matematika diskrit kelompok 5

oOLEH :KELOMPOK 5

CINTHYA WENDARI (17451/10)DISTI HARLIN (18350/10)FITRIA DINI (17449 /10)

TESIS SETIAWAN (18352/10)

MATEMATIKA DISKRITGERBANG LOGIKA

GERBANG LOGIKA

Logika memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus.

Dalam logika dikenal aturan-aturan berikut:• Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah

sekaligus.• Masing-masing adalah benar/salah.• Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah.

Dalam aljabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta. Keadaan benar disimbolkan dengan angka “1” dan keadaan salah disimbolkan dengan angka “0”.

Gerbang Logika (Logic Gate) adalah suatu perangkat yang menerapkan fungsi Boolean sehingga dapat melakukan operasi logika dengan memproses satu atau lebih input (masukan) untuk menghasilkan satu output (keluaran).

Analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka gerbang logika sering juga disebut Rangkaian Logika. Rangakaian logika sering kita temukan dalam sirkuit digital yang diimplemetasikan secara elekrtonik dengan menggunakan dioda atau transistor.

Gerbang logika merupakan dasar pembentukan sistem digital. Gerbang logika beroperasi berdasarkan Aljabar Boolean dengan bilangan biner 1 dan 0, sehingga disebut juga gerbang logika biner

Logika biner yang digunakan dalam sistem digital, yaitu :

logika biner positif, logika tinggi ditandai dengan nilai ‘1’ dan logika rendah ditandai dengan nilai ‘0’.

logika biner negatif, logika tinggi ditandai nilai ‘0’ dan logika rendah ditandai nilai ‘1’.

Pada pembahasan ini kita akan mengunakan logika biner positif.

Macam-Macam Gerbang Logika

Gerbang logika terdiri dari tujuh macam yang dikelompokkan ke dalam dua jenis, menurut input dan outputnya :

Gerbang Logika InverterGerbang logika inverter (pembalik) merupakan gerbang logika dengan satu sinyal masukan dan satu sinyal keluaran dimana sinyal keluaran selalu berlawanan dengan keadaan sinyal masukan. Gerbang yang termasuk ke dalam jenis ini adalah Gerbang NOT.

Gerbang Logika Non-InverterBerbeda dengan gerbang logika Inverter yang sinyal masukannya hanya satu untuk gerbang logika non-Inverter sinyal masukannya ada dua atau lebih sehingga hasil (output) sinyal keluaran sangat tergantung oleh sinyal masukannya dan gerbang logika yang dilaluinya. Yang termasuk gerbang logika non-Inverter adalah ke 6 lainnya.( AND, OR, NAND, NOR, EXOR, EXNOR )

Gerbang logika juga dapat dibedakan menjadi 2 :

Gerbang DasarGerbang Turunan

Gerbang Dasar

A. Gerbang OR

Gerbang logika OR gerbang logika dasar yang memiliki dua

atau lebih sinyal masukan dgn satu

sinyal keluaran.

”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan secara paralel.”

Ekspresi Boolean operasi OR: X = A + B

X sama dengan A atau BX bernilai 1 jika A =1 atau B =1.

Simbol:

Tabel Kebenaran

A

BF

B. Gerbang AND

Gerbang AND gerbang logika dasar yang memiliki dua atau lebih

sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. ”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan secara seri.”

Ekspresi Boolean operasi AND: X = A *BX sama dengan A dan BX bernilai 1 jika A =1 dan B =1.

Simbol:

Tabel Kebenaran

A

BF

C. Gerbang NOT

Gerbang NOT gerbang logika dasar yang memiliki

sebuah sinyal masukan dan sebuah

sinyal keluaran.

Gerbang ini akan menghasilkan keluaran yang berlawanan dengan masukannya

Ekspresi Boolean operasi NOT: X = A

X sama dengan bukan A,

Simbol:

Tabel Kebenaran

A F

Perbandingannya

Gerbang Turunan

A. Gerbang NAND ( Not And )

Gerbang NAND gerbang logika AND yang di NOT kan.

Gerbang NAND gerbang logika yang memiliki dua atau

lebih sinyal masukan dgn satu sinyal

keluaran.

Ekspresi Booleannya : (dibaca “F sama dengan A NAND B / bukan A AND B”)

F A B

Simbolnya

Tabel Kebenaran

Keluaran gerbang NAND bernilai 0 bila semua masukannya bernilai 1.

Keluaran gerbang NAND bernilai 1 jika ada masukannya yang bernilai 0.

FA

B

A

BF

B. Gerbang NOR ( Not OR )

Gerbang NOR gerbang logika OR yang di NOTkan.

Gerbang NOR gerbang logika yang memiliki dua

atau lebih sinyal masukan dgn satu

sinyal keluaran

Ekspresi Booleannya : (dibaca “F sama dengan A NOR B / bukan(not) A OR

B”)

F A B

Simbolnya

Tabel Kebenaran

Keluaran gerbang NOR bernilai 1 bila semua masukannya bernilai 0.Keluaran gerbang NOR bernilai 0 jika ada masukannya yang bernilai 1

FA

B

A

BF

C. Gerbang EXOR (Exclusive-OR)

Gerbang ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika masukan-masukannya mempunyai keadaan yang berbeda.

berlaku ketentuan: sinyal keluaran tinggi jika masukan tinggi berjumlah ganjil.

Ekspresi Booleannya : (dibaca “F sama dengan A EXOR B”)

F A B

Simbol

Tabel Kebenaran

B

AF

D.Gerbang EXNOR (Exclusive-Not-OR)

Gerbang ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika semua sinyal masukan bernilai sama(kebalikan dari gerbang EXOR).

berlaku ketentuan: sinyal keluaran rendah jika masukan tinggi berjumlah ganjil.

Ekspresi Booleannya : (dibaca “F sama dengan A XNOR/ bukan

XOR B”)

F A B

Simbolnya :

Tabel Kebenaran :

A

BF

Aplikasi Gerbang Logika

Aplikasi gerbang logika terhadap masalah-masalah kombinatorika

1. Sebuah taksi dilenglapi dengan sebuah pengatur kecepatan. Jika speedometer melampaui 80km/jam, maka mesin taksi akan mati.

Hal di atas dapat digambarkan dengan gerbang NOT seperti gambar berikut:

Kecepatan > 80 km/jam jam mesin mati

A F

2. Sebuah pemanas gas rumah dihubungkan dengan dua thermostat, satu di ruang tamu dan yang lain di ruang tempat pemanas berada. Bila thermostat pertama merasakan bahwa temperatur rumah berada di bawah 680 F, thermostat itu mengirim sinyal untuk menghidupkan alat pemanas. Sedangkan jika thermostat di ruang pemanas menjadi lebih panas dari 1500 F, thermostat itu mengirim sinyal untuk mematikan alat pemanas. Sinyal dibuat demi keselamatan dan harus dipatuhi, tidak peduli sinyal apa yang dikirim oleh kedua thermostat.

Masalah di atas dapat dibuat gerbang logikanya seperti berikut:

Misalkan: x = suhu rumah kurang dari 680 Fy = suhu ruang pemanas lebih dari 1500 F

Jika suhu rumah kurang dari 680 F, maka thermostat pertama mengirim sinyal masukan “1”. Jika suhu ruang pemanas lebih dari 1500 F, maka thermostat kedua mengirim sinyal masukan “1”.

Nilai x ^ y yang mungkin diperoleh dapat ditentukan menggunakan tabel kebenaran

Dari tabel kebenaran terlihat bahwa mesin pemanas hidup jika suhu rumah kurang dari 680 F dan suhu ruang pemanas tidak lebih dari 1500 F.

3. Alarm sabuk pengaman di samping tempat duduk sopir di mobil akan berbunyi jika sabuk tidak dipakai, sensor bobot mengetahui bahwa seseorang sedang duduk di situ, dan kunci starternya hidup. Buatlah gerbang logika kombinasi dari situasi di atas dan hitung kemungkinan sensor hidup.

Penyelesaian:Misalkan: x = sabuk pengaman dipakai

y = sensor bobot menerima bebanz = kunci starter hidup

Rangkaian gerbang logikanya dapat dibuat seperti berikut:

Jika sabuk pengaman dipakai, maka masukan bernilai “1”. Begitu pula jika sensor bobot menerima beban dan kunci starter hidup, maka masukan bernilai “1”.

Nilai x ^ y ^z yang mungkin diperoleh dapat ditentukan menggunakan tabel kebenaran.

Dari tabel kebenaran terlihat bahwa alarm hidup jika sabuk pengaman tidak dipakai, sensor bobot mengetahui ada yang duduk, dan kunci starter hidup.