matematika diskrit relasi rekursif
Post on 08-Jul-2015
2.115 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Relasi RekursifOleh:
Adhitya Himawan (4111412014)
Rahmad Ramadhon (4111412019)
Hengky Tri Ikhsanto (4111412025)
Ayuk Wulandari (4111412026)
Pengantar
Relasi rekursif untuk barisan (an) adalah persamaan yang menyatakan an
dalam salah satu atau lebih bentuk a0, a1, …, an-1 untuk semua n dengan n n0
dimana n0 bilangan bulat non-negatif.
contoh.
Apakah barisan (𝑎𝑛) dimana 𝑎𝑛=3n, dengan n bilangan bulat non-negatif,
merupakan solusi dari an = 2an-1 - an-2 untuk n = 2, 3, 4, … ?
Bagaimana dengan barisan an = 2n dan an =5 ?
Relasi rekursif homogen linear berderajat k
dengan koefisien konstan
Bentuk umum:
an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k,
dengan c1, c2, …, ck bilangan real dan ck 0.
Contoh.
1. Pn = 12Pn-1
2. fn = fn-1 + fn-2
3. Hn = 2Hn-1 + 1
4. an = an-1 + (𝑎𝑛−2)2
5. Tn = nTn-2
Contoh 1,2 merupakan relasi rekursif homogen linear sedangkan 3,4,5 merupakan
relasi tak homogen linear.
Solusi Relasi Rekursif
Langkah dasar dalam memecahkan relasi rekursif homogen linear berderajad k dengan koefisien konstan adalah mencari solusi dalam bentuk an = rn dengan rkonstan.
an = rn adalah solusi dari
an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k
jika dan hanya jika
rn = c1 rn-1 +c2 r
n-2 + … + ck rn-k.
Bila kedua ruas dibagi dengan rn-k diperoleh:
rk - c1 rk-1 - c2 r
k-2 - … - ck-1 r - ck = 0.
Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari relasi rekursif. Solusidari persamaan ini disebut akar karakteristik.
Teorema 1
Misalkan c1, c2 bilangan real dan r2 - c1r - c2 = 0 mempunyai dua akar
berbeda r1 dan r2.
Maka semua solusi dari relasi rekursif
an = c1 an-1 + c2 an-2
berbentuk
an = 1r1n + 2r2
n, n=0,1,2,…
dengan 1 dan 2 konstan.
Contoh
Carilah solusi dari an = an-1 + 2an-2 dengan a0 = 2 dan a1 =7.
Solusi.
Persamaan karakteristiknya
r2 - r - 2 = 0,
mempunyai akar r = 2 dan r = -1.
Menurut Teorema 1, solusi relasi rekursif berbentuk
an= 1 2n + 2 (-1)n .
Karena a0= 2 dan a1= 7, diperoleh
an = 32n - (-1)n .
Teorema 2
Misalkan c1, c2 bilangan real dengan c2 0 dan r2 - c1r - c2 = 0 mempunyai
hanya satu akar r0.
Maka semua solusi dari relasi rekursif
an = c1 an-1 + c2 an-2
berbentuk
an = 1 r0n + 2 nr0
n, n=0,1,2,…
dengan 1 dan 2 konstan.
Contoh
Tentukan solusi dari relasi rekursif an = 6an-1- 9an-2 dengan kondisi awal a0 = 1 dan a1 = 6.
Solusi.
Dari soal dapat diketahui bahwa Persamaan karakteristiknya adalah : r2 – 6r + 9 = 0.
Akar-akarnya: (r – 3)(r – 3 ) = 0 r1 = r2 = 3 r0
an = 1rn0 + 2nrn
0 an = 13n + 2n3n
a0 = 1 a0 = 1 = 130 + 2 030 = 1
a1 = 6 a1 = 6 = 131 + 213
1 = 31 + 32
Diperoleh dua persamaan: 1 = 1 dan 31 + 32 = 6,
solusinya adalah 1 = 1 dan 2 = 1
menurut teorema 2 diperoleh:
Jadi, solusi relasi rekursif adalah:
an = 3n + n3n
Teorema 3
Misalkan c1, c2, …, ck bilangan real dan persamaan karakteristik
rk - c1 rk-1 - c2 r
k-2 - … - ck-1 r - ck = 0, mempunyai k akar r1, r2, …, rk yang berbeda.
Maka, solusi relasi rekursif
an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k
selalu berbentuk
an = 1r1n + 2r2
n + … + krkn , n=0,1,2,…
dengan i , i=0,1,…,k konstan.
Contoh.Tentukan solusi dari relasi rekursif an = 6an-1 – 11an-2 + 6an-3 dengan kondisi awal
a0=2, a1=5 dan a2=15.
Solusi:
Persamaan karakteristiknya
r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0.
Jadi akar-akarnya r=1, r=2 dan r=3.
Dengan demikian, menurut teorema 3 solusinya berbentuk:
an = 11n + 22
n + k3n .
Dari kondisi awalnya diperoleh:
an = 1 - 2n + 2 3n .
Teorema 4
Misal c1, c2, …, ck bilangan real dan persamaan karakteristik
rk - c1 rk-1 - c2 r
k-2 - … - ck-1 r - ck = 0
mempunyai t akar r1, r2, … , rt berbeda dengan multiplisitas m1, m2, … , mt
(m1+m2 + … + mt = k).
Maka solusi relasi rekursif
an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k
selalu berbentuk
an = (0 + 1n + 2n2 + … + m1-1 nm1-1)r1
n
+ (0 + 1n + 2n2 … + m2-1 nm2-1)r2
n
+ … + (0 + 1n + … + mt-1 nmt-1)rtn
ContohTentukan solusi dari relasi rekursif
an = -3an-1 - 3an-2 - an-3 dengan kondisi awal a0 = 1, a1 = -2 dan a2 = -1.
Solusi:
Persamaan karakteristiknya
r3 + 3r2 + 3r +1 = 0.
Jadi akarnya r = -1 dgn multiplisitas 3.
Dengan demikian, menurut teorema 4 solusinya berbentuk:
an = 1,0 (-1)n + 1,1 n (-1)n + 1,2 n2 (-1)n .
Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh
an = (1 +3n-2n2) (-1)n.
Silahkan Dikerjakan.
1. Tentukan formula eksplisit dari bilangan Fibonacci dengan kondisi awal f0=1,
f1=1.
2. Selesaikan relasi rekurens berikut: an = 2an–1 ; a0 = 3.
3. Selesaikan relasi rekurens berikut: an = 5an–1 – 6an–2 ; a0 = 1 dan a1 = 0.
Penyelesaian1. Jelas bahwa bilangan Fibonacci fn memenuhi relasi fn = fn-1 + fn-2. Dengan kondisi
awal f0=1, f1=1. Dari dari relasi tersebut dapat diidentifikasikan persamaan karakteristknya yaitu: 𝑟2 − 𝑟 − 1 = 0.
Dari persamaan karakteristik tersebut dapat diketahui akar-akar karakteristiknya yaitu
𝑟1 =1+ 5
2, 𝑟2 =
1− 5
2.
Maka diperoleh solusi relasi rekursif berbentuk:𝑓𝑛 = 𝑐1𝑟1𝑛 + 𝑐2𝑟2
𝑛 =
𝑐1(1+ 5
2)𝑛+𝑐2(
1− 5
2)𝑛.
Dari kondisi awal maka diperoleh:
𝑐11 + 5
2+ 𝑐2
1 − 5
2= 1
𝑐1(1 + 5
2)2+𝑐2(
1 − 5
2)2= 1
Dari kedua persamaan tersebut dapat diketahui nilai 𝑐1 =5
5𝑑𝑎𝑛 𝑐2 = −
5
5.
Lalu disubstitusikan ke 𝑓𝑛, maka diperoleh solusi khususnya:
𝑓𝑛 =5
5(1+ 5
2)𝑛−
5
5(1− 5
2)𝑛.
3. Jelas an = 5an–1 – 6an–2 ; a0 = 1 dan a1 = 0.
Maka dapat diketahui bahwa persamaan karakteristiknya adalah 𝑟2 − 5𝑟 + 6 = 0.
Dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa akar karakteristiknya adalah:
𝑟1 = 6 𝑑𝑎𝑛 𝑟2 = −1.
Jelas solusi relasi rekursif berbentuk: 𝑎𝑛 = 𝑐1𝑟1𝑛 + 𝑐2𝑟2
𝑛 = 𝑐16𝑛 + 𝑐2(−1)
𝑛.
Dari kondisi awal diperoleh:
𝑐1 + 𝑐2 = 16𝑐1 − 𝑐2 = 0
Dari kedua persamaan tersebut dapat diketahui nilai 𝑐1 =1
7𝑑𝑎𝑛 𝑐2 =
6
7.
Kedua nilai tersebut dimasukkan ke 𝑎𝑛, maka solusi khususnya adalah:
𝑎𝑛 =6𝑛
7+6(−1)𝑛
7=6𝑛 + 6(−1)𝑛
7
4. Selesaikan relasi rekurensi di bawah ini lewat persamaan karakteristiknya:
a. an = 3 an-1 + 4 an-2 untuk n ≥ 2 dengan kondisi awal
a0 = 1 dan a1 = 3.
b. an + 9 an-2 = 0 untuk n ≥ 2 dengan kondisi awal
a0 = 1 dan a1 = 4.
c. 2 an -2 an-1 +1
2an-2 = 0 untuk n ≥ 2 dengan kondisi awal
a0 = 6 dan a1 = 8.
d. an + 6 an-1 + 9 an-2 = 0 untuk n ≥ 2 dengan kondisi awal
a0 = 1 dan a1 = 3.
e. an – 3 an-1 + 3 an-2 – an-3 = 0 untuk n ≥ 3 dengan kondisi awal
a0 = 1; a1 = 2 dan a2 = 4
a. an = 3 an-1 + 4 an-2 untuk n ≥ 2 dengan kondisi awal
a0 = 1 dan a1 = 3.
Penyelesaian:
an = 3 an-1 + 4 an-2
↔ an - 3 an-1 - 4 an-2 = 0
Kita cari akar – akarnya
r2 – 3r – 4 = 0
(r – 4) atau (r + 1) = 0
Maka r1 = 4, r2 = -1 dengan penyelesaian menurut teorema 1, solusi relasi rekursifnya berbentuk:
an = α1(4)n + α2(-1)n ...(*)
karena a0= 1 dan a1 = 3 kita subtitusikan kepersamaan (*)
a0= 1 menjadi a0 = 1 = α1 (4)0 + α2 (-1)0 = α1 +α2 ...(1)
a1= 3 menjadi a1 = 3 = α1 (4)1 + α2 (-1)1 = 4α1 - α2 ...(2)
kita eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mencari nilai α1 dan α2.
α1 +α2 = 1
4α1 - α2 = 3 +
5α1 = 1
α1= 4/5
subtitusikan kepersamaan (1) diperoleh:
α1 + α2 = 1 ↔ 4/5 + α2 = 1
α2 = 1 – 4/5
α2 = 1/5
maka penyelesaian relasi rekursifnya an - 3 an-1 - 4 an-2 = 0 adalah
an = α(4)n + α(-1)n
an = 4/5 (4)n + 1/5 (-1)n
b. an + 9 an-2 = 0 untuk n ≥ 2 dengan kondisi awal
a0 = 1 dan a1 = 4.
Penyelesaian:
an + 9 an-2 = 0
Kita cari akar – akarnya yaitu:
r2 + 9 = 0
↔ r2 = -9
↔ r = ± 3
Maka akar - akarnya r1 = 3, r2 = -3 dengan penyelesaian menurut teorema 1, solusi relasi rekursifnya berbentuk:
an = α1(3)n + α2(-3)n ...(*)
karena a0= 1 dan a1 = 4 kita subtitusikan kepersamaan (*)
a0= 1 menjadi a0 = 1 = α1 (3)0 + α2 (-3)0 = α1 +α2 ...(1)
a1= 4 menjadi a1 = 4 = α1 (3)1 + α2 (-3)1 = 3α1 - 3α2 ...(2)
kita eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mencari nilai α1 dan α2.
α1 +α2 = 1 x 3 3α1 +3α2 = 3
3α1 - 3α2 = 4 + x 1 3α1 - 3α2 = 4 +
6α1 = 7
α1= 7/6
subtitusikan kepersamaan (1) diperoleh:
α1 + α2 = 1 ↔ 7/6 + α2 = 1
α2 = 1 – 7/6
α2 = - 1/6
maka penyelesaian relasi rekursifnya an + 9 an-2 = 0 adalah
an = α(3)n + α(-3)n
an = 7/6 (3)n – 1/6 (-3)n
c. 2 an -2 an-1 +1
2an-2 = 0 untuk n ≥ 2 dengan kondisi awal
a0 = 6 dan a1 = 8.
Penyelesaian:
2 an -2 an-1 +1
2an-2 = 0
↔ 4 an – 4 an-1 + an-2 = 0
Kita cari akar – akarnya
(2r – 1) atau (2r - 1) = 0
↔ (2r – 1)2 = 0
↔ r1 = r2 = ½ yaitu r0
Dengan penyelesaian menurut teorema 2, solusi relasi rekursifnya berbentuk:
an = α1r0n + α2nr0
n
maka diperoleh an = α1(1/2)n + α2n(1/2)n ...(*)
karena a0= 6 dan a1 = 8 kita subtitusikan kepersamaan (*)
a0= 6 menjadi a0 = 6 = α1 ( ½ )0 + α2 0. ( ½ )0 = α1
a1= 8 menjadi a1 = 8 = α1 ( ½ )1 + α2 1. ( ½ )1 = ½ α1 + ½ α2 ...(1)
didapat α1 = 6, kita subtitusikan kepersamaan (1).
½ α1 + ½ α2 = 1
½ 6 + ½ α2 = 8
½ α2 = 8 – 3
α2 = 5
½
α2 = 10
maka penyelesaian relasi rekursifnya 2 an -2 an-1 +1
2an-2 = 0 adalah
an = α1(1/2)n + α2n(1/2)n
↔ an = 6 (1/2)n + 10n(1/2)n
d. Tentukan solusi rekursif 𝑎𝑛 + 6𝑎𝑛−1 + 9𝑎𝑛−2 = 0 untuk 𝑛 ≥ 2 dengan 𝑎0 = 1 dan
𝑎1 = 3.
Penyelesaian :
Diketahui : 𝑎𝑛 + 6𝑎𝑛−1 + 9𝑎𝑛−2 = 0 , 𝑛 ≥ 2𝑎0 = 1, 𝑎1 = 3
Ditanya : Solusi relasi rekursif ?
Jawab :
Persamaan Karakteristik
𝑟2 + 6𝑟 + 9 = 0
Akar – akar karakteristik
𝑟 + 3 𝑟 + 3𝑟1,2 = −3
Solusi rekusif (umum)
𝑎𝑛 = 𝛼1𝑟𝑛 + 𝛼2𝑛𝑟
𝑛
𝑎𝑛 = 𝛼1(−3)𝑛+𝛼2𝑛(−3)
𝑛…… ∗
Karena 𝑎0 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎1 = 3𝑎0 = 1 → 𝑎0 = 1 = 𝛼1(−3)
0+𝛼20(−3)0= 𝛼1…(1)
𝑎1 = 2 → 𝑎1 = 3 = 𝛼1(−3)1+𝛼21(−3)
1= −3𝛼1 − 3𝛼2…(2)
Subtitusikan persamaan (1) dan (2)
−3𝛼1 − 3𝛼2 = 3⟺ −3(1) − 3𝛼2 = 3
⟺−3𝛼2 = 6⟺ 𝛼2 = −2
Jadi solusi relasi rekursifnya
𝑎𝑛 = 𝛼1(−3)𝑛+𝛼2𝑛(−3)
𝑛
𝑎𝑛 = (−3)𝑛−2𝑛(−3)𝑛
e. Tentukan relasi rekursif 𝑎𝑛 − 3𝑎𝑛−1 + 3𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛−3 = 0 untuk 𝑛 ≥ 3 dengan
𝑎0 = 1, 𝑎1 = 2, 𝑑𝑎𝑛 𝑎2 = 4
Penyelesaian :
Diketahui : 𝑎𝑛 − 3𝑎𝑛−1 + 3𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛−3 = 0, untuk 𝑛 ≥ 3𝑎0 = 1, 𝑎1 = 2, 𝑑𝑎𝑛 𝑎2 = 4
Ditanya : Solusi relasi rekursif ?
Jawab :
Persamaan Karakteristik
𝑟3 − 3𝑟2 + 3𝑟 − 1 = 0
Akar – akar karakteristik
𝑟 − 1 𝑟 − 1 𝑟 − 1𝑟1,2,3 = 1
Solusi rekursif (umum)
𝑎𝑛 = 𝛼1𝑟𝑛 + 𝛼2𝑛𝑟
𝑛 + 𝛼3𝑛2𝑟𝑛
𝑎𝑛 = 𝛼11𝑛 + 𝛼2𝑛1
𝑛 + 𝛼3𝑛21𝑛…(∗)
Karena 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 2, 𝑑𝑎𝑛 𝑎2 = 4𝑎0 = 1 ⟺ 𝑎0 = 1 = 𝛼11
0 + 𝛼2010 + 𝛼30
210 = 𝛼1…(1)𝑎1 = 2 ⟺ 𝑎1 = 2 ⟺ 𝛼11
1 + 𝛼21. 11 + 𝛼31
211 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3…(2)𝑎2 = 4 ⟺ 𝑎2 = 4 ⟺ 𝛼11
2 + 𝛼22. 12 + 𝛼32
212 = 𝛼1 + 2𝛼2+4𝛼3… 3
Dari persamaan di (1),(2) dan (3) diperoleh :1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 2
1 + 2𝛼2+4𝛼3 = 4× 4× 1
4 + 4𝛼2 + 4𝛼3 = 8
1 + 2𝛼2+4𝛼3 = 43 + 2𝛼2 = 4
2𝛼2 = 1
𝛼2 =1
2
1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 2
⟺ 1 +1
2+ 𝛼3 = 2
⟺3
2+ 𝛼3 = 2
⟺ 𝛼3 =1
2
Jadi solusinya adalah 𝛼1 = 1, 𝛼2 =1
2, 𝛼3 =
1
2
Solusi Relasi Rekursif
𝑎𝑛 = 𝛼11𝑛 + 𝛼2𝑛1
𝑛 + 𝛼3𝑛21𝑛
𝑎𝑛 = 1(1)𝑛 +1
2𝑛1𝑛 +
1
2𝑛21𝑛
5. Misalkan {an} adalah barisan yang memenuhi relasi rekurensif berikut:
an = 2an–1 – an–2 ; a0 = 1 dan a1 = 2
Periksa apakah an = 3n merupakan solusi relasi rekurensi tersebut ?
Penyelesaian:
Penyelesaian: 2an–1 – an–2 = 2[3(n – 1)] – 3(n – 2)
= 6n – 6 – 3n + 6
= 3n = an
Jadi, an = 3n merupakan solusi dari relasi rekurens tersebut.
27
Soal relasi rekurensi homogen
6. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi 𝑏𝑛 + 𝑏𝑛−1 − 6𝑏𝑛−2 = 0 dengan
kondisi batas 𝑏0 = 0, 𝑏1 = 1.
7. Tentukan solusi dari relasi rekurensi 𝑎𝑛 + 4𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 = 2𝑛.
8. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi 4𝑎𝑛 − 20𝑎𝑛−1 + 17𝑎𝑛−2 −4𝑎𝑛−3 = 0
PENYELESAIAN :
No.6
𝑏𝑛 + 𝑏𝑛−1 − 6𝑏𝑛−2 = 0
Persamaan karakteristik
𝛼2 + 𝛼 − 6 = 0⟺ 𝛼 + 3 𝛼 − 2 = 0
Akar karakteristik
𝛼1 = −3 dan 𝛼2 = 2
Solusinya
𝑏𝑛(ℎ)
= 𝐴1𝛼1𝑛 + 𝐴2𝛼2
𝑛
⟺ 𝑏𝑛(ℎ)
= 𝐴1(−3)𝑛+𝐴22
𝑛
Dengan kondisi batas 𝑏0 = 0 dan 𝑏1 = 1, maka
𝑏𝑛(ℎ)
= 𝐴1(−3)0+𝐴22
0 ⟹ 0 = 𝐴1 + 𝐴2
𝑏𝑛(ℎ)
= 𝐴1(−3)1+𝐴22
1 ⟹ 1 = −3𝐴1 + 2𝐴2
Sehingga diperoleh
𝐴1 = −1
5𝑑𝑎𝑛 𝐴2 =
1
5
Solusi homogen
𝑏𝑛(ℎ)
= −1
5−3 𝑛 +
1
52𝑛
7. 𝑎𝑛 + 4𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 = 2𝑛
Persamaan karakteristik
𝛼2 + 4𝛼 + 4 = 0⟺ 𝛼 + 2 𝛼 + 2
Akar karakteristik
𝛼1,2 = −2
Karena akar 1,2 sama maka
Solusi homogen
𝑎𝑛(ℎ)
= (𝐴1𝑛𝑚−1 + 𝐴2𝑛
𝑚−2)𝛼1𝑛
𝑎𝑛(ℎ)
= (𝐴1𝑛 + 𝐴2)(−2)𝑛
8. 4𝑎𝑛 − 20𝑎𝑛−1 + 17𝑎𝑛−2 − 4𝑎𝑛−3 = 0
Persamaan Kuadrat
4𝛼3 − 20𝛼2 + 17𝛼 − 4 = 0⟺ 2𝛼 − 1 2𝛼 − 1 𝛼 − 4
Akar karakteristik
𝛼1,2 =1
2𝛼3 = 4
Solusi homogen
𝑎𝑛(ℎ)
= 𝐴1𝑛 + 𝐴21
2
𝑛
+ 𝐴3. 4
top related