dxa
dxa
= [ ] [ ] 01122
).1(2
.12
2/
2/2/
0
2/
0
=−=−+=−+ ∫∫a
a
aa
aa
xa
xa
dxa
dxa
an = ∫∫ −+a
a
a
dxa
xn
adx
a
xn
a 2/
2/
0
cos)1(2
cos.12 ππ
ex sin nx
ex n
nxcos−
ex 2
sin
n
nx−
f(x) = ex = ....)3sin13
132sin
12
12sin
11
1(
2222
−+
+++
+++
+x
ex
ex
e ππ ππ
Y
1
-1
-a a/2 a X
9
= a
a
a
a
xn
na
xn
n 2/
2/
0
sin2
sin2
−
ππ
ππ
= ,2
sin4
2sin
2
2sin
2 ππ
ππ
ππ
n
n
n
n
n
n=+ untk n genap a an = 0
F. Harmonic Analisis
Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan
digunakan suatu formula yaitu :
a0 = ∫ ∫−=
π π
ππ
2
0
2
0
.)(02
12)(
1dxxfdxxf
a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π).
an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π).
b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).
Contoh:
Tentukan konstante a0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang
diberikan sebagai berikut:
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 9 18 24 28 26 20
f(x) = xm
m
m
n
ππ
π)12(
cos1)2(
2
)12(sin
42
1
−−
−
∑∞
=
atau = ...)5
cos5
13cos
3
1(cos
4 −+−a
x
a
x
a
x ππππ
10
Penyelesaian :
x x / 3 Sin x / 3 Cos x / 3 f(x) f(x) sin x / 3 f(cos) x / 3
0 0 0 1 9 0 9
1 / 3 0,687 0,5 18 15,606 9
2 2 / 3 0,687 -0,5 24 20,808 -12
3 3 / 3 0 -1 28 0 -28
4 4 / 3 -0,687 -0,5 26 -22,542 -13
5 5 / 3 -0,687 0,5 20 -17,340 10
125 -3,468 -25
a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66
a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33
b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156
Identitas Parsevel
Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L)
maka:
{ } ∑∑ ++=−
)(2
)(1 22
202
nn
L
L
baa
dxxfL
Contoh:
Buktikan: ....4
1
3
1
2
1
1
1
90 4444
4
++++=π
Jadi f(x) = ...3
sin...3
cos2 110 ++++ x
bx
aa ππ
= 20,83 – 8,33 cos ....3
sin156,13
+−+ xx ππ
11
Bila diberikan :
x2 = ∑∞
=
−=−+1
2
2
2
,)((cos)1(
43 n
n
xxfnxn
ππ≤ x ≤ π)
∫−
π
ππdxxf 2))((
1 = 5
0
5
0
4
5
2
5
122 ππππ
πο
=
=∫ xdxx
20a
= 3
2π atau
3
2 2
0
πa
an = n
n)1(
42
−
4
5
2π = ∑∞
+1
4
22 1
16)2
2(
2
1
n
π
5
42π = ∑
∞
+
14
22 16
2
1
3
2
n
π
4
45
)59(2 π− = 16 ∑
∞
14
1
n
90
4π = .......
4
1
3
1
2
1
1
14444
++++
Diberikan deret : x2 = ∑∞
=
−+1
2
2
,cos)1(
43 n
n
nxn
π -π ≤ x ≤ π
Hitung : .....4
1
3
1
2
1
1
12222
+−+−
Untuk x = 0 didapat:
0 = ∑∞
=
−+1
2
2
0cos)1(
43 n
n
n
π
0 = ...)4
1
3
1
2
1
1
1(4
3 2222
2
+−+−−π
=12
2π ...)
4
1
3
1
2
1
1
1(
2222+−+−
12
LEMBAR KERJA
1. Perderetan f(x) =
x
2
26
02
≤≤≤≤−
x
x menurut deret fourier
Dimana periode 4, L = 2
2. Perderetan f(x) = x3, πππ <<− periode (2π )
Dimana f(x) = x3, adalah fungsi ganjil!
3. Perderetan f(x) = cos x, 0 < x < π , ke dalam deret sinus!
top related