makalah metode iterasi sederhana
Post on 13-Jul-2016
989 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Metode Iterasi Sederhana adalah metode yang digunakan untuk mencari akar dari persamaan kuadrat dengan memisalkan nilai y = 0, kemudian memisahkan nilai x satu dengan x yang lainnya sehingga memunculkan fungsi yang baru, misal :
Fungsi baru ini digunakan untuk mencari nilai x yang pertama. Kemudian nilai tersebut dimasukan kedalam fungsi x (f(x))
Tidak seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang
diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Inilah
alasannya mengapa metode ini dinamakan metode terbuka. Hampiran akar sekarang pada hampiran akar
sebelumnya melalui prosedur lelaran. kadangkala lelaran konvergen ke akar sejati kadangkala divergen. Namun,
apabila lelarannya konvergen , konvergensinya berlangsung sangat cepat dibanding metode tertutup.
Ciri-ciri Metode terbuka sebagai berikut :
1. Tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar.
2. Mencari akar melalui suatu lelaran yang dimulai dari sebuah tebakan (guest)awal.
3. Pada setiap lelaran kita menghitung hampiran akar yang baru.
4. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen),atau mungkin
juga menjauhi (divergen).
5. Karena itu ,metode terbuka tidak selalu menemukan akar ,kadang konvergen dan kadang
ia divergen
Yang termasuk ke dalam metode terbuka :
1. Metode lelaran titik tetap (fixed point iteration).
2. Metode Newton-‐Rhapson.
3. Metode Secant.
Metode yang dibahas dalam makalah ini adalah metode lelaran titik tetap.
Metode lelaran titik tetap ( metode iterasi sederhana )
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga
diperoleh : x = g(x).
Contoh :
x – ex = 0
x = ex atau g(x) = ex
Lalu, bentuklah menjadi prosedur lelaran 𝑥r+1 = 𝑔(𝑥r)
Dan terkalah sebuah nilai awal x0 , lalu hitung nilai x1 , x2, x3 ,...,
f(s) = 0 dan s = g(s).
Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila
│ 𝑥r+1 − 𝑥r │ < 𝜀Atau bila menggunakan galat relatif hampiran
|xr+1−xr
xr+1|<δ
Dengan 𝜀 dan 𝛿 telah ditetapkan sebelumnya
Perhatikan contoh berikut :
Carilah akar persamaan f ( x )=x2−2x−3=0 dengan metode lelaran titik tetap. Gunakan
ε=0.000001.
Penyelesaian :
Terdapat beberapa kemungkinan prosedur lelaran yang dapat dibentuk
(a) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0 𝑥2 = 2𝑥 + 3
𝑥 = √(2 x+3)
Dalam hal ini, g ( x )=√2x+3 . Prosedur lelaran adalah xr+1=√(2 xr+3). Ambil terkaan
awal x0 = 4.
Tabel lelarannya :
Hampiran akar x = 3.000000
(b) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0 𝑥 (𝑥 – 2) = 3
𝑥 ¿ 3x−2
Dalam hal ini, g ( x )= 3x−2 . Prosedur lelarannya adalah xr+1 ¿
3xr−2 . Ambil terkaan awal x0
= 4.
Tabel lelarannya :
r xr | xr+1 – xr |
r xr | xr+1 – xr |
0 4.000000 -
1 3.316625 0.683375
2 3.103748 0.212877
3 3.034385 0.069362
4 3.011440 0.022945
5 3.003811 0.007629
6 3.001270 0.002541
7 3.000423 0.000847
8 3.000141 0.000282
9 3.000047 0.000094
10 3.000016 0.000031
11 3.000005 0.000010
12 3.000002 0.000003
13 3.000001 0.000001
14 3.000000 0.000000
0 4.000000 -
1 1.500000 2.500000
2 -6.000000 7.500000
3 -0.375000 5.625000
4 -1.263158 0.888158
5 -0.919355 0.343803
6 -1.027624 0.108269
7 -0.990876 0.036748
8 -1.003051 0.012175
9 -0.998984 0.004066
10 -1.000339 0.001355
11 -0.999887 0.000452
12 -1.000038 0.000151
13 -0.999987 0.000050
14 -1.000004 0.000017
15 -0.999999 0.000006
16 -1.000000 0.000002
17 -1.000000 0.000001
Hampiran akar x = -1.000000
( c ) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0
-2x = -x2+3
𝑥 ¿ x2−32
Prosedur lelarannya adalah xr+1 ¿xr
2−32
. Ambil terkaan awal x0 = 4.
Tabel lelarannya :
I xr | xr+1 – xr |
0 4.000000 -
1 6.500000 2.500000
2 19.625000 13.125000
3 191.070313 171.445312
4 18252.432159 18061.361847
. . .
Ternyata lelarannya divergen.
Teorema 3.2
Di dalam selang I = [s-h, s+h], dengan s titik tetap.
1. Jika 0 < g'(x) < 1 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran konvergen monoton;
2. Jika -1< g'(x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran konvergen bersosilasi;
3. Jika g'(x) > 1 untuk setiap x ∈I, maka lelaran divergen monoton;
4. Jika g'(x) < -1 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran divergen berosilasi.
Jenis-jenis kekonvergenan
Pertanyaan :
1. Dalam setiap soal apakah prosedur lelarannya selalu lebih dari satu? (Siska Noviah)
2. Kapan iterasinya harus berhenti? (Vivi Vathillah)
3. Bagaimana menentukan tebakan akarnya? (Ulfa Nadiyah)
4. Apakah maksud dari konvergen monoton, konvergen berosilsi, divergen monoton dan
divergen berosilasi? (Siska Wullandari)
5. Dalam soal x2 – 2x – 3 =0 terdapat 3 cara untuk menentukan x=g(x). Menurut kelompok
anda cara mana yang lebih efektif? (Titik Enggar Puriyanti)
Jawaban :
1. Tidak, tergantung pada f(x) = 0 yang terdapat pada soal tersebut.
2. Kondisi berhenti ketika |xr+1−xr|<ε atau|xr+1−xr
xr−1|<δ
3. Tebakan akar dilakukan secara bebas tetapi sebaiknya diambil dari akar yang mendekati
fungsi f(x).
4. Konvergen monoton : hasil dari |xr+1−xr| selalu turun dan mendekati akar
sejatinya.
Konvergen berosilasi : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik turun tetapi mendekati
akar sejatinya.
Divergen monoton : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik sehingga menjauhi
akar sejatinya.
Divergen berosilasi : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik turun tetapi menjauhi
akar sejatinya.
5. i) x2 – 2x – 3 = 0
x2 = 2x + 3
x ¿√2x+3
ii) x2 – 2x – 3 = 0
x2 – 2x = 3
x (x – 2) = 3
x ¿ 3x−2
iii) x2 – 2x – 3 = 0
-2x = -x2 +3
x ¿ x2−32
Kita tidak bisa menentukan efektif / tidaknya suatu prosedur lelarannya sebelum kita
mencoba mensubstitusi tebakan akar ke dalam x = g(x) secara satu persatu.
Soal
Hitung akar f(x) = x2 – 2x – 3 dengan epsilon 0.000001.
x2 – 2x – 3 = 0
x ( x – 2 ) = 3
xr+1 ¿ 3xr−2
r xr | xr+1 – xr |
0 4.000000 -
1 1.500000 2.500000
2 -6.000000 7.500000
3 -0.375000 5.625000
4 -1.263158 0.888158
5 -0.919355 0.343803
6 -1.027624 0.108269
7 -0.990876 0.036748
8 -1.003051 0.012175
9 -0.998984 0.004066
10 -1.000339 0.001355
11 -0.999887 0.000452
12 -1.000038 0.000151
13 -0.999987 0.000050
14 -1.000004 0.000017
15 -0.999999 0.000006
16 -1.000000 0.000002
17 -1.000000 0.000001
Metode Iterasi Titik tetap kadang-kadang dinamakan metode iterasi sederhana atau metode
langsung atau metode substitusi beruntun. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan
prosedur iterasinya yang mudah dibentuk, yaitu kita ubah persamaan f (x) = 0 menjadi bentuk
x = g(x), kemudian dibentuk menjadi prosedur iterasi,
Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana
dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari
hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x)
bila g(x) = x dan f(x) = 0.
Prosedur Metode Titik Tetap :
Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya
atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian
tentukan nilai titik awal, misal x1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x)
sedemikian sehingga g(x1) = x2, setelah itu titik x2 yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x)
sedemikian sehingga g(x2) = x3. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi
x1 (penetuan titik awal)
x2 = g(x1) (iterasi pertama)
x3 = g(x2) (iterasi kedua)
.
.
xn = g(xn-1) (iterasi ke-n)
Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup
kecil (|xn - xn-1| <
top related