logika simbolik

Maret 2014 1

LOGIKA SIMBOLIKLOGIKA SIMBOLIKTatag Yuli Eko SiswonoTatag Yuli Eko Siswono

Universitas Negeri SurabayaUniversitas Negeri Surabaya

Kompetensi yang diharapkan

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 2

3

LOGIKARealitas Kalimat/

Pernyataan

Logis

LOGIKA

4

Apakah logika itu?• Logika: Ilmu untuk berpikir dan bernalar

dengan benar• Penalaran: Kemampuan untuk berpikir

menurut suatu alur kerangka tertentu• Kemampuan Menalar: Kemampuan untuk

menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan tertentu

5

Aliran-aliran dalam Logika

• Logika Tradisional Tokoh: Aristoteles Logika merupakan kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk

pemikiran. Logika saat itu disebut dengan istilah ANALITIKA dan DIALEKTIKA.

ANALITIKA: untuk menyebutkan cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan-pernyataan yang benar.

DIALEKTIKA: untuk cara penalaran yang didasarkan pada dugaan.

• Logika Metafisis Tokoh: Friderich Hegel (1770-1831) METAFISIKA: sebagai upaya untuk menyajikan kenyataan (realitas),

yaitu alam semesta dan isinya sebagai suatu keseluruhan yang komprehensif, koheren dan konsisten. Susunan pikiran dianggap suatu kenyataan, sehigga logika disebut metafisika.

6

• Logika Epistemologis Tokoh: Francis Herbert Bradley (1846-1924) dan Bernard

Bosanquet (1848-1923). Logika ini dihubungkan dengan pengetahuan lainnya. Untuk dapat

mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harus digabungkan.

• Logika Instrumentalis (Pragmatis) Tokoh: John Dewey (1859-1952) Logika dianggap sebagai alat untuk memecahkan masalah.

• Logika Simbolis (Logika Matematis) Tokoh: G.W. Leibniz (1646-1716), George Boole (1815-1864), De

Morgan, Leonhard Euler (1707-1783), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872-1970)

Menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci, bagaimana akal harus berkerja. Logika ini merupakan logika formal yang hanya menelaah bentuk dan bukan isi apa yang dibicarakan.

7

Pernyataan

Kalimat

K. Berarti

K. Tak Berarti

K. Deklaratif(Pernyataan)

Bukan Kal. Deklaratif

Benar

Salah

8

• Kalimat deklaratif = Indicative Sentence• Pernyataan = Statement• Bila proposisi pernyataan, maka

pernyataan lebih umum daripada proposisi• Proposisi merupakan kalimat deklaratif• Paradoks: Kalimat yang menegasikan

dirinya sendiri. Misal: Semua peraturan mempunyai

perkecualian.

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 9

Pernyataan• Perny. Sederhana (Primer/Atom):

Tunggal tidak terdapat kata hubung.• Perny. Majemuk

(Composite/Compound Statement): Satu atau lebih pernyataan sederhana

• Simbol pernyataan dengan huruf kecil: p, q, r, dsb

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 10

Kalimat Matematika

Kalimat Matematika

K. Terbuka

K. Tertutup

Persamaan

Pertidaksamaan

Kesamaan

Ketidaksamaan

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 11

Variabel, Konstanta, parameter

• Variabel: Simbol untuk menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan.

• Konstanta: Simbol untuk menunjukkan suatu anggota tertentu (sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan.

• Parameter: Variabel penghubung

Persamaan : x2 + x – 6 = 0 y = mx + c y = r sin t, x = r cos t

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 12

Kata Hubung Kalimat• Negasi (Ingkaran)• Konjungsi• Disjungsi• Implikasi• Biimplikasi

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 13

Negasi (Ingkaran)• Kata sehari-hari: bukan, tidak benar

• Definisi: Ingkaran suatu pernyataan (misalkan p)

adalah pernyataan lain yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya.

• Notasi: ~p, p

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 14

p ~p

B S

S B

Tabel Kebenaran

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 15

Konjungsi• Kata sehari-hari: dan, juga, padahal,

tetapi, walaupun, sedangkan, dsb

• Definisi: Konjungsi dari dua pernyataan (misalkan p dan q) bernilai benar, jika dua pernyataan bernilai benar.

• Notasi: p q

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 16

p q p q

B B B

B S S

S B S

S S S

Tabel Kebenaran

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 17

Disjungsi• Kata sehari-hari: atau

• Disjungsi dibagi dua: 1. Disjungsi Inklusif () 2. Disjungsi Eksklusif ( )

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 18

p q p qB B BB S BS B BS S S

Disjungsi Inklusif• Definisi: Disjungsi Inklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilai

benar, jika salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 19

p q p qB B SB S BS B BS S S

Disjungsi Eksklusif• Definisi: Disjungsi Eksklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilai benar,

jika hanya salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 20

Implikasi• Notasi: p q dibaca “jika p, maka q” “p berimplikasi q” “p hanya jika q” “p syarat cukup untuk q” “q syarat perlu untuk p” “q asal saja p” “q jika p” • P = anteseden (hipotesis)• q = konskuen (konklusi)

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 21

p q p qB B BB S SS B BS S B

Tabel Kebenaran• Definisi: Implikasi dua pernyataan (p q) bernilai

benar jika anteseden salah atau konskuennya benar.

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 22

Hubungan Implikasi, Konvers, Invers dan

Kontraposisi

p q q p

~p ~q ~q ~p

Invers

Konvers

Konvers

InversKontraposisi

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 23

Biimplikasi• Biimplikasi dari dua pernyataan p dan q

dinotasikan p q, dibaca: “p jika dan hanya jika q” “p syarat perlu dan cukup untuk q” “q syarat perlu dan cukup untuk p” “jika p maka q dan jika q maka p”

• Definisi: Biimplikasi dari dua pernyataan bernilai

benar, jika dua pernyataan itu bernilai sama

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 24

p q p q

B B B

B S S

S B S

S S B

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 25

Urutan PengerjaanNegasiKonjungsi/DisjungsiImplikasi BiimpilkasiContoh: p q berarti ( p) p q

p q r berarti (q r)p (q r)

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 26

• Sebagai contoh, kita ingin melihat tabel kebenaran pernyataan:

p ~q p r

Bagaimana tabel kebenran pernyataan itu?

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 27

p q r ~q

p r ~q (p r) p (~q (p r))

B B B S B B BB B S S S S SB S B B B B BB S S B S B BS B B S S S BS B S S S S BS S B B S B BS S S B S B B

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 28

Tautologi• Setiap pernyataan yang selalu

bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya.

• Contoh: p ~p

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 29

p ~p p ~p

B S B

S B B

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 30

Ekuivalen• Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (ekuivalen logis)

jika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang tepat sama.

• Notasi: • Sifat pernyataan yang ekuivalen: 1. p p (refleksif) 2. p q q p (simetris) 3. p q, q r p r (transitif)

p q dapat sebagai p q atau “sama dengan”

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 31

Buatlah tabel kebenaran dari

pernyataan berikut1. p q2. ~p q3. ~p ~q4. ~q ~p5. q p

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 32

p q p q ~p q

B B B B

B S S S

S B B B

S S B B

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 33

Kontradiksi• Pernyataan yang selalu bernilai

salah, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya.

• Contoh: p ~p

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 34

p ~p p ~p

B S S

S B S

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 35

Kuantor• Fungsi Pernyataan: Suatu kalimat terbuka

dalam semesta pembicaraannya (semesta diberikan secara eksplisit atau implisit)

• Notasi: p(x) yang bersifat p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap nilai a.

a adalah anggota semesta pembicaraan p(a) suatu pernyataan

36

Contoh:

p(x) 1 + x > 5, fungsi pernyataan untuk A = himpunan bilangan asli, bukan untuk fungsi pernyataan K = himpunan bilangan kompleks.Bila himpunan semestanya bilangan asli, maka:

1. p(x) 1 + x > 5; bernilai benar untuk x = 5,6,7,... Dengan kata lain untuk beberapa anggota semesta.

2. q(x) x + 3 < 1; tidak ada anggota semesta yang memenuhi.

3. r(x) 1 + x = 5; bernilai benar untuk x = 4, dengan kata lain hanya ada satu anggota semesta yang memenuhi.

4. s(x) x2 > 0; bernilai benar untuk semua x anggota semesta.

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 37

Kata-kata “beberapa”, “tidak ada”,”hanya satu”, “untuk semua” dapat diganti menggunakan simbol KUANTOR

• Kuantor Umum (Universal)

“” dibaca “untuk semua”, “ untuk setiap”

(xA)(p(x)) atau x, p(x) atau x p(x) dibaca “untuk setiap x anggota A, p(x)

merupakan pernyataan yang benar” atau “untuk semua x berlakulah p(x)”

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 38

• Kuantor Khusus (Eksistensial) “” dibaca “untuk beberapa” atau “untuk

paling sedikit satu”

“!” dibaca “ ada hanya satu” ( x A) (p(x)) atau x, p(x) atau x p(x) dibaca “ada x anggota A sedemikian

hingga p(x) merupakan pernyataan yang benar” atau “untuk beberapa x, p(x)”

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 39

Negasi Pernyataan ( xA) (p(x)) ( xA) (p(x))

( xA) (p(x)) ( xA) (p(x))

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 40

Fungsi Pernyataan lebih dari satu Variabel

Diketahui himpunan A1, A2, ... An.Suatu fungsi pernyataan yang mngandung variabel pada himpunan A1 x A2 x ... x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, ..., xn) yang memiliki sifat p(a1, a2, ..., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, ..., an) anggota semesta pembicaraan A1 x A2 x ... x An .

Contoh:1. P = {pria}, W = {wanita} M (x, y) “x menikah dengan y” merupakan fungsi pernyataan pada P x

W.

2. A = himpunan bilangan asli. K (x, y, z) 2x – y -5z < 10 merupakan fungsi pernyataan pada A x A

x A

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 41

Fungsi pernyataan dengan beberapa variabel bila diberi tanda kuantor merupakan pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.x y p(x,y) atau x,y p(x,y) atau (x)(y) p(x,y) atau (x )(y) p(x,y) dibaca “untuk semua x dan y berlaku p(x,y)”

x y p(x,y) atau x,y p(x,y) atau (x)(y) p(x,y) dibaca “ada x dan y sedemikian hingga p(x,y)”

x y p(x,y) atau (x)( y) p(x,y) atau (x)(y) p(x,y) dibaca “untuk semua x ada y sedemikian hingga p(x,y)”

x y p(x,y) atau ( x) (y) p(x,y) atau (x) (y)p(x,y) dibaca “ada x sedemikian hingga untuk semua y berlaku p(x,y)”

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 42

ContohP = {Rama, Ammar, Nico} dan W = {Tira, Iffa}p(x,y) = “x adalah kakak y”

(xP)( yW)( p(x,y)) = “untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah kakak dari y” berarti setiap anggota P adalah kakak dari Tira atau Iffa

( y W) (x P) p(x,y) = “ada y di W sedemikian hingga untuk setiap x di P berlaku x adalah kakak y” berarti ada paling sedikit satu anak di W yang mempunyai kakak semua anggota P.

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 43

Negasi Pernyataan• (xP)( yW)( p(x,y)) = setiap anggota P

adalah kakak paling sedikit satu anggota W

• ~(xP)( yW)( p(x,y)) = tidak benar bahwa setiap anggota P adalah kakak paling sedikit satu anggota W

atau (xP)(yW) ~(p(x,y)) = ada anggota P

yang bukan kakak dari semua anggota W

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 44

LatihanTentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut1. x y (x+2y = 10) 10. x y (x2-y >3)2. x y (x+2y = 10) 11. y x (x2-y 3)3. x y (x+2y = 10) 12. y x (x2-y 3)4. x y (x+2y = 10) 13. y x (y/x = 8)5. y x (x+2y = 10) 14. y x (y/x 8)6. y x (x+2y = 10) 15. y x (y/x = 8)7. y x (x+2y = 10) 16. y x (y/x = 8)8. y x (x+2y = 10) 17. y x (x + 2y < 10 x + 3y 9)9. y x (x2-y >3) 18. x y (x +2y < 10 x + 3y 9)

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 45

Tulislah dalam bentuk simbolikSemua bilangan bulat adalah rasional, dapat ditulis: (x)(Bx Rx) atau ( x B)(x R)

1. Semua mahasiswa lulus ujian. 2. Semua mahasiswa tidak lulus ujian.3. Tidak semua pedagang merasa beruntung.4. Tidak semua pedagang tidak merasa

beruntung.5. Ada wanita yang cantik.6. Beberapa wanita tidak cantik.7. Tidak ada mahasiswa yang curang.8. Tidak ada mahasiswa yang tidak curang.

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 46

Penarikan Kesimpulan• Premis: Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk

menarik kesimpulan dan yang dianggap benar atau yang diketahui nilai kebenarannya.

• Argumen: Pernyataan yang berupa himpunan/kumpulan beberapa premis dan konklusinya yang ditarik menggunakan aturan yang benar atau valid.

• Argumen dikatakan VALID, jika setiap premis yang digunakan bernilai benar dan konklusinya benar. Jadi bergantung pada bentuk argumen dan tabel kebenaran.

• Jika membuktikan validitas argumen dilakukan dengan menguji apakah argumen itu merupakan TAUTOLOGI.

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 47

Beberapa Argumen1. Modus Ponens

Premis 1 : p q Premis 2 : p

Konklusi : q

2. Modus Tolens

Premis 1 : p q Premis 2 : ~q

Konklusi : ~p

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 48

3. Silogisme

Premis 1 : p q Premis 2 : q r

Konklusi : p r

4. Penyederhanaan

Premis 1 : p q

Konklusi : p

5. Konjungsi

Premis 1 : pPremis 2 : q

Konklusi : p q

6. Penambahan

Premis 1 : p

Konklusi : p q

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 49

7. Silogisme Disjungtif

Premis 1 : p q Premis 2 : ~ p

Konklusi : q

8. Dilema Konstruktif

Premis 1 : (pq) (rs) Premis 2 : p r

Konklusi : q s9. Dilema Destruktif

Premis 1 : (pq) (rs) Premis 2 : ~q ~s

Konklusi : ~p ~r

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 50

Tulislah konklusinya (jika ada) dan sebutkan argumen yang dipakai.

1. p ~q ~q -------- .....

2. ~a b ~b -------- .....

3. k l ~k -------- .....

4. d ~a ~d -------- .....

5. ~a b a -------- .....

6. ~l ~m ~m -------- .....

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 51

Lanjutan7. k ~l ~k -------- .....

8. ~a b a c -------- .....

9. p q ~r q -------- .....

10. a b c b -------- .....

11. m n k n -------- .....

12. c d ~d a -------- .....

13. d ~a d b -------- .....

14. a b c b -------- .....

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 52

Selidikilah apakah argumen berikut valid atau tidak1. p q p r -------- r

2. p q ~(q r) -------- p ~r

3. p q p r s -------- p s

4. p ~q ~q ~r s r -------- ~p

5. p ~(qr) ~(q r) ~s t s -------- ~p t

6. h b b b r a ~r -------- ~h

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 53

7. c (a p) c k k p -------- p

8. h a b b r a ~r -------- ~h

9. c q s q e d s ~e -------- d ~c

10. Buktikan jika r t (~r t), r t, ~r, maka t.

11. Diketahui ~(R T) ~R ~T, ~(R T), ~R, ~R ~T (~R

T) mengakibatkan T.

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 54

Aplikasi Logika p ~p

p q Hubungan Seri: pq pq

p q

Hubungan Paralel: p + q p q

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 55

p.~p = 0 p ~p

p ~p

p + (~p) = 1

p (q + r) = pq + prp + q r = (p + q) (p +r)p + p = ppp = p

September 2005 Pengantar Dasar Matematika 56

Latihan