Matematika Diskrit Himpunan Definisi Definisi 1 Himpunan memuat objek-objek yang didefinisikan berdasarkan kesamaan sifat tertentu. Definisi 2 Objek-objek di dalam sebuah himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan tersebut. Definisi 3 Suatu himpunan disebut mengandung atau memiliki anggota-anggotanya. 3Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo Notasi Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital, contoh: himpunan A. Huruf yang menjadi anggota suatu himpunan ditulis dengan huruf kecil, contoh: a, b, c. a e A dibaca a merupakan anggota dari himpunan A. a e A dibaca a bukan anggota dari himpunan A. 4Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo Notasi A = {a, b, c} B = {1, 2, ..., 10} C = {x | x < 11, x = bilangan asli} D = {Senin, Selasa, Sabtu} K = {+, +, v, +} I = {1, 2, 3, ... } 5Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo Beberapa Himpunan Bilangan N = {0, 1, 2, 3, ...}, himpunan bilangan asli Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, himpunan bilangan bulat Z+ = {1, 2, 3, ...}, himpunan bilangan bulat positif Q = {p/q, p e Z, q e Z, q 0}, himpunan bilangan rasional 6Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo Kesamaan Himpunan Dua buah himpunan disebut sama jika dan hanya jika mereka memiliki anggota-anggota yang sama. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A = B x (x e A x e B) Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo7 Diagram Venn John Venn: matematikawan Inggris (1834-1923) Beberapa fakta tentang Diagram Venn: Salah satu cara merepresentasikan Himpunan secara gambar. Himpunan Semesta disimbolkan dengan S S mengandung semua anggota himpunan. S berbentuk persegi panjang. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo8 Notasi Himpunan Himpunan Kosong, Nullset ( C ) Adalah himpunan yang tidak memiliki anggota Dinotasikan dengan C atau { } Himpunan Bagian, Subset ( c atau _ ) Himpunan A disebut sebuah himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. A _ B x (xeA xeB) A subhimpunan dari B, jika tidak ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota dari B. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo9 Notasi Himpunan Himpunan Kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan. Yaitu C _ A, Bukti: A _ B x (xeA xeB) Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo10 Notasi Himpunan Himpunan Bagian Sejati, Proper Subset ( c ) Himpunan A disebut sebuah himpunan bagian sejati dari himpunan B jika A adalah himpunan bagian dari B, dan A B. Definisi Misalkan A sebuah himpunan. Jika terdapat n buah anggota yang berbeda pada A, untuk n suatu bilangan bulat tak-negatif, maka A disebut himpunan berhingga, dan n disebut kardinalitas dari A. Kardinalitas dari A disimbolkan |A|. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo11 Notasi Himpunan Definisi Misalkan A sebuah himpunan. Himpunan Kuasa , Power Set, dari A, P(A) adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan semua subhimpunan dari A. Contoh A = {1, 2}, maka P(A) = { C, {1}, {2,}, {1,2} }. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo12 Operasi pada Himpunan Definisi Misalkan A dan B suatu himpunan. Gabungan dari himpunan A dan B, dinotasikan dengan AB, merupakan suatu himpunan yang memuat anggota-anggota yang merupakan anggota dari A atau anggota dari B, atau dari keduanya. AB = {x | x e A v x e B} Contoh A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} Maka AB = {1, 2, 3, 5}. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo13 S Operasi pada Himpunan Pada Diagram Venn Pada diagram Venn daerah gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah daerah yangberwarna biru menyelimuti semua bagian masing-masing himpunan. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo14 AB Operasi pada Himpunan Definisi Misalkan A dan B suatu himpunan. Irisan dari himpunan A dan himpunan B, dinotasikan dengan A B, merupakan suatu himpunan yang memuat anggota-anggota yang merupakan anggota dari A dan anggota dari B. A B = {x | x e A . x e B} Contoh A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} Maka A B = {3, 5}. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo15 S Operasi pada Himpunan Pada Diagram Venn Pada diagram Venn daerah irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah daerah yangberwarna biru daerah bersama bagi masing-masing himpunan. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo16 ABB Operasi pada Himpunan Definisi Dua himpunan disebut saling lepas, jika irisan dari keduanya merupakan himpunan kosong. Contoh A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} Karena A B = { }, maka himpunan A dan B saling lepas. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo17 Operasi pada Himpunan Prinsip Inklusi-Eksklusi |AB| = |A| + |B| |A B|. Definisi Misalkan A dan B merupakan suatu himpunan. Selisih dari A dan B, dinotasikan dengan A B, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan A, namun bukan merupakan anggota dari himpunan B. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo18 Operasi pada Himpunan Selisih dari A dan B A B = {x | x e A . x e B} Contoh A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} Maka A B = {1}, sedangkan B A = {2}. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo19 S ABA Operasi pada Himpunan Definisi Misalkan S merupakan himpunan semesta. Komplemen dari himpunan A, dinotasikan dengan A, adalah komplemen dari A terhadap S. Artinya komplemen dari A adalah S A. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo20 S A A Operasi pada Himpunan Komplemen dari himpunan A A = {x | x e A}. Contoh A = {Senin, Selasa, Kamis}, *semesta dari himpunan ini adalah nama-nama hari dalam bahasa Indonesia. Maka A = {Rabu, Jumat, Sabtu, Minggu}. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo21 Identitas Himpunan Hukum Identitas AC = A AS = S Hukum Dominasi A C = C A S = A Hukum Idempotent AA = A A A = A Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo22 Identitas Himpunan Hukum Komplementasi (A) = A Hukum Komutatif AB = BAA B = B A Hukum Asosiatif (AB)C = A(BC) (A B) C = A (B C) Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo23 Identitas Himpunan Hukum Distributif A(B C) = (AB) (AC)A (BC) = (A B)(A C) Hukum De Morgan (AB) = (B) (A)(A B) = (B)(A) Catatan: Membuktikan identitas himpunan dapat dilakukan menggunakan tabel keanggotaan. Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo24 Latihan 1. Misal A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 3, 6}, tentukan a. A B c. A B b. A B d. B A2. Misal A dan B adalah himpunan, buktikan a. (A B) _ A b. A _ (AB) c. (A B) _ A Matematika Diskrit | Himpunan | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo25